§ 21. Нүктелердің геометриялық орны

Геометрия, 7 сынып. Оқулық: Смирнов В.А. және т.б. (Мектеп, 2025). 4 тарау: Шеңбер. Геометриялық салулар. 125–130-беттер.

Нені үйренесің

• Нүктелердің геометриялық орны (НГО) деген не екенін түсіндіруді.
• Екі нүктеден және бұрыштың қабырғаларынан бірдей қашықтықта жатқан нүктелер қандай фигураны құрайтынын білуді.
• Орта перпендикуляр мен биссектриса туралы екі теореманы дәлелдеуді.
• Торкөз қағазда және жерде НГО-ны іздеп, сызуды.
• Үш нүктеден немесе үш түзуден бірдей қашықтықта жатқан нүктені табуды.

Ой қозғау

• Шеңбер дегеніміз не? Центрден бірдей қашықтықта (радиус) жатқан жазықтықтың барлық нүктелері.
• Орта перпендикуляр деген не? Әзірге білмейсің бе? Есіңде сақта: бұл — кесіндіге перпендикуляр және оның ортасы арқылы өтетін түзу. Бүгін ол басты кейіпкер болады.
• Бұрыштың биссектрисасы деген не? Бұрыштың төбесінен шығып, оны қақ бөлетін сәуле.
• Екі қабырғасы тең үшбұрыш қалай аталады және оның қандай ерекшелігі бар? Теңбүйірлі үшбұрыш. Табанына жүргізілген медиана бір мезгілде биіктік те болады.

Тақырыпты талдаймыз

НГО деген не

Футбол алаңын елестет. «Орталық шеңберден 5 метр қашықтықта тұр» десе, дәл қай жерде тұратыныңды түсінбейсің. Ал «осындай барлық нүктелерді ал» деп қоссақ, тұтас сызық шығады: шеңбер. Фигураларды дәл осылай береміз: нүктелер қанағаттандыруға тиіс қасиетті атаймыз.

📌 Нүктелердің геометриялық орны (НГО) — берілген қасиетті қанағаттандыратын жазықтықтың барлық нүктелерінен және тек солардан тұратын фигура.

Бұл екі нәрсені білдіреді:

1. Фигураның әрбір нүктесі қасиетті қанағаттандырады.
2. Осы қасиеті бар әрбір нүкте фигураға тиісті.

Бірінші мысал бізге таныс: шеңбер — берілген нүктеден берілген қашықтықта жатқан нүктелердің геометриялық орны.

💡 Фигура НГО болатынын дәлелдегенде әрдайым екі бағытты тексереді: «фигурадан қасиет шығады» және «қасиеттен фигура шығады». Төмендегі екі теорема дәл осылай құрылған.

Орта перпендикуляр: екі нүктеден бір түзуге

$O$ ортасы бар $AB$ кесіндісін алайық. Орта перпендикуляр — $O$ нүктесі арқылы $AB$-ға перпендикуляр өтетін $c$ түзуі.

📌 1-теорема. Кесіндінің орта перпендикуляры осы кесіндінің ұштарынан бірдей қашықтықтағы нүктелердің геометриялық орны болады.

🌟 Орта перпендикуляр өмірде де қолданылады. Екі үйден бірдей қашықтықта бағана орнату үшін жоспардан осы түзуді табу жеткілікті.

Биссектриса: бұрыштың қабырғаларынан бірдей қашықтықта

📌 2-теорема. Бұрыштың биссектрисасы осы бұрыштың ішінде және оның қабырғаларынан бірдей қашықтықта жатқан нүктелердің геометриялық орны болады.

Нүктеден бұрыштың қабырғасына дейінгі қашықтық — нүктеден сол қабырғаға түсірілген перпендикулярдың ұзындығы.

⚠️ Жиі кететін қате. Биссектриса туралы теоремада «бұрыштың ішінде» деген сөз маңызды. Егер екі түзуден бірдей қашықтықта жатқан нүктелерді іздесек, бір биссектриса емес, екі перпендикуляр түзу шығады (төрт бұрыштың биссектрисалары).

