1.7. Арифметические действия над натуральными числами

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава I: Натуральные числа и нуль. Страницы 36–37.

Чему научишься

• Отличать действия первой ступени от действий второй.
• Находить правильный порядок действий — со скобками и без.
• Ставить скобки так, чтобы действия шли в нужном порядке.
• Собирать выражение по схеме или по словесной «программе».

Разминка

Посчитай сам, потом открой ответ.

• $(62 - 53) \cdot 4 + 56 : 8$ Сначала скобка: $62 - 53 = 9$. Потом умножение и деление: $9 \cdot 4 = 36$, $56 : 8 = 7$. В конце сложение: $36 + 7 =$ 43.
• $70 + (66 - 42) : 6 - 15 \cdot 4$ Скобка: $66 - 42 = 24$. Деление и умножение: $24 : 6 = 4$, $15 \cdot 4 = 60$. Сложение и вычитание слева направо: $70 + 4 = 74$, $74 - 60 =$ 14.

💡 Заметил? Мы ни разу не считали просто слева направо. Порядок задают правила — о них этот урок.

Разбираемся

Кто главнее: две ступени

Все четыре действия делятся на две команды:

• первая ступень — сложение и вычитание;
• вторая ступень — умножение и деление.

Вторая ступень «старше»: её выполняют раньше. Как в очереди в столовой — старшеклассники вперёд.

Три правила порядка

📌 Порядок действий:

1. Сначала скобки. Внутри скобок — те же правила. Если скобка внутри скобки, начинаем с самой внутренней.
2. Потом умножение и деление — слева направо.
3. В конце сложение и вычитание — тоже слева направо.

Если все действия одной ступени, просто идём слева направо:

$680 - 370 + 154 - 259 = 310 + 154 - 259 = 464 - 259 = 205$.

Если ступени разные — сначала вторая:

$1176 : 98 + 196 \cdot 5 = 12 + 980 = 992$.

Матрёшка из скобок

Теперь посложнее: $(5074 : (95 - 18 \cdot 2) + 104) : 38 \cdot 25$. Скобки вложены, как матрёшки. Открывай шаги по одному.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка перед вычислением поставить карандашом номер над каждым знаком действия. Это полминуты, но почти все ошибки порядка исчезают.

⚠️ Частая ошибка. В $48 : 4 \cdot 2$ сначала умножают $4 \cdot 2 = 8$ и получают $48 : 8 = 6$. Неверно! Умножение и деление — одна ступень, идём слева направо: $48 : 4 = 12$, $12 \cdot 2 = 24$.

⚠️ Частая ошибка. Со сложением и вычитанием так же: $20 - 5 + 3 = 18$, а не 12. Сначала $20 - 5 = 15$, потом $15 + 3 = 18$.

Как читать схему

Схема — это «дерево» из прямоугольников. Два числа сверху соединены стрелками с прямоугольником ниже — туда пишут результат действия. Читаем сверху вниз.

Чтобы записать схему одной строкой, бери действие в скобки, если оно должно выполниться раньше, чем разрешают правила.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какие действия первой ступени, а какие второй? Первая — сложение и вычитание. Вторая — умножение и деление.
• В каком порядке считать выражение без скобок, где есть все действия? Сначала умножение и деление слева направо, потом сложение и вычитание слева направо.
• А если скобки есть? Сначала действия в скобках (по тем же правилам), потом остальные: сначала вторая ступень, потом первая.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 73

Вычисли: 1) $287 + 63 + 13$; 2) $946 + 72 - 46$; 3) $535 - 46 + 11$; 4) $61 \cdot 20 \cdot 5$; 5) $45 \cdot 6 + 32 \cdot 6$; 6) $68 \cdot 5 - 42 \cdot 5$.

Как думать. Можно считать по порядку, но с фокусами из прошлого урока быстрее.

Решение.

