1.11. Формулы. Вычисление по формулам

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава I: Натуральные числа и нуль. Страницы 54–59.

Чему научишься

• Понимать, что формула — это правило, записанное буквами.
• Находить периметр и площадь прямоугольника и квадрата.
• Считать путь, скорость и время по формуле $s = v \cdot t$, а стоимость — по $C = a \cdot n$.
• Находить объём коробки (прямоугольного параллелепипеда) и куба.
• Переводить всё в одинаковые единицы, прежде чем подставлять.

Разминка

Реши в уме, потом открой ответ.

• Прямоугольник 6 см на 4 см. Чему равен периметр? Обходим вокруг: $6 + 4 + 6 + 4 = 2 \cdot (6 + 4) = 20$ см.
• А если стороны 5 дм и 3 дм? $2 \cdot (5 + 3) = 16$ дм.
• Стороны 3 дм 2 см и 10 см? Сначала одинаковые единицы: 3 дм 2 см $= 32$ см. $P = 2 \cdot (32 + 10) = 84$ см.
• Автобус едет 60 км/ч. Сколько он проедет за 2 ч, 3 ч, 4 ч? $60 \cdot 2 = 120$ км, $60 \cdot 3 = 180$ км, $60 \cdot 4 = 240$ км.

💡 Заметил? Каждый раз ты делал одно и то же, только с другими числами. Периметр: $P = 2(a + b)$. Путь: $s = v \cdot t$. Это и есть формулы!

Разбираемся

Формула — это рецепт

Есть правила, которые нужны снова и снова: «путь — это скорость, умноженная на время». Писать это словами долго. Поэтому правило записывают буквами: $s = v \cdot t$. Такое равенство с буквами называется формулой.

Как считать по формуле:

1. Понять, что значит каждая буква.
2. Подставить вместо букв числа.
3. Посчитать.

Путь, скорость, время — на графике

$s = v \cdot t$: $s$ — путь, $v$ — скорость, $t$ — время. Посмотри, как растёт путь автобуса (60 км/ч) и велосипедиста (12 км/ч) с каждым часом. Нажми на точки.

Каждый час автобус добавляет 60 км, а велосипедист — только 12. Поэтому линия автобуса взлетает круто, а велосипедиста ползёт почти по земле.

Из $s = v \cdot t$ получаются ещё две формулы — как при поиске неизвестного множителя:

$v = s : t$, $\quad t = s : v$.

Пример. Велосипедист проехал 36 км за 3 ч. Скорость $v = 36 : 3 = 12$ км/ч.

Периметр и площадь

Периметр — длина «забора» вокруг фигуры. У прямоугольника с длиной $a$ и шириной $b$: $P = 2(a + b)$, или $P = 2a + 2b$. Квадрат — прямоугольник с равными сторонами, у него $P = 4a$.

Площадь — сколько клеточек-квадратиков помещается внутри. У прямоугольника $S = a \cdot b$, у квадрата $S = a \cdot a = a^2$.

Внутри 4 ряда по 5 клеток — $S = 5 \cdot 4 = 20$ м². Столько нужно линолеума. А вокруг $P = 2 \cdot (5 + 4) = 18$ м — столько нужно плинтуса.

⚠️ Частая ошибка. Путают периметр и площадь. Периметр — длина, он в см, м. Площадь — место внутри, она в см², м². Если площадь получилась «в см» — ищи ошибку.

Стоимость

$C = a \cdot n$: $C$ — стоимость, $a$ — цена одной штуки (или 1 кг), $n$ — количество.

Пример. 5 баурсаков по 80 тг стоят $80 \cdot 5 = 400$ тг.

Объём коробки

Прямоугольный параллелепипед — это фигура-коробка: кирпич, пачка сока, шкаф. У него длина $a$, ширина $b$ и высота $c$:

$V = a \cdot b \cdot c$.

Куб — коробка с равными рёбрами: $V = a \cdot a \cdot a = a^3$.

Объём показывает, сколько кубиков с ребром 1 см (или 1 м) поместится внутри. Единицы — см³, м³. Полезно помнить: 1 л $=$ 1 дм³ $=$ 1000 см³.

