1.10. Уравнение

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава I: Натуральные числа и нуль. Страницы 48–53.

Чему научишься

• Понимать, что такое уравнение и его корень.
• Находить любое неизвестное: слагаемое, вычитаемое, множитель, делитель…
• Решать уравнения в несколько шагов, например $(45 - x) \cdot 3 = 93$.
• Проверять ответ подстановкой — и никогда не попадаться на ошибку.
• Решать задачи с помощью уравнения.

Разминка

Вспомни задачи с весами. Ответь в уме, потом открой ответ.

• Дыня и гиря 2 кг уравновешивают две гири по 5 кг. Сколько весит дыня? $x + 2 = 10$, значит, дыня весит 8 кг.
• Два пакета муки и гиря 1 кг уравновешивают гирю 5 кг. Сколько весит пакет? $2x + 1 = 5$, $2x = 4$, пакет — 2 кг.
• Шар и гиря 24 уравновешивают гирю 52. Чему равен шар? $x + 24 = 52$, шар — 28.

💡 Каждая такая запись — равенство, в котором спряталась буква. Сегодня у него появится имя: уравнение.

Разбираемся

Уравнение — это весы

Посмотри на весы. Слева шар неизвестной массы $x$ и гиря 24. Справа гиря 52. Весы в равновесии — значит, слева и справа поровну.

Это и есть уравнение: $x + 24 = 52$. Слева от «=» — левая часть, справа — правая. Буква $x$ — число, которое нужно найти.

Сними одинаковое с обеих чаш

Если снять гирю 24 и слева, и справа, весы останутся в равновесии. Слева останется один шар, а справа $52 - 24 = 28$.

Число 28 — корень уравнения: если подставить его вместо $x$, получится верное равенство $28 + 24 = 52$. Решить уравнение — значит найти все его корни (или понять, что их нет).

📌 Корень уравнения — число, которое превращает уравнение в верное равенство.

Проверка подстановкой — твоя суперсила

Возьмём $9x + 5 = 41$. Решаем: $9x = 41 - 5 = 36$, $x = 36 : 9 = 4$. А правда ли 4 — корень? Подставь и посчитай.

Получилось 41 — как справа. Значит, корень найден верно.

Шесть правил — одна хитрость

💡 Зубрить не надо. Забыл правило — придумай пример с маленькими числами: $2 + 3 = 5$. Как найти 3? $5 - 2$. Вот и правило!

👨‍👩‍👧 Родителю. Если ребёнок путается, попросите его «перевести» уравнение в такой мини-пример. Через пару раз правила запоминаются сами.

Матрёшка: уравнение в несколько шагов

Сложное уравнение открываем, как матрёшку, — снаружи внутрь. Смотрим на последнее действие, а скобку считаем одним неизвестным.

Пример. $(45 - x) \cdot 3 = 93$.

1. Последнее действие — умножение. Скобка — неизвестный множитель: $45 - x = 93 : 3 = 31$.
2. Теперь неизвестно вычитаемое: $x = 45 - 31 = 14$.
3. Проверка: $(45 - 14) \cdot 3 = 31 \cdot 3 = 93$ ✓.

Ещё два:

• $(x - 13) : 7 = 2$: скобка — делимое, $x - 13 = 14$, $x = 27$. Проверка: $14 : 7 = 2$ ✓.
• $72 : (x + 12) = 4$: скобка — делитель, $x + 12 = 18$, $x = 6$. Проверка: $72 : 18 = 4$ ✓.

⚠️ Частая ошибка. В $45 - x = 31$ пишут $x = 45 + 31 = 76$. Подставь: $45 - 76$ — так даже не вычесть! Правильно $x = 45 - 31 = 14$. Проверка ловит такие ошибки сразу.

Задача через уравнение

План из пяти шагов:

1. Обозначь неизвестное буквой.
2. Вырази через неё остальное и составь уравнение.
3. Реши уравнение.
4. Ответь на вопрос задачи.
5. Проверь по условию.

Единицы — заранее одинаковые (например, всё в граммах).

