§ 16. Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы

Геометрия, 7 сынып. Оқулық: Смирнов В.А. және т.б. (Мектеп, 2025). 3 тарау: Түзулердің өзара орналасуы. 93–98-беттер.

Нені үйренесің

• Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы туралы теореманы тұжырымдауды және дәлелдеуді.
• Жай, теңбүйірлі және тікбұрышты үшбұрыштардағы белгісіз бұрыштарды табуды.
• Үшбұрыштың сыртқы бұрышы деген не екенін түсініп, оның қасиетін қолдануды.
• Биссектрисалар мен биіктіктері бар есептерді шешуді, онда бұрыштарды «ұстап алу» керек.

Ой қозғау

• Қиюшының екі жағында «айқасып» жататын бұрыштар қалай аталады? Ішкі айқыш бұрыштар. Параллель түзулерде олар тең.
• Сыбайлас бұрыштардың қосындысы неге тең? $180^\circ$-қа.
• Қандай үшбұрышты теңбүйірлі дейді және оның нелері тең? Екі қабырғасы (бүйір қабырғалары) тең, табанындағы бұрыштары да тең.
• Бұрыштың биссектрисасы деген не? Төбесінен шығып, бұрышты тең екіге бөлетін сәуле.
• Үшбұрыштың биіктігі деген не? Төбесінен қарсы қабырға жатқан түзуге түсірілген перпендикуляр.

Тақырыпты талдаймыз

Транспортирмен тәжірибе

Үшбұрыш сызып, бұрыштарын транспортирмен өлшеп, қос. Шамамен $180^\circ$ шығады: $179^\circ$ немесе $181^\circ$ болуы мүмкін. Бұл үшбұрыштың қатесі емес, өлшеудің дәлсіздігі. Қатаң түрде оны теорема дәлелдейді.

Бұрыштардың қосындысы туралы теорема

📌 Теорема. Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы $180^\circ$-қа тең болады.

Идеясы: $C$ төбесі арқылы $AB$ қабырғасына параллель түзу жүргіземіз. Сонда үшбұрыштың үш бұрышы бір түзуге «көшеді», ал жазыңқы бұрыш дәл $180^\circ$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан қағаздан үшбұрыш қиып алуын, үш бұрышын жыртып алып, төбелерін бір жерге қосып қоюын өтініңіз. Олар жазыңқы бұрыш болып жатады. Бұл теореманың мәнін әдемі көрсетеді, бірақ дәлелдеудің орнын баспайды.

Одан не шығады

📌 Салдар. Тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрыштарының қосындысы $90^\circ$-қа тең.

Неліктен: тік бұрыш өзі $90^\circ$, қалған екеуіне $180^\circ-90^\circ=90^\circ$ қалады.

Тағы бір пайдалы дерек: теңқабырғалы үшбұрышта әр бұрыш $60^\circ$, тікбұрышты теңбүйірлі үшбұрышта сүйір бұрыштар $45^\circ$-тан.

Сыртқы бұрыш

Үшбұрыштың сыртқы бұрышы — қабырғаны төбесінен әрі қарай созғанда шығатын бұрыш: ол сол төбедегі ішкі бұрышпен сыбайлас.

📌 Теорема. Үшбұрыштың сыртқы бұрышы онымен сыбайлас емес екі ішкі бұрышының қосындысына тең болады.

Дәлелдеуі қысқа. $CBD$ сыртқы бұрышы $=180^\circ-\angle B$, өйткені ол $\angle B$-мен сыбайлас. Ал үшбұрыштың бұрыштарының қосындысынан $\angle A+\angle C=180^\circ-\angle B$. Оң жақтары тең, демек, сол жақтары да тең.

⚠️ Жиі кететін қате. Сыртқы бұрышты өзімен көрші ішкі бұрышқа қосады. Сыртқы бұрышқа тимейтін екі ішкі бұрыш керек.

