1.8. Числовые выражения. Буквенные выражения

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава I: Натуральные числа и нуль. Страницы 38–42.

Чему научишься

• Отличать числовое выражение от буквенного.
• Находить значение выражения — и с числами, и с буквами.
• Писать коротко: $5a$, $ab$, $3(x + 2)$ — и знать, что такое коэффициент.
• Называть выражение по последнему действию: сумма, разность, произведение, частное.
• Превращать условие задачи в выражение.

Разминка

Вот восемь записей: $17 \cdot 3$; $4b + 5$; $42 : 6 + 4$; $3(19 + a)$; $28 - a$; $(12 + 15) : 3$; $75 : a - 8$; $88 : 5 \cdot 3$. Разложи их на две кучки.

• В каких записях только числа и знаки действий? $17 \cdot 3$; $42 : 6 + 4$; $(12 + 15) : 3$; $88 : 5 \cdot 3$.
• А в каких есть буквы? $4b + 5$; $3(19 + a)$; $28 - a$; $75 : a - 8$.
• Как называют записи первой кучки? Числовые выражения.
• А второй? Буквенные выражения — в них есть буквы.

Разбираемся

Выражение — это «рецепт» вычисления

Два велосипедиста выехали из одного места в разные стороны. Один едет 12 км/ч, другой — 14 км/ч. Через час между ними $12 + 14 = 26$ км, а через 3 часа — $(12 + 14) \cdot 3 = 78$ км.

Записи $12 + 14$ и $(12 + 14) \cdot 3$ — это числовые выражения: числа, знаки действий и скобки. Выполнил все действия — получил значение выражения.

💡 Можно посчитать и иначе: $12 \cdot 3 + 14 \cdot 3 = 36 + 42 = 78$ км. Выражения разные, а значение одно. Так бывает часто!

Ещё пример: $96 : (37 - 29) = 96 : 8 = 12$. Выражение — $96 : (37 - 29)$, его значение — 12.

Как выражение «зовут»

Имя выражению даёт последнее действие. В $96 : (37 - 29)$ сначала считаем скобки, а последним делим. Значит, это частное: «частное числа 96 и разности чисел 37 и 29».

• $9 + 61$ — сумма чисел 9 и 61;
• $3 \cdot (48 + 23)$ — произведение числа 3 и суммы чисел 48 и 23;
• $(85 - 36) : 7$ — частное разности чисел 85 и 36 и числа 7.

⚠️ Частая ошибка. Читают слева направо: «$3 \cdot (48 + 23)$ — это сумма». Нет! Скобки считают первыми, умножают последним — значит, это произведение. Поставь над знаками номера действий: знак с самым большим номером и даёт имя.

Когда числа ещё неизвестны — берём букву

Пусть 1 кг груш стоит $a$ тг, а 1 кг яблок — $b$ тг, и груши дороже. Тогда килограмм груш дороже на $a - b$ тг, а 3 кг груш дороже 3 кг яблок на $3(a - b)$ тг. Это буквенные выражения.

Буква — это «коробочка» для числа. Обычно берут маленькие латинские буквы: $a, b, c, x, y, m, n$. Положил в коробочку число — и выражение стало числовым:

$b + 12 \cdot 4$ при $b = 7$: $7 + 12 \cdot 4 = 7 + 48 = 55$.

Число 7 здесь — значение буквы. В коробочку можно класть разные числа, поэтому букву называют переменной, а выражение — выражением с переменной.

Теперь сам положи число в «коробочку»:

Коэффициент и «невидимый» знак умножения

В записи $8a$ число 8 — коэффициент: числовой множитель перед буквами. Между числом и буквой знак «·» не пишут: вместо $5 \cdot a$ пишут $5a$.

Так же коротко пишут:

• произведение букв: $a \cdot b = ab$;
• число перед скобкой: $3 \cdot (x + 2) = 3(x + 2)$.

Если перед буквой числа нет, коэффициент равен 1: $a = 1 \cdot a$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка «перевести» $3(a - b)$ обратно на язык груш и яблок. Если он объясняет, что значит каждая часть, тема понята, а не заучена.

