Өзіңді тексер! III тарау

Геометрия, 7 сынып. Оқулық: Смирнов В.А. және т.б. (Мектеп, 2025). 3 тарау: Түзулердің өзара орналасуы. 104–107-беттер.

Нені қайталаймыз

III тарауға («Түзулердің өзара орналасуы») арналған тест: A–D жауап нұсқалары бар 20 сұрақ.

• 1–8-сұрақтар. Екі параллель түзу және қиюшы: неше бұрыш шығады, қайсысы тең, ішкі тұстас бұрыштардың қосындысы (14-, 15-параграфтар).
• 9–19-сұрақтар. Үшбұрыш бұрыштарының қосындысы, тең бүйірлі және тікбұрышты үшбұрыш, сыртқы бұрыш, биіктіктер мен биссектрисалар (16-параграф).
• 20-сұрақ. Үшбұрыш теңсіздігі (17-параграф).

💡 Параллель түзулер туралы сұрақтардағы басты ереже: қиюшы түскенде 8 бұрыш шығады, олардың әрқайсысы не $\alpha$-ға, не $180^\circ-\alpha$-ға тең.

Жаттығуларды шығарамыз

№ 1

Екі параллель түзу үшінші түзумен қиылысқанда неше бұрыш пайда болады? A. 4; B. 6; C. 8; D. 12.

Қалай ойлаймыз. Әр қиылысу нүктесінде екі түзу төрт бұрыш жасайды.

Шешуі. Қиылысу нүктесі екеу, әрқайсысында төрттен бұрыш: $4+4=8$.

Жауабы: C (8).

№ 2

Екі параллель түзу үшінші түзумен қиылысқанда неше сүйір бұрыш пайда болады? A. 2; B. 4; C. 6; D. 8.

Қалай ойлаймыз. Қиюшы перпендикуляр болмаса, әр нүктеде екі сүйір және екі доғал бұрыш шығады.

Шешуі. Сүйір бұрыштар: $2+2=4$. Сегіз сүйір бұрыш болуы мүмкін емес: сүйір бұрыштың жанында оған сыбайлас доғал бұрыш тұрады.

Жауабы: B (4).

№ 3

Екі параллель түзу үшінші түзумен қиылысқанда неше доғал бұрыш пайда болады? A. 2; B. 4; C. 6; D. 16.

Қалай ойлаймыз. 2-сұрақтағыдай ойлаймыз.

Шешуі. Әр нүктеде екі доғал бұрыш бар, барлығы $4$. 16 нұсқасы мүмкін емес: бұрыштың барлығы сегіз-ақ.

Жауабы: B (4).

№ 4

Екі параллель түзу үшінші түзумен перпендикуляр болып қиылысқанда неше тік бұрыш пайда болады? A. 0; B. 2; C. 4; D. 8.

Қалай ойлаймыз. Бір бұрыш тік болса, оған сыбайлас бұрыш та тік, сөйтіп сегізі де тік болады.

Шешуі. Қиюшы екі түзуге де перпендикуляр болса, барлық $8$ бұрыш тік болады. Қиюшы көлбеу болса, тік бұрыш мүлде болмайды. Нұсқалар ішінде «болуы мүмкін» деген сұраққа мағыналы жауап — 8.

Жауабы: D (8).

№ 5

Екі параллель түзу үшінші түзумен қиылысқанда пайда болған бұрыштардың бірі $112^\circ$-қа тең. Пайда болған барлық бұрыштардың ішінен кішісін табыңдар. A. Анықтауға болмайды; B. $34^\circ$; C. $68^\circ$; D. $112^\circ$.

Қалай ойлаймыз. Сегіз бұрыштың бәрі не $112^\circ$-қа, не оған сыбайлас бұрышқа тең.

Шешуі. Сыбайлас бұрыш: $180^\circ-112^\circ=68^\circ$. Қалған бұрыштар $112^\circ$-қа немесе $68^\circ$-қа тең. Ең кішісі — $68^\circ$.

Жауабы: C ($68^\circ$).

№ 6

Екі параллель түзу үшінші түзумен қиылысқанда пайда болған үш ішкі бұрыштың қосындысы $290^\circ$-қа тең. Төртінші ішкі бұрышты табыңдар. A. $145^\circ$; B. $110^\circ$; C. $35^\circ$; D. $70^\circ$.

Қалай ойлаймыз. Ішкі бұрыш төрт. Ішкі тұстас бұрыштардың қосындысы $180^\circ$, ал ішкі айқыш бұрыштар тең.

Шешуі. Ішкі бұрыштар: $\alpha$, $180^\circ-\alpha$, $\alpha$, $180^\circ-\alpha$, олардың қосындысы $360^\circ$. Төртінші бұрыш: $360^\circ-290^\circ=70^\circ$.

Жауабы: D ($70^\circ$).