🌟 Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы тек жазық қағазда $180^\circ$. Үшбұрышты глобуста сызсаң, қосынды үлкенірек шығады. Бірақ мектеп геометриясында біз жазықтықта жұмыс істейміз, мұнда қосынды әрдайым дәл $180^\circ$.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы неге тең? $180^\circ$-қа.
• Тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрыштарының қосындысы неге тең? $90^\circ$-қа.
• Үшбұрыштың сыртқы бұрышын онымен сыбайлас емес екі ішкі бұрышы арқылы қалай өрнектейді? Олардың қосындысына тең.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 16.1

Теңқабырғалы үшбұрыштың бұрыштары неге тең?

Қалай ойлаймыз. Теңқабырғалы үшбұрыштың барлық бұрышы тең, ал қосындысы $180^\circ$.

Шешуі. Әр бұрыш: $180^\circ:3=60^\circ$.

Жауабы: $60^\circ$-тан.

№ 16.2

Тікбұрышты теңбүйірлі үшбұрыштың сүйір бұрыштары неге тең?

Қалай ойлаймыз. Тік бұрыш табанда бола алмайды (екі тік бұрыш бірге $180^\circ$ беріп қояр еді). Демек, ол төбеде, ал табандағы сүйір бұрыштар тең.

Шешуі. Сүйір бұрыштардың қосындысы $90^\circ$, олар тең, сондықтан әрқайсысы $90^\circ:2=45^\circ$.

Жауабы: $45^\circ$-тан.

№ 16.3

$ABC$ үшбұрышында $A$ бұрышы $30^\circ$-қа, $B$ бұрышы $90^\circ$-қа тең. Оның $C$ бұрышын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Жай ғана $180^\circ$-тан азайтамыз.

Шешуі. $\angle C=180^\circ-30^\circ-90^\circ=60^\circ$.

Жауабы: $60^\circ$.

№ 16.4

Тікбұрышты үшбұрыштың бір сүйір бұрышы екіншісінен $32^\circ$-қа үлкен. Оның үлкен сүйір бұрышын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Сүйір бұрыштардың қосындысы $90^\circ$. Кішісін $x$ деп белгілейміз.

Шешуі. $x+(x+32)=90$, $2x=58$, $x=29$. Үлкен бұрыш $29+32=61^\circ$.

Жауабы: $61^\circ$.

№ 16.5

Тікбұрышты үшбұрыштың бір сүйір бұрышы екіншісінен екі есе үлкен. Оның кіші сүйір бұрышын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Кіші бұрыш $x$, үлкені $2x$, екеуі бірге $90^\circ$.

Шешуі. $x+2x=90$, $3x=90$, $x=30$.

Жауабы: $30^\circ$.

№ 16.6

Тікбұрышты үшбұрыштың екі сүйір бұрышының қатынасы $2:3$. Оның үлкен сүйір бұрышын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бір бөлік $k$ болсын: бұрыштар $2k$ және $3k$, олардың қосындысы $90^\circ$.

Шешуі. $2k+3k=90$, $k=18$. Үлкен бұрыш $3\cdot 18=54^\circ$.

Жауабы: $54^\circ$.

№ 16.7

$ABC$ үшбұрышында $A$ бұрышы $40^\circ$, $AC=BC$. Оның $C$ бұрышын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $AC$ және $BC$ қабырғалары тең, демек, табаны $AB$, ал табандағы $A$ және $B$ бұрыштары тең.

Шешуі. $\angle B=\angle A=40^\circ$. $\angle C=180^\circ-40^\circ-40^\circ=100^\circ$.

Жауабы: $100^\circ$.

№ 16.8

$ABC$ үшбұрышында $C$ бұрышы $120^\circ$, $AC=BC$. Оның $A$ бұрышын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Тағы да табаны $AB$, $A$ және $B$ бұрыштары тең. Олар бірге $180^\circ-120^\circ$ береді.

Шешуі. $\angle A+\angle B=60^\circ$, $\angle A=60^\circ:2=30^\circ$.

Жауабы: $30^\circ$.

