1.3. Сравнение натуральных чисел. Двойное неравенство

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава I: Натуральные числа и нуль. Страницы 14–17.

Чему научишься

• Сравнивать числа и записывать ответ знаками
  gt;$,
  lt;$, $=$.
• Видеть на координатном луче, какое число больше.
• Сравнивать длинные числа по разрядам — быстро и без ошибок.
• Записывать и читать двойное неравенство, например $18 < 25 < 40$.
• Сравнивать величины: метры с сантиметрами, часы с минутами.

Разминка

• Что больше: 36 или 117? 9513 или 951? 23 758 или 8648? $36 < 117$, $9513 > 951$, $23,758 > 8648$. У большего числа просто больше цифр!
• А 745 или 815? 8463 или 8436? 64 816 или 64 891? $745 < 815$ (сотен 7 меньше 8); $8463 > 8436$ (десятков 6 больше 3); $64,816 < 64,891$ (десятков 1 меньше 9).
• С какого разряда сравнивать числа одной длины: с единиц или со старшего? Со старшего, то есть слева.

Разбираемся

Кто «старше» на луче

Когда считаешь 1, 2, 3, 4…, каждое следующее число больше предыдущего. Значит, больше то число, которое при счёте называют позже.

На координатном луче это видно сразу. Чтобы дойти до 8, нужно больше шагов, чем до 3. Поэтому 8 стоит правее.

Чем правее точка, тем больше число. Запомни главное:

📌 Из двух чисел большее стоит на луче правее, меньшее — левее.

Знаки сравнения

• gt;$ — «больше»: $15 > 7$;
• lt;$ — «меньше»: $9 < 10$;
• $=$ — «равно»: $4596 = 4596$.

Запись со знаком

💡 Как не перепутать знаки? Знак — это голодный рот. Он всегда открыт к большему числу, а острым носиком смотрит на меньшее: $15 > 7$.

Сравниваем без луча: сначала считаем цифры

Цифр разное количество? Больше то число, где цифр больше. $4576 > 987$: у первого есть тысячи, у второго только сотни.

Цифр поровну? Идём слева направо, разряд за разрядом, пока не найдём разные цифры.

$3524$ и $3576$: тысячи $3 = 3$, сотни $5 = 5$, десятки $2 < 7$. Значит, $3524 < 3576$. Дальше можно не смотреть!

⚠️ Частая ошибка. Сравнивают по первым цифрам, не посчитав их. «$951 > 9513$, ведь после 95 идёт 1 и 3» — неверно! Сначала считаем цифры, а по разрядам сравниваем, только если их поровну.

Нуль, единица и бесконечность

Любое натуральное число больше нуля: $a > 0$. Самое маленькое натуральное число — 1. Самого большого нет: к любому всегда можно прибавить 1.

Двойное неравенство

Нужно сравнить сразу три числа? Пиши двойное неравенство по возрастанию: $18 < 25 < 40$.

Читают его с середины: «25 больше 18 и меньше 40». Внутри спрятаны два неравенства: $18 < 25$ и $25 < 40$.

Неравенство бывает верным ($7 < 9$) и неверным ($4 > 11$).

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите прочитать вслух $814 < 914 < 999$. Правильно — с середины: «914 больше 814 и меньше 999». Если ребёнок читает подряд слева направо, напомните: главное число стоит в центре.

Сравниваем величины

65 см и 1 м сразу не сравнишь — единицы разные. Сначала переводим: 1 м = 100 см, и $65 \text{ см} < 100 \text{ см}$.

