§ 22. Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер. Үшбұрышқа іштей сызылған шеңбер

Геометрия, 7 сынып. Оқулық: Смирнов В.А. және т.б. (Мектеп, 2025). 4 тарау: Шеңбер. Геометриялық салулар. 130–135-беттер.

Нені үйренесің

• «Сырттай сызылған» және «іштей сызылған» шеңбер деген не екенін және олардың айырмашылығын түсінуді.
• Сырттай сызылған шеңбердің центрін табуды: бұл — орта перпендикулярлардың қиылысу нүктесі.
• Іштей сызылған шеңбердің центрін табуды: бұл — биссектрисалардың қиылысу нүктесі.
• Мұндай шеңберлердің кез келген үшбұрышта болатынын дәлелдеуді.
• Радиустарға және центрлердің орналасуына қарай үшбұрыштың түрін анықтау есептерін шығаруды.

Ой қозғау

• Кесіндінің орта перпендикуляры деген не? Кесіндінің ортасы арқылы тік бұрышпен өтетін түзу. Оның барлық нүктелері кесіндінің ұштарынан бірдей қашықтықта жатады.
• Бұрыштың биссектрисасы деген не? Бұрышты қақ бөлетін сәуле. Оның барлық нүктелері бұрыштың қабырғаларынан бірдей қашықтықта жатады.
• Шеңберге жүргізілген жанама деген не? Шеңбермен дәл бір ортақ нүктесі бар түзу.
• Жанасу нүктесіне жүргізілген радиус қалай орналасады? Ол жанамаға перпендикуляр.
• Хорда деген не? Шеңбердің екі нүктесін қосатын кесінді.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Осы параграфтың алдындағы 21.18–21.19 жаттығуларында бала шеңбер мен үшбұрышты «ішке» және «сыртқа» сызады. Екі суретті көрсетуін сұраңыз: бүгінгі тақырып дәл осы.

Тақырыпты талдаймыз

Үшбұрышты қоршаған білезік

Киіз үйдің шаңырағын елестет: дөңгелек ернеуде үш нүкте белгіле. Осы үш нүктені қоссаң, үшбұрыш шығады, ал ернеудің өзі — оны сырттай қоршаған шеңбер. Егер үшбұрыштың барлық төбелері шеңбердің бойында жатса, шеңбер үшбұрышқа сырттай сызылған деп, ал үшбұрыш шеңберге іштей салынған деп аталады. Үшбұрыштың төбелері шеңбердің бойында жатады.

📌 Шеңбер үшбұрышқа сырттай сызылған, егер үш төбенің үшеуі де оның бойында жатса.

💡 Мұны кез келген үшбұрышпен жасауға бола ма? Болады екен. Ал мұндай білезіктің центрін табу өте оңай.

Теорема: сырттай сызылған шеңбердің центрі

📌 Теорема. Кез келген үшбұрышқа сырттай шеңбер сызуға болады. Оның центрі — үшбұрыштың қабырғаларына түсірілген орта перпендикулярлардың қиылысу нүктесі.

Қадамдап дәлелдейік. Бізге бір қасиет керек: орта перпендикулярдың әрбір нүктесі кесіндінің ұштарынан бірдей қашықтықта жатады.

Енді $b$ және $c$ түзулерінің неге қиылысатыны қалды. Кері жору әдісімен дәлелдейік. Олар параллель делік. $AB$ түзуі $c$-ға перпендикуляр, ал $AC$ түзуі $b$-ға перпендикуляр, яғни оған параллель $c$-ға да перпендикуляр. Сонда $A$ нүктесінен $c$ түзуіне екі перпендикуляр жүргізілген: $AB$ және $AC$. Ал нүктеден түзуге жүргізілген перпендикуляр жалғыз, демек, $AB$ мен $AC$ беттеседі. Бірақ бұл — үшбұрыштың қабырғалары, олар қиылысады. Қайшылық шықты, сондықтан $b$ және $c$ қиылысады.