№ 16.9

16.3-суреттегі белгісіз бұрыштарды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Барлық жерде үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы, теңбүйірлі үшбұрыштың қасиеті және сыртқы бұрыш жұмыс істейді.

Шешуі. а) $MNK$ үшбұрышында екі қабырға тең ($NK=MK$), демек, $\angle M=\angle N=65^\circ$. $K$ төбесіндегі сыртқы бұрыш онымен сыбайлас емес екі бұрыштың қосындысына тең: $65^\circ+65^\circ=130^\circ$. ә) $ABC$ үшбұрышы теңқабырғалы, барлық бұрышы $60^\circ$-тан. Сыртқы бұрыш $180^\circ-60^\circ=120^\circ$. б) $E$ төбесіндегі ішкі бұрыш: $180^\circ-100^\circ=80^\circ$. $G$ төбесіндегі бұрыш $40^\circ$, сонда $F$ төбесіндегі ішкі бұрыш: $180^\circ-80^\circ-40^\circ=60^\circ$. $F$ төбесіндегі белгіленген бұрыш сыртқы: $180^\circ-60^\circ=120^\circ$. в) $143^\circ$ бұрышы $C$ төбесіндегі сыртқы бұрыш, демек, $C$ ішкі бұрышы $180^\circ-143^\circ=37^\circ$. $125^\circ$ бұрышы мен $ABC$ ішкі бұрышы вертикаль, демек, $\angle ABC=125^\circ$. Сонда белгісіз $A$ бұрышы $180^\circ-37^\circ-125^\circ=18^\circ$.

Жауабы: а) $130^\circ$; ә) $120^\circ$; б) $120^\circ$; в) $18^\circ$.

B деңгейі

№ 16.10

Теңбүйірлі үшбұрыштың бір бұрышы $98^\circ$. Оның басқа екі бұрышын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Доғал бұрыш табанда бола алмайды: екі доғал бұрыштың өзі $180^\circ$-тан асып кетеді. Демек, $98^\circ$ төбеде, ал қалған екеуі тең.

Шешуі. $(180^\circ-98^\circ):2=82^\circ:2=41^\circ$.

Жауабы: $41^\circ$ және $41^\circ$.

№ 16.11

Теңбүйірлі үшбұрыштың бір бұрышы екіншісінен $90^\circ$-қа кіші. Оның үлкен бұрышын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Екі жағдай мүмкін: не үлкен бұрыш төбеде, не табанда. Қайсысы келетінін тексерейік.

Шешуі. Төбедегі бұрыш $x+90^\circ$, ал табандағы бұрыштар $x$-тен болсын: $x+x+x+90=180$, $3x=90$, $x=30$. Үлкен бұрыш $120^\circ$. Басқа жағдай: табандағы әр бұрыш $x+90^\circ$, ал төбедегі бұрыш $x$: $x+2(x+90)=180$, $3x=0$, $x=0$ мүмкін емес.

Жауабы: $120^\circ$.

№ 16.12

Үшбұрыштың бұрыштарының қатынасы $1:2:3$. Оның кіші бұрышын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Үш бөліктің қосындысы $180^\circ$.

Шешуі. $k+2k+3k=180$, $6k=180$, $k=30$. Кіші бұрыш $30^\circ$ (қалғандары $60^\circ$ және $90^\circ$).

Жауабы: $30^\circ$.

№ 16.13

$ABC$ үшбұрышында $C$ бұрышы $64^\circ$-қа, $B$ төбесіндегі сыртқы бұрышы $104^\circ$-қа тең (16.4-сурет). Оның $A$ бұрышын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Сыртқы бұрыш онымен сыбайлас емес екі ішкі бұрыштың қосындысына тең: олар $A$ және $C$.

Шешуі. $104^\circ=\angle A+64^\circ$, демек, $\angle A=40^\circ$.

Жауабы: $40^\circ$.