👨‍👩‍👧 Родителю. Возьмите коробку из-под обуви или чая. Пусть ребёнок измерит её и найдёт объём, а потом площадь дна. Так станет видно: объём — это площадь дна, умноженная на высоту.

Два золотых правила

1. Перед подстановкой все величины — в одинаковых единицах. Метры на сантиметры не умножают.
2. В самой формуле единицы не пишут. Их ставят в ответе.

⚠️ Частая ошибка. Длина 2 м, ширина 50 см. Пишут $S = 2 \cdot 50 = 100$. Неверно! Сначала 2 м $=$ 200 см, тогда $S = 200 \cdot 50 = 10,000$ см² (это 1 м²).

Проверь, как понял

Проверь себя

• Чему равен периметр прямоугольника? Удвоенной сумме длины и ширины: $P = 2(a + b)$.
• Какая формула у площади прямоугольника? $S = a \cdot b$, где $a$ — длина, $b$ — ширина.
• Какая формула у пути и что значат буквы? $s = v \cdot t$: $s$ — путь, $v$ — скорость, $t$ — время.
• Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда? Произведению длины, ширины и высоты: $V = a \cdot b \cdot c$.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 122

Четыре цепочки: каждое действие выполняем с результатом предыдущего.

Как думать. Не торопись: ошибёшься в начале — неверной будет вся цепочка.

Решение.

1. $17 + 43 = 60$; $60 : 12 = 5$; $5 \cdot 15 = 75$; $75 - 35 = 40$; $40 \cdot 11 = 440$.
2. $80 - 26 = 54$; $54 : 18 = 3$; $3 + 97 = 100$; $100 - 36 = 64$; $64 \cdot 3 = 192$.
3. $100 - 65 = 35$; $35 \cdot 5 = 175$; $175 + 25 = 200$; $200 : 8 = 25$; $25 + 75 = 100$.
4. $90 - 24 = 66$; $66 : 3 = 22$; $22 + 48 = 70$; $70 : 5 = 14$; $14 \cdot 3 = 42$.

Ответ: 1) 440; 2) 192; 3) 100; 4) 42.

Уровень A

№ 123

Куб с ребром 6 см распилили на кубики с ребром 2 см. Сколько получилось кубиков? Варианты: 27, 24, 34, 30.

Как думать. Посчитаем, сколько маленьких кубиков уложится вдоль каждого ребра.

Решение.

1. Вдоль одного ребра: $6 : 2 = 3$ кубика.
2. Длина, ширина и высота одинаковы: $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ кубиков.

Проверка объёмами: $6^3 = 216$ см³, $2^3 = 8$ см³, $216 : 8 = 27$.

Ответ: A. 27 кубов.

№ 124

1) Коробка 12 см длиной, 9 см шириной и 5 см высотой. Найди объём. 2) Объём комнаты 72 м³, высота 3 м. Найди площадь пола.

Как думать. Объём — это площадь дна, умноженная на высоту. Значит, площадь дна — объём, делённый на высоту.

Решение.

1. $V = 12 \cdot 9 \cdot 5 = 108 \cdot 5 = 540$ см³.
2. $V = S \cdot c$, значит, $S = V : c = 72 : 3 = 24$ м².

Ответ: 1) 540 см³; 2) 24 м².

№ 125

2 порции мороженого стоили 240 тг. Порция подешевела на 30 тг. Сколько стоят теперь 4 порции? Заполни таблицу: цена $a$, количество $n$, стоимость $C$.

Как думать. По формуле $C = a \cdot n$ сначала найдём цену: $a = C : n$.

Решение.

1. Старая цена: $a = 240 : 2 = 120$ тг.
2. Новая цена: $120 - 30 = 90$ тг.
3. Стоимость 4 порций: $C = 90 \cdot 4 = 360$ тг.

Ответ: 360 тг.

№ 126

Треугольник $ABC$: основание $AC$, высота из $B$ равна 6 см и делит $AC$ на куски 4 см и 8 см. Дострой его до прямоугольника и найди площади прямоугольника и треугольника.

