1.5. Умножение и деление натуральных чисел. Основное свойство частного

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава I: Натуральные числа и нуль. Страницы 24–27.

Чему научишься

• Понимать умножение как быстрый способ сложить одинаковые числа.
• Называть множители, произведение, делимое, делитель и частное.
• Решать уравнения вида $16 \cdot (x - 3) = 0$ с помощью нуля.
• Упрощать деление по основному свойству частного.
• Проверять деление умножением и помнить: на нуль делить нельзя.

Разминка

• Какое число вместо □: $5 + 5 + 5 = 15$, или $□ \cdot 3 = 15$? 5. Повторяется пятёрка, а тройка говорит, сколько раз.
• А в $8 + 8 + 8 + 8 = 32$, или $□ \cdot 4 = 32$? 8.
• А в $7 + 7 + 7 + 7 + 7$, или $□ \cdot 5 = 35$? 7.
• Какое число в 7 раз меньше, чем 112? $112 : 7 =$ 16.
• На схеме $720 : a = 144$. Как называется $a$ и чему оно равно? Это делитель: $a = 720 : 144 =$ 5. Проверка: $144 \cdot 5 = 720$.
• Дальше $144 : 3 = b$. Если 3 — делитель, то что такое $b$? Это частное: $b = 144 : 3 =$ 48.

Разбираемся

Умножение — это быстрое сложение

У тебя 7 пакетиков, в каждом по 3 конфеты. Сколько всего конфет? Можно долго складывать: $3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 21$. А можно коротко: $3 \cdot 7 = 21$.

Числа 3 и 7 — множители. Запись $3 \cdot 7$ — произведение, а 21 — значение произведения.

На луче это 7 одинаковых прыжков по 3 деления от нуля. Попробуй сам: где окажется кузнечик после седьмого прыжка?

📌 Умножить $a$ на $b$ — значит сложить $b$ одинаковых слагаемых, каждое равно $a$: $a \cdot b = \underbrace{a + a + \ldots + a}_{b \text{ слагаемых}}$.

Нуль — «чёрная дыра» умножения

Если хотя бы один множитель равен нулю, произведение тоже нуль: $a \cdot 0 = 0$, $0 \cdot a = 0$. Ноль пакетиков по 3 конфеты — ноль конфет.

Этим удобно решать уравнения. Пример: $16 \cdot (x - 3) = 0$. Число 16 точно не нуль. Значит, нулю равна скобка: $x - 3 = 0$, и $x = 3$.

Деление — умножение наоборот

Деление отвечает на вопрос: «На что умножить одно число, чтобы получить другое?» $54 : 18 = 3$, потому что $3 \cdot 18 = 54$.

Здесь 54 — делимое, 18 — делитель, запись $54 : 18$ — частное, а 3 — значение частного.

Поэтому деление всегда легко проверить: умножь ответ на делитель — должно выйти делимое. $348 : 29 = 12$. Проверка: $12 \cdot 29 = 348$ ✓.

⚠️ Частая ошибка. На нуль делить нельзя! $5 : 0$ — бессмыслица: нет числа, которое при умножении на 0 дало бы 5. А вот $0 : 5 = 0$ — можно, ведь $0 \cdot 5 = 0$.

Главный секрет: основное свойство частного

Если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, частное не изменится.

$60 : 15 = 4$, $\quad 120 : 30 = 4$ (оба умножили на 2), $\quad 20 : 5 = 4$ (оба разделили на 3).

Представь: 60 конфет раскладываем по 15 в пакетик — выходит 4 пакетика. Стало вдвое больше конфет, и в пакетик кладём вдвое больше: 120 по 30. Пакетиков всё равно 4!

💡 Это волшебная кнопка «упростить». $560 : 80$ — делим оба числа на 10, остаётся $56 : 8 = 7$. А $7676 : 404$? Делим оба на 101: $76 : 4 = 19$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Проверьте свойство «на конфетах»: разложите 12 конфет по 3, а потом 24 конфеты по 6. Пакетиков в обоих случаях 4. Так правило запоминается лучше формулировки.

Столбик и уголок

Большие числа умножают столбиком. Каждая цифра второго множителя даёт своё «неполное произведение», и каждое следующее сдвигаем на одну клетку влево:

     2816
   ×  432
   ------
     5632     ← 2816 · 2
    8448      ← 2816 · 3 (десятки)
  11264       ← 2816 · 4 (сотни)
  -------
  1216512

Делят уголком:

 1644 | 12
-12   |-----
 --   | 137
  44
 -36
  --
   84
  -84
  --
   0

Проверка: $137 \cdot 12 = 1644$ ✓.