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан қағазды бір нүкте екінші нүктемен беттесетіндей етіп бүктетуді сұраңыз: бүгілген сызық орта перпендикуляр болады. Ал бұрышты «қабырғасын қабырғасына» қойып бүксе, бүгілген сызық биссектриса болады.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Нүктелердің геометриялық орны деп нені атайды? Берілген қасиеті бар жазықтықтың барлық нүктелерінен (және тек солардан) тұратын фигураны.
• Шеңберді НГО арқылы қалай анықтайды? Шеңбер — берілген нүктеден (центрден) берілген қашықтықта (радиуста) жатқан жазықтық нүктелерінің геометриялық орны.
• Қандай түзуді кесіндінің орта перпендикуляры деп атайды? Кесіндіге перпендикуляр және оның ортасы арқылы өтетін түзуді.
• Орта перпендикуляр мен биссектриса қандай НГО болады? Орта перпендикуляр — кесіндінің ұштарынан бірдей қашықтықтағы нүктелердің НГО-ы. Биссектриса — бұрыштың қабырғаларынан бірдей қашықтықта жатқан ішкі нүктелердің НГО-ы.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 21.1

а) Кесінді; ә) сәуле; б) центрі $O$ және радиусы $R$ болатын дөңгелек; в) центрі $O$ және радиустары $R_1$, $R_2$ ($R_1 < R_2$) болатын сақина қандай нүктелердің геометриялық орны болады?

Қалай ойлаймыз. Әр фигура үшін нүктенің дәл сол фигураны беретін «қасиетін» ойлап тап.

Шешуі.

1. а) $AB$ кесіндісі — $AB$ түзуінің $A$ мен $B$ арасындағы (ұштарын қоса) барлық $X$ нүктелері. Яғни $AX + XB = AB$.
2. ә) Басы $O$ болатын сәуле — түзудің $O$ нүктесінен бір жағында жатқан барлық нүктелері ($O$-ның өзін қоса).
3. б) Дөңгелек — $O$-дан $R$-дан артық емес қашықтықта жатқан жазықтықтың барлық нүктелері: $OX \le R$.
4. в) Сақина — $R_1 \le OX \le R_2$ болатын барлық нүктелер.

Жауабы: а) түзудің кесінді ұштарының арасындағы нүктелері (ұштарын қоса); ә) түзудің сәуленің басынан бір жағындағы нүктелері, басын қоса; б) $O$-дан $R$-дан артық емес қашықтықтағы нүктелер; в) $O$-дан $R_1$-ден $R_2$-ге дейінгі қашықтықтағы нүктелер.

№ 21.2

Торкөз қағазға $A$ және $B$ нүктелерінен бірдей қашықтықта жатқан нүктелердің геометриялық орнын (НГО) кескіндеңдер (21.3-сурет).

Қалай ойлаймыз. Екі нүктеден бірдей қашықтықта жатқан нүктелер орта перпендикулярда орналасады. Кесіндінің ортасын тауып, оған перпендикуляр жүргіз.

Шешуі.

1. а) $A(1;,4)$, $B(4;,1)$ тор көзбен алынған. $AB$ ортасы — $(2{,}5;,2{,}5)$ нүктесі. Кесінді 3 тор көз оңға және 3 тор көз төмен кетеді, демек, перпендикуляр тор көздердің диагоналімен өтеді. Бұл — $(0;,0)$ және $(6;,6)$ нүктелері арқылы өтетін түзу.
2. ә) $A(1;,3)$, $B(5;,1)$ болсын. Ортасы — $(3;,2)$. Кесінді 4 оңға және 2 төмен кетеді, демек, оған перпендикуляр 1 оңға және 2 жоғары кетеді (қадамды тік бұрышқа бұрдық). Бұл — $(3;,2)$, $(4;,4)$, $(5;,6)$ және $(2;,0)$ нүктелері арқылы өтетін түзу.

Жауабы: $AB$ кесіндісінің орта перпендикуляры (жоғарыдағы суреттерде).

№ 21.3

$c$ түзуінде $A$ және $B$ нүктелерінен бірдей қашықтықта жатқан $C$ нүктесін кескіндеңдер (21.4-сурет).

