1.9. Упрощение выражений

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава I: Натуральные числа и нуль. Страницы 43–46.

Чему научишься

• Понимать, что значит «упростить»: заменить выражение равным, но с меньшим числом действий.
• Собирать числа в сумме: $9 + a + 14 = 23 + a$.
• Собирать числа в произведении: $8a \cdot 7 = 56a$, $3n \cdot 4k \cdot 6m = 72kmn$.
• Складывать и вычитать слагаемые с одной буквой: $7x + 8x = 15x$, $10x - 6x = 4x$.
• Выносить общий множитель за скобки: $7a + 7 \cdot 3 = 7(a + 3)$.

Разминка

Реши в уме, потом открой ответ.

• Упрости $2 \cdot x \cdot 3$. Перемножим числа: $(2 \cdot 3) \cdot x = 6x$.
• Упрости $5 \cdot y \cdot 8$. $(5 \cdot 8) \cdot y = 40y$.
• Упрости $4m + 9m$. Вынесем букву за скобки: $(4 + 9)m = 13m$.
• Упрости $7a + 13a$. $(7 + 13)a = 20a$.
• Упрости $13 + x + 7$. $(13 + 7) + x = 20 + x$.
• Упрости $9n - 4n$. $(9 - 4)n = 5n$.

💡 Посчитай действия: в $4m + 9m$ их три (два умножения и сложение), а в $13m$ — одно. Вот это и есть упрощение: результат тот же, а работы меньше.

Разбираемся

Что значит «упростить»

Упростить выражение — заменить его равным выражением, в котором меньше действий. При любом значении буквы ответ не меняется, а считать становится легче.

Проверим: $9 + a + 14$ и $23 + a$. При $a = 5$: $9 + 5 + 14 = 28$ и $23 + 5 = 28$. Совпало!

Сумма: собираем числа в кучку

Слагаемые можно менять местами и объединять в скобки как угодно:

$a + b = b + a$; $\quad (a + b) + c = a + (b + c)$.

Поэтому все числа в сумме можно сложить отдельно:

$9 + a + 14 = (9 + 14) + a = 23 + a$.

Произведение: перемножаем числа

Множители тоже можно переставлять и группировать:

$a \cdot b = b \cdot a$; $\quad (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

Собираем все числа вместе и перемножаем, а буквы пишем после числа:

• $8a \cdot 7 = (8 \cdot 7)a = 56a$;
• $3n \cdot 4k \cdot 6m = (3 \cdot 4 \cdot 6) \cdot kmn = 72kmn$.

📌 Разные буквы пишут по алфавиту: $kmn$, а не $nkm$.

Иксы как яблоки

Распределительное свойство работает в обе стороны:

$(a + b)c = ac + bc$, и наоборот, $ac + bc = (a + b)c$;

$(a - b)c = ac - bc$, и наоборот, $ac - bc = (a - b)c$.

Здесь $c$ — общий множитель. Переход от $ac + bc$ к $(a + b)c$ называют так: вынесли общий множитель за скобки.

• $7x + 8x = (7 + 8)x = 15x$;
• $10x - 6x = (10 - 6)x = 4x$;
• $5x + 3x + 10x = (5 + 3 + 10)x = 18x$ — слагаемых может быть сколько угодно.

7 яблок и 8 яблок — это 15 яблок. Так же 7 «иксов» и 8 «иксов» — 15 «иксов».

⚠️ Частая ошибка. Пишут $6y - y = 6$. Но $y$ — это $1y$, один «игрек». Значит, $6y - y = (6 - 1)y = 5y$. Проверь подстановкой: при $y = 2$ выходит $12 - 2 = 10$ и $5 \cdot 2 = 10$. А «6» не совпадает.

⚠️ Частая ошибка. Склеивают число и букву: $20 + a = 20a$. Так нельзя! При $a = 3$ первое равно 23, второе — 60. Объединять можно только слагаемые с одной и той же буквой.