⚠️ Жиі кететін қате. Сырттай сызылған шеңбердің центрі әрдайым үшбұрыштың ішінде бола бермейді. Сүйір бұрышты үшбұрышта ол ішінде, тікбұрышты үшбұрышта гипотенузаның ортасында, доғал бұрышты үшбұрышта сыртында жатады.

Үшбұрыштың ішіндегі доп

Енді керісінше: шеңбер ішке жасырынып, үш қабырғаны да жанайды. Бұл — іштей сызылған шеңбер, ал үшбұрыш онда шеңберге сырттай сызылған деп аталады.

📌 Шеңбер үшбұрышқа іштей сызылған, егер үш қабырғаның үшеуі де оны жанаса.

Теорема: іштей сызылған шеңбердің центрі

📌 Теорема. Кез келген үшбұрышқа іштей шеңбер сызуға болады. Оның центрі — үшбұрыштың биссектрисаларының қиылысу нүктесі.

💡 Жұпты есіңде сақта: сырттай сызылған — «орта перпендикулярлар», центрі кез келген жерде болуы мүмкін; іштей сызылған — «биссектрисалар», центрі әрдайым ішінде.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Қандай шеңбер үшбұрышқа сырттай сызылған деп аталады? Үш төбесінің үшеуі де бойында жататын шеңбер.
• Қандай үшбұрыш шеңберге іштей салынған деп аталады? Барлық төбелері шеңбердің бойында жататын үшбұрыш.
• Қандай шеңбер үшбұрышқа іштей сызылған деп аталады? Үш қабырғасының үшеуі де жанайтын шеңбер.
• Қандай үшбұрыш шеңберге сырттай сызылған деп аталады? Барлық қабырғалары шеңберді жанайтын үшбұрыш.
• Қандай нүкте үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің центрі болады? Үшбұрыш қабырғаларына түсірілген орта перпендикулярлардың қиылысу нүктесі.
• Қандай нүкте үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің центрі болады? Биссектрисалардың қиылысу нүктесі.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 22.1

Үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің центрі осы үшбұрыштан тыс жатуы мүмкін бе?

Қалай ойлаймыз. Іштей сызылған шеңбердің центрі нені бойлай жататынын есіңе түсір.

Шешуі. Іштей сызылған шеңбердің центрі үшбұрыштың биссектрисаларының қиылысуында жатады. Әр биссектриса төбеден үшбұрыштың ішімен қарсы қабырғаға дейін өтеді. Демек, олардың ортақ нүктесі үшбұрыштың ішінде.

Жауабы: жоқ, мүмкін емес.

№ 22.2

Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің центрі: а) үшбұрыштың ішінде; ә) үшбұрыштың қабырғасында; б) үшбұрыштан тыс жатуы мүмкін бе? Мысал келтіріңдер.

Қалай ойлаймыз. Сырттай сызылған шеңбердің центрі — орта перпендикулярлардың қиылысуы, ал оның орны үшбұрыштың түріне байланысты.

Шешуі.

• а) Иә, сүйір бұрышты үшбұрышта. Мысал: теңқабырғалы үшбұрыш, центрі оның ортасында.
• ә) Иә, тікбұрышты үшбұрышта центр гипотенузаның (қабырғаның) ортасында жатады. Мысал: қабырғалары 3, 4, 5 болатын үшбұрыш.
• б) Иә, доғал бұрышты үшбұрышта центр сыртта болады. Мысал: $A(0;0)$, $B(8;0)$, $C(4;2)$ үшбұрышы, $C$ бұрышы доғал (22.3 жаттығуындағы б) қара).

Жауабы: а), ә), б) иә.

B деңгейі

№ 22.3

22.6-суретте кескінделген үшбұрыштарға сырттай сызылған шеңберлердің центрлерін салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Торкөзде орта перпендикулярларды салу ыңғайлы: қабырға тор көз бойымен өтеді, демек, оның ортасы тор сызығында жатады. Екі перпендикуляр жеткілікті, үшіншісі тексеру үшін керек.