№ 7

Екі параллель түзу үшінші түзумен қиылысқанда пайда болған ішкі тұстас бұрыштардың биссектрисалары жататын түзулер бір-біріне қатысты қалай орналасады? A. Перпендикуляр; B. Параллель; C. $45^\circ$-қа бұрыш жасап қиылысады; D. $60^\circ$-қа бұрыш жасап қиылысады.

Қалай ойлаймыз. Ішкі тұстас бұрыштардың қосындысы $180^\circ$. Биссектрисалар оларды тең екіге бөледі.

Шешуі. Жарты бұрыштардың қосындысы $90^\circ$. Биссектрисалар мен қиюшы кесіндісі үшбұрыш жасайды, оның екі бұрышының қосындысы $90^\circ$. Үшінші бұрыш $90^\circ$, демек, биссектрисалар перпендикуляр.

Жауабы: A (перпендикуляр).

№ 8

Екі параллель түзу үшінші түзумен қиылысқанда пайда болған ішкі айқыш бұрыштардың биссектрисалары жататын түзулер бір-біріне қатысты қалай орналасады? A. Перпендикуляр; B. Параллель; C. $45^\circ$ бұрыш жасап қиылысады; D. $60^\circ$ бұрыш жасап қиылысады.

Қалай ойлаймыз. Ішкі айқыш бұрыштар тең, демек, олардың жартылары да тең.

Шешуі. Биссектрисалар қиюшымен тең ішкі айқыш бұрыштар жасайды. Түзулердің параллельдік белгісі бойынша олар параллель.

Жауабы: B (параллель).

№ 9

Үшбұрыштың бұрыштарының қатынасы $2:3:4$. Осы бұрыштарды табыңдар. A. $20^\circ,30^\circ,40^\circ$; B. $40^\circ,60^\circ,80^\circ$; C. $36^\circ,54^\circ,90^\circ$; D. $18^\circ,27^\circ,36^\circ$.

Қалай ойлаймыз. Үш бөліктің қосындысы $180^\circ$.

Шешуі. $2k+3k+4k=180$, $9k=180$, $k=20$. Бұрыштар: $40^\circ$, $60^\circ$, $80^\circ$.

Жауабы: B.

№ 10

Үшбұрыштың бұрыштарының қатынасы $1:2:3$. Осы үшбұрыштың түрін анықтаңдар. A. Теңбүйірлі; B. Сүйір бұрышты; C. Тікбұрышты; D. Доғал бұрышты.

Қалай ойлаймыз. Алдымен бұрыштарды табамыз.

Шешуі. $6k=180$, $k=30$: бұрыштар $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$. Тік бұрыш бар.

Жауабы: C (тікбұрышты).

№ 11

Бір бұрышы басқа екі бұрышының қосындысынан үлкен болатын үшбұрыштың түрін анықтаңдар. A. Теңбүйірлі; B. Сүйір бұрышты; C. Тікбұрышты; D. Доғал бұрышты.

Қалай ойлаймыз. $C>A+B$ болсын. Үшбұрыштың барлық бұрыштарының қосындысы $180^\circ$.

Шешуі. $A+B=180^\circ-C$, сонда $C>180^\circ-C$, $2C>180^\circ$, $C>90^\circ$. Бұрыш доғал.

Жауабы: D (доғал бұрышты).

№ 12

Тікбұрышты үшбұрыштың екі сүйір бұрышының қатынасы $1:2$. Оның үлкен сүйір бұрышын табыңдар. A. $40^\circ$; B. $50^\circ$; C. $60^\circ$; D. $80^\circ$.

Қалай ойлаймыз. Сүйір бұрыштардың қосындысы $90^\circ$.

Шешуі. $k+2k=90$, $k=30$. Үлкені — $60^\circ$.

Жауабы: C ($60^\circ$).

№ 13

$ABC$ үшбұрышында $A$ бұрышы $50^\circ$, $AC=BC$. $C$ бұрышын табыңдар. A. $40^\circ$; B. $50^\circ$; C. $60^\circ$; D. $80^\circ$.

Қалай ойлаймыз. $AC=BC$, табаны $AB$, демек, $\angle B=\angle A$.

Шешуі. $\angle C=180^\circ-50^\circ-50^\circ=80^\circ$.

Жауабы: D ($80^\circ$).

№ 14

$ABC$ үшбұрышында $C$ бұрышы $100^\circ$, $AC=BC$. $A$ бұрышын табыңдар. A. $40^\circ$; B. $50^\circ$; C. $60^\circ$; D. $80^\circ$.

Қалай ойлаймыз. Тағы да табаны $AB$, $A$ және $B$ бұрыштары тең.

Шешуі. $\angle A=(180^\circ-100^\circ):2=40^\circ$.

Жауабы: A ($40^\circ$).

№ 15

Теңбүйірлі үшбұрыштың бір бұрышы $90^\circ$. Оның басқа екі бұрышын табыңдар. A. $30^\circ$; B. $45^\circ$; C. $60^\circ$; D. $90^\circ$.

Қалай ойлаймыз. Тік бұрыш табанындағы бұрыш бола алмайды, демек, ол төбесіндегі бұрыш.