👨‍👩‍👧 Родителю. Лучшая проверка любого упрощения — подставить небольшое число вместо буквы в исходное и в упрощённое выражение. Значения должны совпасть. Научите ребёнка делать это самому: так он сам ловит свои ошибки.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Чем упрощённое выражение отличается от первоначального? Оно ему равно, но в нём меньше действий.
• Как упростить сумму с помощью свойств сложения? Переставить слагаемые и сложить числа: $15 + b + 25 = 40 + b$.
• Как упростить $20x + 9x$ и $17y - 8y$? Вынести букву за скобки: $(20 + 9)x = 29x$; $(17 - 8)y = 9y$.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 91

Посчитай в уме с помощью распределительного свойства: 1) $32 \cdot 14 + 14 \cdot 68$; 2) $27 \cdot 58 + 58 \cdot 73$; 3) $83 \cdot 25 - 73 \cdot 25$; 4) $94 \cdot 12 - 44 \cdot 12$; 5) $870 \cdot 4 + 4 \cdot 130$; 6) $1613 \cdot 7 - 613 \cdot 7$.

Как думать. Найди общий множитель и вынеси его за скобки — в скобках получится круглое число.

Решение.

Ответ: 1) 1400; 2) 5800; 3) 250; 4) 600; 5) 4000; 6) 7000.

Уровень A

№ 92

Упрости с помощью свойств сложения: 1) $(9 + a) + 11$; 2) $(16 + b) + 4$; 3) $(a + 17) + 23$; 4) $(b + 22) + 18$; 5) $(18 + x) + 12$; 6) $(43 + y) + 57$.

Как думать. Числа складываем, букву оставляем как есть.

Решение.

1. $(9 + 11) + a = 20 + a$;
2. $(16 + 4) + b = 20 + b$;
3. $a + (17 + 23) = a + 40$;
4. $b + (22 + 18) = b + 40$;
5. $(18 + 12) + x = 30 + x$;
6. $(43 + 57) + y = 100 + y$.

Ответ: 1) $20 + a$; 2) $20 + b$; 3) $a + 40$; 4) $b + 40$; 5) $30 + x$; 6) $100 + y$.

№ 93

Упрости с помощью свойств умножения и назови коэффициенты: 1) $4a \cdot 5$; 2) $8b \cdot 3$; 3) $5c \cdot 2$; 4) $y \cdot 3 \cdot 16$; 5) $x \cdot 5 \cdot 8$; 6) $z \cdot 6 \cdot 11$; 7) $9 \cdot 7a \cdot 3$; 8) $12 \cdot 5b \cdot 4$; 9) $23 \cdot 2c \cdot 5$.

Как думать. Перемножь все числа — это и будет коэффициент. Букву пиши после него.

Решение.

Ответ: $20a$; $24b$; $10c$; $48y$; $40x$; $66z$; $189a$; $240b$; $230c$ (коэффициенты — в таблице).

№ 94

1) У кроликов Маулена ног на 42 больше, чем голов. Сколько кроликов? 2) У щенков во дворе ушей на 12 меньше, чем лап. Сколько щенков?

Как думать. Пусть животных $x$. Запиши ноги и головы (лапы и уши) через $x$ и упрости разность.

Решение.

1. У кролика 4 ноги и 1 голова. Ног $4x$, голов $x$. Разность: $4x - x = (4 - 1)x = 3x$. Значит, $3x = 42$, $x = 42 : 3 = 14$.

Проверка: у 14 кроликов 56 ног и 14 голов; $56 - 14 = 42$. Верно.

2. У щенка 4 лапы и 2 уха. Лап $4x$, ушей $2x$. Разность: $4x - 2x = 2x$. Значит, $2x = 12$, $x = 6$.

Проверка: 24 лапы, 12 ушей; $24 - 12 = 12$. Верно.

Ответ: 1) 14 кроликов; 2) 6 щенков.

Уровень B

№ 95

Упрости: 1) $2x + 3x$; 2) $7x - 4x$; 3) $5y + 9y$; 4) $6y - y$; 5) $x + 4x + 5x$; 6) $8x + 3x - x$; 7) $10x + 7x - 8x$; 8) $9y + 2y - 4y$.

Как думать. Выноси букву за скобки и считай коэффициенты. Нет числа перед буквой — значит, коэффициент 1.

Решение.

1. $(2 + 3)x = 5x$;
2. $(7 - 4)x = 3x$;
3. $(5 + 9)y = 14y$;
4. $(6 - 1)y = 5y$;
5. $(1 + 4 + 5)x = 10x$;
6. $(8 + 3 - 1)x = 10x$;
7. $(10 + 7 - 8)x = 9x$;
8. $(9 + 2 - 4)y = 7y$.