Пример. Брат на 5 лет старше сестры. Через 4 года вместе им будет 19 лет. Пусть сестре $x$ лет, брату $x + 5$. Через 4 года: $(x + 4) + (x + 9) = 19$, $2x + 13 = 19$, $2x = 6$, $x = 3$. Сестре 3 года, брату 8. Проверка: $7 + 12 = 19$ ✓.

⚠️ Частая ошибка. Нашёл $x$ — и сразу в ответ. Но $x$ тут только сестра, а спрашивали про обоих. Перечитай вопрос!

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какое равенство называют уравнением? Равенство с буквой, значение которой нужно найти.
• Что такое корень уравнения? Значение буквы, при котором равенство становится верным.
• Что значит решить уравнение? Найти все корни или доказать, что их нет.
• Как найти неизвестное слагаемое? Из суммы вычесть известное слагаемое.
• Как найти неизвестный множитель? Произведение разделить на известный множитель.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 104

Реши: 1) $x + 23 = 41$; 2) $36 + y = 74$; 3) $85 + z = 97$; 4) $x - 61 = 17$; 5) $46 - y = 24$; 6) $53 - z = 25$; 7) $m : 21 = 10$; 8) $192 : n = 16$; 9) $k : 44 = 20$.

Как думать. Спроси себя: «Кем работает буква?» — слагаемым, вычитаемым, делимым… А потом бери правило из таблицы.

Решение.

Ответ: 1) 18; 2) 38; 3) 12; 4) 78; 5) 22; 6) 28; 7) 210; 8) 12; 9) 880.

№ 105

Реши: 1) $12x = 60$; 2) $33y = 132$; 3) $51z = 357$; 4) $2x - 15 = 13$; 5) $7y - 25 = 45$; 6) $130 - 4x = 70$; 7) $49 - 3x = 34$; 8) $9y - 89 = 55$; 9) $74 - 8z = 2$.

Как думать. В пунктах 4–9 два шага. Сначала произведение ($2x$, $4x$…) — как одно неизвестное, потом сама буква.

Решение.

1. $x = 60 : 12 = 5$. Проверка: $12 \cdot 5 = 60$.
2. $y = 132 : 33 = 4$. Проверка: $33 \cdot 4 = 132$.
3. $z = 357 : 51 = 7$. Проверка: $51 \cdot 7 = 357$.
4. $2x = 13 + 15 = 28$; $x = 14$. Проверка: $28 - 15 = 13$.
5. $7y = 45 + 25 = 70$; $y = 10$. Проверка: $70 - 25 = 45$.
6. $4x = 130 - 70 = 60$; $x = 15$. Проверка: $130 - 60 = 70$.
7. $3x = 49 - 34 = 15$; $x = 5$. Проверка: $49 - 15 = 34$.
8. $9y = 55 + 89 = 144$; $y = 16$. Проверка: $144 - 89 = 55$.
9. $8z = 74 - 2 = 72$; $z = 9$. Проверка: $74 - 72 = 2$.

Ответ: 1) 5; 2) 4; 3) 7; 4) 14; 5) 10; 6) 15; 7) 5; 8) 16; 9) 9.

№ 106

Марат до обеда поймал сколько-то рыб, после обеда — на 2 меньше. Половину улова он оставил дедушке, и у него осталось 5 рыб. Сколько рыб он поймал до обеда?

Как думать. Если половина — 5 рыб, то весь улов — 10. Осталось разделить 10 на «до» и «после».

Решение.

1. До обеда $x$ рыб, после обеда $x - 2$.
2. Всего $x + (x - 2) = 2x - 2$, и это $5 \cdot 2 = 10$: $2x - 2 = 10$.
3. $2x = 12$, $x = 6$.

Проверка: 6 и 4 — всего 10, половина 5 ✓.

Ответ: 6 рыб.

№ 107

Асем села в 7-й вагон от начала поезда, Марина — в 7-й от конца. Оказалось, что они в одном вагоне. Сколько вагонов в поезде?

Как думать. Задача на смекалку. Нарисуй вагончики! Перед вагоном девочек 6 вагонов и после него 6.