1. $287 + 13 = 300$; $300 + 63 = 363$.
2. $946 - 46 = 900$; $900 + 72 = 972$.
3. $535 - 46 = 489$; $489 + 11 = 500$.
4. $61 \cdot (20 \cdot 5) = 61 \cdot 100 = 6100$.
5. $(45 + 32) \cdot 6 = 77 \cdot 6 = 462$.
6. $(68 - 42) \cdot 5 = 26 \cdot 5 = 130$.

Ответ: 1) 363; 2) 972; 3) 500; 4) 6100; 5) 462; 6) 130.

№ 74

Составь выражение по программе: 1) умножь 102 на 314; 2) раздели 26 145 на 249; 3) сложи результаты. Найди значение.

Решение. Выражение: $102 \cdot 314 + 26,145 : 249$. Скобки не нужны: умножение и деление и так выполнятся раньше сложения.

1. $102 \cdot 314 = 100 \cdot 314 + 2 \cdot 314 = 31,400 + 628 = 32,028$.
2. Делим уголком:

 26145 | 249
-249   |-----
 ---   | 105
  12       ← сносим 4: 124 < 249, в частном 0
  1245     ← сносим 5
 -1245
  ----
     0

$26,145 : 249 = 105$. Проверка: $249 \cdot 105 = 24,900 + 1245 = 26,145$. 3. $32,028 + 105 = 32,133$.

Ответ: $102 \cdot 314 + 26,145 : 249 = 32,133$.

⚠️ Частая ошибка. При делении 26 145 на 249 теряют нуль в частном и получают 15. Проверь по числу цифр: первое неполное делимое 261, после него остаются ещё 2 цифры — значит, в частном 3 цифры.

Уровень B

№ 75

Расставь скобки, чтобы действия шли в указанном порядке, и найди значение: 1) $716 + 952 - 574 : 27$ (порядок: «−», «:», «+»); 2) $645 - 596 \cdot 971 - 847$ (первое «−», второе «−», «·»); 3) $2215 : 128 + 315 \cdot 86$ («+», «:», «·»); 4) $522 + 723 : 932 - 517 \cdot 57$ («+», «−», «:», «·»).

Как думать. Если действие по правилам выполнилось бы позже, а нужно раньше, — бери его в скобки.

Решение.

1. Вычитание должно быть первым: $716 + (952 - 574) : 27$. $952 - 574 = 378$; $378 : 27 = 14$; $716 + 14 = 730$.
2. Оба вычитания раньше умножения: $(645 - 596) \cdot (971 - 847)$. $645 - 596 = 49$; $971 - 847 = 124$; $49 \cdot 124 = 6076$.
3. Сложение первым: $2215 : (128 + 315) \cdot 86$. $128 + 315 = 443$; $2215 : 443 = 5$; $5 \cdot 86 = 430$.
4. Сложение и вычитание раньше деления и умножения: $(522 + 723) : (932 - 517) \cdot 57$. $522 + 723 = 1245$; $932 - 517 = 415$; $1245 : 415 = 3$; $3 \cdot 57 = 171$.

Ответ: 1) $716 + (952 - 574) : 27 = 730$; 2) $(645 - 596) \cdot (971 - 847) = 6076$; 3) $2215 : (128 + 315) \cdot 86 = 430$; 4) $(522 + 723) : (932 - 517) \cdot 57 = 171$.

№ 76

Определи порядок действий и вычисли: $(32 \cdot 18 + (2435 - 1967) \cdot 25) : 36 - 198$.

Как думать. Начинаем с самой глубокой «матрёшки» и выбираемся наружу.

Решение.

1. Внутренняя скобка: $2435 - 1967 = 468$.
2. Во внешней скобке умножение: $32 \cdot 18 = 576$.
3. Там же умножение: $468 \cdot 25 = 11,700$.
4. Там же сложение: $576 + 11,700 = 12,276$.
5. Деление: $12,276 : 36 = 341$.
6. Вычитание: $341 - 198 = 143$.