Ответ: 1) $5x$; 2) $3x$; 3) $14y$; 4) $5y$; 5) $10x$; 6) $10x$; 7) $9x$; 8) $7y$.

№ 96

Вынеси общий множитель за скобки: 1) $7a + 7 \cdot 3$; 2) $16 \cdot 5 + 5b$; 4) $14c - 14 \cdot 3$; 5) $8d - 8 \cdot 5$; 7) $6a + 6 \cdot 3 + 6b$; 8) $9a + 9b - 9c$.

Как думать. Найди множитель, который есть в каждом слагаемом. Поставь его впереди, а в скобках оставь то, что осталось от каждого слагаемого.

Решение.

1. $7a + 7 \cdot 3 = 7(a + 3)$;
2. $16 \cdot 5 + 5b = 5(16 + b)$;
3. $14c - 14 \cdot 3 = 14(c - 3)$;
4. $8d - 8 \cdot 5 = 8(d - 5)$;
5. $6a + 6 \cdot 3 + 6b = 6(a + 3 + b)$;
6. $9a + 9b - 9c = 9(a + b - c)$.

Проверь себя — раскрой скобки обратно: $7(a + 3) = 7a + 21$, и $7 \cdot 3 = 21$. Совпадает.

Ответ: 1) $7(a + 3)$; 2) $5(16 + b)$; 4) $14(c - 3)$; 5) $8(d - 5)$; 7) $6(a + 3 + b)$; 8) $9(a + b - c)$.

№ 97

1) Собрали 3 букета из роз и 5 букетов из гвоздик, в каждом по $a$ цветков. Сколько цветков в букетах из роз, из гвоздик и всего? Посчитай при $a = 7$. 2) Придумай задачу к выражению $90 \cdot t - 50 \cdot t$, или $(90 - 50) \cdot t$, где 50 км/ч — скорость автобуса.

Как думать. В пункте 1 «букет» — как «икс»: 3 букета и 5 букетов — это 8 букетов. В пункте 2 подумай, кто едет быстрее и на сколько он уходит вперёд за час.

Решение.

• Розы: $3a$ цветков; при $a = 7$: 21.
• Гвоздики: $5a$ цветков; при $a = 7$: 35.
• Всего: $3a + 5a = 8a$; при $a = 7$: 56.

Проверка: $21 + 35 = 56$. Верно.

2. Пример задачи: «Из города одновременно в одну сторону выехали легковой автомобиль со скоростью 90 км/ч и автобус со скоростью 50 км/ч. На сколько километров автомобиль обгонит автобус через $t$ часов?»

Автомобиль проедет $90t$ км, автобус $50t$ км. Расстояние между ними $90t - 50t = (90 - 50)t = 40t$ км. Например, при $t = 3$ это 120 км.

Ответ: 1) $3a$, $5a$, $8a$; при $a = 7$: 21, 35 и 56 цветков. 2) Задача, например, как выше; выражение упрощается до $40t$.

Уровень C

№ 98

Упрости и найди значение: 1) $7a + 15a$ при $a = 3$; 2) $23b + 16b$ при $b = 8$; 3) $44x - 18x$ при $x = 5$; 4) $14y + 33y - 45y$ при $y = 17$; 5) $52m - 25m + 45m$ при $m = 9$; 6) $18n + 34n - 22n$ при $n = 6$.

Как думать. Сначала упрости — тогда умножать придётся один раз, а не два-три.

Решение.

Ответ: 1) 66; 2) 312; 3) 130; 4) 34; 5) 648; 6) 180.

№ 99

В 4 больших и 6 маленьких коробках 2 кг 100 г конфет. В маленькую коробку входит вдвое меньше конфет, чем в большую. Сколько граммов в маленькой коробке?

Как думать. Переведи всё в граммы. Удобно взять за $x$ маленькую коробку: тогда большая — $2x$.

Решение.

1. $2 \text{ кг } 100 \text{ г} = 2100$ г.
2. В маленькой коробке $x$ г, в большой $2x$ г.
3. Всего: $4 \cdot 2x + 6x = 8x + 6x = 14x$.
4. $14x = 2100$, $x = 2100 : 14 = 150$ г.