№ 16.14

$ABC$ үшбұрышында $AC=BC$. $B$ төбесіндегі сыртқы бұрышы $122^\circ$-қа тең (16.5-сурет). Оның $C$ бұрышын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Табаны $AB$, $A$ және $B$ бұрыштары тең. Алдымен $B$ ішкі бұрышын табамыз.

Шешуі. $\angle B=180^\circ-122^\circ=58^\circ$, $\angle A=58^\circ$. $\angle C=180^\circ-58^\circ-58^\circ=64^\circ$.

Жауабы: $64^\circ$.

№ 16.15

$ABC$ үшбұрышында $AC=BC$, $C$ бұрышы $50^\circ$-қа тең (16.5-сурет). $CBD$ сыртқы бұрышын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Табандағы бұрыштарды табамыз, ал $CBD$ сыртқы бұрышы $\angle B$-мен сыбайлас.

Шешуі. $\angle A=\angle B=(180^\circ-50^\circ):2=65^\circ$. $\angle CBD=180^\circ-65^\circ=115^\circ$ (немесе $\angle A+\angle C=65^\circ+50^\circ$).

Жауабы: $115^\circ$.

№ 16.16

$ABC$ үшбұрышында $AB=BC$. $B$ төбесіндегі сыртқы бұрышы $138^\circ$-қа тең (16.6-сурет). Оның $C$ бұрышын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $AB$ және $BC$ тең, демек, табаны $AC$, $A$ және $C$ бұрыштары тең. $B$ төбесіндегі сыртқы бұрыш $\angle A+\angle C$-ға тең.

Шешуі. $2\angle C=138^\circ$, $\angle C=69^\circ$.

Жауабы: $69^\circ$.

№ 16.17

$ABC$ үшбұрышында $AB=BC$. $A$ бұрышы $70^\circ$-қа тең (16.6-сурет). $B$ төбесіндегі сыртқы бұрышын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $B$ төбесіндегі сыртқы бұрыш $A$ және $C$ бұрыштарының қосындысына тең, ал олар тең.

Шешуі. $\angle C=\angle A=70^\circ$. Сыртқы бұрыш $70^\circ+70^\circ=140^\circ$.

Жауабы: $140^\circ$.

№ 16.18

Үшбұрыштың бір сыртқы бұрышы $85^\circ$-қа тең. Осы сыртқы бұрышпен сыбайлас емес бұрыштардың қатынасы $2:3$ (16.7-сурет). Олардың ішіндегі ең үлкенін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Сыртқы бұрыш онымен сыбайлас емес екі ішкі бұрыштың қосындысына тең. Демек, олардың қосындысы $85^\circ$, қатынасы $2:3$.

Шешуі. $2k+3k=85$, $5k=85$, $k=17$. Бұрыштар $34^\circ$ және $51^\circ$.

Жауабы: $51^\circ$.

№ 16.19

Тікбұрышты үшбұрыштың бір сыртқы бұрышы $120^\circ$-қа тең. Осы үшбұрыштың сүйір бұрыштарын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Тік бұрыштың төбесіндегі сыртқы бұрыш $90^\circ$ болар еді, ал бізде $120^\circ$. Демек, ол сүйір бұрыштың төбесінде, яғни сүйір ішкі бұрышпен сыбайлас.

Шешуі. Бір сүйір бұрыш $180^\circ-120^\circ=60^\circ$. Екіншісі $90^\circ-60^\circ=30^\circ$.

Жауабы: $60^\circ$ және $30^\circ$.

№ 16.20

Үшбұрыштың әрбір төбесінен біреуден алынған барлық сыртқы бұрыштарының қосындысын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр сыртқы бұрыш — $180^\circ$ минус ішкі бұрыш.

Шешуі. $3\cdot 180^\circ-(\angle A+\angle B+\angle C)=540^\circ-180^\circ=360^\circ$.

Жауабы: $360^\circ$.

C деңгейі

№ 16.21

Егер тікбұрышты үшбұрыштың бір бұрышы $30^\circ$ болса, осы бұрышқа қарсы жатқан катет гипотенузасының жартысына тең болатынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Үшбұрышты екінші катетке қатысты симметриялы етіп толықтырамыз: теңқабырғалы үшбұрыш шығады.