Проверка деления: $341 \cdot 36 = 10,230 + 2046 = 12,276$. Верно.

Ответ: 143.

№ 77

По схеме: сначала $126 + 14$, результат делим на 5; отдельно $90 : 18$; из первого результата вычитаем второй. Составь выражение и найди значение.

Как думать. Сложение на схеме идёт первым, но по правилам деление «главнее». Поэтому $126 + 14$ берём в скобки.

Решение. Выражение: $(126 + 14) : 5 - 90 : 18$.

1. $126 + 14 = 140$.
2. $140 : 5 = 28$.
3. $90 : 18 = 5$.
4. $28 - 5 = 23$.

Ответ: $(126 + 14) : 5 - 90 : 18 = 23$.

№ 78

Определи порядок действий и вычисли: 1) $16 + (324 - (28 - 95 : 19) \cdot 8 + 32) : 43$; 2) $125 : (72 : 12 \cdot 3 + 98 : (68 - 18 \cdot 3))$; 3) $100 - (96 : (72 - 16 \cdot 4) + 24 \cdot 5 : 6) \cdot 3$.

Как думать. Начинаем с самой внутренней скобки и идём наружу. Внутри каждой скобки — сначала вторая ступень.

Решение. 1)

1. $95 : 19 = 5$;
2. $28 - 5 = 23$;
3. $23 \cdot 8 = 184$;
4. $324 - 184 = 140$;
5. $140 + 32 = 172$;
6. $172 : 43 = 4$;
7. $16 + 4 = 20$.

2. 1. $18 \cdot 3 = 54$;
   2. $68 - 54 = 14$;
   3. $72 : 12 = 6$;
   4. $6 \cdot 3 = 18$;
   5. $98 : 14 = 7$;
   6. $18 + 7 = 25$;
   7. $125 : 25 = 5$.
3. 1. $16 \cdot 4 = 64$;
   2. $72 - 64 = 8$;
   3. $96 : 8 = 12$;
   4. $24 \cdot 5 = 120$;
   5. $120 : 6 = 20$;
   6. $12 + 20 = 32$;
   7. $32 \cdot 3 = 96$;
   8. $100 - 96 = 4$.

Ответ: 1) 20; 2) 5; 3) 4.

№ 79

Составь выражения по схемам и найди значения. 1) $135 + 203$; $228 : 19$, результат умножить на 21; из первого вычесть второе. 2) $1965 - 613$, результат разделить на 52 и умножить на 18; $649 - 431$, на этот результат разделить 2834; сложить два результата.

Как думать. Читаем схему сверху вниз. Там, где действие первой ступени должно идти раньше второй, ставим скобки.

Решение.

1. Выражение: $(135 + 203) - 228 : 19 \cdot 21$.
   1. $135 + 203 = 338$;
   2. $228 : 19 = 12$;
   3. $12 \cdot 21 = 252$;
   4. $338 - 252 = 86$.
2. Выражение: $(1965 - 613) : 52 \cdot 18 + 2834 : (649 - 431)$.
   1. $1965 - 613 = 1352$;
   2. $1352 : 52 = 26$;
   3. $26 \cdot 18 = 468$;
   4. $649 - 431 = 218$;
   5. $2834 : 218 = 13$;
   6. $468 + 13 = 481$.

Скобки вокруг $135 + 203$ в первом выражении можно не писать: сложение там и так первое, а вычитание выполнится последним.

Ответ: 1) $135 + 203 - 228 : 19 \cdot 21 = 86$; 2) $(1965 - 613) : 52 \cdot 18 + 2834 : (649 - 431) = 481$.

Шпаргалка

• Порядок: скобки → умножение и деление → сложение и вычитание.
• Действия одной ступени — слева направо.
• Перед счётом пронумеруй действия над знаками.
• Скобки ставят, когда действие нужно выполнить раньше, чем разрешают правила.

Мини-тест