⚠️ Частая ошибка. Сначала узнай, сколько цифр будет в ответе. Найди первое неполное делимое — самое левое число из цифр делимого, которое не меньше делителя. Оно даёт первую цифру ответа, а каждая следующая цифра делимого — ещё по одной. Если в ответе цифр меньше — где-то потерян нуль.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Что значит умножить число $a$ на натуральное число $b$? Сложить $b$ слагаемых, каждое из которых равно $a$.
• Когда произведение равно 0? Когда хотя бы один множитель равен нулю.
• Каким действием находят неизвестный множитель? Делением: произведение делят на известный множитель.
• Можно ли делить на 0? Нет, никогда.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 51

Сколько цифр будет в частном: 1) $7{}{} : 5$; 2) $6{}{} : 14$; 3) $7{}{}{} : 36$; 4) $4{}{}{} : 75$; 5) $9{}{}{}{} : 93$; 6) $4{}{}{}{} : 87$? Звёздочка — какая-то цифра.

Как думать. Ищем первое неполное делимое — оно даёт первую цифру частного. Каждая оставшаяся цифра делимого добавляет ещё одну.

Решение.

1. $7 \geqslant 5$, первое неполное делимое — 7. Остаётся ещё 2 цифры. В частном $1 + 2 = 3$ цифры.
2. $6 < 14$, берём две цифры: $6{*}$. Остаётся 1 цифра. В частном 2 цифры.
3. $7 < 36$, но $7{*}$ (от 70 до 79) больше 36. Остаётся 2 цифры. В частном 3 цифры.
4. $4{}$ (от 40 до 49) меньше 75, берём три цифры: $4{}{*}$. Остаётся 1 цифра. В частном 2 цифры.
5. $9{}$ — число от 90 до 99. Если вторая цифра 3 или больше, то $9{} \geqslant 93$, и в частном 4 цифры. Если вторая цифра 0, 1 или 2, то $9{*} < 93$, берём три цифры, и в частном 3 цифры. Крайние случаи: $90,000 : 93 \approx 967$ (3 цифры), $99,999 : 93 \approx 1075$ (4 цифры).
6. $4{}$ меньше 87, берём $4{}{*}$. Остаётся 2 цифры. В частном 3 цифры.

Ответ: 1) 3; 2) 2; 3) 3; 4) 2; 5) 4 цифры, если вторая цифра делимого не меньше 3, и 3 цифры, если она 0, 1 или 2; 6) 3.

Уровень A

№ 52

Посчитай: 1) $275 \cdot 10$; $396 \cdot 100$; $1817 \cdot 1000$; 2) $1313 : 13$; $3030 : 15$; $6060 : 12$; 3) $4848 : 16$; $8585 : 17$; $5454 : 18$.

Как думать. Умножаешь на 10, 100, 1000 — дописывай справа столько же нулей. А числа вроде 1313 и 4848 — это «двойняшки»: двузначное число, записанное два раза. $1313 = 13 \cdot 101$, $4848 = 48 \cdot 101$.

Решение.

1. $275 \cdot 10 = 2750$; $396 \cdot 100 = 39,600$; $1817 \cdot 1000 = 1,817,000$.
2. $1313 : 13 = 101$; $3030 : 15 = 202$ (ведь $30 : 15 = 2$); $6060 : 12 = 505$ (ведь $60 : 12 = 5$).
3. $4848 : 16 = 303$ ($48 : 16 = 3$); $8585 : 17 = 505$ ($85 : 17 = 5$); $5454 : 18 = 303$ ($54 : 18 = 3$).

Ответ: 1) 2750; 39 600; 1 817 000; 2) 101; 202; 505; 3) 303; 505; 303.

№ 53

Вычисли: 1) $7676 : 404$; 2) $6060 : 505$; 3) $9090 : 606$; 4) $4242 : 202$; 5) $21,021 : 1001$; 6) $45,045 : 3003$; 7) $48,048 : 4004$; 8) $84,084 : 7007$; 9) $54,054 : 3003$.

Как думать. Тут работает основное свойство частного. $7676 = 76 \cdot 101$ и $404 = 4 \cdot 101$. Делим оба числа на 101 — остаётся $76 : 4$. Так же $21,021 = 21 \cdot 1001$ и $3003 = 3 \cdot 1001$.

Решение.