Шешуі. Жоғарыдағы қадамдарды қара.

Жауабы: дәлелденді.

№ 16.22

Теңбүйірлі үшбұрыштың табанына қарсы жатқан сыртқы бұрыштың биссектрисасы оған параллель болатынын дәлелдеңдер (16.8-сурет).

Қалай ойлаймыз. Ішкі айқыш немесе сәйкес бұрыштардың тең екенін көрсетеміз. Сыртқы бұрыш екі ішкі бұрыштың қосындысына тең, ал олар тең.

Шешуі. Берілгені: $AC=BC$, $CD$ — $C$ төбесіндегі сыртқы бұрыштың биссектрисасы. Дәлелдеу керек: $CD\parallel AB$.

1. $\angle A=\angle B$ табандағы бұрыштар ретінде.
2. $C$ төбесіндегі сыртқы бұрыш $\angle A+\angle B=2\angle A$-ға тең.
3. Биссектриса оны тең екіге бөледі, демек, $CD$ мен $AC$ қабырғасының жалғасы арасындағы бұрыш $\angle A$-ға тең.
4. Бұл — $CD$, $AB$ түзулері және $AC$ қиюшысынан жасалған сәйкес бұрыштар. Олар тең, демек, $CD\parallel AB$.

Жауабы: дәлелденді.

№ 16.23

Кез келген бесбұрышты жұлдыздың сүйір бұрыштарының қосындысын табыңдар (16.9-сурет).

Қалай ойлаймыз. Жұлдызды үшбұрыштарға бөлеміз және үшбұрыш бұрыштарының қосындысы $180^\circ$ екенін, вертикаль бұрыштардың тең екенін қолданамыз.

Шешуі. $1\text{–}3$ және $4\text{–}2$ түзулерін алып, олардың қиылысу нүктесін $P$ деп белгілейміз.

1. 1, 4 және $P$ төбелері бар үшбұрышта $P$ төбесіндегі бұрыш $180^\circ-(\angle 1+\angle 4)$-ке тең.
2. $3P2$ үшбұрышындағы $P$ төбесіндегі бұрыш онымен вертикаль, демек, сондай. Сонда $3P2$ үшбұрышының қалған екі бұрышы бірге $\angle 1+\angle 4$-ке тең.
3. 5, 3 және 2 төбелері бар үлкен үшбұрышта бұрыштардың қосындысы $180^\circ$. Оның 3 және 2 төбелеріндегі бұрыштары жұлдыздың $\angle 3$ және $\angle 2$ бұрыштарынан және $3P2$ үшбұрышының екі бұрышынан тұрады.
4. Демек, $\angle 5+\angle 3+\angle 2+(\angle 1+\angle 4)=180^\circ$.

Жауабы: $180^\circ$.

№ 16.24

$ABC$ үшбұрышында $A$ бұрышы $60^\circ$, $B$ бұрышы $70^\circ$, $CH$ — биіктігі (16.10-сурет). $ACH$ және $BCH$ бұрыштарының айырымын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $CH$ биіктігі $ACH$ және $BCH$ екі тікбұрышты үшбұрыш береді. Әрқайсысында сүйір бұрыштардың қосындысы $90^\circ$.

Шешуі. $\angle ACH=90^\circ-60^\circ=30^\circ$. $\angle BCH=90^\circ-70^\circ=20^\circ$. Айырымы $30^\circ-20^\circ=10^\circ$.

Жауабы: $10^\circ$.

№ 16.25

$ABC$ үшбұрышында $B$ бұрышы доғал, $A$ бұрышы $30^\circ$, $CH$ — биіктігі, $BCH$ бұрышы $22^\circ$ (16.11-сурет). $ACB$ бұрышын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $B$ бұрышы доғал болғандықтан, биіктіктің $H$ табаны $AB$-ның $B$ нүктесінен кейінгі жалғасында жатады. $ACH$ бұрышы $ACB$-дан $22^\circ$-қа үлкен.