⚠️ Частая ошибка. Пишут «1500 кг > 2 т», потому что $1500 > 2$. Ловушка! 2 т = 2000 кг, значит $1500 \text{ кг} < 2 \text{ т}$.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какими знаками записывают результат сравнения? Знаками
  gt;$,
  lt;$ и $=$.
• Где на луче меньшее число по отношению к большему? Левее.
• Как сравнить числа с разным количеством разрядов? Больше то, у которого разрядов больше: $1000 > 999$, $52,000 > 9876$.
• Как сравнить числа с одинаковым количеством разрядов? Что больше: 3452 или 3721? Поразрядно, со старшего. $3452 < 3721$, потому что сотен 4 меньше, чем 7.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 28

Прочитай вслух шесть неравенств.

Как думать. Читаем слева направо: первое число, потом «больше» или «меньше», потом второе.

Решение.

1. $8 < 15$ — восемь меньше пятнадцати.
2. $96 > 95$ — девяносто шесть больше девяноста пяти.
3. $21 > 11$ — двадцать один больше одиннадцати.
4. $58 < 60$ — пятьдесят восемь меньше шестидесяти.
5. $7816 < 7846$ — семь тысяч восемьсот шестнадцать меньше семи тысяч восьмисот сорока шести.
6. $5,316,000 < 6,000,000$ — пять миллионов триста шестнадцать тысяч меньше шести миллионов.

Ответ: прочитаны все шесть неравенств; все они верные.

Уровень A

№ 29

Сравни: 157 и 57; 846 и 864; 3993 и 3939; 4203 и 7302; 6914 и 5914; 205 205 и 202 505.

Как думать. Посчитай цифры. Поровну? Тогда ищи первую разную цифру слева.

Решение.

1. 157 — три цифры, 57 — две: $157 > 57$.
2. Сотни равны, десятков $4 < 6$: $846 < 864$.
3. Тысячи и сотни равны, десятков $9 > 3$: $3993 > 3939$.
4. Тысяч $4 < 7$: $4203 < 7302$.
5. Тысяч $6 > 5$: $6914 > 5914$.
6. Сотни тысяч и десятки тысяч равны, тысяч $5 > 2$: $205,205 > 202,505$.

Ответ: 1) $157 > 57$; 2) $846 < 864$; 3) $3993 > 3939$; 4) $4203 < 7302$; 5) $6914 > 5914$; 6) $205,205 > 202,505$.

№ 30

Запиши точки $A$, $B$, $C$ с рисунка с координатами. Сравни координаты $A$ и $B$, $C$ и $B$, $A$ и $C$.

Как думать. Координату находим, считая деления от $O$. Сравниваем по правилу: кто правее, тот больше.

Решение.

1. $A$ на 3-м делении, $B$ — на 8-м: $A(3)$, $B(8)$. $A$ левее $B$, поэтому $3 < 8$.
2. Точку $C$ находим так же: считаем деления от $O$ до неё. Если $C$ правее $B$, то её координата больше 8; если между $A$ и $B$ — больше 3, но меньше 8.

Ответ: $A(3)$, $B(8)$; 1) $3 < 8$; 2) и 3) — сравнить координату $C$ с 8 и с 3 по рисунку.

№ 31

Запиши двойным неравенством: 7 больше 5 и меньше 10; 21 больше 19 и меньше 35; 914 больше 814 и меньше 999.

Как думать. Число, о котором говорят, ставим в середину. Слева — меньшее, справа — большее.

Решение. В каждой фразе главное число — первое. Ставим его в центр.

Ответ: 1) $5 < 7 < 10$; 2) $19 < 21 < 35$; 3) $814 < 914 < 999$.

№ 32

Что больше: 65 см или 1 м; 1 кг или 950 г; 45 мин или 1 ч; 8 дм или 75 см; 1500 кг или 2 т; 120 с или 3 мин?

Как думать. Сравнивать можно только «яблоки с яблоками». Переводим обе величины в одни единицы.

Решение.

