1.4. Сложение и вычитание натуральных чисел

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава I: Натуральные числа и нуль. Страницы 20–23.

Чему научишься

• Называть числа при сложении и вычитании: слагаемые, сумма, уменьшаемое, вычитаемое, разность.
• Складывать и вычитать большие числа в столбик и не путаться с переносом.
• Видеть сложение и вычитание на луче: плюс — шаг вправо, минус — шаг влево.
• Проверять вычитание сложением.
• Решать задачи «на сколько больше», «на сколько меньше» и «сколько всего».

Разминка

• Перед поездкой спидометр машины показывал 9370 км. Машина проехала ещё 380 км. Что он покажет теперь? Спидометр копит весь путь, поэтому прибавляем: $9370 + 380 =$ 9750 км.
• Сколько будет $40 + 60$? 100 — круглые десятки складывать проще всего.
• А $100 - 1$? 99: один шаг назад от сотни.

Разбираемся

Как зовут числа в примере

У каждого числа в примере есть своё «имя». В записи $a + b = c$ числа $a$ и $b$ — слагаемые, запись $a + b$ — сумма, а $c$ — значение суммы.

Например, в $5 + 7 = 12$ слагаемые 5 и 7, а значение суммы 12. Если оба слагаемых натуральные, сумма всегда больше каждого из них: $c > a$ и $c > b$.

Столбик: единицы под единицами

Складываем по разрядам, начиная с единиц. Если в разряде вышло 10 или больше, пишем последнюю цифру, а единичку «отдаём» соседу слева.

$ \begin{array}{r} 4517 \ +\ \ 895 \ \hline 5412 \end{array} $

1. Единицы: $7 + 5 = 12$. Пишем 2, единичку переносим.
2. Десятки: $1 + 9 + 1 = 11$. Пишем 1, единичку переносим.
3. Сотни: $5 + 8 + 1 = 14$. Пишем 4, единичку переносим.
4. Тысячи: $4 + 1 = 5$. Готово: 5412.

⚠️ Частая ошибка. 895 подписывают под 4517 по левому краю — и сотни складываются с тысячами. Подписывай по правому краю: единицы под единицами, десятки под десятками.

Сложение — это прыжок вправо

Представь кузнечика на луче. Он сидит в точке $A(3)$ и прыгает на 8 делений вправо. Куда он попадёт? Поставь точку $B$ сам.

Чем правее точка, тем больше её координата. Поэтому прибавить — значит сдвинуться вправо: $3 + 8 = 11$.

Вычитание — сложение наоборот

Вычитание отвечает на вопрос: «Знаю сумму и одно слагаемое — какое второе?» В записи $a - b = c$:

• $a$ — уменьшаемое (то, что уменьшаем);
• $b$ — вычитаемое (то, что убираем);
• $a - b$ — разность, а $c$ — значение разности.

Среди натуральных чисел вычесть можно, только если уменьшаемое не меньше вычитаемого. Из 5 конфет 7 не съешь!

📌 Если $a - b = c$, то $a = b + c$. Уменьшаемое равно вычитаемому плюс разность. Так проверяют любое вычитание.

Столбик с «займом»

Вычитаем тоже по разрядам, с единиц. Если сверху цифра меньше, чем снизу, «занимаем» единицу у соседа слева. Над ним ставим точку, чтобы не забыть.

$ \begin{array}{r} 64357 \ -\ \ 2583 \ \hline 61774 \end{array} $

1. Единицы: $7 - 3 = 4$.
2. Десятки: $5 < 8$, занимаем сотню: $15 - 8 = 7$.
3. Сотни: осталось 2, а $2 < 5$, занимаем тысячу: $12 - 5 = 7$.
4. Тысячи: осталось 3, $3 - 2 = 1$.
5. Десятки тысяч: 6. Ответ: 61 774.

Проверяем: $61,774 + 2583 = 64,357$. Сошлось!

👨‍👩‍👧 Родителю. Приучите к правилу «вычел — проверь сложением». Это полминуты, а ловит почти все ошибки с займом. Спросите: «Что сложить, чтобы проверить разность?» Ответ: вычитаемое и результат.

Вычитание — прыжок влево

Кузнечик сидит в точке $A(10)$ и хочет попасть в $B(4)$. Куда и на сколько прыгать? Влево на 6 делений. Значит, $10 - 6 = 4$. Попробуй сам:

💡 Общее правило: от точки $A(a)$ на $b$ шагов вправо — точка $a + b$, на $b$ шагов влево — точка $a - b$.