Выражение — маленькая модель задачи

Выражение по условию задачи — это её короткий «портрет». Его называют математической моделью. Если соединить два выражения знаком $=$, $\ne$,

Проверь, как понял

Проверь себя

• Что такое числовое выражение? Запись из чисел, знаков действий и (если нужно) скобок. Например, $25 \cdot 4 - 7$ или $(60 + 12) : 9$.
• Что называют значением числового выражения? Число, которое получается после всех действий. У $(60 + 12) : 9$ значение 8.
• Что такое буквенное выражение? Выражение, в котором есть буквы: $a + 5$; $3(x - 2)$.
• Что такое коэффициент? Число в произведении числа и букв. В $7xy$ коэффициент 7, в $x$ — 1.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 80

Прочитай вслух: $34 - 5$; $18 + a$; $34 \cdot b$; $96 : x$; $45 : 9$; $x - y$; $18 \cdot 5$; $m + n$.

Как думать. Смотри на знак: «+» — сумма, «−» — разность, «·» — произведение, «:» — частное.

Решение.

1. $34 - 5$ — разность чисел 34 и 5;
2. $18 + a$ — сумма числа 18 и $a$;
3. $34 \cdot b$ — произведение числа 34 и $b$;
4. $96 : x$ — частное числа 96 и $x$;
5. $45 : 9$ — частное чисел 45 и 9;
6. $x - y$ — разность $x$ и $y$;
7. $18 \cdot 5$ — произведение чисел 18 и 5;
8. $m + n$ — сумма $m$ и $n$.

Ответ: разность; сумма; произведение; частное; частное; разность; произведение; сумма (полностью — в решении).

Уровень A

№ 81

С помощью свойств сложения и умножения найди: 1) значения шести числовых выражений; 2) значения шести буквенных выражений при данных значениях букв.

Как думать. Слагаемые и множители можно переставлять и группировать. Ищи пары, которые дают «круглое» число: $27 + 73 = 100$, $4 \cdot 25 = 100$, $125 \cdot 8 = 1000$.

Решение.

1. Числовые выражения:

• а) $27 + 58 + 73 = (27 + 73) + 58 = 100 + 58 = 158$;
• б) $19 + 46 + 81 = (19 + 81) + 46 = 100 + 46 = 146$;
• в) $4 \cdot 7 \cdot 25 = (4 \cdot 25) \cdot 7 = 100 \cdot 7 = 700$;
• г) $20 \cdot 16 \cdot 5 = (20 \cdot 5) \cdot 16 = 100 \cdot 16 = 1600$;
• д) $2 \cdot 27 \cdot 5 = (2 \cdot 5) \cdot 27 = 10 \cdot 27 = 270$;
• е) $125 \cdot 6 \cdot 8 = (125 \cdot 8) \cdot 6 = 1000 \cdot 6 = 6000$.

2. Буквенные выражения. Сначала соединяем числа, потом подставляем букву:

• а) $(9 + a) + 11 = 20 + a$; при $a = 6$: $20 + 6 = 26$;
• б) $5b \cdot 4 = 20b$; при $b = 18$: $20 \cdot 18 = 360$;
• в) $(82 + c) + 18 = 100 + c$; при $c = 14$: $114$;
• г) $(23 + x) + 39 = 62 + x$; при $x = 11$: $73$;
• д) $8y \cdot 25 = 200y$; при $y = 3$: $600$;
• е) $20n \cdot 5 = 100n$; при $n = 9$: $900$.

Ответ: 1) а) 158; б) 146; в) 700; г) 1600; д) 270; е) 6000. 2) а) 26; б) 360; в) 114; г) 73; д) 600; е) 900.

№ 82

1) Ученик прочитал 28 страниц, и до середины книги ему осталось $a$ страниц. Сколько страниц в книге? Посчитай при $a = 15$. 2) Вдоль дороги в ряд посадили 33 дерева, между соседними — по $n$ м. Какое расстояние между крайними деревьями при $n = 6$? (A. 192 м; B. 195 м; C. 198 м; D. 184 м.)

Как думать. В первом пункте полкниги — это прочитанное плюс оставшееся до середины. Во втором считаем не деревья, а промежутки между ними.

Решение.

1. Половина книги — $28 + a$ страниц. Вся книга вдвое больше: $2(28 + a)$. При $a = 15$: $2 \cdot (28 + 15) = 2 \cdot 43 = 86$ страниц.

2. Между 33 деревьями $33 - 1 = 32$ промежутка. Расстояние между крайними — $32n$ м. При $n = 6$: $32 \cdot 6 = 192$ м.

Ответ: 1) $2(28 + a)$; 86 страниц. 2) $32n$; 192 м — вариант A.

