1.12. Числовые последовательности

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава I: Натуральные числа и нуль. Страницы 60–62.

Чему научишься

• Узнавать числовую последовательность и называть её члены.
• Понимать запись $a_1; a_2; a_3; \ldots; a_n$ — что значит маленький номер внизу.
• Разгадывать правило и продолжать ряд вперёд и назад.
• Находить любой член, хоть сотый, по формуле $n$-го члена.

Разбираемся

Числа, которые стоят в очереди

Представь очередь в буфет: первый, второй, третий… У каждого своё место. Если выписать нечётные числа, начиная с 3, получится такая же «очередь»: 3; 5; 7; 9; 11; 13; …

Это числовая последовательность — числа, записанные одно за другим в определённом порядке. Каждое число в ней — член последовательности. Поменяешь порядок — получится уже другая последовательность.

Номерок внизу

Члены обозначают одной буквой с маленьким номером внизу: $a_1; a_2; a_3; a_4; \ldots; a_n; \ldots$ Читают: «а первое, а второе, …, а энное». Номер внизу называют индексом — это как номерок в гардеробе: он показывает место, а не то, что там висит.

Букву можно взять любую: $b$, $c$, $x$. Всю последовательность коротко пишут $(a_n)$. У нечётных чисел с тройки: $a_1 = 3$, $a_2 = 5$, $a_3 = 7$.

Посмотри на картинку: по горизонтали — номер места, по вертикали — сам член. Точки ровно поднимаются «лесенкой», потому что каждый раз прибавляем 2.

⚠️ Частая ошибка. Путают номер и сам член. В ряду 3; 5; 7; … запись $a_3$ — это «третий член», и он равен 7, а не 3.

Какие бывают последовательности

• 4; 7; 10; 13; 16; … — каждый раз +3.
• 3; 2; 3; 2; 3; 2; … — числа чередуются.
• 7; 7; 7; 7; … — все одинаковые. Такую называют постоянной.

Формула — машинка для любого номера

Чтобы найти сотый член, не хочется выписывать все сто. Выручает формула $n$-го члена: в неё вместо $n$ подставляешь номер — и сразу получаешь член. Например, $a_n = 2n + 1$:

• $a_1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3$;
• $a_2 = 2 \cdot 2 + 1 = 5$;
• $a_{10} = 2 \cdot 10 + 1 = 21$.

Ещё пара примеров. Если $x_n = (n + 3) \cdot 2$, то $x_5 = (5 + 3) \cdot 2 = 16$, $x_7 = (7 + 3) \cdot 2 = 20$. Если $c_n = n^2 + 1$, то $c_1 = 2$, $c_2 = 5$, $c_3 = 10$, $c_4 = 17$.

Как разгадать правило

1. Посмотри, на сколько отличаются соседи. Каждый раз прибавляют (или отнимают) одно и то же?
2. Если разница растёт — может, каждый раз умножают на одно и то же?
3. Сравни члены с номерами: может, это квадраты номеров — 1, 4, 9, 16?

💡 Нашёл правило — проверь его на всех данных числах, а не только на первых двух. Иначе можно ошибиться.

👨‍👩‍👧 Родителю. Поиграйте в «угадай правило»: вы называете 3–4 числа (например, 5; 10; 20; 40), ребёнок называет следующее и объясняет правило словами. Потом поменяйтесь ролями.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Что такое числовая последовательность? Числа, записанные по порядку, у каждого свой номер. Например, 2; 4; 6; 8; … (чётные) или 1; 4; 9; 16; … (квадраты).
• Как обозначают последовательность буквами? $a_1; a_2; a_3; \ldots; a_n; \ldots$ или коротко $(a_n)$.
• Что показывают индексы? Номер места члена в последовательности.
• Как составить последовательность по формуле $n$-го члена? Подставлять вместо $n$ по очереди 1, 2, 3, … и считать — получатся первый, второй, третий члены и так далее.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 141

Найди правило и допиши три следующих числа: 1) 7; 9; 11; 13; 15; …; 2) 3; 6; 12; 24; 48; …; 3) 542; 532; 522; 512; …

Как думать. Сравни соседей. В первом ряду разница одна и та же, во втором числа удваиваются, в третьем — уменьшаются.

