Упражнения для повторения главы I

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава I: Натуральные числа и нуль. Страницы 63–65.

Что повторяем

Это «тренировочный матч» по всей главе. Если какая-то задача не идёт — загляни в нужный пункт.

• Разряды, классы, сумма разрядных слагаемых — п. 1.1 (№ 151, 152).
• Координатный луч и единичный отрезок — п. 1.2 (№ 153).
• Сравнение чисел, двойное неравенство — п. 1.3 (№ 151).
• Сложение и вычитание, отрезок из частей — п. 1.4 (№ 157, 159).
• Умножение и деление, свойство частного — п. 1.5 (№ 163, 165).
• Свойства действий: переместительное, сочетательное, распределительное — п. 1.6 (№ 155, 161).
• Порядок действий — п. 1.7 (№ 151, 158).
• Числовые и буквенные выражения — п. 1.8 (№ 151, 154).
• Упрощение выражений, подобные слагаемые — п. 1.9 (№ 155, 161).
• Уравнения и задачи на уравнения — п. 1.10 (№ 156, 157).
• Формулы: периметр, площадь, объём, путь, стоимость — п. 1.11 (№ 160, 162, 164, 165, 166).
• Последовательности и закономерности — п. 1.12 (№ 159).

Разомнись перед матчем: переверни карточки и проверь, всё ли помнишь.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 151

Запиши выражением и посчитай: 1) сумму 18 и 25 умножь на 3; 2) разность 95 и 23 раздели на 4; 3) сложи наибольшее двузначное и наименьшее трёхзначное число.

Как думать. «Произведение суммы и числа» — значит, сумма идёт в скобки, а потом умножаем.

Решение.

1. $(18 + 25) \cdot 3 = 43 \cdot 3 = 129$.
2. $(95 - 23) : 4 = 72 : 4 = 18$.
3. Наибольшее двузначное — 99, наименьшее трёхзначное — 100: $99 + 100 = 199$.

Ответ: 1) 129; 2) 18; 3) 199.

№ 152

1. Собери числа: $2 \cdot 100 + 5 \cdot 10 + 7$; $9 \cdot 100 + 7 \cdot 10 + 5$; $3 \cdot 1000 + 6 \cdot 100 + 8$; $7 \cdot 1000 + 9 \cdot 10 + 3$; $9 \cdot 10,000 + 7 \cdot 100 + 3 \cdot 10$; $4 \cdot 10,000 + 2 \cdot 1000 + 6$. 2. Разложи на разрядные слагаемые 815; 1365; 40 910; 5 317 946.

Как думать. Какого разряда в сумме нет — на его месте в числе ставим 0.

Решение.

Часть 1:

1. $200 + 50 + 7 = 257$;
2. $900 + 70 + 5 = 975$;
3. $3000 + 600 + 8 = 3608$ (десятков нет);
4. $7000 + 90 + 3 = 7093$ (сотен нет);
5. $90,000 + 700 + 30 = 90,730$ (тысяч и единиц нет);
6. $40,000 + 2000 + 6 = 42,006$ (сотен и десятков нет).

Часть 2:

1. $815 = 800 + 10 + 5 = 8 \cdot 100 + 1 \cdot 10 + 5$;
2. $1365 = 1000 + 300 + 60 + 5 = 1 \cdot 1000 + 3 \cdot 100 + 6 \cdot 10 + 5$;
3. $40,910 = 40,000 + 900 + 10 = 4 \cdot 10,000 + 9 \cdot 100 + 1 \cdot 10$;
4. $5,317,946 = 5,000,000 + 300,000 + 10,000 + 7000 + 900 + 40 + 6$.

Ответ: 1) 257; 975; 3608; 7093; 90 730; 42 006. 2) разложения записаны выше.

№ 153

На координатном луче единичный отрезок 2 см. Отмечены точки $A(2)$, $B(4)$, $C(5)$. Найди длины $OA$, $OB$, $OC$.