Қалай ойлаймыз. Бірдей қашықтықта жатқан нүктелер $AB$-ның орта перпендикулярында орналасады. Ізделетін нүкте — осы перпендикуляр мен $c$ түзуінің қиылысу нүктесі.

Шешуі.

1. ә) $A(1;,3)$, $B(5;,1)$, $c$ түзуі — $x = 4$ тік сызығы. $AB$ ортасы — $(3;,2)$, орта перпендикуляр: $(3;,2)$ нүктесінен 1 оңға және 2 жоғары барсақ, $(4;,4)$ нүктесіне түсеміз.
2. Бұл нүкте $c$ түзуінде жатыр. Тексерейік: $CA^2 = 3^2 + 1^2 = 10$, $CB^2 = 1^2 + 3^2 = 10$.
3. а) $A(1;,1)$, $B(4;,1)$. Орта перпендикуляр — $x = 2{,}5$ тік сызығы. Ол $c$ түзуін $AB$ ортасынан жоғарырақ (шамамен $(2{,}5;,3{,}8)$ нүктесінде) қиып өтеді. Бұл — $C$.

Жауабы: $c$ мен $AB$-ның орта перпендикулярының қиылысу нүктесі: ә) жағдайында $C(4;,4)$.

№ 21.4

$A$, $B$, $C$, $D$ елді мекендері, мұндағы $A$ ауылы $D$ ауылынан оңтүстікке қарай бірнеше километр қашықтықта, ал $B$ және $C$ ауылдары $A$ ауылынан батыс пен шығысқа қарай (сәйкесінше) бірдей қашықтықта болатындай орналасқан. $B$ және $C$ ауылдары $D$ ауылынан бірдей қашықтықта орналасқаны дұрыс па?

Қалай ойлаймыз. Солтүстік жоғарыда болатындай схема сыз. $B$ мен $C$ бір көлденең түзуде жатыр, $A$ — ортасында.

Шешуі.

1. $AB = AC$ болғандықтан, $A$ — $BC$ кесіндісінің ортасы.
2. $D$ нүктесі $A$-дан солтүстікке қарай, яғни $BC$ көлденең түзуіне $A$ нүктесінде жүргізілген перпендикулярда жатыр.
3. Демек, $DA$ — $BC$ кесіндісінің орта перпендикуляры, ал $D$ нүктесі оның үстінде.
4. 1-теорема бойынша: $DB = DC$.

Жауабы: иә.

№ 21.5

Екі үй жолдың әр жағында орналасқан (21.5-сурет). Осы екі үйден бірдей қашықтықта орналасатындай автобус аялдамасын қай орынға салу керек?

Қалай ойлаймыз. Аялдама жолда ($c$ түзуінде) және сонымен бірге $AB$ кесіндісінің орта перпендикулярында болуы керек.

Шешуі.

1. $A$ және $B$ үйлерін кесіндімен қос. Үйлер жолдың әр жағында болғандықтан, ол жолды қиып өтеді.
2. Циркульмен $AB$ ортасын тауып, ол арқылы перпендикуляр жүргіз.
3. Осы перпендикуляр мен $c$ жолының қиылысу нүктесі аялдама орны болады. Одан $A$ мен $B$-ға дейінгі қашықтық бірдей.

Жауабы: жол мен $AB$ кесіндісінің орта перпендикулярының қиылысу нүктесінде.

№ 21.6

Алдарыңда қарақшылардың қазына жасырған аралы картасының бөлігі көрсетілген (21.6-сурет). Өкінішке орай, қазынаның қай жерде жасырылғаны белгіленбеген, бірақ сақталған бағдарлар (жол торабындағы тас пен екі ағаш) арқылы оны анықтауға болады. Қазына екі жолдан және екі ағаштан бірдей қашықтықта жасырылғаны белгілі. Қазынаны таба аласыңдар ма?

