Способ сложения Гаусса

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава I: Натуральные числа и нуль. Страницы 34–35.

Коротко о главном

Конец XVIII века, школа в Германии. Учитель хочет немного отдохнуть и даёт классу задание: сложить все числа от 1 до 100. Все берутся за дело: 1 + 2 = 3, 3 + 3 = 6, 6 + 4 = 10… Работы минимум на час.

Но через несколько минут маленький Карл Фридрих Гаусс уже несёт ответ: 5050. Учитель не поверил — а потом проверил и ахнул. Позже Гаусс вырос в одного из величайших учёных, его прозвали «королём математиков».

🌟 Карл Гаусс (1777–1855) считал в уме раньше, чем научился читать. Говорят, в три года он нашёл ошибку в расчётах своего отца-строителя.

В чём фокус

Гаусс не складывал по порядку. Он соединил числа в пары: первое с последним, второе с предпоследним:

$1 + 100 = 101$, $\ 2 + 99 = 101$, $\ 3 + 98 = 101$, …

Каждая пара даёт одно и то же — 101! Чисел 100, значит, пар 50. Итого $101 \cdot 50 = 5050$.

Посмотри на картинку. Ступеньки одного цвета — это $1 + 2 + 3 + 4$. Вторая лестница — те же числа, только наоборот. Вместе они сложились в прямоугольник $4 \times 5 = 20$ клеток. Одна лестница — половина: $20 : 2 = 10$.

Так же можно сложить любые числа, которые идут с одинаковым шагом. Например, от 41 до 50:

$(41 + 50) + (42 + 49) + (43 + 48) + (44 + 47) + (45 + 46) = 91 \cdot 5 = 455$.

📌 Правило Гаусса: (первое + последнее) × (сколько чисел) : 2.

Почему так можно? Слагаемые разрешено переставлять и группировать как угодно — это переместительное и сочетательное свойства сложения.

⚠️ Частая ошибка. Сколько чисел от 51 до 70? Многие говорят «19». А на самом деле 20: $70 - 51 + 1$. Не забывай прибавить единицу — ведь считаем и 51, и 70.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка посчитать пальцами, сколько чисел от 3 до 7 (3, 4, 5, 6, 7 — пять, а не четыре). После этого «+1» запоминается навсегда.

Решаем упражнения

Задача 1

Сложи по Гауссу все натуральные числа: а) от 11 до 20; б) от 21 до 30; в) от 51 до 70.

Как думать. Сначала считаем, сколько чисел, потом — сколько пар. Сумма одной пары — первое плюс последнее.

Решение.

• а) Чисел $20 - 11 + 1 = 10$, пар 5. Каждая пара: $11 + 20 = 31$. Сумма: $31 \cdot 5 = 155$.
• б) Чисел 10, пар 5. Пара: $21 + 30 = 51$. Сумма: $51 \cdot 5 = 255$.
• в) Чисел $70 - 51 + 1 = 20$, пар 10. Пара: $51 + 70 = 121$. Сумма: $121 \cdot 10 = 1210$.

Ответ: а) 155; б) 255; в) 1210.

Задача 2

Вычисли $(30 \cdot 25 - 25 \cdot 27) + (27 \cdot 24 - 24 \cdot 24) + (24 \cdot 23 - 23 \cdot 21) + (21 \cdot 22 - 22 \cdot 18)$. Варианты: A. 275; B. 282; C. 295; D. 247.

Как думать. Выглядит страшно, но в каждой скобке есть общий множитель. Вынесем его — и скобки станут крошечными.

Решение.

1. $30 \cdot 25 - 25 \cdot 27 = 25 \cdot (30 - 27) = 25 \cdot 3 = 75$.
2. $27 \cdot 24 - 24 \cdot 24 = 24 \cdot (27 - 24) = 24 \cdot 3 = 72$.
3. $24 \cdot 23 - 23 \cdot 21 = 23 \cdot (24 - 21) = 23 \cdot 3 = 69$.
4. $21 \cdot 22 - 22 \cdot 18 = 22 \cdot (21 - 18) = 22 \cdot 3 = 66$.
5. Складываем по Гауссу: $(75 + 66) + (72 + 69) = 141 \cdot 2 = 282$.

Ответ: B (282).

Задача 3

Вычисли $(3 \cdot 96 - 84 \cdot 3) + (5 \cdot 84 - 72 \cdot 5) + (7 \cdot 72 - 60 \cdot 7) + (9 \cdot 60 - 48 \cdot 9) + (11 \cdot 48 - 36 \cdot 11) + (13 \cdot 36 - 24 \cdot 13)$. Варианты: A. 586; B. 592; C. 576; D. 580.

Как думать. Сначала вынеси общий множитель из каждой скобки. Потом посмотри, что осталось в скобках, — там прячется одно и то же число.

Решение.

