2.1. Делители натурального числа. Кратные натурального числа

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава II: Делимость натуральных чисел. Страницы 66–71.

Чему научишься

• Находить все делители числа и не терять ни одного.
• Искать делители парами — быстро и без ошибок.
• Записывать кратные числа и понимать, почему им нет конца.
• Не путать слова «делитель» и «кратное».
• Находить наименьшее число, которое делится сразу на два-три числа.

Разминка

Ответь в уме, потом открой ответ.

• 15 теннисных шариков нужно раздать поровну. Скольким спортсменам: 2, 3, 4 или 5? Подходят 3 и 5: $15 : 3 = 5$, $15 : 5 = 3$. А $15 : 2$ и $15 : 4$ дают остаток.
• Вафли продают коробками по 14 кг. Можно ли взять, не вскрывая коробок, 20, 28, 36 или 42 кг? Можно 28 и 42 кг — это 2 и 3 коробки. Целыми коробками получается только 14, 28, 42, 56… кг.

💡 В первой задаче мы искали числа, на которые делится 15. Во второй — числа, которые делятся на 14. Вот и два героя урока: делители и кратные.

Разбираемся

Делитель — это «делит без остатка»

У тебя 12 конфет. Раздать поровну 4 друзьям можно: $12 : 4 = 3$, ничего не осталось. А 5 друзьям — нет: $12 : 5 = 2$, и ещё 2 конфеты лишние.

Поэтому 4 — делитель числа 12, а 5 — нет. Делитель числа $a$ — натуральное число, на которое $a$ делится без остатка.

📌 Единица — делитель любого числа. А само число — свой самый большой делитель.

Все делители записывают в фигурных скобках: $D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}$. Буква $D$ — от слова «делитель».

Делители ходят парами

Если $24 : 3 = 8$, то и $24 : 8 = 3$. Нашёл один делитель — второй получил в подарок! В каждой паре произведение равно самому числу: $3 \cdot 8 = 24$.

У 24 такие пары: $1 \cdot 24$, $2 \cdot 12$, $3 \cdot 8$, $4 \cdot 6$. На 5 число 24 не делится. Следующий кандидат 6 уже был — пары «сошлись», дальше искать не нужно.

Попробуй сам: найди все делители 24.

Бывает, что пара — одно и то же число: у 36 есть пара $6 \cdot 6$. Тогда 6 пишем один раз.

⚠️ Частая ошибка. Выписывают «на глаз»: 1, 2, 3, 4, 6 — и забывают 8, 12, 24. Ищи парами! Обычно делителей чётное количество. Нечётное бывает, только когда есть пара вроде $6 \cdot 6$.

Кратное — это «умножили»

Кратное числа $a$ — число, которое делится на $a$. Получить кратные легко: умножай $a$ на 1, 2, 3, 4…

$K(14) = {14, 28, 42, 56, 70, \ldots}$ — как вес одной, двух, трёх коробок вафель.

Самое маленькое кратное — само число. А самого большого нет: умножать можно бесконечно.

Одна запись — два взгляда

Посмотри на $63 : 7 = 9$. С одной стороны, 7 — делитель 63. С другой, 63 — кратное 7. Это одно и то же, просто смотрим с разных концов.

👨‍👩‍👧 Родителю. Если ребёнок путает слова, спросите: «Кто больше — 7 или 63?» Делитель не больше числа, кратное не меньше. Пусть скажет вслух целиком: «63 кратно 7, а 7 — делитель 63».

Общее кратное

Иногда нужно число, которое делится сразу на 4 и на 6. Кратные 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24… Кратные 6: 6, 12, 18, 24… Общие — 12, 24 и дальше. Самое маленькое из них — 12.