Как думать. Координата — это сколько единичных отрезков от $O$ до точки. А каждый отрезок здесь — 2 см.

Решение.

1. $OA = 2 \cdot 2 = 4$ см.
2. $OB = 4 \cdot 2 = 8$ см.
3. $OC = 5 \cdot 2 = 10$ см.

Ответ: $OA = 4$ см, $OB = 8$ см, $OC = 10$ см.

№ 154

1) 2 машины за рейс везут $a$ т угля. Сколько тонн увезут 8 машин за $b$ рейсов? Посчитай при $a = 6$, $b = 4$. 2) В мастерской $m$ настенных часов, будильников в 2 раза больше, наручных в 3 раза больше, чем настенных. Сколько всего часов? Посчитай при $m = 4$.

Как думать. Сначала узнай, сколько везёт одна машина за рейс, — дальше всё просто.

Решение.

1. Одна машина за рейс: $a : 2$ т. 8 машин за рейс: $(a : 2) \cdot 8 = 4a$ т. За $b$ рейсов: $4a \cdot b = 4ab$ т. При $a = 6$, $b = 4$: $4 \cdot 6 \cdot 4 = 96$ т.
2. Будильников $2m$, наручных $3m$. Всего: $m + 2m + 3m = 6m$. При $m = 4$: $6 \cdot 4 = 24$ часа.

Ответ: 1) $4ab$ т; 96 т. 2) $6m$; 24 часа.

Уровень B

№ 155

Упрости: 1) $46 + a + 24 + a$; 2) $25 \cdot 9 \cdot b \cdot 4$; 3) $57 + b + 43 + b$; 4) $96a + 4a$; 5) $89m - 9m$; 6) $72n + 28n$.

Как думать. Числа дружат с числами, буквы — с буквами. А в произведении сначала найди «волшебную пару» $25 \cdot 4 = 100$.

Решение.

1. $(46 + 24) + (a + a) = 70 + 2a$;
2. $(25 \cdot 4) \cdot 9 \cdot b = 100 \cdot 9 \cdot b = 900b$;
3. $(57 + 43) + (b + b) = 100 + 2b$;
4. $(96 + 4)a = 100a$;
5. $(89 - 9)m = 80m$;
6. $(72 + 28)n = 100n$.

Ответ: 1) $70 + 2a$; 2) $900b$; 3) $100 + 2b$; 4) $100a$; 5) $80m$; 6) $100n$.

⚠️ Частая ошибка. В первом пишут $72a$, складывая всё подряд. Но 70 и $2a$ — разные слагаемые, в одно их не сложить: $70 + 2a$ — это и есть ответ.

№ 156

Реши уравнения: 1) $6m + m - 35 = 21$; 2) $17n + 14n - 145 = 134$; 3) $5n + 9n + 32 = 200$; 4) $(x + 57) : 7 = 12$; 5) $(161 - y) : 16 = 9$; 6) $112 : (17 + x) = 4$.

Как думать. В первых трёх сначала собери подобные слагаемые слева. В последних трёх считай скобку одним «неизвестным кусочком».

Решение.

1. $7m - 35 = 21$; $7m = 21 + 35 = 56$; $m = 56 : 7 = 8$.
2. $31n - 145 = 134$; $31n = 279$; $n = 279 : 31 = 9$.
3. $14n + 32 = 200$; $14n = 168$; $n = 168 : 14 = 12$.
4. $x + 57 = 12 \cdot 7 = 84$; $x = 84 - 57 = 27$.
5. $161 - y = 9 \cdot 16 = 144$; $y = 161 - 144 = 17$.
6. $17 + x = 112 : 4 = 28$; $x = 28 - 17 = 11$.

Проверка, например, для 6): $112 : (17 + 11) = 112 : 28 = 4$. Верно.

Ответ: 1) $m = 8$; 2) $n = 9$; 3) $n = 12$; 4) $x = 27$; 5) $y = 17$; 6) $x = 11$.