Проверка: большая коробка 300 г; $4 \cdot 300 + 6 \cdot 150 = 1200 + 900 = 2100$. Верно.

Ответ: 150 г.

№ 100

На рисунке 1.22 — дорога Кызылорда — Туркестан — Шымкент. От Кызылорды до Туркестана $(a + 90)$ км, от Туркестана до Шымкента $a$ км. Придумай задачу, составь выражение и найди его значение при $a = 188$.

Как думать. Весь путь — это два участка подряд. Сложи их и собери буквы вместе.

Решение.

1. Задача: «От Туркестана до Шымкента $a$ км, а от Кызылорды до Туркестана на 90 км больше. Какова длина всего пути от Кызылорды до Шымкента через Туркестан?»
2. Выражение: $(a + 90) + a = 2a + 90$.
3. При $a = 188$: $2 \cdot 188 + 90 = 376 + 90 = 466$ км.

Ответ: $2a + 90$; 466 км.

🌟 Туркестан — один из древнейших городов Казахстана. Там стоит знаменитый мавзолей Ходжи Ахмеда Ясави.

№ 101

В пакете 7 кг сахара. Как за три взвешивания на чашечных весах с одной гирей 200 г отмерить 2 кг сахара?

Как думать. Задача на смекалку. На чашечных весах можно делить сахар пополам (весы в равновесии), а с гирей — так, чтобы одна часть была на 200 г больше другой.

Решение.

1. Гиря на одной чаше, весь сахар раскладываем до равновесия: $x + x + 200 = 7000$, $x = 3400$. Кучки 3400 г и 3600 г.
2. Делим 3600 г поровну без гири: по 1800 г.
3. 1800 г сахара и гиря на одной чаше уравновешивают $1800 + 200 = 2000$ г сахара на другой.

Ответ: 3 взвешивания: 7 кг → 3400 г и 3600 г; 3600 г → 1800 г и 1800 г; 1800 г + гиря уравновешивают 2 кг сахара.

№ 102

В гирлянде $x$ красных шаров. Синих вдвое больше, чем красных, зелёных втрое больше, чем синих, а жёлтых на 10 меньше, чем зелёных. Сколько всего шаров? Посчитай при $x = 7$.

Как думать. Выражай каждый цвет через $x$ по цепочке, а потом складывай все «иксы» вместе.

Решение.

1. Красных $x$.
2. Синих $2x$.
3. Зелёных $3 \cdot 2x = 6x$.
4. Жёлтых $6x - 10$.
5. Всего: $x + 2x + 6x + (6x - 10) = 15x - 10$.
6. При $x = 7$: $15 \cdot 7 - 10 = 105 - 10 = 95$.

Проверка: $7 + 14 + 42 + 32 = 95$. Верно.

Ответ: $15x - 10$; 95 шаров.

№ 103

Старинная задача. Если крестьянин продаст 15 ц ржи, ему не хватит на лошадь 80 рублей. Если продаст 20 ц, после покупки останется 110 рублей. Сколько стоит лошадь?

Как думать. Сравни два случая. Разница в ржи — 5 ц, а разница в деньгах — от «не хватает 80» до «остаётся 110».

Решение.

1. Лишние $20 - 15 = 5$ ц ржи дают $80 + 110 = 190$ рублей.
2. Значит, 1 ц стоит $190 : 5 = 38$ рублей.
3. 15 ц стоят $15 \cdot 38 = 570$ рублей. Не хватает 80, значит, лошадь стоит $570 + 80 = 650$ рублей.

Проверка: 20 ц стоят $20 \cdot 38 = 760$ рублей; $760 - 650 = 110$. Верно.

Ответ: 650 рублей.

👨‍👩‍👧 Родителю. Здесь дети часто вычитают: $110 - 80 = 30$. Нарисуйте с ребёнком числовой луч: цена лошади — точка, 15 ц — на 80 левее, 20 ц — на 110 правее. Расстояние между ними $80 + 110$.

Шпаргалка

• Буквы в произведении пишем по алфавиту: $3n \cdot 4k \cdot 6m = 72kmn$.
• Число и букву не склеиваем: $20 + a \ne 20a$.
• Нет числа перед буквой — коэффициент 1.
• Вынес множитель за скобки — проверь, раскрыв скобки обратно.

Мини-тест