💡 Хитрость: выписывай кратные большего числа и проверяй, делятся ли они на меньшее. Так быстрее.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какое число называют делителем данного числа? Натуральное число, на которое данное делится без остатка. Например, 5 — делитель 35: $35 : 5 = 7$.
• Как найти пару делителей? Раздели число на один делитель — частное и будет вторым. $40 : 5 = 8$, значит, 5 и 8 — пара делителей 40: $5 \cdot 8 = 40$.
• Какое число называют кратным данному? Натуральное число, которое делится на данное без остатка. 36 кратно 9: $36 : 9 = 4$.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 167

Назови все делители чисел 35, 29, 28 и по три кратных чисел 4, 8, 13.

Как думать. Делители ищем парами. Кратные — умножаем на 1, 2, 3.

Решение.

1. Делители:

• 35: $1 \cdot 35$, $5 \cdot 7$ → $D(35) = {1, 5, 7, 35}$;
• 29: делится только на 1 и на 29 → $D(29) = {1, 29}$;
• 28: $1 \cdot 28$, $2 \cdot 14$, $4 \cdot 7$ → $D(28) = {1, 2, 4, 7, 14, 28}$.

2. Кратные:

• 4: 4, 8, 12;
• 8: 8, 16, 24;
• 13: 13, 26, 39.

Ответ: 1) $D(35) = {1, 5, 7, 35}$, $D(29) = {1, 29}$, $D(28) = {1, 2, 4, 7, 14, 28}$; 2) например, 4, 8, 12; 8, 16, 24; 13, 26, 39.

Уровень A

№ 168

1) Выпиши все делители чисел 9, 14, 45, 75. 2) Запиши первые четыре кратных чисел 8, 11, 15, 27.

Как думать. Для делителей — пары. Для кратных — умножаем на 1, 2, 3, 4.

Решение.

1. Делители:

• а) 9: $1 \cdot 9$, $3 \cdot 3$ → 1, 3, 9 (тройку пишем один раз);
• б) 14: $1 \cdot 14$, $2 \cdot 7$ → 1, 2, 7, 14;
• в) 45: $1 \cdot 45$, $3 \cdot 15$, $5 \cdot 9$ → 1, 3, 5, 9, 15, 45;
• г) 75: $1 \cdot 75$, $3 \cdot 25$, $5 \cdot 15$ → 1, 3, 5, 15, 25, 75.

2. Кратные:

• а) 8, 16, 24, 32;
• б) 11, 22, 33, 44;
• в) 15, 30, 45, 60;
• г) 27, 54, 81, 108.

Ответ: 1) а) ${1, 3, 9}$; б) ${1, 2, 7, 14}$; в) ${1, 3, 5, 9, 15, 45}$; г) ${1, 3, 5, 15, 25, 75}$. 2) а) 8, 16, 24, 32; б) 11, 22, 33, 44; в) 15, 30, 45, 60; г) 27, 54, 81, 108.

№ 169

1) Какие из чисел 5, 9, 15, 21, 24, 50, 60 — делители 120? 2) Какие из чисел 45, 50, 70, 75, 90, 100, 125 кратны 25?

Как думать. Делим 120 на каждое число и смотрим на остаток. Кратные 25 узнать легко: они оканчиваются на 00, 25, 50 или 75.

Решение.

1. $120 : 5 = 24$ ✓; $120 : 9$ — остаток 3 ✗; $120 : 15 = 8$ ✓; $120 : 21$ — остаток 15 ✗; $120 : 24 = 5$ ✓; $120 : 50$ — остаток 20 ✗; $120 : 60 = 2$ ✓.
2. Кратные 25: 25, 50, 75, 100, 125… Из списка подходят 50, 75, 100, 125. А 45, 70, 90 на 25 не делятся.

Ответ: 1) 5, 15, 24, 60; 2) 50, 75, 100, 125.

№ 170

Выпиши пары, где первое число — делитель второго: 5 и 45; 9 и 71; 8 и 34; 16 и 80; 17 и 51; 4 и 64; 12 и 60; 23 и 115.

Как думать. Делим второе число на первое. Нет остатка — пара подходит.

Решение.