Шешуі. Оқулық суретінде үшбұрыштар шамамен мынадай (координаттар сурет бойынша тор көзбен анықталған).

1. Бір қабырғаның орта перпендикулярын сал: оның ортасын тауып, ол арқылы тік бұрышпен түзу жүргіз.
2. Басқа қабырғаның орта перпендикулярын сал.
3. Қиылысу нүктесі — $O$ центрі.

• а) $A(0;0)$, $B(6;0)$, $C(3;3)$: $C$ бұрышы тік, центр $AB$ ортасында, яғни $O(3;0)$.
• ә) $A(0;0)$, $B(6;0)$, $C(2;4)$: үшбұрыш сүйір бұрышты, центр ішінде, $O(3;1)$.
• б) $A(0;0)$, $B(8;0)$, $C(4;2)$: доғал бұрышты, центр сыртта, $AB$ қабырғасының астында, $O(4;-3)$.

Жауабы: а) $AB$ гипотенузасының ортасы; ә) үшбұрыштың ішіндегі нүкте; б) үшбұрыштан тыс нүкте, $AB$-ның $C$ төбесі жоқ жағында.

№ 22.4

22.7-суретте кескінделген үшбұрыштарға іштей сызылған шеңберлердің центрін салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Іштей сызылған шеңбердің центрі — биссектрисалардың қиылысуы. Екеуі жеткілікті, үшіншісі тексеру үшін.

Шешуі. Әр $ABC$ үшбұрышы үшін бірдей іс істе.

1. $A$ бұрышының биссектрисасын сал: циркульмен қабырғаларда төбеден тең кесінділер белгіле, олардың ұштарынан бір радиуспен екі доға жүргіз де, олардың қиылысу нүктесі арқылы $A$-дан сәуле жүргіз.
2. $B$ бұрышының биссектрисасын да солай сал.
3. Биссектрисалардың қиылысу нүктесі — іштей сызылған шеңбердің $O$ центрі. $O$-дан кез келген қабырғаға дейінгі қашықтық (перпендикуляр) — $r$ радиусы.
4. Тексер: центрі $O$ және радиусы $r$ шеңбер үш қабырғаны да жанайды.

Жауабы: үш жағдайда да іштей сызылған шеңбердің центрі — биссектрисалардың қиылысу нүктесі, ол үшбұрыштың ішінде жатады.

№ 22.5

22.8-суретте кескінделген үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің радиусын табыңдар (торкөздің қабырғасы 1-ге тең).

Қалай ойлаймыз. Егер үшбұрыш тікбұрышты болса, сырттай сызылған шеңбердің центрі — гипотенузаның ортасы, ал радиус — оның жартысы.

Шешуі. Сурет бойынша:

• а) $A(0;0)$, $B(4;0)$, $C(2;2)$: $AC^2=BC^2=8$, $AB^2=16=8+8$, $C$ бұрышы тік, гипотенуза $AB=4$, $R=2$.
• ә) $A(0;0)$, $C(0;6)$, $B(3;3)$: $AB^2=CB^2=18$, $AC^2=36=18+18$, $B$ бұрышы тік, гипотенуза $AC=6$, $R=3$.
• б) $C(0;4)$, $B(8;4)$, $A(4;0)$: $AC^2=AB^2=32$, $CB^2=64=32+32$, $A$ бұрышы тік, гипотенуза $CB=8$, $R=4$.

Жауабы: а) 2; ә) 3; б) 4.

№ 22.6

Тікбұрышты теңбүйірлі үшбұрыштың төбелерінде орналасқан $A$, $B$ және $C$ үш үйдің тұрғындары әр үйден бірдей қашықтықта болатын құдық қазбақшы (22.9-сурет). Олар құдықты қай жерден қазуы керек?

Қалай ойлаймыз. «Үш нүктеден бірдей қашықтықта» дегеніміз — сырттай сызылған шеңбердің центрі.