Қалай ойлаймыз. «Екі жолдан бірдей қашықтықта» — бұл жолдардың арасындағы бұрыштың биссектрисасы. «Екі ағаштан бірдей қашықтықта» — ағаштар арасындағы кесіндінің орта перпендикуляры. Қазына осы сызықтар қиылысқан жерде жатыр.

Шешуі.

1. Жолдар жасайтын бұрыштың биссектрисасын жүргіз (жол торабындағы тастан).
2. Екі ағашты кесіндімен қосып, оған орта перпендикуляр сал.
3. Биссектриса мен орта перпендикулярдың қиылысу нүктесі — қазына.

Жауабы: жолдардан құрылған бұрыштың биссектрисасы мен екі ағашты қосатын кесіндінің орта перпендикулярының қиылысу нүктесінде.

B деңгейі

№ 21.7

$A$, $B$ және $C$ нүктелерінен бірдей қашықтықта жатқан нүктені белгілеңдер (21.7-сурет, а–б).

Қалай ойлаймыз. $A$ мен $B$-дан бірдей қашықтықтағы нүктелер бір орта перпендикулярда, $B$ мен $C$-дан бірдей қашықтықтағы нүктелер екіншісінде жатыр. Ізделетін нүкте — олардың қиылысқан жері.

Шешуі. Тор көздерді аламыз.

1. а) $A(1;,1)$, $B(5;,1)$, $C(5;,3)$. $AB$-ның орта перпендикуляры: $x = 3$. $BC$-ның: $y = 2$. Нүкте — $(3;,2)$. Тексеру: $A$ және $C$ нүктелеріне дейінгі қашықтық $\sqrt{5}$-ке тең.
2. ә) $A(1;,3)$, $C(5;,3)$, $B(3;,1)$. $AC$-ның орта перпендикуляры: $x = 3$. $A$-ға дейінгі қашықтық $B$-ға дейінгі қашықтыққа тең болуы керек: нүкте — $(3;,3)$, себебі $A$-ға дейін 2, $B$-ға дейін де 2.
3. б) $A(1;,1)$, $B(3;,1)$, $C(5;,3)$. $AB$-ның орта перпендикуляры: $x = 2$. $AC$-ның орта перпендикуляры $(3;,2)$ арқылы өтеді, 1 оңға және 2 төмен барады, яғни $2x + y = 8$. $x = 2$ болғанда $y = 4$. Нүкте — $(2;,4)$, үш төбенің әрқайсысына дейінгі қашықтық $\sqrt{10}$.

Жауабы: а) $(3;,2)$; ә) $(3;,3)$; б) $(2;,4)$ (координаттар тор көзбен).

№ 21.8

$A$ және $B$ жазықтықтың нүктелері болсын. а) $AC > BC$; ә) $AC < AB$ үшін $C$ нүктелерінің геометриялық орнын көрсетіңдер.

Қалай ойлаймыз. $AB$-ның орта перпендикуляры жазықтықты екі жартыжазықтыққа бөледі. Бір жағында нүктелер $A$-ға жақын, екінші жағында — $B$-ға жақын.

Шешуі.

1. а) $AC > BC$ дегеніміз — $C$ нүктесі $B$-ға қарағанда $A$-дан алысырақ, яғни $B$-ға жақын. Бұл — $B$ нүктесі жатқан жартыжазықтық, орта перпендикулярдың өзінсіз (ол үшін $AC = BC$).
2. ә) Қалай басылғанына қарасақ, $AC < AB$: $C$ нүктесі $A$-дан $AB$ қашықтығынан жақынырақ. Бұл — центрі $A$ және радиусы $AB$ болатын дөңгелектің ішкі жағы.
3. Егер шартта қате болып, $AC < BC$ болуы керек болса, жауап: $A$ нүктесі жатқан жартыжазықтық, шекарасынсыз (орта перпендикулярсыз).

Жауабы: а) $B$ нүктесі жатқан, $AB$-ның орта перпендикулярымен шектелген жартыжазықтық (шекарасынсыз); ә) шарт бойынша $AC < AB$ — центрі $A$, радиусы $AB$ болатын дөңгелектің ішкі жағы ($AC < BC$ болса — $A$ нүктесі жатқан жартыжазықтық, шекарасынсыз).