Как думать. Высота делит треугольник на два прямоугольных. Каждый из них — ровно половина своего прямоугольника, разрезанного по диагонали.

Решение.

1. Достраиваем: через $B$ ведём линию, параллельную $AC$, а из $A$ и $C$ — перпендикуляры к ней. Получится прямоугольник $4 + 8 = 12$ см на 6 см.
2. Площадь прямоугольника: $12 \cdot 6 = 72$ см².
3. Высота делит его на части $4 \cdot 6 = 24$ см² и $8 \cdot 6 = 48$ см². Треугольник занимает половину каждой: $24 : 2 + 48 : 2 = 12 + 24 = 36$ см².

Ответ: площадь прямоугольника 72 см², площадь треугольника $ABC$ — 36 см² (ровно половина).

Уровень B

№ 127

Собака бежит за зайцем со скоростью 16 м/с, заяц удирает со скоростью 12 м/с. Собака догнала зайца за 13 с. 1) Какое было расстояние между ними? 2) Что значит число 4 в выражении?

Как думать. Каждую секунду собака пробегает на несколько метров больше зайца. На столько и тает расстояние между ними.

Решение.

1. За 1 с расстояние сокращается на $16 - 12 = 4$ м.
2. За 13 с оно стало нулём: $(16 - 12) \cdot 13 = 4 \cdot 13 = 52$ м.

Число 4 — скорость сближения: на 4 м собака подбирается к зайцу каждую секунду.

Ответ: 1) 52 м; 2) 4 м/с — на столько метров за секунду уменьшается расстояние между собакой и зайцем.

№ 128

Пруд прямоугольный, 45 м на 38 м. Изгородь поставили в 2 м от пруда. Какова длина изгороди? Варианты: 130, 140, 160, 182 м.

Как думать. Изгородь — тоже прямоугольник, только больше. Отступ 2 м есть с обеих сторон, значит, к длине и к ширине добавляем по $2 + 2 = 4$ м.

Решение.

1. Длина изгороди: $45 + 4 = 49$ м, ширина: $38 + 4 = 42$ м.
2. $P = 2 \cdot (49 + 42) = 2 \cdot 91 = 182$ м.

Ответ: D. 182 м.

⚠️ Частая ошибка. Прибавляют 2 м только один раз: $45 + 2$ и $38 + 2$. Нарисуй схему: отступ есть и слева, и справа, и сверху, и снизу.

№ 129

От квадратного листа жести отрезали полосу шириной 5 см. Осталось 150 см². Какой была площадь листа?

Как думать. Пусть сторона квадрата $a$ см. После отрезания остался прямоугольник $a$ на $a - 5$. Подберём $a$.

Решение.

1. Нужно, чтобы $a \cdot (a - 5) = 150$.
2. Пробуем: $a = 12$: $12 \cdot 7 = 84$ — мало; $a = 15$: $15 \cdot 10 = 150$ — подходит!
3. Сторона 15 см, площадь $15 \cdot 15 = 225$ см².

Проверка: полоса $15 \cdot 5 = 75$ см², $225 - 75 = 150$ см² ✓.

Ответ: 225 см².

№ 130

У Асхата было 500 тг. Он купил 7 тетрадей по 25 тг и 3 ручки по 80 тг. Что неизвестно? Задай вопрос.

Как думать. Знаем, сколько было денег и что купили. Не знаем, сколько денег осталось. Вопрос: «Сколько денег осталось у Асхата?»

Решение.

1. Тетради: $25 \cdot 7 = 175$ тг.
2. Ручки: $80 \cdot 3 = 240$ тг.
3. Вся покупка: $175 + 240 = 415$ тг.
4. Осталось: $500 - 415 = 85$ тг.

Ответ: неизвестно, сколько денег осталось. Вопрос: «Сколько тенге осталось у Асхата?» — 85 тг. (Можно спросить и другое: сколько стоили все тетради — 175 тг; на сколько ручки дороже тетрадей — на 65 тг.)

№ 131

Куб с ребром 1 дм распилили на кубики с ребром 1 см и поставили их друг на друга в башню. Какой она будет высоты? Варианты: 8, 10, 9, 5 м.