№ 157

На отрезке $AB$ по порядку стоят точки $A$, $C$, $D$, $B$. $AD$ на 5 см меньше $AB$ и на 4 см больше $AC$. $AC$ в 3 раза меньше $CB$. Найди $AB$.

Как думать. Возьми самый маленький кусок $AC$ за $x$. Тогда всё остальное выразится через $x$, а $AD$ получится записать двумя способами.

Решение. $AC = x$, $AB = 4x$; $x + 4 = 4x - 5$, $x = 3$; $AB = 12$ см.

Проверка: $AC = 3$, $CB = 9$, $AD = 7$; $12 - 5 = 7$ и $3 + 4 = 7$. Верно.

Ответ: $AB = 12$ см.

👨‍👩‍👧 Родителю. Если уравнение с $x$ в обеих частях пока трудно, можно подбирать: $x = 1$ даёт $AD = 5$ и $AD = -1$ — не подходит; $x = 2$ даёт 6 и 3; $x = 3$ даёт 7 и 7 — совпало. Попросите ребёнка нарисовать отрезок в масштабе: сразу видно, правдоподобен ли ответ.

№ 158

Страницы нумеруют с 3-й. Сколько цифр нужно, чтобы пронумеровать страницы по 110-ю включительно?

Как думать. У номеров разная длина, поэтому считаем по группам — как в № 13.

Решение.

1. Страницы 3–9: 7 страниц по 1 цифре — 7 цифр.
2. Страницы 10–99: 90 страниц по 2 цифры — 180 цифр.
3. Страницы 100–110: 11 страниц по 3 цифры — 33 цифры.
4. Всего: $7 + 180 + 33 = 220$ цифр.

Ответ: 220 цифр.

№ 159

15 яблонь растут в ряд через каждые 6 м. Найди расстояние между крайними яблонями и между 7-й и 12-й.

Как думать. Промежутков между деревьями на один меньше, чем самих деревьев. Посчитай на пальцах: между 2 деревьями — 1 промежуток.

Решение.

1. Между 15 яблонями $15 - 1 = 14$ промежутков: $14 \cdot 6 = 84$ м.
2. От 7-й до 12-й яблони $12 - 7 = 5$ промежутков: $5 \cdot 6 = 30$ м.

Ответ: 84 м; 30 м.

№ 160

У квадрата и прямоугольника одинаковые периметры. Площадь квадрата 81 см². Длина прямоугольника в 2 раза больше ширины. Найди площадь прямоугольника.

Как думать. Через площадь квадрата найди его сторону, потом периметр. Он же — периметр прямоугольника.

Решение.

1. Сторона квадрата 9 см, так как $9 \cdot 9 = 81$. Периметр квадрата $4 \cdot 9 = 36$ см.
2. Периметр прямоугольника тоже 36 см, значит, длина + ширина $= 36 : 2 = 18$ см.
3. Ширина — 1 часть, длина — 2 части, всего 3 части: $18 : 3 = 6$ см — ширина, $6 \cdot 2 = 12$ см — длина.
4. Площадь: $12 \cdot 6 = 72$ см².

Ответ: 72 см².

№ 161

Упрости и найди значение: 1) $6(3x + 5y) + 7x - 5y$ при $x + y = 3$; 2) $3(28a + b) - 73a + 8b$ при $a + b = 7$; 3) $3m + 35n + 8(3m - n)$ при $m + n = 4$.

Как думать. Раскрой скобки и собери подобные. Хитрость: у обеих букв окажется одинаковый множитель. Выноси его — и в скобках появится сумма, которую тебе уже дали.

Решение.

1. $18x + 30y + 7x - 5y = 25x + 25y = 25(x + y) = 25 \cdot 3 = 75$.
2. $84a + 3b - 73a + 8b = 11a + 11b = 11(a + b) = 11 \cdot 7 = 77$.
3. $3m + 35n + 24m - 8n = 27m + 27n = 27(m + n) = 27 \cdot 4 = 108$.