📕 Оқулықтың жауаптарында: а) «$A$ нүктесі жататын жартыжазықтық»; ә) «орта перпендикулярмен шектелген және оған тиісті емес $A$ нүктесі жататын жартыжазықтық». Бірақ $AC > BC$ болса, нүктелер $B$-ға жақын, сондықтан жартыжазықтық $A$ емес, $B$ нүктесін қамтуға тиіс. Ә) жауабы $AC < BC$ шартына сәйкес келеді, ал есепте $AC < AB$ деп басылған.

№ 21.9

$AOB$ бұрышының қабырғаларынан бірдей қашықтықта жатқан ішкі нүктелерінің геометриялық орнын кескіндеңдер (21.8-сурет).

Қалай ойлаймыз. Бұл — $AOB$ бұрышының биссектрисасы ($O$ нүктесінсіз, себебі біз ішкі нүктелерді аламыз).

Шешуі.

1. а) Бұрыш тік: биссектриса қабырғаларға $45^\circ$ бұрышпен тор көздердің диагоналімен өтеді.
2. ә) және б) Биссектрисаны циркульмен сал: $O$-дан доға жүргіз, $OA$-да $P$ және $OB$-да $Q$ нүктелерін белгіле. $P$ және $Q$ нүктелерінен циркульдің бір ашылымымен бұрыштың ішіне іздер сал. $O$ нүктесінен іздердің қиылысу нүктесі арқылы өтетін сәуле — биссектриса.

Жауабы: $AOB$ бұрышының биссектрисасы — төбесі $O$ нүктесінсіз сәуле.

№ 21.10

$AOB$ бұрышының қабырғаларынан бірдей қашықтықта жатқан $c$ түзуінен $C$ нүктесін белгілеңдер (21.9-сурет).

Қалай ойлаймыз. Бұрыштың биссектрисасындағы нүкте қабырғалардан бірдей қашықтықта жатады. Демек, $c$ түзуінің биссектрисамен қиылысу нүктесін іздейміз.

Шешуі.

1. $AOB$ бұрышының биссектрисасын циркульмен сал.
2. Биссектриса $c$ түзуін қиятын нүктені тап.
3. а) жағдайы үшін: $O(1;,1)$, $c$ түзуі $x + y = 8$ бойымен өтеді, биссектриса $y = x$, нүкте — $C(4;,4)$ (екі қабырғаға дейінгі қашықтық 3).

Жауабы: $c$ түзуінің $AOB$ бұрышының биссектрисасымен қиылысу нүктесі.

C деңгейі

№ 21.11

$M$, $N$, $K$ елді мекендері бір түзудің бойында орналаспаған (21.10-сурет). $N$ қаласы арқылы $M$ және $K$ қалаларынан бірдей қашықтықта жататын түзусызықты жолды қалай салуға болады?

Қалай ойлаймыз. Пункттен жолға дейінгі қашықтық — перпендикуляр. $M$ және $K$ қалаларынан бірдей қашықтықта жататын жолдың екі нұсқасы бар: $M$ мен $K$ жолдың әр жағында (жол $MK$ ортасы арқылы өтеді) немесе бір жағында (жол $MK$-ға параллель).

Шешуі.

1. 1-нұсқа. $MK$ кесіндісінің $S$ ортасын тап. Жол — $NS$ түзуі. $M$ және $K$ нүктелерінен $NS$-ке түсірілген перпендикулярлар құрған тікбұрышты үшбұрыштар гипотенузасы мен сүйір бұрышы бойынша тең ($S$ төбесіндегі вертикаль бұрыштар), сондықтан қашықтықтар тең.
2. 2-нұсқа. $N$ арқылы $MK$-ға параллель түзу жүргіз. $MK$ түзуінің барлық нүктелері одан бірдей қашықтықта жатыр, өйткені параллель түзулер арасындағы қашықтық тұрақты.

Жауабы: $N$ мен $MK$ кесіндісінің ортасы арқылы өтетін түзу немесе $N$ арқылы өтетін $MK$-ға параллель түзу.