⚠️ Частая ошибка. Умножают 33 на 6 и получают 198 м (вариант C). Это ловушка! Проверь на маленьком примере: 2 дерева — всего 1 промежуток.

Уровень B

№ 83

Упрости с помощью свойств действий и посчитай: 1) $12 + a + 97$ при $a = 8; 3$; 2) $26 + b + 83$ при $b = 14; 7$; 3) $49 + c + 38$ при $c = 51; 62$; 4) $20a \cdot 15$ при $a = 5; 4$; 5) $25b \cdot 5$ при $b = 4; 12$; 6) $8c \cdot 12$ при $c = 125; 3$.

Как думать. Сначала соедини числа (сложи или перемножь). Потом подставляй каждое значение буквы — считать придётся меньше.

Решение.

В пункте 6 при $c = 125$ удобнее так: $8 \cdot 125 \cdot 12 = 1000 \cdot 12 = 12,000$.

Ответ: 1) 117; 112. 2) 123; 116. 3) 138; 149. 4) 1500; 1200. 5) 500; 1500. 6) 12 000; 288.

№ 84

Запиши выражения и посчитай: 1) утроенная сумма чисел 48 и 23; 2) удвоенная разность чисел 53 и 19; 3) частное числа 735 и разности чисел 85 и 36; 4) частное суммы чисел 251 и 649 и числа 75. Варианты: A. 15; B. 68; C. 12; D. 213.

Как думать. «Утроенная» — умножить на 3, «удвоенная» — на 2. Сумму или разность внутри бери в скобки.

Решение.

1. $3 \cdot (48 + 23) = 3 \cdot 71 = 213$;
2. $2 \cdot (53 - 19) = 2 \cdot 34 = 68$;
3. $735 : (85 - 36) = 735 : 49 = 15$;
4. $(251 + 649) : 75 = 900 : 75 = 12$.

Ответ: 1) 213 — D; 2) 68 — B; 3) 15 — A; 4) 12 — C.

№ 85

1) Бревно длиной 3 м пилят на куски по 60 см, на один распил уходит $b$ мин. Сколько часов уйдёт на 15 таких брёвен? Посчитай при $b = 7$ (A. 5 ч; B. 7 ч; C. 4 ч; D. 3 ч). 2) Три строителя собирались построить дом за 40 дней, но с помощниками справились за 24 дня. Сколько строителей пришло на помощь?

Как думать. В пункте 1 помни: распилов на 1 меньше, чем кусков (как с деревьями в № 82). В пункте 2 посчитай всю работу в «днях одного строителя».

Решение.

1. $3 \text{ м} = 300 \text{ см}$; кусков $300 : 60 = 5$.
2. Распилов в одном бревне $5 - 1 = 4$.
3. Распилов в 15 брёвнах $15 \cdot 4 = 60$. Времени $60b$ мин.
4. $60$ мин $= 1$ ч, значит, $60b$ мин $= b$ ч. При $b = 7$ получаем 7 ч.

1. Вся работа: $3 \cdot 40 = 120$ дней для одного строителя.
2. За 24 дня её сделали $120 : 24 = 5$ строителей.
3. На помощь пришли $5 - 3 = 2$ строителя.

Проверка: $5 \cdot 24 = 120$. Верно.

Ответ: 1) $b$ ч; 7 ч — вариант B. 2) 2 строителя.

№ 86

На рисунке 1.21 — дорога 54 км. С одного конца выезжает всадник (12 км/ч), с другого навстречу ему — велосипедист (15 км/ч). Придумай вопросы к выражениям $12 + 15$ и $54 : (12 + 15)$ и найди их значения.

Как думать. Едут навстречу — значит, каждый час расстояние между ними сокращается на сумму скоростей.

Решение. Пример задачи: «Из двух сёл, между которыми 54 км, одновременно навстречу друг другу выехали всадник со скоростью 12 км/ч и велосипедист со скоростью 15 км/ч».

1. $12 + 15 = 27$ км/ч. Вопрос: на сколько километров они сближаются за 1 час?
2. $54 : (12 + 15) = 54 : 27 = 2$ ч. Вопрос: через сколько часов они встретятся?

На графике видно: за 2 ч всадник проехал 24 км, велосипедист — 30 км, и оба оказались в точке «24 км».

Ответ: 1) 27 км/ч — скорость сближения; 2) 2 ч — время до встречи.