Решение.

1. Каждый раз +2: 17; 19; 21.
2. Каждый раз в 2 раза больше: $48 \cdot 2 = 96$; $96 \cdot 2 = 192$; $192 \cdot 2 = 384$.
3. Каждый раз на 10 меньше: 502; 492; 482.

Ответ: 1) 17; 19; 21; 2) 96; 192; 384; 3) 502; 492; 482.

№ 142

Допиши четыре числа перед данными: 1) …; 26; 31; 36; 41; …; 2) …; 32; 64; 128; 256; …

Как думать. Идём назад — значит, делаем обратное действие. Вперёд прибавляли — назад отнимаем. Вперёд умножали — назад делим.

Решение.

1. Вперёд +5, назад −5: $26 - 5 = 21$, $21 - 5 = 16$, $16 - 5 = 11$, $11 - 5 = 6$.
2. Вперёд ·2, назад :2: $32 : 2 = 16$, $16 : 2 = 8$, $8 : 2 = 4$, $4 : 2 = 2$.

Ответ: 1) 6; 11; 16; 21; 26; 31; …; 2) 2; 4; 8; 16; 32; 64; …

№ 143

Найди формулу $n$-го члена: 1) 1; 4; 9; 16; 25; …; 2) 0; 3; 8; 15; 24; …

Как думать. Поставь под каждым числом его номер и подумай, что нужно сделать с номером.

Решение.

1. $1 = 1 \cdot 1$, $4 = 2 \cdot 2$, $9 = 3 \cdot 3$, $16 = 4 \cdot 4$, $25 = 5 \cdot 5$. Член — это номер, умноженный сам на себя: $a_n = n^2$.
2. Каждое число на 1 меньше, чем в первом ряду: $0 = 1 - 1$, $3 = 4 - 1$, $8 = 9 - 1$, … Значит, $x_n = n^2 - 1$.

Ответ: 1) $a_n = n^2$; 2) $x_n = n^2 - 1$.

Уровень B

№ 144

Придумай правило для ряда 1; 3; 9; 27; 81; … Запиши и прочитай три следующих числа.

Как думать. $3 = 1 \cdot 3$, $9 = 3 \cdot 3$, $27 = 9 \cdot 3$ — числа каждый раз утраиваются.

Решение. $81 \cdot 3 = 243$, $243 \cdot 3 = 729$, $729 \cdot 3 = 2187$.

Ответ: правило «умножай на 3»; 243 (двести сорок три), 729 (семьсот двадцать девять), 2187 (две тысячи сто восемьдесят семь).

№ 145

Заполни таблицу первых пяти членов последовательности $a_n = 4n - 3$.

Как думать. Подставляем номера 1, 2, 3, 4, 5 вместо $n$ по очереди.

Решение. $a_1 = 4 \cdot 1 - 3 = 1$; $a_2 = 8 - 3 = 5$; $a_3 = 12 - 3 = 9$; $a_4 = 16 - 3 = 13$; $a_5 = 20 - 3 = 17$.

Ответ: 1; 5; 9; 13; 17.

№ 146

Есть 8 одинаковых на вид колец, одно чуть легче остальных. Весы чашечные, гирь нет. За какое наименьшее число взвешиваний найдёшь лёгкое кольцо?

Как думать. Задача на смекалку. У весов три исхода: левая чаша легче, правая легче или равновесие. Значит, кольца выгодно делить не на две, а на три кучки.

Решение. Кучки 3, 3, 2 → первое взвешивание показывает, в какой кучке лёгкое кольцо → второе взвешивание находит его. Одним взвешиванием не обойтись.

Ответ: за 2 взвешивания.

Уровень C

№ 147

Допиши по три числа до и после: 1) …; 45; 55; 65; 75; …; 2) …; 925; 900; 875; 850; …

Как думать. Найди шаг. Вперёд — по шагу, назад — обратным действием.

Решение.