№ 21.12

Берілген $A$ және $B$ нүктелері арқылы өтетін шеңберлердің центрлерінің геометриялық орнын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Егер шеңбер $A$ және $B$ арқылы өтсе, оның центрі олардан бірдей қашықтықта жатады (екі қашықтық та радиусқа тең).

Шешуі.

1. Шеңбердің центрі $O$: $OA = OB = R$.
2. 1-теорема бойынша мұндай $O$ нүктесі $AB$-ның орта перпендикулярында жатады.
3. Керісінше: орта перпендикулярдың кез келген нүктесі — $A$ және $B$ арқылы өтетін, радиусы $OA$ болатын шеңбердің центрі.

Жауабы: $AB$ кесіндісінің орта перпендикуляры.

№ 21.13

Табаны $AB$ болатын теңбүйірлі үшбұрыштардың $C$ төбелерінің геометриялық орнын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Теңбүйірлі үшбұрышта бүйір қабырғалар тең: $CA = CB$.

Шешуі.

1. $CA = CB$ дегеніміз — $C$ нүктесі $AB$-ның орта перпендикулярында жатады.
2. Бірақ $C$ нүктесі $AB$ түзуінде жатпауға тиіс, әйтпесе үшбұрыш болмайды. Орта перпендикуляр $AB$-ны $O$ ортасында қиып өтеді, сондықтан бұл нүктені алып тастау керек.

Жауабы: $AB$ кесіндісінің ортасынсыз осы кесіндінің орта перпендикуляры.

📕 Оқулықтың жауабында «$AB$ кесіндісінің орта перпендикуляры» деп ғана басылған. Бірақ орта перпендикулярдың $AB$ ортасымен беттесетін нүктесі үшбұрыш бермейді (ол $AB$ кесіндісінде жатады), сондықтан оны алып тастау керек.

№ 21.14

21.11-суретте кескінделген $a$, $b$, $c$ үш түзуінен бірдей қашықтықта жатқан нүктелерді көрсетіңдер.

Қалай ойлаймыз. Екі түзуден бірдей қашықтықта жатқан нүктелер қиылысатын түзулер үшін олар жасайтын бұрыштардың биссектрисаларында, ал параллель түзулер үшін орта сызықта орналасады. Осындай сызықтардың қиылысуын іздейміз.

Шешуі.

1. а) $a$ және $c$ түзулері тік және параллель, $b$ көлденең (тор көздер бойынша $a$: $x = 1$, $c$: $x = 5$, $b$: $y = 3$). $a$ мен $c$-дан бірдей қашықтықта жатқан сызық: $x = 3$ түзуі (қашықтық 2). $b$-дан да қашықтық 2: $y = 5$ немесе $y = 1$. Екі нүкте: $(3;,5)$ және $(3;,1)$.
2. ә) $b \parallel c$, ал $a$ оларға перпендикуляр. $b$ мен $c$ арасындағы орта сызық — екеуіне де параллель, жолақ енінің жартысындай қашықтықтағы түзу. Осы түзуден $a$-дан сол жартыға тең қашықтықта жатқан нүктелерді алу керек. Олар екеу: $a$-ның әр жағында біреуден. Тор көздер бойынша: $(0;,1)$ және $(4;,3)$.
3. б) Үш түзу үшбұрыш құрайды. Олардан бірдей қашықтықта жатқандар: іштей сызылған шеңбердің центрі (биссектрисалардың қиылысу нүктесі) және әр қабырғаның арғы жағында жататын үш нүкте. Барлығы төрт нүкте.

Жауабы: а) $(3;,5)$ және $(3;,1)$, екі нүкте; ә) екі нүкте; б) төрт нүкте.

№ 21.15

Берілген екі қиылысатын $a$ және $b$ түзулерін жанайтын шеңберлердің центрлерінің геометриялық орнын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Шеңбер түзуді жанағанда, центрден түзуге дейінгі қашықтық радиусқа тең болады. Екі түзуді де жанайды, демек, центр $a$ мен $b$-дан бірдей қашықтықта жатады.

Шешуі.