Решение. $6 + 1 + 6 = 13$ вагонов. Через уравнение: если вагонов $x$, то номер вагона от конца $x - 7 + 1 = 7$, откуда $x = 13$.

⚠️ Частая ошибка. Ответ $7 + 7 = 14$ — так вагон девочек посчитан дважды.

Ответ: 13 вагонов.

№ 108

1) Из рулона продали 16 м ткани, а из остатка сшили 8 платьев по 3 м. Сколько метров было в рулоне? (A. 36 м; B. 40 м; C. 42 м; D. 41 м.) 2) Со склада продали 165 т муки, остаток увезли 14 машин по 3 т. Что неизвестно? Задай вопрос и реши.

Как думать. Остаток легко посчитать: платья или машины. А «было» = «продали» + «осталось».

Решение.

1. В рулоне $x$ м. Осталось $x - 16$, и это $8 \cdot 3 = 24$ м. $x - 16 = 24$; $x = 24 + 16 = 40$. Проверка: $40 - 16 = 24 = 8 \cdot 3$ ✓.

2. Неизвестно, сколько муки было на складе. Вопрос: «Сколько тонн муки было на складе?» $x - 165 = 14 \cdot 3$; $x - 165 = 42$; $x = 207$. Проверка: $207 - 165 = 42$ ✓.

Ответ: 1) 40 м — вариант B. 2) Неизвестно, сколько муки было сначала; было 207 т.

Уровень B

№ 109

Реши: 1) $(x - 16) \cdot 9 = 126$; 2) $28 \cdot (x + 5) = 224$; 3) $(x + 76) : 7 = 15$; 4) $144 : (x - 3) = 36$; 5) $21 \cdot (y - 8) = 84$; 6) $(x + 67) : 18 = 4$.

Как думать. Матрёшка! Скобка — один неизвестный компонент. Сначала находим скобку, потом букву.

Решение.

1. Скобка — множитель: $x - 16 = 126 : 9 = 14$; $x = 30$. Проверка: $14 \cdot 9 = 126$.
2. Скобка — множитель: $x + 5 = 224 : 28 = 8$; $x = 3$. Проверка: $28 \cdot 8 = 224$.
3. Скобка — делимое: $x + 76 = 15 \cdot 7 = 105$; $x = 29$. Проверка: $105 : 7 = 15$.
4. Скобка — делитель: $x - 3 = 144 : 36 = 4$; $x = 7$. Проверка: $144 : 4 = 36$.
5. Скобка — множитель: $y - 8 = 84 : 21 = 4$; $y = 12$. Проверка: $21 \cdot 4 = 84$.
6. Скобка — делимое: $x + 67 = 4 \cdot 18 = 72$; $x = 5$. Проверка: $72 : 18 = 4$.

Ответ: 1) 30; 2) 3; 3) 29; 4) 7; 5) 12; 6) 5.

№ 110

Реши: 1) $(12m - 5m) \cdot 4 = 252$; 2) $(4n + 3n) \cdot 11 = 154$; 3) $45 : (4m - m) = 3$; 4) $(19n - 6n) : 4 = 26$; 5) $(16m + 5m) : 18 = 7$; 6) $(17n - 8n) \cdot 13 = 351$.

Как думать. Сначала наведи порядок в скобках — упрости их, как в уроке 1.9. Например, $12m - 5m = 7m$. Потом решай как обычно.

Решение.

1. $7m \cdot 4 = 252$; $7m = 63$; $m = 9$. Проверка: $(108 - 45) \cdot 4 = 63 \cdot 4 = 252$.
2. $7n \cdot 11 = 154$; $7n = 14$; $n = 2$. Проверка: $(8 + 6) \cdot 11 = 154$.
3. $45 : 3m = 3$; $3m = 15$; $m = 5$. Проверка: $45 : (20 - 5) = 45 : 15 = 3$.
4. $13n : 4 = 26$; $13n = 104$; $n = 8$. Проверка: $(152 - 48) : 4 = 104 : 4 = 26$.
5. $21m : 18 = 7$; $21m = 126$; $m = 6$. Проверка: $(96 + 30) : 18 = 126 : 18 = 7$.
6. $9n \cdot 13 = 351$; $9n = 27$; $n = 3$. Проверка: $(51 - 24) \cdot 13 = 27 \cdot 13 = 351$.