⚠️ Частая ошибка. «У Асель 10 марок, у Антона на 4 меньше». Сколько у Антона? Не 4! «На 4 меньше» — это разница. У Антона $10 - 4 = 6$.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какие числа называют слагаемыми? Те, которые складывают. В $5 + 7 = 12$ это 5 и 7.
• Что такое значение суммы? Результат сложения. В $5 + 7 = 12$ это 12.
• Какое действие называют вычитанием? То, которым по сумме и одному слагаемому находят другое: $12 - 5 = 7$.
• Как меняется координата точки, если двигать её по лучу? Вправо — растёт, влево — уменьшается.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 40

Посчитай в уме: 1) $50 - 27$, $70 - 47$, $90 - 67$; 2) $48 + 12$, $53 + 37$, $75 + 25$; 3) $100 - 22$, $100 - 33$, $100 - 55$.

Как думать. Вычитай по частям: $50 - 27 = 50 - 20 - 7$. Во второй строке слагаемые «дружат» — дают круглые десятки.

Решение.

1. $50 - 27 = 23$; $70 - 47 = 23$; $90 - 67 = 23$. Заметил? Оба числа выросли на 20 — а разность та же.
2. $48 + 12 = 60$; $53 + 37 = 90$; $75 + 25 = 100$.
3. $100 - 22 = 78$; $100 - 33 = 67$; $100 - 55 = 45$.

Ответ: 1) 23; 23; 23; 2) 60; 90; 100; 3) 78; 67; 45.

Уровень A

№ 41

Собери число из разрядных слагаемых: $700 + 90 + 6$; $6000 + 500 + 40 + 3$; $20,000 + 8000 + 600 + 3$; $400,000 + 30,000 + 5000 + 90 + 8$.

Как думать. Если какого-то разряда в сумме нет, на его месте в числе стоит 0.

Решение.

1. $700 + 90 + 6 = 796$.
2. $6000 + 500 + 40 + 3 = 6543$.
3. $20,000 + 8000 + 600 + 3 = 28,603$ — десятков нет, пишем 0.
4. $400,000 + 30,000 + 5000 + 90 + 8 = 435,098$ — сотен нет, пишем 0.

Ответ: 1) 796; 2) 6543; 3) 28 603; 4) 435 098.

№ 42

На луче точка $A(27)$. От неё сделаны прыжки: «−15» в точку $B$, «−9» в точку $C$, «+8» в точку $D$, «+13» в точку $E$. Найди координаты $B$, $C$, $D$, $E$.

Как думать. Минус — прыжок влево, вычитаем. Плюс — прыжок вправо, прибавляем.

Решение.

1. $B$: $27 - 15 = 12$.
2. $C$: $27 - 9 = 18$.
3. $D$: $27 + 8 = 35$.
4. $E$: $27 + 13 = 40$.

Сверяемся с рисунком: $C$ правее $B$ ($18 > 12$), $E$ правее $D$ ($40 > 35$). Всё сходится.

Ответ: $B(12)$, $C(18)$, $D(35)$, $E(40)$.

№ 43

7 воробьёв клевали зёрна. Кошка поймала одного. Сколько воробьёв осталось клевать?

Как думать. Это задача-шутка! Представь: рядом кошка. Что сделают остальные воробьи?

Решение. По арифметике $7 - 1 = 6$. Но испуганные воробьи тут же улетят — клевать не останется никто.

Ответ: ни одного (остальные 6 воробьёв улетели).

№ 44

У Асель 10 марок, у Антона на 4 меньше. Асель дала Антону столько марок, сколько у него было. Потом Антон дал Асель столько, сколько у неё осталось. Сколько марок стало у каждого?

Как думать. Марки никуда не пропадают — они только переходят из рук в руки. Следи за каждым шагом.

Решение.

1. У Антона было $10 - 4 = 6$ марок.
2. Асель отдала 6 марок: у неё $10 - 6 = 4$, у Антона $6 + 6 = 12$.
3. Антон отдал 4 марки: у Асель $4 + 4 = 8$, у Антона $12 - 4 = 8$.

Проверка: всего было $10 + 6 = 16$ марок и осталось $8 + 8 = 16$.

Ответ: у каждого по 8 марок.