1. Шаг +10. Назад: 35; 25; 15. Вперёд: 85; 95; 105.
2. Шаг −25. Назад (прибавляем 25): 950; 975; 1000. Вперёд: 825; 800; 775.

Ответ: 1) 15; 25; 35; 45; 55; 65; 75; 85; 95; 105; 2) 1000; 975; 950; 925; 900; 875; 850; 825; 800; 775.

№ 148

Последовательность задана формулой $x_n = (2n + 1) \cdot 3$. Заполни таблицу первых шести членов.

Как думать. Подставляем номер, считаем скобку, умножаем на 3.

Решение. $x_1 = 3 \cdot 3 = 9$; $x_2 = 5 \cdot 3 = 15$; $x_3 = 7 \cdot 3 = 21$; $x_4 = 9 \cdot 3 = 27$; $x_5 = 11 \cdot 3 = 33$; $x_6 = 13 \cdot 3 = 39$.

💡 Каждый следующий член на 6 больше предыдущего. Удобная проверка!

Ответ: 9; 15; 21; 27; 33; 39.

№ 149

Допиши по три следующих числа: 1) первое 4, второе 7, а каждое следующее — сумма двух предыдущих; 2) первое 2, второе 3, а каждое следующее — произведение двух предыдущих.

Как думать. Каждый раз берём два числа, стоящих прямо перед искомым.

Решение.

1. $4 + 7 = 11$; $7 + 11 = 18$; $11 + 18 = 29$. Ряд: 4; 7; 11; 18; 29; …
2. $2 \cdot 3 = 6$; $3 \cdot 6 = 18$; $6 \cdot 18 = 108$. Ряд: 2; 3; 6; 18; 108; …

Ответ: 1) 11; 18; 29; 2) 6; 18; 108.

⚠️ Частая ошибка. Во втором пункте берут первое и последнее число и получают $2 \cdot 6 = 12$. Нужны только два соседа прямо перед искомым.

№ 150

Заполни пустые клетки трёх квадратов 3 × 3, чтобы они стали «магическими»: суммы по строкам, столбцам и обеим диагоналям одинаковые, а числа не повторяются.

Как думать. Найди линию (строку, столбец или диагональ), где известны все три числа, — её сумма и есть «магическая». Дальше ищи линии, где не хватает одного числа, и находи его вычитанием.

Решение.

Квадрат 1. Магическая сумма 30 (шаги выше).

Квадрат 2. Правый столбец известен целиком: $11 + 1 + 15 = 27$ — магическая сумма 27.

1. Средняя строка: $27 - 17 - 1 = 9$ (центр).
2. Диагональ из правого верхнего угла: $27 - 11 - 9 = 7$ (левый нижний).
3. Диагональ из левого верхнего угла: $27 - 9 - 15 = 3$.
4. Верхняя строка: $27 - 3 - 11 = 13$. Нижняя строка: $27 - 7 - 15 = 5$.

Квадрат 3. Нижняя строка известна: $22 + 7 + 10 = 39$ — магическая сумма 39.

1. Левый столбец: $39 - 1 - 22 = 16$ (левый верхний).
2. Диагональ из левого верхнего угла: $39 - 16 - 10 = 13$ (центр).
3. Средняя строка: $39 - 1 - 13 = 25$.
4. Вторая диагональ: $39 - 22 - 13 = 4$ (правый верхний).
5. Верхняя строка: $39 - 16 - 4 = 19$.

Проверка: во всех квадратах суммы строк, столбцов и диагоналей одинаковые, числа не повторяются.

Ответ: квадраты заполнены выше; магические суммы 30, 27 и 39.

🌟 Магические квадраты знали ещё в Древнем Китае больше двух тысяч лет назад. Их рисовали на амулетах «на удачу».

Шпаргалка

• Обозначение: $a_1; a_2; \ldots; a_n; \ldots$ или $(a_n)$.
• По формуле любой член находят подстановкой номера: $a_n = 4n - 3$, $a_5 = 17$.
• Правило ищем по разнице соседей, по частному или сравнивая с номером.
• Найденное правило проверяем на всех данных числах.

Мини-тест