1. 1 м = 100 см; $65 \text{ см} < 100 \text{ см}$.
2. 1 кг = 1000 г; $1000 \text{ г} > 950 \text{ г}$.
3. 1 ч = 60 мин; $45 \text{ мин} < 60 \text{ мин}$.
4. 8 дм = 80 см; $80 \text{ см} > 75 \text{ см}$.
5. 2 т = 2000 кг; $1500 \text{ кг} < 2000 \text{ кг}$.
6. 120 с = 2 мин; $2 \text{ мин} < 3 \text{ мин}$.

Ответ: 1) $65 \text{ см} < 1 \text{ м}$; 2) $1 \text{ кг} > 950 \text{ г}$; 3) $45 \text{ мин} < 1 \text{ ч}$; 4) $8 \text{ дм} > 75 \text{ см}$; 5) $1500 \text{ кг} < 2 \text{ т}$; 6) $120 \text{ с} < 3 \text{ мин}$.

Уровень B

№ 33

Сравни по разрядам: 2341 и 734; 1925 и 1952; 38 576 и 38 567; 45 315 и 45 135; 671 312 и 5 671 312; 1 099 999 и 99 999.

Решение.

1. Четыре цифры против трёх: $2341 > 734$.
2. Тысячи и сотни равны, десятков $2 < 5$: $1925 < 1952$.
3. Всё совпадает до десятков, десятков $7 > 6$: $38,576 > 38,567$.
4. Десятки тысяч и тысячи равны, сотен $3 > 1$: $45,315 > 45,135$.
5. Шесть цифр против семи: $671,312 < 5,671,312$.
6. Семь цифр против пяти: $1,099,999 > 99,999$.

Ответ: 1)

№ 34

Сравни числа, где часть цифр спрятана под звёздочками: $8{}{}$ и $2{}{}$; $45{}{}$ и $43,{}{}{}$; $17,3{}{}$ и $172,{}{}{}$; $9{}{}{}$ и $2{}{}{}$; ${}{},{}{}{}$ и ${}{}{}{}$; $1,362,{}{}{}$ и $13,61{},{}{}{}$.

Как думать. Звёздочка — неизвестная цифра. Сначала считаем, сколько всего цифр. Разное количество — ответ ясен сразу. Одинаковое — смотрим на старший известный разряд.

Решение.

1. Оба трёхзначные, сотен $8 > 2$: $8{}{} > 2{}{}$.
2. Четыре цифры против пяти: $45{}{} < 43,{}{}{*}$. Хоть 45 и больше 43, второе число длиннее.
3. Пять цифр против шести: $17,3{}{} < 172,{}{}{*}$.
4. Оба четырёхзначные, тысяч $9 > 2$: $9{}{}{} > 2{}{}{}$.
5. Пять цифр против четырёх: ${}{},{}{}{} > {}{}{}{*}$.
6. Семь цифр против восьми: $1,362,{}{}{} < 13,61{},{}{}{*}$.

Ответ: 1)

№ 35

Какие утверждения верные: 1) любое трёхзначное меньше любого четырёхзначного; 2) 0 больше любого натурального; 3) наибольшее четырёхзначное на 1 меньше наименьшего пятизначного; 4) 0 меньше любого натурального?

Как думать. Проверяй каждое на «крайних» числах: самом большом и самом маленьком.

Решение.

1. Самое большое трёхзначное 999 меньше самого маленького четырёхзначного 1000. Верно.
2. Наименьшее натуральное число 1, а $0 < 1$. Неверно.
3. $9999 + 1 = 10,000$. Верно.
4. Любое натуральное число больше нуля. Верно.

Ответ: верные утверждения 1), 3) и 4).

№ 36

Четверо футболистов: Коля, Мирас, Саша, Жандос. Среди Коли, Мираса и Саши есть вратарь. Среди Мираса, Саши и Жандоса тоже есть вратарь. Саша не вратарь. Кто вратарь?

Как думать. Логическая задача. Вратарь в команде один, и он попал в обе тройки.

Решение.

1. В обе тройки входят только Мирас и Саша.
2. Саша не вратарь.
3. Значит, вратарь — Мирас.

Ответ: Мирас.