Уровень C

№ 87

Известно, что $m + n = 35$. Найди: Т. $(m + 15) + n$; Н. $(m + 48) + (n + 20)$; А. $m + (n + 9)$; С. $(m + 7) + n$; У. $(m + 26) + (n + 14)$; Р. $(m + 30) + (n + 17)$. Поставь буквы по возрастанию значений — получится название планеты.

Как думать. $m$ и $n$ по отдельности мы не знаем, зато знаем их сумму. Собери $m + n$ вместе, а числа сложи отдельно.

Решение.

• Т: $(m + n) + 15 = 35 + 15 = 50$;
• Н: $(m + n) + 48 + 20 = 35 + 68 = 103$;
• А: $(m + n) + 9 = 44$;
• С: $(m + n) + 7 = 42$;
• У: $(m + n) + 26 + 14 = 35 + 40 = 75$;
• Р: $(m + n) + 30 + 17 = 35 + 47 = 82$.

По возрастанию: 42 (С), 44 (А), 50 (Т), 75 (У), 82 (Р), 103 (Н).

Ответ: САТУРН.

🌟 Сатурн — вторая по величине планета Солнечной системы. Его кольца видно даже в небольшой телескоп.

№ 88

В первом рулоне 32 м ткани — это на $x$ м меньше, чем во втором. В третьем на $y$ м больше, чем в первом. Сколько метров в трёх рулонах? Посчитай при $x = 8$, $y = 6$ (A. 105 м; B. 108 м; C. 110 м; D. 115 м).

Как думать. «Первый на $x$ меньше второго» — это то же самое, что «второй на $x$ больше первого».

Решение.

1. Первый рулон: 32 м.
2. Второй: $(32 + x)$ м.
3. Третий: $(32 + y)$ м.
4. Всего: $32 + (32 + x) + (32 + y) = 96 + x + y$.
5. При $x = 8$, $y = 6$: $96 + 8 + 6 = 110$ м.

Ответ: $96 + x + y$; 110 м — вариант C.

№ 89

Реши ребусы (одинаковые буквы — одинаковые цифры, разные — разные): 1) XYXY + YXYX = ZZZZ; 2) ABCD + ABCD = DECB, где E = 8; 3) EPPE − PEEP = NNCC, где C = 5.

Как думать. Задача на смекалку. Складывай (вычитай) столбиком по разрядам и следи за переносом единицы.

Решение.

1. В каждом разряде складываются X и Y и получается Z. Если бы был перенос, цифры в соседних разрядах отличались бы. Значит, переноса нет и $X + Y = Z$, причём $Z \le 9$. Подходит любая такая пара: $1212 + 2121 = 3333$; $2525 + 5252 = 7777$; $3636 + 6363 = 9999$.

2. Рассуждение — по шагам в окошке выше: $C = 0$, $B = 4$, $D = 2$, $A = 1$.

Проверка: $1402 + 1402 = 2804$, то есть D = 2, E = 8, C = 0, B = 4. Верно.

3. Разряд единиц: $E - P$ оканчивается на $C = 5$. Перебираем и проверяем столбиком. Подходит, когда $E$ больше $P$ на 5: разность тогда всегда 4455, то есть N = 4.

• $6116 - 1661 = 4455$;
• $7227 - 2772 = 4455$;
• $8338 - 3883 = 4455$.

(Пара $E = 9$, $P = 4$ не подходит: цифра 4 уже занята буквой N.)

Ответ: 1) например, $1212 + 2121 = 3333$ (подходят любые X и Y с $X + Y = Z$); 2) $1402 + 1402 = 2804$; 3) $6116 - 1661 = 4455$ (также $7227 - 2772$ и $8338 - 3883$).

№ 90

Составь буквенное выражение, которое связывает номер твоего класса $m$ и твой возраст $n$, и заполни таблицу.

Как думать. Каждый год номер класса растёт на 1, и возраст тоже на 1. Значит, разница между ними не меняется.

Решение. Ответ у каждого свой. Пример: пятикласснику 11 лет. Разница $11 - 5 = 6$, поэтому $n = m + 6$.

Если тебе в 5 классе 10 лет, выражение будет $n = m + 5$, а во второй строке — 6, 7, 8, 9, 10.

Ответ: например, $n = m + 6$.

Шпаргалка

• Подставил число вместо буквы — получил числовое выражение.
• $a(b - c)$ — произведение $a$ и разности $b$ и $c$.
• Знак «·» не пишут между числом и буквой, между буквами и перед скобкой: $5a$, $ab$, $3(x + 2)$.
• Делитель в выражении не может быть равен нулю.

Мини-тест