1.6. Свойства арифметических действий

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава I: Натуральные числа и нуль. Страницы 29–33.

Чему научишься

• Переставлять и группировать числа, чтобы считать в уме быстро.
• Находить «дружные пары»: $4 \cdot 25 = 100$, $8 \cdot 125 = 1000$, $46 + 54 = 100$.
• Умножать сумму на число по частям — и наоборот, выносить общий множитель за скобки.
• Раскрывать скобки вида $4(x - 3)$ без ошибок.

Разминка

Подумай сам, потом открой ответ.

• Надя делала математику 15 минут, а язык — 12. Антон — наоборот: математику 12, язык 15. Начали вместе. Почему и закончили вместе? Надя: $15 + 12 = 27$ минут, Антон: $12 + 15 = 27$ минут. Слагаемые поменялись местами, а сумма та же.
• Посчитай $20 \cdot 15 \cdot 4 \cdot 5$ по порядку. $20 \cdot 15 = 300$, $300 \cdot 4 = 1200$, $1200 \cdot 5 = 6000$.
• А теперь хитро: сгруппируй 20 с 5, а 15 с 4. $(20 \cdot 5) \cdot (15 \cdot 4) = 100 \cdot 60 = 6000$. Ответ тот же, но второй способ легко посчитать в уме.

💡 Числа в сумме и в произведении можно «перетасовать» как карты — ответ не поменяется. На этом держится весь быстрый счёт.

Разбираемся

Местами поменяли — ничего не сломали

Пройди по лучу: сначала 2 шага, потом 7. Придёшь в 9. А если сначала 7, потом 2? Опять 9! Нажми на деления и проверь.

📌 Переместительное свойство: $a + b = b + a$ и $a \cdot b = b \cdot a$. От перестановки слагаемых (или множителей) результат не меняется.

Например, $34 \cdot 5 = 170$ и $5 \cdot 34 = 170$.

Кого с кем сложить сначала

Когда чисел три, можно выбрать, какую пару сложить первой:

$(a + b) + c = a + (b + c)$ — это сочетательное свойство.

Смотри: $(38 + 17) + 43 = 55 + 43 = 98$. А если начать со второй пары: $38 + (17 + 43) = 38 + 60 = 98$. Второй путь проще — получилось круглое 60.

С умножением так же: $(25 \cdot 4) \cdot 5 = 100 \cdot 5 = 500$ и $25 \cdot (4 \cdot 5) = 25 \cdot 20 = 500$.

💡 Вместе два свойства дают суперправило: в сумме и в произведении числа можно переставлять как угодно и собирать в любые группы.

Ищи «дружные пары» — они дают круглые числа:

• сложение: $46 + 54 = 100$, $325 + 75 = 400$, $17 + 43 = 60$;
• умножение: $2 \cdot 5 = 10$, $4 \cdot 25 = 100$, $8 \cdot 125 = 1000$.

Пример: $14 \cdot 125 \cdot 5 \cdot 8 = (14 \cdot 5) \cdot (125 \cdot 8) = 70 \cdot 1000 = 70,000$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Пары $4 \cdot 25 = 100$ и $8 \cdot 125 = 1000$ стоит выучить наизусть. Спрашивайте их вразнобой пару дней — и ребёнок начнёт сам замечать их в примерах.

Умножаем по кусочкам

Представь шоколадку: 4 ряда, в каждом 3 тёмных дольки и 5 молочных. Сколько всего долек? Можно сразу: $(3 + 5) \cdot 4 = 32$. А можно по цветам: $3 \cdot 4 + 5 \cdot 4 = 12 + 20 = 32$. Посчитай клетки сам.

📌 Распределительное свойство: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$ и $(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$. Множитель «раздаётся» каждому числу в скобке.

Так удобно считать в уме:

• $(100 + 4) \cdot 12 = 1200 + 48 = 1248$;
• $99 \cdot 7 = (100 - 1) \cdot 7 = 700 - 7 = 693$;
• $(70 - 43) \cdot 18 = 1260 - 774 = 486$.

Фокус наоборот: выносим за скобки

Если в двух произведениях есть одинаковый множитель, его можно «вынести за скобки»:

$37 \cdot 15 + 63 \cdot 15 = (37 + 63) \cdot 15 = 100 \cdot 15 = 1500$;

$56 \cdot 25 - 16 \cdot 25 = (56 - 16) \cdot 25 = 40 \cdot 25 = 1000$.

С буквами то же самое: $2(x + 3) = 2x + 6$. Знак умножения перед буквой или скобкой обычно не пишут.