1. $45 : 5 = 9$ ✓;
2. $71 : 9 = 7$ (ост. 8) ✗;
3. $34 : 8 = 4$ (ост. 2) ✗;
4. $80 : 16 = 5$ ✓;
5. $51 : 17 = 3$ ✓;
6. $64 : 4 = 16$ ✓;
7. $60 : 12 = 5$ ✓;
8. $115 : 23 = 5$ ✓.

Ответ: 5 и 45; 16 и 80; 17 и 51; 4 и 64; 12 и 60; 23 и 115.

№ 171

Из 45 гвоздик собирают букеты, в каждом поровну цветов. Заполни таблицу для 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15 букетов.

Как думать. Разложить поровну выйдет, только если число букетов — делитель 45. Тогда в букете $45 : (\text{число букетов})$ гвоздик.

Решение. $D(45) = {1, 3, 5, 9, 15, 45}$.

Прочерк — поровну не получится: 45 на это число не делится.

Ответ: из чисел таблицы подходят 5 способов: 1, 3, 5, 9 или 15 букетов; в одном букете 45, 15, 9, 5 или 3 гвоздики. (Ещё можно сделать 45 «букетов» по 1 цветку, но это уже не букеты.)

№ 172

Конфеты лежат в коробках по 12 кг. Можно ли, не вскрывая коробок, взять 36 кг, 45 кг, 60 кг?

Как думать. Целыми коробками получается только число, кратное 12.

Решение.

1. $36 : 12 = 3$ — да, 3 коробки.
2. $45 : 12 = 3$ (ост. 9) — нет.
3. $60 : 12 = 5$ — да, 5 коробок.

Ответ: 1) да; 2) нет; 3) да.

№ 173

65 саженцев посадили рядами поровну. Сколько может быть рядов: A) 4, B) 13, C) 9, D) 5?

Как думать. Число рядов должно быть делителем 65.

Решение. $D(65) = {1, 5, 13, 65}$. Из вариантов подходят 13 и 5: $65 : 13 = 5$, $65 : 5 = 13$. На 4 и на 9 число 65 не делится.

Ответ: B (13 рядов) и D (5 рядов).

№ 174

Морковки из корзины можно поровну раздать 4, или 6, или 8 кроликам. Какое наименьшее число морковок в корзине?

Как думать. Число морковок делится и на 4, и на 6, и на 8. Ищем самое маленькое такое число.

Решение. Выписываем кратные самого большого числа 8 и проверяем:

• 8: на 6 не делится;
• 16: на 6 не делится;
• 24: $24 : 4 = 6$, $24 : 6 = 4$, $24 : 8 = 3$ — подходит!

Ответ: 24 морковки.

Уровень B

№ 175

Из чисел 3, 7, 10, 15, 18, 30, 84 выбери: 1) делители 21; 2) делители 90; 3) кратные 2; 4) кратные 5.

Как думать. Кратные 2 — чётные числа. Кратные 5 оканчиваются на 0 или 5. Для делителей просто делим.

Решение.

1. $D(21) = {1, 3, 7, 21}$ → из списка 3 и 7.
2. $90 : 3 = 30$, $90 : 10 = 9$, $90 : 15 = 6$, $90 : 18 = 5$, $90 : 30 = 3$. На 7 и на 84 число 90 не делится.
3. Чётные: 10, 18, 30, 84.
4. На 0 или 5: 10, 15, 30.

Ответ: 1) 3, 7; 2) 3, 10, 15, 18, 30; 3) 10, 18, 30, 84; 4) 10, 15, 30.

№ 176

Найди наименьшее натуральное число, кратное: 1) 2 и 3; 2) 6 и 8; 3) 9 и 12; 4) 15 и 21.

Как думать. Перебираем кратные большего числа, пока не попадётся то, что делится на меньшее.

Решение.