Ответ: 1) 75; 2) 77; 3) 108.

№ 162

Клумба 7 м на 3 м. После дождя в пустом ведре с прямыми стенками набралось воды на 8 см. Сколько литров выпало на клумбу? Варианты: 1570, 1680, 1600, 1720 л.

Как думать. Дождь льёт везде одинаково: на клумбе тоже лежит слой воды высотой 8 см. Это как плоская «коробка» 7 м на 3 м на 8 см.

Решение.

1. Переводим в сантиметры: 7 м $= 700$ см, 3 м $= 300$ см.
2. Объём: $700 \cdot 300 \cdot 8 = 1,680,000$ см³.
3. 1 л $= 1000$ см³: $1,680,000 : 1000 = 1680$ л.

Ответ: B. 1680 л.

№ 163

Два ювелира за 2 дня делают 2 кольца. Сколько колец сделают 6 ювелиров за 6 дней?

Как думать. Сведи всё к одному ювелиру — тогда легко масштабировать.

Решение.

1. Один ювелир за 2 дня делает 1 кольцо.
2. Один ювелир за 6 дней: $6 : 2 = 3$ раза по 2 дня — 3 кольца.
3. 6 ювелиров за 6 дней: $3 \cdot 6 = 18$ колец.

Ответ: 18 колец.

⚠️ Частая ошибка. Ответ «6 колец»: «всего стало в 3 раза больше». Но в 3 раза выросли и ювелиры, и дни, поэтому колец больше в $3 \cdot 3 = 9$ раз: $2 \cdot 9 = 18$.

№ 164

Параллелепипед сложен из кубиков: в длину 7, в ширину 6, в высоту 4 кубика. Поверхность одного кубика 54 см². Найди объём параллелепипеда.

Как думать. Сначала узнай ребро кубика: у него 6 одинаковых граней-квадратов.

Решение.

1. Грань $54 : 6 = 9$ см², ребро 3 см.
2. Размеры: 21 см, 18 см, 12 см.
3. Объём: $21 \cdot 18 \cdot 12 = 4536$ см³.

Проверка: кубиков $7 \cdot 6 \cdot 4 = 168$, объём кубика $27$ см³, $168 \cdot 27 = 4536$.

Ответ: 4536 см³.

№ 165

Брусок 21 см на 15 см на 9 см распилили на кубики с ребром 3 см и выложили их в один ряд. Какой длины ряд?

Как думать. Узнай, сколько кубиков помещается вдоль каждого ребра, — и сколько их всего.

Решение.

1. В длину $21 : 3 = 7$, в ширину $15 : 3 = 5$, в высоту $9 : 3 = 3$ кубика.
2. Всего кубиков: $7 \cdot 5 \cdot 3 = 105$.
3. Длина ряда: $105 \cdot 3 = 315$ см $= 3$ м 15 см.

Ответ: 3 м 15 см.

🌟 Брусок длиной всего 21 см, а ряд из его кубиков вытянулся больше чем на 3 метра — почти вдвое выше взрослого!

№ 166

Прямоугольник сложен из квадратов №1–№4. Слева вверху №1, правее №2; под ними №3, его сторона равна сумме сторон №1 и №2; справа от №2 и №3 — №4, его сторона равна сумме сторон №2 и №3. Периметр №1 — 20 см, №2 — 12 см. Найди периметр №3 и площадь №4.

Как думать. У квадрата сторона = периметр : 4. Найди стороны первых двух — остальные сложатся сами.

Решение.

1. Сторона №1: $20 : 4 = 5$ см. Сторона №2: $12 : 4 = 3$ см.
2. Сторона №3: $5 + 3 = 8$ см, периметр $4 \cdot 8 = 32$ см.
3. Сторона №4: $3 + 8 = 11$ см, площадь $11 \cdot 11 = 121$ см².

Ответ: периметр квадрата №3 — 32 см; площадь квадрата №4 — 121 см².