⚠️ Частая ошибка. Пишут $4(x - 3) = 4x - 3$ — умножают только первое число. Нет! Четвёрка заходит к каждому: $4(x - 3) = 4x - 12$. Проверь, подставив $x = 5$: слева $4 \cdot 2 = 8$, справа $20 - 12 = 8$. Совпало.

⚠️ Частая ошибка. У вычитания и деления переместительного свойства нет: $10 - 3 \ne 3 - 10$, $12 : 4 \ne 4 : 12$. Переставлять можно только слагаемые и множители.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как звучит переместительное свойство сложения? От перестановки слагаемых сумма не меняется: $a + b = b + a$.
• А сочетательное свойство умножения? Чтобы произведение двух чисел умножить на третье, можно первое число умножить на произведение второго и третьего: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.
• Запиши буквами распределительное свойство относительно сложения и приведи пример. $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$. Например, $(10 + 3) \cdot 4 = 40 + 12 = 52$; $(200 + 5) \cdot 6 = 1200 + 30 = 1230$.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 62

Посчитай в уме самым удобным способом: 1) $36 + 89 + 64$; 2) $75 + 123 + 25$; 3) $19 + 52 + 81 + 48$; 4) $5 \cdot 186 \cdot 2$; 5) $25 \cdot 819 \cdot 4$; 6) $20 \cdot 713 \cdot 5$; 7) $(100 + 5) \cdot 7$; 8) $2 \cdot (100 - 4)$; 9) $5 \cdot (200 - 2)$.

Как думать. В первых шести примерах ищи дружные пары, которые дают 10 или 100. В последних трёх — раздай множитель каждому числу в скобке.

Решение.

Ответ: 1) 189; 2) 223; 3) 200; 4) 1860; 5) 81 900; 6) 71 300; 7) 735; 8) 192; 9) 990.

Уровень A

№ 63

Посчитай, переставляя и группируя слагаемые: 1) $32 + 11 + 18 + 39$; 2) $45 + 21 + 15 + 49$; 3) $64 + 33 + 16 + 47$; 4) $56 + 25 + 45 + 24$; 5) $72 + 67 + 23 + 18$; 6) $97 + 42 + 58 + 103$.

Как думать. Ищи пары, у которых последние цифры вместе дают 10: 2 и 8, 1 и 9, 4 и 6, 3 и 7. Такая пара всегда даёт круглое число.

Решение.

1. $(32 + 18) + (11 + 39) = 50 + 50 = 100$;
2. $(45 + 15) + (21 + 49) = 60 + 70 = 130$;
3. $(64 + 16) + (33 + 47) = 80 + 80 = 160$;
4. $(56 + 24) + (25 + 45) = 80 + 70 = 150$;
5. $(72 + 18) + (67 + 23) = 90 + 90 = 180$;
6. $(97 + 103) + (42 + 58) = 200 + 100 = 300$.

Ответ: 1) 100; 2) 130; 3) 160; 4) 150; 5) 180; 6) 300.

№ 64

Посчитай, переставляя и группируя множители: 1) $4 \cdot (25 \cdot 6)$; 2) $5 \cdot (20 \cdot 86)$; 3) $8 \cdot (125 \cdot 9)$; 4) $(13 \cdot 5) \cdot 2$; 5) $(7 \cdot 2) \cdot 50$; 6) $(18 \cdot 25) \cdot 4$.

Как думать. Скобки стоят «неудобно». Перегруппируй так, чтобы вместе оказались 4 и 25, 5 и 20, 8 и 125, 5 и 2, 2 и 50.

Решение.

1. $(4 \cdot 25) \cdot 6 = 100 \cdot 6 = 600$;
2. $(5 \cdot 20) \cdot 86 = 100 \cdot 86 = 8600$;
3. $(8 \cdot 125) \cdot 9 = 1000 \cdot 9 = 9000$;
4. $13 \cdot (5 \cdot 2) = 13 \cdot 10 = 130$;
5. $7 \cdot (2 \cdot 50) = 7 \cdot 100 = 700$;
6. $18 \cdot (25 \cdot 4) = 18 \cdot 100 = 1800$.

Ответ: 1) 600; 2) 8600; 3) 9000; 4) 130; 5) 700; 6) 1800.

№ 65

1) В первой коробке 26 дисков, во второй — на 14 больше. В третьей 14 дисков, в четвёртой — на 26 больше. Где дисков поровну? 2) Лодка плывёт 6 км/ч, теплоход — в 5 раз быстрее. Пешеход идёт 5 км/ч, мотоциклист — в 6 раз быстрее. У кого скорости одинаковые?

Как думать. Можно даже не считать! $26 + 14 = 14 + 26$ и $6 \cdot 5 = 5 \cdot 6$ — это переместительное свойство.

Решение.