1. $7676 : 404 = 76 : 4 = 19$;
2. $6060 : 505 = 60 : 5 = 12$;
3. $9090 : 606 = 90 : 6 = 15$;
4. $4242 : 202 = 42 : 2 = 21$;
5. $21,021 : 1001 = 21 : 1 = 21$;
6. $45,045 : 3003 = 45 : 3 = 15$;
7. $48,048 : 4004 = 48 : 4 = 12$;
8. $84,084 : 7007 = 84 : 7 = 12$;
9. $54,054 : 3003 = 54 : 3 = 18$.

Проверка первого: $19 \cdot 404 = 7676$ ✓.

Ответ: 1) 19; 2) 12; 3) 15; 4) 21; 5) 21; 6) 15; 7) 12; 8) 12; 9) 18.

№ 54

За 2 яблока Жанат даёт покататься на санках 30 минут, за 3 конфеты — 15 минут. Сколько минут кататься за 1 яблоко и 2 конфеты?

Как думать. Узнаём «цену» одного яблока и одной конфеты в минутах катания.

Решение.

1. Одно яблоко: $30 : 2 = 15$ (мин).
2. Одна конфета: $15 : 3 = 5$ (мин).
3. Две конфеты: $5 \cdot 2 = 10$ (мин).
4. Всего: $15 + 10 = 25$ (мин).

Ответ: на 25 минут.

№ 55

У колеса 32 спицы прикреплены к внутренней окружности, между соседними спицами 12 см. Какой вопрос можно задать и как на него ответить?

Как думать. Спицы стоят по кругу равномерно. На круге между 32 спицами ровно 32 промежутка — последняя спица соседствует с первой. Значит, можно найти длину внутренней окружности.

Решение. Вопрос: «Какова длина внутренней окружности колеса?»

$32 \cdot 12 = 384$ (см) $= 3$ м $84$ см.

Ответ: длина внутренней окружности 3 м 84 см.

⚠️ Частая ошибка. На прямой между 32 столбиками 31 промежуток. А на круге — 32: круг замыкается. Нарисуй 4 точки на круге и посчитай промежутки — их тоже 4.

Уровень B

№ 56

Найди $x$: 1) $51 \cdot (x - 6) = 0$; 2) $(x - 3) \cdot 84 = 0$; 3) $174 \cdot (x - 8) = 0$; 4) $46 \cdot (x - 2) = 0$.

Как думать. Произведение равно нулю, только если какой-то множитель — нуль. Число не нуль, значит, нулю равна скобка.

Решение.

1. $51 \ne 0$, значит $x - 6 = 0$, $x = 6$;
2. $84 \ne 0$, значит $x - 3 = 0$, $x = 3$;
3. $174 \ne 0$, значит $x - 8 = 0$, $x = 8$;
4. $46 \ne 0$, значит $x - 2 = 0$, $x = 2$.

Ответ: 1) 6; 2) 3; 3) 8; 4) 2.

№ 57

1) Бассейн на 620 м³ наполняют два крана: первый даёт 85 м³ в час, второй — 70 м³. За сколько часов наполнится бассейн? 2) Между городами 144 км. Велосипедист едет это расстояние 12 ч, мотоциклист — в 3 раза быстрее. Они выехали одновременно навстречу друг другу. Через сколько часов встретятся?

Как думать. Когда работают вместе или едут навстречу, «скорости» складываются.

Решение.

1. 1. Два крана за час: $85 + 70 = 155$ (м³).
   2. Время: $620 : 155 = 4$ (ч).
2. 1. Скорость велосипедиста: $144 : 12 = 12$ (км/ч).
   2. Скорость мотоциклиста: $12 \cdot 3 = 36$ (км/ч).
   3. Скорость сближения: $12 + 36 = 48$ (км/ч).
   4. Время до встречи: $144 : 48 = 3$ (ч).

Ответ: 1) за 4 часа; 2) через 3 часа.

№ 58

Как поставить 9 стульев вдоль стен четырёхугольной комнаты, чтобы у каждой стены было по 3 стула?

Как думать. Задача на смекалку. По 3 стула у каждой стены «в лоб» — это 12 стульев. Чтобы хватило 9, некоторые стулья должны стоять сразу у двух стен. Такие места — углы.

Решение. Ставим по одному стулу в три угла комнаты, четвёртый угол оставляем пустым. Остальные 6 стульев ставим так:

• у стены между двумя занятыми углами — 1 стул посередине (с угловыми выходит 3);
• у второй такой стены — тоже 1 стул посередине;
• у двух стен, которые идут к пустому углу, — по 2 стула (с одним угловым выходит 3).

Считаем: $3 + 1 + 1 + 2 + 2 = 9$. У каждой стены по 3.