1. Кратные 3: 3, 6 — делится на 2. → 6.
2. Кратные 8: 8, 16, 24 — $24 : 6 = 4$. → 24.
3. Кратные 12: 12, 24, 36 — $36 : 9 = 4$. → 36.
4. Кратные 21: 21, 42, 63, 84, 105 — $105 : 15 = 7$. → 105.

Ответ: 1) 6; 2) 24; 3) 36; 4) 105.

№ 177

Найди число, которое: 1) делитель 45 и кратно 5; 2) делитель 92 и кратно 23; 3) делитель 120 и кратно 30.

Как думать. Выписываем делители и оставляем те, что делятся на второе число.

Решение.

1. $D(45) = {1, 3, 5, 9, 15, 45}$. На 5 делятся: 5, 15, 45.
2. $D(92) = {1, 2, 4, 23, 46, 92}$. На 23 делятся: 23, 46, 92.
3. Кратные 30 до 120: 30, 60, 90, 120. Делят 120: 30, 60, 120 (а $120 : 90$ — с остатком).

Ответ: 1) 5, 15 или 45; 2) 23, 46 или 92; 3) 30, 60 или 120. Достаточно назвать одно число из каждого пункта.

№ 178

Делители числа по порядку: 1, □, 3, 4, 6, □, 12, □, 24, □. Найди число и то, что спрятано в рамочках.

Как думать. Пары делителей стоят «с краёв к середине»: первый с последним, второй с предпоследним и так далее. Произведение каждой пары равно самому числу.

Решение.

1. Мест 10, пары: 1-й с 10-м, 2-й с 9-м, 3-й с 8-м, 4-й с 7-м, 5-й с 6-м.
2. На 4-м месте 4, на 7-м — 12. Это пара, поэтому число равно $4 \cdot 12 = 48$.
3. Рамочки: 2-е место — $48 : 24 = 2$; 6-е (пара к 6) — $48 : 6 = 8$; 8-е (пара к 3) — $48 : 3 = 16$; 10-е — само число 48.
4. Проверка: $D(48) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}$ — ровно 10 делителей. Других вариантов нет: пара 4 и 12 задаёт число однозначно.

Ответ: число 48; в рамочках 2, 8, 16, 48.

№ 179

Есть 30 красных, 18 синих и 12 жёлтых шаров. Из них делают одинаковые гирлянды. Заполни таблицу.

Как думать. Число гирлянд должно делить все три числа: 30, 18 и 12.

Решение. $D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}$. Из них и 18, и 30 делят только 1, 2, 3, 6 (4 и 12 не делят 18).

Ответ: можно сделать 1, 2, 3 или 6 гирлянд; число шаров — в таблице.

№ 180

6 пакетов колец: в одном кольца по 33 г, в остальных — по 30 г. Как одним взвешиванием на весах со стрелкой найти пакет с тяжёлыми кольцами?

Как думать. Задача на смекалку! Возьми из пакетов разное число колец. Тогда «лишний» вес сам подскажет номер пакета.

Решение.

1. Нумеруем пакеты от 1 до 6. Берём из них 1, 2, 3, 4, 5, 6 колец — всего 21 кольцо.
2. Если все кольца по 30 г, вес был бы $21 \cdot 30 = 630$ г.
3. Каждое тяжёлое кольцо добавляет 3 г. Лишний вес делим на 3 и получаем номер пакета. Например, 642 г: $642 - 630 = 12$, $12 : 3 = 4$ — это 4-й пакет.

Ответ: взять из пакетов 1, 2, 3, 4, 5, 6 колец, взвесить, вычесть 630 г и разделить разницу на 3 — это номер пакета.

№ 181

Автобус приходит на остановку каждые 1 ч 30 мин, троллейбус — каждый час. Они отъехали одновременно. Через сколько они снова встретятся на остановке?

Как думать. Нужно время, кратное и 90 мин, и 60 мин. Ищем наименьшее.

Решение.

1. $1$ ч 30 мин $= 90$ мин, $1$ ч $= 60$ мин.
2. Кратные 90: 90, 180… $90 : 60$ — с остатком, а $180 : 60 = 3$ — подходит.
3. $180$ мин $= 3$ ч.