Ответ: 1) 9; 2) 2; 3) 5; 4) 8; 5) 6; 6) 3.

№ 111

1) В саду 37 кустов. Крыжовника на 3 куста больше, чем смородины, и в 2 раза меньше, чем малины. Сколько кустов каждого вида? 2) Точки $C$ и $D$ делят отрезок $AB = 40$ см на части $AC$, $CD$, $DB$. $CD$ на 4 см длиннее $AC$ и в 2 раза короче $DB$. Найди $AC$.

Как думать. За $x$ берём самое маленькое: смородину (или $AC$). Остальное выражаем через $x$. Нарисуй отрезок из трёх кусочков: $x$, $x + 3$, $2(x + 3)$ — а под ним вся длина 37.

Решение.

1. Смородины $x$, крыжовника $x + 3$, малины $2(x + 3)$.

1. $x + (x + 3) + 2(x + 3) = 37$.
2. Раскрываем скобки: $x + x + 3 + 2x + 6 = 37$, то есть $4x + 9 = 37$.
3. $4x = 28$, $x = 7$.
4. Смородина 7, крыжовник 10, малина 20.

Проверка: $7 + 10 + 20 = 37$; $10 - 7 = 3$; $20 : 10 = 2$ ✓.

2. Та же задача, только про отрезок. $AC = x$, $CD = x + 4$, $DB = 2(x + 4)$.

1. $x + (x + 4) + 2(x + 4) = 40$.
2. $x + x + 4 + 2x + 8 = 40$, то есть $4x + 12 = 40$.
3. $4x = 28$, $x = 7$.

Проверка: $7 + 11 + 22 = 40$ ✓.

Ответ: 1) 7 кустов смородины, 10 — крыжовника, 20 — малины. 2) $AC = 7$ см.

№ 112

Рыбаки поймали 324 рыбы. Окуней в 3 раза больше, чем щук, но на 17 меньше, чем лещей. Сазанов в 2 раза больше, чем лещей. Сколько поймали щук и сазанов?

Как думать. Меньше всего щук — их и берём за $x$. Остальных выражаем по цепочке.

Решение.

1. Щук $x$, окуней $3x$.
2. Лещей $3x + 17$.
3. Сазанов $2(3x + 17) = 6x + 34$.
4. $x + 3x + (3x + 17) + (6x + 34) = 324$, то есть $13x + 51 = 324$.
5. $13x = 273$, $x = 21$.
6. Сазанов $6 \cdot 21 + 34 = 160$.

Проверка: щук 21, окуней 63, лещей 80, сазанов 160; $21 + 63 + 80 + 160 = 324$ ✓.

Ответ: 21 щука, 160 сазанов.

№ 113

Сыну столько месяцев, сколько лет отцу. Вместе им 39 лет. Сколько лет сыну?

Как думать. В году 12 месяцев. Сыну $x$ лет — это $12x$ месяцев. Столько же лет отцу.

Решение.

1. Сыну $x$ лет, отцу $12x$.
2. $x + 12x = 39$; $13x = 39$; $x = 3$.
3. Отцу $12 \cdot 3 = 36$ лет.

Проверка: 3 года = 36 месяцев, отцу 36 лет; $3 + 36 = 39$ ✓.

Ответ: 3 года.

№ 114

Придумай задачи к уравнениям: 1) $250 - y = 115$; 2) $x + 3x + 2 \cdot 3x = 120$; 3) $(48 - x) : 8 = 4$.

Как думать. Посмотри, что «рассказывает» уравнение: «было — убрали — осталось», «части в 3 и 6 раз больше», «съели, а остальное поделили». Под это и придумывай сюжет.

Решение. Примеры (у тебя могут быть свои):

1. «В библиотеке было 250 книг. Часть выдали, осталось 115. Сколько книг выдали?» $y = 250 - 115 = 135$. Проверка: $250 - 135 = 115$.