Шешуі. $ACH$ тікбұрышты үшбұрышында: $\angle ACH=90^\circ-30^\circ=60^\circ$. $\angle ACB=\angle ACH-\angle BCH=60^\circ-22^\circ=38^\circ$.

Жауабы: $38^\circ$.

№ 16.26

$ABC$ үшбұрышында $AC=BC$, $AD$ — биіктігі, $BAD$ бұрышы $24^\circ$ (16.12-сурет). $C$ бұрышын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $AD$ түзуі $BC$-ға перпендикуляр. $ABD$ тікбұрышты үшбұрышынан $B$ бұрышын, содан кейін табандағы бұрыштарды табамыз.

Шешуі. $\angle B=90^\circ-24^\circ=66^\circ$. Табаны $AB$, демек, $\angle A=\angle B=66^\circ$. $\angle C=180^\circ-66^\circ-66^\circ=48^\circ$.

Жауабы: $48^\circ$.

№ 16.27

$ABC$ үшбұрышында $AD$ — биссектрисасы, $C$ бұрышы $30^\circ$, $BAD$ бұрышы $22^\circ$ (16.13-сурет). $ADB$ бұрышын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Биссектриса $\angle CAD=\angle BAD$ береді. $ADB$ бұрышы $ADC$ үшбұрышы үшін сыртқы бұрыш.

Шешуі. $\angle CAD=22^\circ$. $\angle ADB=\angle C+\angle CAD=30^\circ+22^\circ=52^\circ$.

Жауабы: $52^\circ$.

№ 16.28

$ABC$ үшбұрышында $AD$ — биссектрисасы, $C$ бұрышы $50^\circ$, $CAD$ бұрышы $28^\circ$ (16.14-сурет). $B$ бұрышын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Биссектриса $A$ бұрышын тең екіге бөледі, демек, бүкіл $A$ бұрышы $\angle CAD$-тан екі есе үлкен.

Шешуі. $\angle A=2\cdot 28^\circ=56^\circ$. $\angle B=180^\circ-56^\circ-50^\circ=74^\circ$.

Жауабы: $74^\circ$.

№ 16.29

$ABC$ үшбұрышында $AD$ — биссектрисасы, $B$ бұрышы $72^\circ$, $CAD$ бұрышы $30^\circ$ (16.14-сурет). $C$ бұрышын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Дәл солай: алдымен бүкіл $A$ бұрышын табамыз.

Шешуі. $\angle A=2\cdot 30^\circ=60^\circ$. $\angle C=180^\circ-72^\circ-60^\circ=48^\circ$.

Жауабы: $48^\circ$.

№ 16.30

$ABC$ үшбұрышында $C$ бұрышы $60^\circ$, $AD$ және $BE$ кесінділері — $O$ нүктесінде қиылысатын биссектрисалары (16.15-сурет). $AOB$ бұрышын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $AOB$ үшбұрышында $A$ және $B$ төбелеріндегі бұрыштар $ABC$ үшбұрышының $A$ және $B$ бұрыштарының жартысына тең.

Шешуі. $\angle A+\angle B=180^\circ-60^\circ=120^\circ$. $AOB$ үшбұрышында: $\angle OAB+\angle OBA=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ$. $\angle AOB=180^\circ-60^\circ=120^\circ$.

Жауабы: $120^\circ$.

№ 16.31

Тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрыштары биссектрисаларының арасындағы сүйір бұрышты табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Сүйір бұрыштар $90^\circ$ береді, олардың жартылары $45^\circ$ береді. Әрі қарай 16.30-дағыдай.

Шешуі. $A$ және $B$ сүйір бұрыштарының биссектрисалары $O$ нүктесінде қиылысады. $AOB$ үшбұрышында: $\angle OAB+\angle OBA=\frac{90^\circ}{2}=45^\circ$, демек, $\angle AOB=180^\circ-45^\circ=135^\circ$. Түзулер арасындағы сүйір бұрыш $180^\circ-135^\circ=45^\circ$.