Шешуі. Құдық $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрінде болуы керек. Үшбұрыш тікбұрышты, сондықтан центр гипотенузаның ортасында жатады. Суретте $A$ және $B$ үйлері гипотенузаның ұштарында, ал $C$ үйі тік бұрыштың төбесінде тұр. Гипотенузаның ортасы үш үйдің үшеуінен де бірдей қашықтықта: $OA=OB=OC$.

Жауабы: $A$ және $B$ үйлерінің ортасында (гипотенузаның ортасында).

C деңгейі

№ 22.7

Теңбүйірлі үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің центрі осы үшбұрыштың табанына қарсы жатқан төбесінен түсірілген биіктікке тиісті екенін дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Центр биссектрисаларда жатыр. Теңбүйірлі үшбұрышта төбеден жүргізілген биссектриса бір мезгілде биіктік те болады.

Шешуі.

1. Берілгені: $AB=AC$, $AH$ — $BC$ табанына түсірілген биіктік, $O$ — іштей сызылған шеңбердің центрі. Дәлелдеу керек: $O\in AH$.
2. Теңбүйірлі үшбұрышта $A$ төбесіндегі бұрыштың биссектрисасы медиана да, биіктік те болады, сондықтан ол $AH$-пен беттеседі.
3. Іштей сызылған шеңбердің центрі әр биссектрисада, соның ішінде $A$ бұрышының биссектрисасында да жатады.
4. Демек, $O$ нүктесі $AH$-та жатады. $\blacksquare$

Жауабы: дәлелденді.

№ 22.8

Теңбүйірлі үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің центрі осы үшбұрыштың табанына қарсы жатқан бұрыштың биссектрисасына тиісті екенін дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Центр табанның орта перпендикулярында жатыр. Оның биссектрисамен беттесетінін көрсетейік.

Шешуі.

1. Берілгені: $AB=AC$, $O$ — сырттай сызылған шеңбердің центрі. Дәлелдеу керек: $O$ нүктесі $A$ бұрышының биссектрисасында жатады.
2. $O$ центрі $BC$ табанының $m$ орта перпендикулярында жатады.
3. $A$ төбесі де $m$ түзуінде жатады: $AB=AC$ болғандықтан, ол $B$ және $C$-дан бірдей қашықтықта.
4. Демек, $m$ түзуі $A$ арқылы өтеді және теңбүйірлі үшбұрыштың биіктігі де, медианасы да болады. Ал табанға жүргізілген медиана мен биіктік — бұл $A$ бұрышының биссектрисасы да.
5. Сонымен, $O$ нүктесі $A$ бұрышының биссектрисасында жатады. $\blacksquare$

Жауабы: дәлелденді.

№ 22.9

Егер үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің центрі үшбұрыштың бір медианасына тиісті болса, онда үшбұрыштың түрін анықтаңдар.

Қалай ойлаймыз. $O$ центрі қабырғаның орта перпендикулярында жатады, ал сол қабырғаға жүргізілген медиана да оның ортасы арқылы өтеді. Екі түзуді салыстыр.

Шешуі. $O$ нүктесі $AM$ медианасында жатсын ($M$ — $BC$-ның ортасы).

1. Егер $O\ne M$ болса, онда $BC$-ның орта перпендикуляры мен $AM$ түзуі екі ортақ нүкте $M$ және $O$ арқылы өтеді, демек, беттеседі. Сонда $AM\perp BC$, медиана биіктік те болады, ал мұндай үшбұрыш теңбүйірлі: $AB=AC$.
2. Егер $O=M$ болса, центр $BC$ қабырғасының ортасында жатады, ал үшбұрыш тікбұрышты ($A$ бұрышы тік).

Оқулық жауабындағы «теңбүйірлі» бірінші жағдайға қатысты.

📕 Оқулықтың жауаптарында «теңбүйірлі» деп ғана басылған, бірақ дұрысы «теңбүйірлі немесе тікбұрышты»: тікбұрышты үшбұрышта сырттай сызылған шеңбердің центрі гипотенузаның ортасында, яғни гипотенузаға жүргізілген медианада жатады, ал мұндай үшбұрыш міндетті түрде теңбүйірлі емес (мысалы, қабырғалары 3, 4, 5).