Ответ: через 3 ч.

№ 182

Подбери натуральный корень с помощью пар делителей: 1) $x(x - 5) = 24$; 2) $x(x + 7) = 78$; 3) $x(x + 8) = 105$.

Как думать. Слева — произведение двух чисел. Ищем пару делителей числа справа, которые отличаются на 5, на 7 или на 8.

Решение.

1. Пары 24: $1 \cdot 24$, $2 \cdot 12$, $3 \cdot 8$, $4 \cdot 6$. Разница 5 — у пары 3 и 8. Здесь $x$ больше, чем $x - 5$, поэтому $x = 8$. Проверка: $8 \cdot 3 = 24$.
2. Пары 78: $1 \cdot 78$, $2 \cdot 39$, $3 \cdot 26$, $6 \cdot 13$. Разница 7 — у 6 и 13. Здесь $x$ меньший: $x = 6$. Проверка: $6 \cdot 13 = 78$.
3. Пары 105: $1 \cdot 105$, $3 \cdot 35$, $5 \cdot 21$, $7 \cdot 15$. Разница 8 — у 7 и 15: $x = 7$. Проверка: $7 \cdot 15 = 105$.

Ответ: 1) 8; 2) 6; 3) 7.

Уровень C

№ 183

Даны все делители, кроме последнего: 1) $a$: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, $a$; 2) $b$: 1, 3, 5, 15, 25, $b$; 3) $c$: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, $c$; 4) $d$: 1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, $d$. Найди числа.

Как думать. Последний делитель — само число. Второй делитель стоит в паре с предпоследним. Значит, число = второй · предпоследний.

Решение.

1. $a = 2 \cdot 15 = 30$. Проверка: $3 \cdot 10 = 30$, $5 \cdot 6 = 30$.
2. $b = 3 \cdot 25 = 75$. Проверка: $5 \cdot 15 = 75$.
3. $c = 2 \cdot 21 = 42$. Проверка: $3 \cdot 14 = 42$, $6 \cdot 7 = 42$.
4. $d = 2 \cdot 44 = 88$. Проверка: $4 \cdot 22 = 88$, $8 \cdot 11 = 88$.

Ответ: $a = 30$, $b = 75$, $c = 42$, $d = 88$.

№ 184

Найди числа по их кратным: 1) $x$, 22, 33, 44, …; 2) $y$, 18, 27, 36, …; 3) $m$, 26, 39, 52, …; 4) $n$, 30, 45, 60, …

Как думать. Соседние кратные отличаются ровно на само число. А первое кратное и есть само число.

Решение.

1. $33 - 22 = 11$, $x = 11$.
2. $27 - 18 = 9$, $y = 9$.
3. $39 - 26 = 13$, $m = 13$.
4. $45 - 30 = 15$, $n = 15$.

Ответ: $x = 11$, $y = 9$, $m = 13$, $n = 15$.

№ 185

Столбы стояли через 60 м. Новые ставят на 10 м чаще — через 50 м. На каком расстоянии от первого столба новый впервые встанет на место старого? Варианты: A) 250, B) 280, C) 300, D) 360 м.

Как думать. Такое расстояние кратно и 60, и 50. Ищем наименьшее.

Решение.

1. Новое расстояние: $60 - 10 = 50$ м.
2. Кратные 60: 60, 120, 180, 240, 300… Первое, что делится на 50: $300 : 50 = 6$.
3. Остальные варианты не подходят: 250 не делится на 60, 280 — ни на 60, ни на 50, 360 не делится на 50.

Ответ: C, 300 м.

№ 186

Прямоугольник 21 см на 15 см разрезали без остатка на одинаковые квадратики. Какая у них сторона и сколько их?

Как думать. Сторона квадратика должна уложиться целое число раз и в 21, и в 15. Значит, это общий делитель 21 и 15.

Решение.