Жауабы: $45^\circ$.

№ 16.32

Үшбұрыштың екі бұрышы $54^\circ$ және $66^\circ$. Осы бұрыштардың төбелерінен түсірілген биіктіктердің арасындағы сүйір бұрышты табыңдар (16.16-сурет).

Қалай ойлаймыз. Үшінші бұрыш $C=180^\circ-54^\circ-66^\circ=60^\circ$. $AG$ және $BH$ биіктіктері қабырғаларымен бірге екі тік бұрышты төртбұрыш жасайды.

Шешуі. $CHOG$ төртбұрышында бұрыштардың қосындысы $360^\circ$: $\angle HOG=360^\circ-90^\circ-90^\circ-60^\circ=120^\circ$. Биіктіктердің арасындағы сүйір бұрыш онымен сыбайлас: $180^\circ-120^\circ=60^\circ$.

Жауабы: $60^\circ$.

№ 16.33

Тікбұрышты үшбұрыштың бір сүйір бұрышы $30^\circ$. Оның тік бұрышындағы төбесінен жүргізілген биіктігі мен биссектрисасы арасындағы бұрышты табыңдар (16.17-сурет).

Қалай ойлаймыз. Биссектриса тік бұрышты $45^\circ$-қа бөледі. Тік бұрыштан түсірілген биіктік катетпен $90^\circ-$ (сүйір бұрыш) бұрыш жасайды.

Шешуі. $\angle A=30^\circ$, $\angle B=60^\circ$ болсын. $CH$ биіктігі: $\angle ACH=90^\circ-30^\circ=60^\circ$. $CD$ биссектрисасы: $\angle ACD=45^\circ$. Олардың арасындағы бұрыш $\angle HCD=60^\circ-45^\circ=15^\circ$.

Жауабы: $15^\circ$.

№ 16.34

$ABC$ тікбұрышты үшбұрыштың $A$ сүйір бұрышы $30^\circ$-қа, $AB$ гипотенузасы $12$ см-ге тең. $BC$ катетінің гипотенузадағы проекциясын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $30^\circ$ бұрышқа қарсы жатқан катет гипотенузаның жартысына тең (16.21-есеп). $BC$ катетінің $AB$-дағы проекциясы — $B$ төбесінен $CH$ биіктігінің табанына дейінгі $BH$ кесіндісі.

Шешуі. $BC=\frac{12}{2}=6$ см. $\angle B=60^\circ$, $BCH$ тікбұрышты үшбұрышында $\angle BCH=30^\circ$, сондықтан $BH=\frac{BC}{2}=3$ см.

Жауабы: $3$ см.

Жаңа білімді меңгеруге дайындалыңдар

№ 16.35

Қандай да бір үшбұрыш салыңдар. Сызғыштың көмегімен оның қабырғаларын өлшеңдер. Үшбұрыштың әрбір қабырғасы оның қалған екі қабырғасының қосындысынан кіші және айырымынан үлкен болатыны дұрыс па?

Қалай ойлаймыз. Бұл — келесі параграфқа дайындық: өлшеулер ережені аңғартады, ал оны § 17-де дәлелдейміз.

Шешуі. Мысалы, қабырғалары $4$ см, $5$ см және $7$ см. Тексер: $7<4+5=9$ және $7>5-4=1$; $5<4+7$ және $5>7-4=3$; $4<5+7$ және $4>7-5=2$. Кез келген үшбұрышта бәрі орындалады.

Жауабы: иә, дұрыс. Дәлелдеуі — § 17-де.

Жадынама

• Теорема: үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы $180^\circ$-қа тең.
• Салдар: тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрыштарының қосындысы $90^\circ$-қа тең.
• Теорема: үшбұрыштың сыртқы бұрышы онымен сыбайлас емес екі ішкі бұрышының қосындысына тең.

Шағын тест