Как думать. Сначала узнай, сколько кубиков получится. Каждый добавит башне 1 см.

Решение.

1. 1 дм $= 10$ см. Вдоль ребра 10 кубиков, всего $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$ кубиков.
2. Башня: $1000$ см $= 10$ м — выше трёхэтажного дома!

Ответ: B. 10 м.

№ 132

Верно ли: 1) любая «коробка» (прямоугольный параллелепипед) — куб; 2) любой квадрат — прямоугольник; 3) противоположные грани параллелепипеда равны; 4) любой куб — параллелепипед; 5) любой прямоугольник — квадрат?

Как думать. Куб — особый параллелепипед, квадрат — особый прямоугольник. Особое всегда входит в общее, а не наоборот. Как любой кот — животное, но не любое животное — кот.

Решение.

1. Неверно: у кирпича длина, ширина и высота разные.
2. Верно: у квадрата все углы прямые.
3. Верно.
4. Верно: куб — параллелепипед с равными рёбрами.
5. Неверно: у прямоугольника 5 см на 3 см стороны не равны.

Ответ: верны 2, 3, 4; неверны 1 и 5.

№ 133

Коробку начали заполнять кубиками с ребром 1 см. В длину помещается 5 кубиков, в высоту — 5, вглубь — 3. Сколько кубиков войдёт? Каков объём коробки?

Как думать. Заполняем слоями: сначала дно, потом ставим такие же слои друг на друга.

Решение.

1. Один слой на дне: $5 \cdot 3 = 15$ кубиков.
2. Слоёв 5: $15 \cdot 5 = 75$ кубиков.
3. Каждый кубик — 1 см³, значит, объём 75 см³.

Ответ: 75 кубиков, объём 75 см³.

Уровень C

№ 134

Участок 75 м на 30 м. Столбики стоят по углам и вдоль сторон через каждые 3 м. По ним натянули 5 рядов проволоки. Сколько столбиков? Сколько метров проволоки?

Как думать. Забор замкнутый: обходишь по кругу — и последний промежуток упирается в первый столбик. Поэтому столбиков столько же, сколько промежутков.

Решение.

1. Периметр: $2 \cdot (75 + 30) = 210$ м.
2. Промежутков по 3 м: $210 : 3 = 70$. Столбиков тоже 70. (Углы попадают на столбики: 75 и 30 делятся на 3.)
3. Один ряд проволоки — 210 м, пять рядов: $210 \cdot 5 = 1050$ м.

Ответ: 70 столбиков; 1050 м проволоки.

👨‍👩‍👧 Родителю. Если ребёнок колеблется «70 или 71», нарисуйте квадрат со стороной 6 и столбики через 3. Вокруг 24 единицы, промежутков 8, столбиков тоже 8 — по углам и посередине сторон.

№ 135

Треугольник $ABC$ вписан в прямоугольник 14 см на 6 см: $B$ — левый верхний угол, $C$ — правый нижний, $A$ — на нижней стороне, $AC = 9$ см. Найди площадь треугольника.

Как думать. Назовём левый нижний угол буквой $D$. Треугольник $BDC$ — половина прямоугольника. Из него вырежем лишний треугольник $BDA$.

Решение.

1. Площадь прямоугольника: $14 \cdot 6 = 84$ см². Треугольник $BDC$ — половина: $84 : 2 = 42$ см².
2. $DA = 14 - 9 = 5$ см. Треугольник $BDA$ — половина прямоугольника $5 \cdot 6$: $30 : 2 = 15$ см².
3. Площадь $ABC$: $42 - 15 = 27$ см².

Проверка: $ABC$ — половина прямоугольника 9 на 6 см: $9 \cdot 6 : 2 = 27$ ✓.

Ответ: 27 см².

№ 136

Квадраты №1, №2, №3 стоят в ряд на прямоугольнике №5, вместе они шириной как №5. Справа примыкает квадрат №4: низ — на уровне низа №5, верх — на уровне верха №3. Периметр №1 — 32 см, №2 — 24 см, площадь №3 — 25 см², площадь №5 — 133 см². Найди площадь №4.