1. Первая — 26, вторая — $26 + 14 = 40$, третья — 14, четвёртая — $14 + 26 = 40$.
2. Лодка — 6 км/ч, теплоход — $6 \cdot 5 = 30$ км/ч, пешеход — 5 км/ч, мотоциклист — $5 \cdot 6 = 30$ км/ч.

Ответ: 1) во второй и четвёртой коробках (по 40 дисков); 2) у теплохода и мотоциклиста (по 30 км/ч).

Уровень B

№ 66

Раскрой скобки: 1) $2(x + 3)$; 2) $4(x - 3)$; 3) $9(4 + y)$; 4) $5(y - 2)$; 5) $6(m + 3)$; 6) $7(n - 8)$; 7) $5(a + 7)$; 8) $4(b - 3)$.

Как думать. Число перед скобкой умножаем на каждое число в скобке. Знак между ними оставляем тот же.

Решение.

1. $2(x + 3) = 2x + 6$;
2. $4(x - 3) = 4x - 12$;
3. $9(4 + y) = 36 + 9y$;
4. $5(y - 2) = 5y - 10$;
5. $6(m + 3) = 6m + 18$;
6. $7(n - 8) = 7n - 56$;
7. $5(a + 7) = 5a + 35$;
8. $4(b - 3) = 4b - 12$.

Ответ: 1) $2x + 6$; 2) $4x - 12$; 3) $36 + 9y$; 4) $5y - 10$; 5) $6m + 18$; 6) $7n - 56$; 7) $5a + 35$; 8) $4b - 12$.

№ 67

Из пункта $A$ в разные стороны одновременно выехали велосипедист (14 км/ч) и мотоциклист (40 км/ч). Какое расстояние будет между ними через 2 ч? Реши двумя способами.

Как думать. Они едут в разные стороны, поэтому расстояние между ними — это путь одного плюс путь другого.

Решение.

Способ 1 — через скорость удаления:

1. $14 + 40 = 54$ (км/ч) — на столько они разъезжаются за час.
2. $54 \cdot 2 = 108$ (км).

Способ 2 — через путь каждого:

1. Велосипедист: $14 \cdot 2 = 28$ (км).
2. Мотоциклист: $40 \cdot 2 = 80$ (км).
3. $28 + 80 = 108$ (км).

💡 Два способа — это и есть распределительное свойство: $(14 + 40) \cdot 2 = 14 \cdot 2 + 40 \cdot 2$.

Ответ: 108 км.

№ 68

На рисунке собака бежит за кошкой. Собака — 16 м/с, кошка впереди — 8 м/с, над ними подпись «3 секунды». Придумай задачу. Какой вопрос подходит к выражениям 1) $16 - 8$; 2) $(16 - 8) \cdot 3$?

Как думать. Обе бегут в одну сторону, собака сзади и быстрее. Каждую секунду она догоняет кошку на разницу скоростей.

Решение. Задача: «Собака погналась за кошкой со скоростью 16 м/с. Кошка убегает со скоростью 8 м/с. Через 3 секунды собака её догнала. Какое расстояние было между ними сначала?»

1. $16 - 8 = 8$ (м/с) — на столько метров собака приближается к кошке за каждую секунду. Это скорость сближения.
2. $(16 - 8) \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$ (м) — на столько сократилось расстояние за 3 секунды. Это и есть начальное расстояние.

Ответ: 1) на сколько метров в секунду собака догоняет кошку — на 8 м/с; 2) какое расстояние было между ними сначала — 24 м.

№ 69

В трёх вазах 6, 21 и 9 слив. Мадина перекладывает из одной вазы в другую столько слив, сколько в той другой уже лежит. Как за два перекладывания сделать во всех вазах поровну?

Как думать. В конце в каждой вазе 12 слив. Ваза, в которую клали последней, удвоилась — значит, до этого в ней было 6. А 6 у нас уже есть!

Решение.

1. Из вазы с 21 сливой перекладываем в вазу с 9 сливами ещё 9: получаем 6, 12, 18.
2. Из вазы с 18 сливами перекладываем в вазу с 6 сливами ещё 6: получаем 12, 12, 12.

Ответ: $(6, 21, 9) \to (6, 12, 18) \to (12, 12, 12)$.

Уровень C

№ 70

Поставь числа вместо квадратиков, чтобы получилось распределительное свойство: 1) $(x + 5) \cdot \square = 3x + 15$; 2) $(9 - y) \cdot 2 = \square - \square$; 3) $(\square + 6) \cdot 3 = 12x + \square$; 4) $(\square - y) \cdot 8 = 40 - \square$; 5) $(7x + \square) \cdot 4 = \square + 16$; 6) $(2x + 11) \cdot \square = 12x + \square$.