1. $D(21) = {1, 3, 7, 21}$, $D(15) = {1, 3, 5, 15}$. Общие: 1 и 3. Берём крупные квадраты — сторона 3 см.
2. Вдоль длины: $21 : 3 = 7$ квадратиков, вдоль ширины: $15 : 3 = 5$.
3. Всего $7 \cdot 5 = 35$ квадратиков.

Проверка площадью: $21 \cdot 15 = 315$ см², у квадратика $3 \cdot 3 = 9$ см², $315 : 9 = 35$.

Ответ: сторона 3 см, получилось 35 квадратиков. (Можно резать и на квадратики со стороной 1 см — тогда их 315.)

№ 187

Вычисли: 1) $(68 : 4 + 13) : 6 + ((85 - 28) : 3 + 72 : (6 \cdot 3) - 11) \cdot 18 - 189$; 2) $85 : 17 \cdot (21 - 45 : (54 : 6)) + 90 : 15 \cdot (56 : 8) - 122$.

Как думать. Сначала самые внутренние скобки, потом умножение и деление, в конце сложение и вычитание.

Решение. 1)

• $68 : 4 = 17$; $17 + 13 = 30$; $30 : 6 = 5$;
• $85 - 28 = 57$; $57 : 3 = 19$;
• $6 \cdot 3 = 18$; $72 : 18 = 4$;
• $19 + 4 - 11 = 12$; $12 \cdot 18 = 216$;
• $5 + 216 - 189 = 32$.

• $54 : 6 = 9$; $45 : 9 = 5$; $21 - 5 = 16$;
• $85 : 17 = 5$; $5 \cdot 16 = 80$;
• $90 : 15 = 6$; $56 : 8 = 7$; $6 \cdot 7 = 42$;
• $80 + 42 - 122 = 0$.

Ответ: 1) 32; 2) 0.

№ 188

Восстанови цифры вместо звёздочек: 1) 6∗5 + ∗7∗ = 1061; 2) ∗6∗ − 1∗5 = 173; 3) ∗7∗ + 1∗9 = 982; 4) 6∗5 − ∗7∗ = 130.

Как думать. Идём справа налево, по разрядам, и не забываем про перенос единицы. Вычитание удобно превратить в сложение: уменьшаемое = разность + вычитаемое.

Решение.

1. Единицы: $5 + ?$ оканчивается на 1 → $? = 6$ ($11$, 1 в уме). Десятки: $? + 7 + 1$ оканчивается на 6 → $? = 8$ ($16$, 1 в уме). Сотни: $6 + ? + 1 = 10$ → $? = 3$. Итог: $685 + 376 = 1061$.
2. Как сложение: $173 + 1?5 = ?6?$. Единицы: $3 + 5 = 8$. Десятки: $7 + ?$ оканчивается на 6 → $? = 9$ ($16$, 1 в уме). Сотни: $1 + 1 + 1 = 3$. Итог: $368 - 195 = 173$.
3. Единицы: $? + 9$ оканчивается на 2 → $? = 3$ ($12$, 1 в уме). Десятки: $7 + ? + 1$ оканчивается на 8 → $? = 0$. Сотни: $? + 1 = 9$ → $? = 8$. Итог: $873 + 109 = 982$.
4. Как сложение: $130 + ?7? = 6?5$. Единицы: $0 + ? = 5$ → $? = 5$. Десятки: $3 + 7 = 10$ → пишем 0, 1 в уме. Сотни: $1 + ? + 1 = 6$ → $? = 4$. Итог: $605 - 475 = 130$.

Ответ: 1) $685 + 376 = 1061$; 2) $368 - 195 = 173$; 3) $873 + 109 = 982$; 4) $605 - 475 = 130$.

Шпаргалка

• Делители ищем парами — так ни один не потеряется.
• Делителей конечное число, кратных — бесконечно много.
• Делитель не больше числа, кратное не меньше.
• Наименьшее общее кратное ищем среди кратных большего числа.

Мини-тест