Как думать. Из периметров и площадей найди стороны квадратов. Длина №5 — это сумма сторон №1, №2, №3. А сторона №4 состоит из ширины №5 и стороны №3.

Решение.

1. Сторона №1: $32 : 4 = 8$ см. №2: $24 : 4 = 6$ см. №3: 5 см, так как $5 \cdot 5 = 25$.
2. Длина №5: $8 + 6 + 5 = 19$ см. Ширина: $133 : 19 = 7$ см.
3. Сторона №4: $7 + 5 = 12$ см.
4. Площадь №4: $12 \cdot 12 = 144$ см².

Ответ: 144 см².

№ 137

Конфеты трёх сортов разложили в 22 пакета, в каждом пакете один сорт. Докажи, что обязательно найдутся 8 пакетов с одним и тем же сортом.

Как думать. Задача на смекалку. Рассуждаем «от противного»: представим, что так не вышло, — и посмотрим, что сломается.

Решение.

1. Пусть каждого сорта не больше 7 пакетов.
2. Тогда всего пакетов не больше $7 \cdot 3 = 21$.
3. А их 22 — больше 21. Противоречие!
4. Значит, какого-то сорта не меньше 8 пакетов.

Ответ: доказано: если бы каждого сорта было не больше 7 пакетов, всего было бы не больше 21 пакета, а их 22.

№ 138

На каждые 5 м² водохранилища выпало 350 л дождя. На сколько сантиметров поднялась вода?

Как думать. Вода на участке 5 м² — это тонкий «слой-коробка» с дном 5 м² и объёмом 350 л. Высота слоя = объём : площадь дна. Всё переводим в сантиметры.

Решение.

1. 1 л $=$ 1000 см³, значит, $350$ л $= 350,000$ см³.
2. 1 м² $= 100 \cdot 100 = 10,000$ см², значит, $5$ м² $= 50,000$ см².
3. Высота: $350,000 : 50,000 = 7$ см.

Ответ: на 7 см.

№ 139

Длина коробки-параллелепипеда в 3 раза больше ширины, а высота в 2 раза меньше ширины. Сумма трёх измерений 54 см. Плоскость по диагонали режет коробку на две равные части, одна закрашена. Найди объём закрашенной части.

Как думать. Удобно взять за одну часть самое маленькое измерение — высоту. Тогда ширина 2 части, длина $2 \cdot 3 = 6$ частей.

Решение.

1. Всего частей: $1 + 2 + 6 = 9$. Одна часть: $54 : 9 = 6$ см.
2. Высота 6 см, ширина 12 см, длина 36 см.
3. Объём: $36 \cdot 12 \cdot 6 = 2592$ см³.
4. Закрашена половина: $2592 : 2 = 1296$ см³.

Ответ: 1296 см³.

№ 140

Ящик 60 см на 24 см на 20 см. Коробка конфет 15 см на 8 см на 10 см. Сколько коробок войдёт в ящик?

Как думать. Укладываем коробки рядами: сколько встанет в длину, в ширину и сколько слоёв в высоту.

Решение.

1. По длине: $60 : 15 = 4$ коробки.
2. По ширине: $24 : 8 = 3$ коробки.
3. По высоте: $20 : 10 = 2$ слоя.
4. Всего: $4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ коробки.

Проверка объёмами: ящик $60 \cdot 24 \cdot 20 = 28,800$ см³, коробка $15 \cdot 8 \cdot 10 = 1200$ см³, $28,800 : 1200 = 24$ ✓.

Ответ: 24 коробки.

Шпаргалка

• Формула — правило, записанное равенством с буквами.
• Прямоугольник: $P = 2(a + b)$, $S = a \cdot b$. Квадрат: $P = 4a$, $S = a^2$.
• Движение: $s = v \cdot t$, $v = s : t$, $t = s : v$. Стоимость: $C = a \cdot n$.
• Параллелепипед: $V = a \cdot b \cdot c$. Куб: $V = a^3$.
• Сначала одинаковые единицы, в ответе — правильные: см, см², см³.

Мини-тест