2. «В трёх классах 120 учебников. Во втором в 3 раза больше, чем в первом, в третьем — в 2 раза больше, чем во втором. Сколько учебников в первом?» $x + 3x + 6x = 120$; $10x = 120$; $x = 12$. Проверка: $12 + 36 + 72 = 120$.

3. «Было 48 конфет. Несколько съели, остальные поровну раздали 8 детям — каждому по 4. Сколько конфет съели?» $48 - x = 4 \cdot 8 = 32$; $x = 16$. Проверка: $(48 - 16) : 8 = 4$.

Ответ: задачи — например, как выше; корни: 1) 135; 2) 12; 3) 16.

Уровень C

№ 115

Найди корни: 1) $x \cdot x + 60 = 85$; 2) $(x \cdot x - 23) \cdot 9 = 117$; 3) $(x \cdot x \cdot x + 38) : 13 = 5$; 4) $(149 - x \cdot x \cdot x) \cdot 7 = 168$.

Как думать. Сначала находим $x \cdot x$ (или $x \cdot x \cdot x$) как одно неизвестное. А потом подбираем число, которое, умноженное само на себя, даёт нужный результат.

Решение.

1. $x \cdot x = 85 - 60 = 25$; $5 \cdot 5 = 25$, $x = 5$. Проверка: $25 + 60 = 85$.
2. $x \cdot x - 23 = 117 : 9 = 13$; $x \cdot x = 36$; $x = 6$. Проверка: $(36 - 23) \cdot 9 = 13 \cdot 9 = 117$.
3. $x \cdot x \cdot x + 38 = 5 \cdot 13 = 65$; $x \cdot x \cdot x = 27$; $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$, $x = 3$. Проверка: $(27 + 38) : 13 = 65 : 13 = 5$.
4. $149 - x \cdot x \cdot x = 168 : 7 = 24$; $x \cdot x \cdot x = 125$; $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$, $x = 5$. Проверка: $(149 - 125) \cdot 7 = 24 \cdot 7 = 168$.

Ответ: 1) 5; 2) 6; 3) 3; 4) 5.

№ 116

Найди корень: 1) $(63 - 5x) : a = 6$ при $a = 3$; 2) $b : (38x - 95) = 7$ при $b = 133$; 3) $15 \cdot (c - 8x) = 75$ при $c = 53$; 4) $(6x - d) \cdot 8 = 104$ при $d = 29$.

Как думать. Сначала подставь известную букву — и получится обычное уравнение.

Решение.

1. $(63 - 5x) : 3 = 6$; $63 - 5x = 18$; $5x = 45$; $x = 9$. Проверка: $(63 - 45) : 3 = 6$.
2. $133 : (38x - 95) = 7$; $38x - 95 = 19$; $38x = 114$; $x = 3$. Проверка: $133 : (114 - 95) = 133 : 19 = 7$.
3. $15 \cdot (53 - 8x) = 75$; $53 - 8x = 5$; $8x = 48$; $x = 6$. Проверка: $15 \cdot (53 - 48) = 75$.
4. $(6x - 29) \cdot 8 = 104$; $6x - 29 = 13$; $6x = 42$; $x = 7$. Проверка: $(42 - 29) \cdot 8 = 13 \cdot 8 = 104$.

Ответ: 1) 9; 2) 3; 3) 6; 4) 7.

№ 117

Найди $x$: 1) $(a + b) \cdot x = c$, где $13 + a = 30$, $a - 9 = b$ и $1000 : b = c$; 2) $(m - n) : x = k$, где $140 : n = 5$, $40 - n = k$ и $k + 88 = m$.

Как думать. Это квест: сначала по цепочке находим буквы-помощники, потом решаем главное уравнение.

Решение.

1. $13 + a = 30$, $a = 17$.
2. $b = a - 9 = 8$.
3. $c = 1000 : 8 = 125$.
4. $(17 + 8) \cdot x = 125$; $25x = 125$; $x = 5$.

Проверка: $25 \cdot 5 = 125$ ✓.

1. $140 : n = 5$, $n = 140 : 5 = 28$.
2. $k = 40 - 28 = 12$.
3. $m = 12 + 88 = 100$.
4. $(100 - 28) : x = 12$; $72 : x = 12$; $x = 6$.