1. Скобки равны: $3 \cdot 12$, $5 \cdot 12$, $7 \cdot 12$, $9 \cdot 12$, $11 \cdot 12$, $13 \cdot 12$.
2. Выносим 12: $12 \cdot (3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13)$.
3. По Гауссу: $(3 + 13) + (5 + 11) + (7 + 9) = 16 \cdot 3 = 48$.
4. $12 \cdot 48 = 576$.

Ответ: C (576).

Задача 4

Вычисли $(55 \cdot 100 - 100 \cdot 50) + (50 \cdot 98 - 98 \cdot 45) + (45 \cdot 96 - 96 \cdot 40) + (40 \cdot 94 - 94 \cdot 35) + (35 \cdot 92 - 92 \cdot 30)$. Варианты: A. 3200; B. 2400; C. 2750; D. 3400.

Как думать. Тот же приём, что в задаче 3: ищем, какая разность повторяется в каждой скобке.

Решение.

1. В каждой скобке разность равна 5: $55 - 50 = 50 - 45 = \ldots = 35 - 30 = 5$.
2. Скобки равны $100 \cdot 5$, $98 \cdot 5$, $96 \cdot 5$, $94 \cdot 5$, $92 \cdot 5$.
3. $5 \cdot (100 + 98 + 96 + 94 + 92)$. Чисел 5, пары $100 + 92 = 98 + 94 = 192$ и ещё 96 в середине: сумма $192 \cdot 2 + 96 = 480$.
4. $5 \cdot 480 = 2400$.

Ответ: B (2400).

Задача 5

8 мальчиков поделили 60 груш, и у всех получилось разное количество. У Армана меньше всех — 4 груши. Сколько груш у Асана, у которого больше всех? Варианты: A. 10; B. 12; C. 11; D. 14.

Как думать. Задача на смекалку. Найдём, сколько груш нужно как минимум, если у всех разное число и у каждого хотя бы 4.

Решение.

1. Самый экономный вариант: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
2. По Гауссу: $(4 + 11) \cdot 4 = 15 \cdot 4 = 60$.
3. Получилось ровно 60! Если кому-то дать больше, сумма превысит 60. Значит, других вариантов нет, и у Асана 11 груш.

Ответ: C (11 груш).

Задача 6

42 катушки ниток семи цветов разложили по коробкам: в каждой следующей на одну катушку больше. Больше всего в коробке — 9. Сколько катушек в самой маленькой? Варианты: A. 3; B. 7; C. 5; D. 6.

Как думать. Коробок 7, и числа идут подряд. Самое большое известно — отсчитай вниз.

Решение.

1. Коробок 7, числа идут подряд и заканчиваются на 9: это $9, 8, 7, 6, 5, 4, 3$.
2. Проверка по Гауссу: $(3 + 9) + (4 + 8) + (5 + 7) + 6 = 12 \cdot 3 + 6 = 42$. Верно.

Ответ: A (3 катушки).

Задача 7

Белка разложила 33 ореха на 6 кучек, в каждой следующей на один орех меньше. В первой 8 орехов. Сколько в последней? Варианты: A. 4; B. 2; C. 5; D. 3.

Решение.

1. Кучки: 8, 7, 6, 5, 4, 3.
2. Проверка: $(8 + 3) \cdot 3 = 11 \cdot 3 = 33$. Верно.

Ответ: D (3 ореха).

Задача 8

Девочка собрала 6 букетов ромашек: в первом 5 цветков, в каждом следующем на 2 больше. Сколько всего цветков? Варианты: A. 65; B. 60; C. 68; D. 64.

Как думать. Шаг не 1, а 2 — но фокус Гаусса работает при любом одинаковом шаге.

Решение.

1. Букеты: 5, 7, 9, 11, 13, 15.
2. По Гауссу: пар 3, каждая $5 + 15 = 20$. Сумма: $20 \cdot 3 = 60$.

Ответ: B (60 цветков).

Задача 9

Часы бьют в 1 ч один раз, в 2 ч — два раза, …, в 12 ч — 12 раз. А ещё каждые полчаса они бьют один раз. Сколько ударов будет с 1 ч до 10 ч включительно? Варианты: A. 69; B. 57; C. 64; D. 55.

Как думать. Считаем отдельно удары «в час» и удары «в полчаса».

Решение.

1. Удары в целые часы: $1 + 2 + \ldots + 10 = (1 + 10) \cdot 5 = 55$.
2. Удары в половину часа: 1:30, 2:30, …, 9:30 — это 9 ударов (в 10:30 уже не считаем).
3. Всего: $55 + 9 = 64$.

Ответ: C (64 раза).

⚠️ Частая ошибка. Считают 10 «получасовых» ударов. Но после 10 часов счёт закончился, а до 1 часа ещё не начался. Получасов между 1:00 и 10:00 ровно 9.