Как думать. Каждое число в скобке умножается на один и тот же множитель. Найди пару «было в скобке — стало после» — и множитель сразу виден.

Решение.

1. $x$ превратился в $3x$ — множитель 3. Проверка: $5 \cdot 3 = 15$. Итог: $(x + 5) \cdot 3 = 3x + 15$.
2. $(9 - y) \cdot 2 = 18 - 2y$.
3. Множитель 3, и $\square \cdot 3 = 12x$ — значит, в скобке $4x$. Тогда $6 \cdot 3 = 18$. Итог: $(4x + 6) \cdot 3 = 12x + 18$.
4. $\square \cdot 8 = 40$ — в скобке 5. Итог: $(5 - y) \cdot 8 = 40 - 8y$.
5. $\square \cdot 4 = 16$ — в скобке 4. А $7x \cdot 4 = 28x$. Итог: $(7x + 4) \cdot 4 = 28x + 16$.
6. $2x$ превратился в $12x$ — множитель 6. $11 \cdot 6 = 66$. Итог: $(2x + 11) \cdot 6 = 12x + 66$.

Ответ: 1) 3; 2) $18 - 2y$; 3) $4x$ и 18; 4) 5 и $8y$; 5) 4 и $28x$; 6) 6 и 66.

№ 71

4 мальчика поймали 8 рыб: 500 г; 1 кг; 1 кг 500 г; 2 кг; 2 кг 500 г; 3 кг; 3 кг 500 г; 4 кг. Улов поделили поровну и по числу рыб, и по массе. Сколько рыб и сколько рыбы по весу досталось каждому?

Как думать. Сначала узнаем, сколько весит весь улов, потом разделим на 4. Складывать удобно парами: самую лёгкую с самой тяжёлой и так далее.

Решение.

1. Рыб каждому: $8 : 4 = 2$.
2. Переводим в граммы и складываем парами: $(500 + 4000) + (1000 + 3500) + (1500 + 3000) + (2000 + 2500) = 4500 \cdot 4 = 18,000$ г $= 18$ кг.
3. Каждому: $18,000 : 4 = 4500$ г $= 4$ кг 500 г.
4. Эти же пары и есть дележ: 500 г + 4 кг; 1 кг + 3 кг 500 г; 1 кг 500 г + 3 кг; 2 кг + 2 кг 500 г.

Ответ: каждый получил 2 рыбы, всего по 4 кг 500 г.

№ 72

Найди значения выражений и расставь буквы по ответам в клетки 6, 17, 30, 40, 71, 185, 71, 44 — получится символ Астаны. Б. $(1282 + 596) : 313$; Р. $125 \cdot 20 - 463 \cdot 5$; Й. $868 : 62 + 1360 : 85$; А. $4200 : 56 \cdot 4 - 283$; Т. $1260 : 28 \cdot 16 - 680$; Е. $27 \cdot 15 : 81 + 66$; К. $55 - 832 : 26 + 21$.

Как думать. Считай по порядку действий: сначала умножение и деление слева направо, потом сложение и вычитание.

Решение.

• Б: $1282 + 596 = 1878$; $1878 : 313 = 6$.
• Р: $125 \cdot 20 = 2500$; $463 \cdot 5 = 2315$; $2500 - 2315 = 185$.
• Й: $868 : 62 = 14$; $1360 : 85 = 16$; $14 + 16 = 30$.
• А: $4200 : 56 = 75$; $75 \cdot 4 = 300$; $300 - 283 = 17$.
• Т: $1260 : 28 = 45$; $45 \cdot 16 = 720$; $720 - 680 = 40$.
• Е: $27 \cdot 15 = 405$; $405 : 81 = 5$; $5 + 66 = 71$.
• К: $832 : 26 = 32$; $55 - 32 = 23$; $23 + 21 = 44$.

Расставляем: 6 — Б, 17 — А, 30 — Й, 40 — Т, 71 — Е, 185 — Р, 71 — Е, 44 — К.

Ответ: Б = 6, Р = 185, Й = 30, А = 17, Т = 40, Е = 71, К = 44. Слово — БАЙТЕРЕК.

🌟 Байтерек — башня в Астане высотой 97 метров. Её сделали похожей на дерево жизни из легенды: в его ветвях птица Самрук снесла золотое яйцо.

Шпаргалка

• Слагаемые и множители можно переставлять и группировать как угодно.
• Ищи пары, которые дают круглые числа.
• Множитель перед скобкой умножай на каждое число в скобке.
• Одинаковый множитель выносим за скобки.
• В вычитании и делении числа местами менять нельзя.

Мини-тест