Шешуі. $(180^\circ-90^\circ):2=45^\circ$ — әрқайсысы.

Жауабы: B ($45^\circ$).

№ 16

Теңбүйірлі үшбұрыштың табанындағы бұрышы $70^\circ$. Оның бүйір қабырғасына жүргізілген биіктігі мен екінші бүйір қабырғасы арасындағы бұрышты табыңдар. A. $20^\circ$; B. $50^\circ$; C. $70^\circ$; D. $110^\circ$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен төбесіндегі бұрышты табамыз, содан кейін биіктік жасайтын тікбұрышты үшбұрышты қараймыз.

Шешуі. $AB=BC$ болсын, $A=C=70^\circ$, төбесіндегі $B$ бұрышы: $180^\circ-140^\circ=40^\circ$. $AH$ биіктігі $BC$ бүйір қабырғасына жүргізілген. $ABH$ тікбұрышты үшбұрышында $B=40^\circ$, демек, $AH$ биіктігі мен $AB$ бүйір қабырғасы арасындағы бұрыш $90^\circ-40^\circ=50^\circ$.

Жауабы: B ($50^\circ$).

№ 17

Дұрыс үшбұрыштың екі биссектрисасы арасындағы бұрышты табыңдар. A. $30^\circ$; B. $45^\circ$; C. $60^\circ$; D. $90^\circ$.

Қалай ойлаймыз. Бұрыштар $60^\circ$-тан, биссектрисалар оларды $30^\circ$-тан екіге бөледі.

Шешуі. $AOB$ үшбұрышында екі бұрыш $30^\circ$-тан, демек, $\angle AOB=120^\circ$. Оған сыбайлас бұрыш, яғни түзулер арасындағы бұрыш: $180^\circ-120^\circ=60^\circ$. Нұсқалардан $60^\circ$ сәйкес келеді (биссектрисалар арасындағы сүйір бұрыш).

Жауабы: C ($60^\circ$).

№ 18

Үшбұрыштың екі бұрышы $40^\circ$ және $60^\circ$. Осы бұрыштардың төбелерінен жүргізілген биіктіктердің арасындағы сүйір бұрышты табыңдар. A. $20^\circ$; B. $40^\circ$; C. $80^\circ$; D. $100^\circ$.

Қалай ойлаймыз. 16.32-есептегідей: биіктіктер арасындағы сүйір бұрыш үшінші бұрышқа тең, егер ол сүйір болса.

Шешуі. Үшінші бұрыш: $180^\circ-40^\circ-60^\circ=80^\circ$. Екі биіктік пен екі қабырғадан құралған төртбұрышта екі тік бұрыш және $80^\circ$-тық бұрыш бар, демек, биіктіктердің қиылысқан жеріндегі бұрыш $360^\circ-90^\circ-90^\circ-80^\circ=100^\circ$. Сүйірі: $180^\circ-100^\circ=80^\circ$.

Жауабы: C ($80^\circ$).

№ 19

Тікбұрышты үшбұрыштың бір сүйір бұрышы $40^\circ$. Үшбұрыштың тік бұрышының төбесінен жүргізілген биіктігі мен биссектрисасы арасындағы бұрышты табыңдар. A. $5^\circ$; B. $10^\circ$; C. $15^\circ$; D. $20^\circ$.

Қалай ойлаймыз. 16.33-есептегідей: биіктік катетпен $90^\circ-{}$сүйір бұрыш жасайды, биссектриса — $45^\circ$.

Шешуі. $\angle A=40^\circ$ болсын. $CH$ биіктігі: $\angle ACH=90^\circ-40^\circ=50^\circ$. $CD$ биссектрисасы: $\angle ACD=45^\circ$. Олардың арасындағы бұрыш $50^\circ-45^\circ=5^\circ$.

Жауабы: A ($5^\circ$).

№ 20

Теңбүйірлі үшбұрыштың екі қабырғасы $10$ см және $5$ см. Оның үшінші қабырғасын табыңдар. A. $5$ см; B. $10$ см; C. $15$ см; D. $20$ см.

Қалай ойлаймыз. Үшінші қабырға $5$-ке немесе $10$-ға тең. Үшбұрыш теңсіздігімен тексереміз.

Шешуі. $5$ болса: $5,5,10$, бірақ $5+5=10$, жарамайды. $10$ болса: $10,10,5$, жарайды.

Жауабы: B ($10$ см).

Жадынама

• Теңбүйірлі үшбұрыштың бұрыштары: табанындағы бұрыштары тең, доғал бұрыш тек төбесінде болады.
• Тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрыштарының қосындысы $90^\circ$.
• Ішкі айқыш бұрыштардың биссектрисалары параллель, ішкі тұстас бұрыштардыкі перпендикуляр.
• Үш кесінді үшбұрыштың қабырғалары бола алады, егер ең ұзыны қалған екеуінің қосындысынан кіші болса ғана.

Шағын тест