1. Екі қиылысатын түзу төрт бұрыш құрайды. Бұрыштың қабырғаларынан бірдей қашықтықта жатқан центр оның биссектрисасында орналасады.
2. Сыбайлас екі бұрыштың биссектрисалары перпендикуляр, демек, $a$ мен $b$-ның қиылысу нүктесі арқылы өтетін екі перпендикуляр түзу шығады.
3. Қиылысу нүктесінің өзін алып тастаймыз: онда радиус нөлге тең.

Жауабы: $a$ және $b$ түзулері құрған бұрыштардың биссектрисалары жататын екі перпендикуляр түзу, олардың қиылысу нүктесінсіз.

№ 21.16

Радиусы $R$-ге тең шеңберді жанайтын радиусы $R$ шеңберлердің центрлерінің геометриялық орнын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Тең шеңберлер тек сырттай жанасады ($d = R + R$).

Шешуі.

1. $O$ — берілген шеңбердің центрі болсын. Ізделетін шеңбердің $X$ центрі: $OX = R + R = 2R$.
2. $O$-дан $2R$ қашықтықта жатқан барлық нүктелер центрі $O$, радиусы $2R$ шеңбер құрайды.

Жауабы: центрі берілген шеңбердің центрімен беттесетін, радиусы $2R$ шеңбер.

№ 21.17

Радиусы $R_1$ шеңбер берілген. Осы шеңберді радиусы $R$-ге тең ($R \ne R_1$) шеңбер жанайды. Осы шеңберлер центрлерінің геометриялық орнын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Жанасу сырттай ($d = R + R_1$) және іштей ($d = |R - R_1|$) болады. Екі жағдай да мүмкін.

Шешуі.

1. $O$ — берілген шеңбердің центрі болсын. Сырттай жанасқанда $OX = R + R_1$.
2. Іштей жанасқанда $OX = |R - R_1|$ ($R > R_1$ болса, берілген шеңбер ізделінді шеңбердің ішінде; $R < R_1$ болса, ізделінді шеңбер берілгеннің ішінде).
3. Ортақ центрі $O$ болатын екі шеңбер шығады.

Жауабы: центрі $O$, радиустары $R + R_1$ және $|R - R_1|$ болатын екі центрлес шеңбер.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 21.18

Шеңберді және төбелері осы шеңбердің бойында жатқан үшбұрышты кескіндеңдер.

Қалай ойлаймыз. Шеңберде кез келген үш нүктені таңда да, оларды кесінділермен қос.

Шешуі.

1. Шеңберді циркульмен сыз.
2. Оның бойында $A$, $B$, $C$ үш нүктесін белгіле.
3. Оларды қос: $\triangle ABC$.

Жауабы: жоғарыдағы сурет. Мұндай шеңбер үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер деп аталады.

№ 21.19

Шеңберді және қабырғалары осы шеңберді жанайтын үшбұрышты кескіндеңдер.

Қалай ойлаймыз. Шеңбер үшбұрыштың ішінде жатып, әр қабырғасын жанайды. Оның центрі үш қабырғадан бірдей қашықтықта, яғни биссектрисалардың қиылысуында жатады.

Шешуі.

1. Үшбұрыш сыз.
2. Екі бұрыштың биссектрисасын сал. Олардың қиылысу нүктесі — $I$ центрі.
3. $I$ нүктесінен қабырғаға перпендикуляр түсіріп, осы радиуспен шеңбер сыз.

Жауабы: жоғарыдағы сурет. Мұндай шеңбер үшбұрышқа іштей сызылған шеңбер деп аталады.

Жадынама

• Анықтама. НГО — берілген қасиеті бар барлық нүктелерден тұратын фигура.
• 1-теорема. Кесіндінің орта перпендикуляры — кесінді ұштарынан бірдей қашықтықтағы нүктелердің НГО-ы.
• 2-теорема. Бұрыштың биссектрисасы — бұрыштың қабырғаларынан бірдей қашықтықтағы ішкі нүктелердің НГО-ы.
• Екі қасиеті бар нүктені табу үшін әр қасиетке НГО сал да, олардың қиылысуын ізде.

Шағын тест