Жауабы: теңбүйірлі (центр қабырғаның өзінде жатпайтын жағдайда); егер центр қабырғаның ортасымен беттессе, онда тікбұрышты.

№ 22.10

Егер үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің центрі үшбұрыштың бір биіктігіне тиісті болса, онда үшбұрыштың түрін анықтаңдар.

Қалай ойлаймыз. Центр биссектрисаларда жатады. Егер ол сол төбеден шығатын биіктікте де жатса, биіктік пен биссектриса беттеседі.

Шешуі. $I$ центрі $AH$ биіктігінде жатсын. $A$ бұрышының биссектрисасы да $A$ және $I$ арқылы өтеді, демек, ол $AH$-пен беттеседі, өйткені екі нүкте арқылы дәл бір түзу өтеді ($I\ne A$). Егер биссектриса биіктік болса, онда үшбұрыш теңбүйірлі: $AB=AC$ ($\triangle ABH$ және $\triangle ACH$ үшбұрыштарында $AH$ қабырғасы ортақ, $A$ төбесіндегі бұрыштар тең және $H$ төбесіндегі бұрыштар тік, демек, олар қабырғасы мен екі бұрышы бойынша тең).

Жауабы: теңбүйірлі.

№ 22.11

Егер үшбұрышқа іштей және сырттай сызылған шеңберлердің центрлері беттессе, онда үшбұрыштың түрін анықтаңдар.

Қалай ойлаймыз. Бұл ортақ нүкте биссектрисаларда да, орта перпендикулярларда да жатады.

Шешуі. Ортақ центр $O$ болсын. Ол іштей сызылған шеңбердің центрі, сондықтан үшбұрыштың ішінде және $A$ бұрышының биссектрисасында жатады. Сырттай сызылған шеңбердің центрі ретінде ол $BC$-ның орта перпендикулярында жатады. $O$ нүктесі $BC$-да жатпайды (ол ішінде), сондықтан 22.9-жаттығудағыдай, $A$ бұрышының биссектрисасы орта перпендикулярмен беттеседі және $AB=AC$. $B$ төбесі үшін де солай $BA=BC$ шығады. Демек, $AB=BC=AC$.

Жауабы: теңқабырғалы.

№ 22.12

Теңбүйірлі үшбұрышқа іштей сызылған шеңбер оның бір бүйір қабырғасын жанасу нүктесінде табанынан бастап санағанда ұзындықтары 5 см және 4 см болатын екі кесіндіге бөледі. Үшбұрыштың периметрін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бір нүктеден шеңберге жүргізілген жанамалардың кесінділері тең. Әр төбеден екі тең кесінді шығады.

Шешуі. $AB=AC$ — бүйір қабырғалар, $BC$ — табан, $AB$-дағы жанасу нүктесі оны 5 см ($B$ табан жанындағы төбеден) және 4 см ($A$ төбесінен) кесінділерге бөледі.

1. $B$ төбесінен шеңберге екі жанама кесіндісі 5 см-ден шығады: бірі $AB$ бойымен, екіншісі $BC$ табаны бойымен. Табандағы жанасу нүктесі $B$-дан 5 қашықтықта. Үшбұрыш теңбүйірлі болғандықтан, $C$-дан да оған дейін 5 см. Табан $=5+5=10$ см.
2. $A$ төбесінен екі жанама кесіндісі 4 см-ден, демек, бүйір қабырға $AB=5+4=9$ см және $AC=9$ см.
3. Периметр $=9+9+10=28$ см.

Жауабы: 28 см.

№ 22.13

Гипотенузасы 10 см болатын тікбұрышты теңбүйірлі үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің радиусын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Тікбұрышты үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің центрі — гипотенузаның ортасы.

Шешуі. Радиус гипотенузаның жартысына тең: $R=10:2=5$ см. (Мұнда теңбүйірлілік қажет емес.)

Жауабы: 5 см.