Проверка: $72 : 6 = 12$ ✓.

Ответ: 1) 5; 2) 6.

№ 118

На 19 200 тг купили двух попугаев, щенка и котёнка. Щенок в 3 раза дороже котёнка, но в 2 раза дешевле попугая. Сколько стоят котёнок и попугай?

Как думать. Самый дешёвый — котёнок, он и будет $x$. Не забудь, что попугаев два.

Решение.

1. Котёнок $x$ тг, щенок $3x$, попугай $2 \cdot 3x = 6x$.
2. Два попугая: $12x$.
3. $12x + 3x + x = 19,200$; $16x = 19,200$; $x = 1200$.
4. Попугай: $6 \cdot 1200 = 7200$ тг.

Проверка: щенок 3600 тг; $2 \cdot 7200 + 3600 + 1200 = 14,400 + 4800 = 19,200$ ✓.

Ответ: котёнок 1200 тг, попугай 7200 тг.

№ 119

Сумма первой и второй сторон треугольника 37 см, второй и третьей — 41 см, первой и третьей — 32 см. Найди периметр и вторую сторону.

Как думать. Красивый трюк: сложи все три суммы. Каждая сторона попадёт туда дважды.

Решение.

1. $37 + 41 + 32 = 110$ см — это удвоенный периметр.
2. Периметр $110 : 2 = 55$ см.
3. Вторая сторона = периметр − (первая + третья): $55 - 32 = 23$ см.

Заодно: первая $55 - 41 = 14$ см, третья $55 - 37 = 18$ см. Проверка: $14 + 23 = 37$, $23 + 18 = 41$, $14 + 18 = 32$ ✓.

Ответ: периметр 55 см; вторая сторона 23 см.

№ 120

В трёх коробках шары. Из первой во вторую переложили 7 шаров — в первой осталось 12. Потом из второй в третью переложили 3 шара, и во всех коробках стало поровну. Сколько шаров было в каждой сначала? Реши уравнением.

Как думать. Первую коробку потом не трогали. Значит, в конце в каждой коробке по 12 шаров.

Решение.

1. Первая: $x - 7 = 12$, $x = 19$.
2. Вторая: было $y$, получила 7, отдала 3: $y + 7 - 3 = 12$; $y + 4 = 12$; $y = 8$.
3. Третья: было $z$, получила 3: $z + 3 = 12$; $z = 9$.

Проверка: $19 - 7 = 12$; $8 + 7 - 3 = 12$; $9 + 3 = 12$ ✓.

Ответ: 19, 8 и 9 шаров.

№ 121

Хан-Тенгри на 2022 м выше пика Талгар. Пик Манас на 491 м ниже Талгара и на 24 м ниже пика Музтау. Найди высоту Хан-Тенгри по справочнику, потом высоты остальных пиков и заполни таблицу.

Как думать. Это задание с поиском. По справочникам высота Хан-Тенгри — 6995 м (скальная вершина; с ледовой шапкой — около 7010 м). Проверь по источнику. Возьмём 6995 м.

Решение.

1. Талгар $x$ м: $x + 2022 = 6995$; $x = 4973$ м.
2. Манас: $4973 - 491 = 4482$ м.
3. Музтау: Манас на 24 м ниже, значит, $4482 + 24 = 4506$ м.

Если взять 7010 м, все числа станут на 15 м больше: 4497, 4521, 4988.

🌟 Хан-Тенгри — самый северный семитысячник планеты. В переводе его имя значит «Властелин неба».

Ответ: Талгар 4973 м, Манас 4482 м, Музтау 4506 м (при высоте Хан-Тенгри 6995 м).

Шпаргалка

• Уравнение — как весы: обе части равны.
• Уменьшаемое = разность + вычитаемое; множитель = произведение : другой множитель.
• Скобку сначала упрощай: $(12m - 5m) \cdot 4 = 7m \cdot 4$.
• Задача: обозначь $x$ → составь уравнение → реши → ответь → проверь.
• Проверка подстановкой — в каждом уравнении.

Мини-тест