Уровень C

№ 37

Какую самую большую цифру можно поставить вместо звёздочки, чтобы неравенство было верным: $3713 > 371{}$; $47,6{}8 < 47,658$; ${*}3,204 > 63,204$; $1{},296 > 10,497$; $164,927 > 1{}3,812$; ${}65,913 > 397,224$?*

Как думать. Все цифры до звёздочки совпадают, поэтому всё решает цифра на её месте. Пробуем цифры и берём самую большую подходящую.

Решение.

1. $3713 > 371{}$: нужно ${} < 3$, подходят 0, 1, 2. Наибольшая — 2.
2. $47,6{}8 < 47,658$: в разряде десятков нужно ${} < 5$ (при ${*} = 5$ числа равны). Подходят 0–4. Наибольшая — 4.
3. ${}3,204 > 63,204$: остальные цифры совпадают, нужно ${} > 6$. Подходят 7, 8, 9. Наибольшая — 9.
4. $1{},296 > 10,497$: при ${} = 0$ будет $10,296 < 10,497$ — не подходит. При ${*} \ge 1$ неравенство верно. Наибольшая — 9.
5. $164,927 > 1{}3,812$: при ${} = 6$ получим $163,812 < 164,927$ — верно; при ${*} = 7$ уже $173,812 > 164,927$ — неверно. Подходят 0–6. Наибольшая — 6.
6. ${}65,913 > 397,224$: при ${} = 3$ получим $365,913 < 397,224$ — неверно; при ${*} = 4$ — $465,913$, верно. Подходят 4–9. Наибольшая — 9.

Ответ: 1) 2; 2) 4; 3) 9; 4) 9; 5) 6; 6) 9.

№ 38

На луче отмечены точки $A$, $C$, $B$, $D$. Сравни отрезки $AB$ и $CD$. Потом сравни $AC$, $CB$ и $BD$ двойным неравенством.

Как думать. По рисунку: $A(3)$, $C(10)$, $B(13)$, $D(18)$. Длина отрезка — разность координат его концов.

Решение.

1. $AB = 13 - 3 = 10$, $CD = 18 - 10 = 8$. Значит, $AB > CD$.
2. $AC = 10 - 3 = 7$, $CB = 13 - 10 = 3$, $BD = 18 - 13 = 5$. По возрастанию: $3 < 5 < 7$.

Если считать, что $D$ стоит на 17-м делении (буква на рисунке сдвинута), то $CD = 7$, $BD = 4$ — ответы не меняются.

Ответ: 1) $AB > CD$; 2) $CB < BD < AC$.

№ 39

3 машинки и 2 медвежонка стоят как 13 зайцев. 1 машинка и 3 медвежонка — как 9 зайцев. Что дороже: машинка или медвежонок?

Как думать. Задача на смекалку. Сделай так, чтобы машинок в обоих наборах было поровну — тогда вся разница будет в медвежатах.

Решение.

1. Утроим второй набор: 3 машинки и 9 медвежат стоят как $9 \cdot 3 = 27$ зайцев.
2. Сравним с первым набором (3 машинки и 2 медвежонка = 13 зайцев). Разница — 7 медвежат, и стоят они $27 - 13 = 14$ зайцев.
3. Один медвежонок стоит $14 : 7 = 2$ зайца.
4. Из второго набора: 1 машинка = $9 - 3 \cdot 2 = 3$ зайца.

Проверка: $3 \cdot 3 + 2 \cdot 2 = 13$ зайцев. Верно.

Ответ: машинка дороже (машинка стоит как 3 зайца, медвежонок — как 2).

Шпаргалка

• На луче большее число стоит правее.
• Сначала считаем цифры, потом сравниваем по разрядам слева.
• Любое натуральное число больше 0; самое маленькое — 1.
• Двойное неравенство читаем с середины.
• Величины сравниваем только в одинаковых единицах.

Мини-тест