Ответ: три стула ставим в углы, остальные шесть — вдоль стен (1, 1, 2 и 2), как описано выше. Есть и другие способы, например 3 стула в одном углу и по 3 стула вдоль двух дальних стен.

Уровень C

№ 59

1) $x + y = 35$. Чему равно $(x + 15) + (y - 8)$? 2) $x \cdot y = 60$. Чему равно $(x : 5) \cdot (y : 2)$? 3) $x : y = 12$. Чему равно $x : (y \cdot 3)$? 4) $x : y = 10$. Чему равно $(x \cdot 2) : y$? Варианты: A. 4; B. 20; C. 6; D. 42.

Как думать. Сами $x$ и $y$ знать не нужно! Достаточно понять, как меняется результат.

Решение.

1. Сумму увеличили на 15 и уменьшили на 8: $35 + 15 - 8 = 42$.
2. Один множитель уменьшили в 5 раз, другой — в 2 раза. Произведение уменьшится в $5 \cdot 2 = 10$ раз: $60 : 10 = 6$.
3. Делитель увеличили в 3 раза — частное уменьшится в 3 раза: $12 : 3 = 4$.
4. Делимое увеличили в 2 раза — частное увеличится в 2 раза: $10 \cdot 2 = 20$.

Ответ: 1) D (42); 2) C (6); 3) A (4); 4) B (20).

№ 60

В первый день прочитали на 18 страниц меньше половины книги, во второй — на 8 страниц меньше половины остатка, в третий — на 3 страницы меньше половины нового остатка. Осталось 23 страницы. Сколько страниц в книге и сколько прочитано в первый и во второй день?

Как думать. Решаем с конца! Если прочитал «половину минус 3», значит, осталось «половина плюс 3».

Решение.

1. После третьего дня осталось 23 страницы. Это половина остатка после второго дня плюс 3. Половина: $23 - 3 = 20$. Остаток после второго дня: $20 \cdot 2 = 40$ страниц.
2. 40 страниц — это половина остатка после первого дня плюс 8. Половина: $40 - 8 = 32$. Остаток после первого дня: $32 \cdot 2 = 64$ страницы.
3. 64 страницы — это половина книги плюс 18. Половина: $64 - 18 = 46$. Вся книга: $46 \cdot 2 = 92$ страницы.
4. В первый день: $92 - 64 = 28$ страниц.
5. Во второй день: $64 - 40 = 24$ страницы.

Проверка: в третий день прочитано $40 - 23 = 17$ страниц; $28 + 24 + 17 + 23 = 92$ ✓.

Ответ: а) 92 страницы; б) 28 страниц; в) 24 страницы.

👨‍👩‍👧 Родителю. Если ребёнок застрял, нарисуйте полоску-книгу и закрашивайте, что «съедено» каждый день. Решение «с конца» — важный приём, он ещё не раз пригодится.

№ 61

Практическая работа. Нумерация страниц начинается с цифры 3. Сколько цифр нужно, чтобы пронумеровать: 1) все страницы 1-й части; 2) все страницы 2-й части; 3) обеих частей вместе?

Как думать. Считаем по группам, как в № 13 и № 15: однозначные, двузначные и трёхзначные номера. Номер последней страницы посмотри в своём учебнике.

Решение.

1. В 1-й части последняя страница — 224. Номера с 3 до 224:

   • 3–9: 7 номеров по 1 цифре — 7 цифр;
   • 10–99: 90 номеров по 2 цифры — 180 цифр;
   • 100–224: $224 - 100 + 1 = 125$ номеров по 3 цифры — $125 \cdot 3 = 375$ цифр.

   Всего: $7 + 180 + 375 = 562$ цифры.

2. Для 2-й части считаем так же. Если последняя страница имеет номер $n$ (трёхзначный), то цифр: $7 + 180 + (n - 99) \cdot 3$. Например, при $n = 200$ выйдет $7 + 180 + 101 \cdot 3 = 490$ цифр.

3. Складываем результаты пунктов 1 и 2.

Ответ: 1) 562 цифры (если последняя страница 1-й части — 224-я); 2) $7 + 180 + (n - 99) \cdot 3$, где $n$ — номер последней страницы 2-й части; 3) сумма ответов 1 и 2.

Шпаргалка

• $a \cdot b$ — сумма $b$ слагаемых, равных $a$.
• Если один из множителей 0, произведение 0.
• $a : b = c$, если $c \cdot b = a$. Деление проверяем умножением.
• Делимое и делитель можно умножить или разделить на одно и то же число — частное не изменится.
• На нуль делить нельзя.

Мини-тест