Уровень B

№ 45

По железной дороге от Астаны до Кокшетау 297 км, а от Кокшетау до Петропавловска — на 110 км меньше. Сколько километров от Астаны до Петропавловска через Кокшетау?

Как думать. Путь из двух кусков. Второй кусок пока неизвестен — найдём его первым.

Решение.

1. От Кокшетау до Петропавловска: $297 - 110 = 187$ (км).
2. Весь путь: $297 + 187 = 484$ (км).

Ответ: 484 км.

№ 46

На концерте выступали трое ребят: двое пели, один танцевал. Айнур и Дана выступали в разных жанрах. Что делал Елдос?

Как думать. Логическая задача. Главная подсказка: танцор всего один.

Решение.

1. Айнур и Дана — в разных жанрах. Значит, один из них пел, а другой танцевал.
2. Единственный танцор уже нашёлся среди Айнур и Даны.
3. Значит, Елдос пел.

Ответ: Елдос пел.

№ 47

В роще 24 дуба, тополей на 9 больше, а берёз — столько, сколько дубов и тополей вместе. Сколько всего деревьев?

Как думать. Сначала тополя, потом берёзы, потом всё вместе.

Решение.

1. Тополей: $24 + 9 = 33$.
2. Берёз: $24 + 33 = 57$.
3. Всего: $24 + 33 + 57 = 114$.

Хитрый способ: берёз столько же, сколько всех остальных деревьев. Значит, всего $57 + 57 = 114$.

Ответ: 114 деревьев.

№ 48

В городе четыре трамвайные линии. На 1-й и 2-й вместе 47 остановок, на 2-й и 3-й — 60, на 3-й и 4-й — 64, на 4-й — 30. Сколько остановок на 1-й линии? Варианты: A) 21; B) 28; C) 34; D) 17.

Как думать. Можно идти по цепочке от 4-й линии к 1-й. А можно хитрее: сложить первую и третью суммы и вычесть вторую — 2-я и 3-я линии «сократятся».

Решение.

Способ 1, по цепочке:

1. 3-я линия: $64 - 30 = 34$.
2. 2-я линия: $60 - 34 = 26$.
3. 1-я линия: $47 - 26 = 21$.

Способ 2, рациональный: $(1 + 2) + (3 + 4) - (2 + 3) = 1 + 4$. Считаем: $47 + 64 - 60 = 51$ — это 1-я и 4-я линии вместе. Тогда 1-я линия: $51 - 30 = 21$.

Ответ: A) 21 остановка.

Уровень C

№ 49

В гирлянде 123 шара: красные, зелёные, синие и жёлтые. Всех, кроме красных, — 94; кроме зелёных — 81; кроме синих — 89. Сколько жёлтых?

Как думать. «Все, кроме красных» — это все шары без красных. Значит, красных $123 - 94$. Так же находим зелёные и синие.

Решение.

1. Красных: $123 - 94 = 29$.
2. Зелёных: $123 - 81 = 42$.
3. Синих: $123 - 89 = 34$.
4. Жёлтых: $123 - 29 - 42 - 34 = 18$.

Проверка: $29 + 42 + 34 + 18 = 123$ ✓.

Ответ: 18 жёлтых шаров.

№ 50

У 3 мух и 2 пауков вместе 34 лапки, а у 2 мух и 2 пауков — 28 лапок. Сколько лапок у мухи и у паука?

Как думать. Сравни две компании: они отличаются только одной мухой. Значит, разница в лапках — это лапки одной мухи.

Решение.

1. Лапок у одной мухи: $34 - 28 = 6$.
2. У 2 мух: $2 \cdot 6 = 12$ лапок; у 2 пауков: $28 - 12 = 16$ лапок.
3. У одного паука: $16 : 2 = 8$ лапок.

Проверка: $3 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 18 + 16 = 34$ ✓.

Ответ: у мухи 6 лапок, у паука 8 лапок.

🌟 Так и есть в природе: у насекомых (мух, жуков, бабочек) 6 лапок, а у пауков — 8. Паук вообще не насекомое!

Шпаргалка

• $a + b = c$: $a$, $b$ — слагаемые, $c$ — значение суммы.
• $a - b = c$: $a$ — уменьшаемое, $b$ — вычитаемое, $c$ — значение разности.
• Столбик: подписываем по правому краю, считаем с единиц.
• Проверка вычитания: $a = b + c$.
• На луче $+b$ — сдвиг вправо на $b$, $-b$ — сдвиг влево на $b$.

Мини-тест