№ 22.14

Бүйір қабырғалары 4 см, олардың арасындағы бұрыш $120^\circ$ болатын теңбүйірлі үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің радиусын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Егер $B$ төбесіндегі бұрыш $120^\circ$, ал бүйір қабырғалар 4-тен болса, онда шеңбердің центрі — ромбтың төртінші төбесі.

Шешуі. $AB=BC=4$, $\angle B=120^\circ$ болсын. Табандағы бұрыштар $(180^\circ-120^\circ):2=30^\circ$-тан тең. Қабырғасы 4 болатын $ABCO$ ромбын толықтырайық. Сонда $OA=OC=4$, ал $OB$ — $A$ (және $C$) төбесіндегі сүйір бұрышы $60^\circ$ болатын ромбтың кіші диагоналі, сондықтан $\triangle ABO$ теңқабырғалы және $OB=4$. Демек, $OA=OB=OC=4$, $O$ — сырттай сызылған шеңбердің центрі, $R=4$ см.

Жауабы: 4 см.

№ 22.15

Қабырғалары 3 см, 4 см, 5 см болатын тікбұрышты үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Радиус — центрден қабырғаларға дейінгі қашықтық. Ауданды $O$ төбесі ортақ, биіктігі $r$ болатын үш үшбұрыштың аудандарынан құрауға болады.

Шешуі. Тікбұрышты үшбұрыштың ауданы $S=\frac12\cdot3\cdot4=6$ см². Екінші жағынан, $S=\frac12 r(3+4+5)=6r$. Осыдан $6r=6$, $r=1$ см. Торкөз бойынша тексеру: центр $(1;1)$, катеттерге дейінгі қашықтық 1-ге тең.

Жауабы: 1 см.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 22.16

$AB$ кесіндісін салыңдар. Центрі $A$ нүктесі және радиусы $AB$ болатын шеңберді кескіндеңдер. Центрі $B$ нүктесі және радиусы $BA$ болатын шеңберді кескіндеңдер. Осы шеңберлердің қиылысу нүктелері арқылы түзу жүргізіңдер. Осы түзу туралы не айтуға болады?

Қалай ойлаймыз. Екі қиылысу нүктесі де $A$ мен $B$-дан бірдей қашықтықта, ал мұндай нүктелер — орта перпендикуляр.

Шешуі. Шеңберлер $C$ және $D$ нүктелерінде қиылыссын. Сонда $AC=BC=AB$ және $AD=BD=AB$. Демек, $C$ және $D$ нүктелері $AB$ кесіндісінің ұштарынан бірдей қашықтықта, ал осындай барлық нүктелер орта перпендикулярда жатады. Екі нүкте арқылы жалғыз түзу өтеді, сондықтан $CD$ — $AB$-ның орта перпендикуляры: ол $AB$-ны қақ бөледі және оған перпендикуляр.

Жауабы: бұл — $AB$ кесіндісінің орта перпендикуляры.

💡 Бұл тапсырма — 23-параграфтың алдындағы жаттығу: орта перпендикулярды циркульмен дәл осылай салады.

Жадынама

• Сырттай сызылған шеңбер: төбелер шеңбердің бойында. $O$ центрі — орта перпендикулярлардың қиылысуы, $OA=OB=OC=R$.
• Іштей сызылған шеңбер: қабырғалар шеңберді жанайды. $O$ центрі — биссектрисалардың қиылысуы, қабырғаларға дейінгі қашықтықтар $r$-ге тең.
• Теоремалар: кез келген үшбұрышқа сырттай шеңбер сызуға болады; кез келген үшбұрышқа іштей шеңбер сызуға болады.
• Сырттай сызылған шеңбер центрінің орны: ішінде (сүйір бұрышты), гипотенузада (тікбұрышты), сыртында (доғал бұрышты).
• Іштей сызылған шеңбердің радиусы: $r=\frac{2S}{P}$; тікбұрышты үшбұрышта $r=\frac{a+b-c}{2}$.

Шағын тест