2.10. Движение по реке

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава II: Делимость натуральных чисел. Страницы 116–121.

Это параграф для дополнительного изучения. Задачи про реку любят на олимпиадах, так что разобраться в них очень полезно.

Чему научишься

• Различать четыре скорости: собственную, течения, по течению и против течения.
• Находить скорость по течению и против течения.
• Находить скорость течения и собственную скорость, если знаешь две другие.
• Понимать, почему плот плывёт со скоростью течения, а в озере течения нет.
• Решать задачи про встречу и догонялки на реке.

Разминка

• Моторная лодка шла из A в B 2 ч, а обратно — 3 ч. Куда течёт река? Путь туда и обратно одинаковый. Из A в B лодка шла быстрее — значит, река ей помогала. Река течёт от A к B.

Разбираемся

Река — тайный пассажир

Представь катер на реке Иле. У него есть мотор, и есть вода, которая сама куда-то течёт.

• Собственная скорость ($v_{\text{соб.}}$) — как быстро катер плыл бы в стоячей воде, например в озере.
• Скорость течения ($v_{\text{теч.}}$) — как быстро движется сама вода. С этой скоростью плывёт плот, бревно или щепка: своего мотора у них нет.

📌 По течению вода подталкивает, скорости складываются: $v_{\text{по теч.}} = v_{\text{соб.}} + v_{\text{теч.}}$. Против течения вода мешает: $v_{\text{пр. теч.}} = v_{\text{соб.}} - v_{\text{теч.}}$.

Пример. Собственная скорость лодки 6 км/ч, течение 2 км/ч. По течению она идёт $6 + 2 = 8$ км/ч, против — $6 - 2 = 4$ км/ч. Посмотри на луче: течение сдвигает скорость на 2 то вправо, то влево.

⚠️ Частая ошибка. В озере к скорости лодки прибавляют течение. Но в озере течения нет: там лодка плывёт со своей скоростью. А плот в реке не стоит на месте — он плывёт со скоростью течения.

Кто быстрее за 3 часа

Вот путь лодки по течению, лодки против течения и плота за 3 часа. Чем круче линия, тем быстрее.

По течению за 3 ч лодка проходит $8 \cdot 3 = 24$ км, против — только $4 \cdot 3 = 12$ км.

Как найти скорость течения

Сравни 8 км/ч и 4 км/ч. Разница $8 - 4 = 4$ км/ч — это две скорости течения: одна прибавилась, другая отнялась. Значит, течение — половина разницы.

📌 $v_{\text{теч.}} = (v_{\text{по теч.}} - v_{\text{пр. теч.}}) : 2$ — полуразность. Проверка: $(8 - 4) : 2 = 2$ км/ч.

Как найти собственную скорость

Теперь сложим: $8 + 4 = 12$. Течение в одной скорости прибавилось, в другой отнялось — и пропало. Остались две собственные скорости.

📌 $v_{\text{соб.}} = (v_{\text{по теч.}} + v_{\text{пр. теч.}}) : 2$ — полусумма. Проверка: $(8 + 4) : 2 = 6$ км/ч.

👨‍👩‍👧 Родителю. Нарисуйте отрезок — собственную скорость. По течению пририсуйте к нему кусочек течения, против — отрежьте такой же кусочек. Сразу видно, что два отрезка отличаются на два кусочка. Попросите ребёнка самого объяснить по рисунку, почему делим на 2.

Встреча и догонялки на реке

Две лодки плывут навстречу: одна по течению, другая против. Скорость сближения: $(v_1 + v_{\text{теч.}}) + (v_2 - v_{\text{теч.}}) = v_1 + v_2$. Течение одной прибавило, у другой отняло — и не влияет!

С догонялками так же: обе лодки плывут в одну сторону, течение одинаково помогает обеим. Разность скоростей равна разности собственных скоростей.

💡 Упала в воду шапка? Вода несёт и лодку, и шапку одинаково. Поэтому лодка удаляется от шапки со своей собственной скоростью.

⚠️ Частая ошибка. В задачах про упавшую шапку или куклу течение учитывают два раза. Проще думать так: относительно воды шапка стоит, а лодка плывёт с собственной скоростью.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как найти скорость катера по течению? Сложить собственную скорость и скорость течения.
• Как найти скорость теплохода против течения? Из собственной скорости вычесть скорость течения.
• Чему равна скорость течения? Полуразности скоростей по течению и против: $(v_{\text{по теч.}} - v_{\text{пр. теч.}}) : 2$.
• Чему равна собственная скорость? Полусумме скоростей по течению и против: $(v_{\text{по теч.}} + v_{\text{пр. теч.}}) : 2$.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 328

Катер плыл из A в B 5 ч, а из B в A — 4 ч. Когда он шёл по течению, а когда против?

Как думать. Путь в обе стороны одинаковый. По течению плыть быстрее — времени уходит меньше.

Решение. Из B в A катер шёл 4 ч — быстрее, значит, по течению. Из A в B — 5 ч, против течения.

Ответ: 1) из A в B — против течения; 2) из B в A — по течению.

№ 329

1) Лодка плыла по озеру 2 ч со скоростью 7 км/ч. Сколько она прошла? 2) Течение 2 км/ч. На сколько километров река унесёт плот за 8 ч?

Как думать. В озере течения нет. А плот плывёт ровно со скоростью течения.

Решение.

1. В озере: $7 \cdot 2 = 14$ км.
2. Плот: $2 \cdot 8 = 16$ км.

Ответ: 1) 14 км; 2) 16 км.

№ 330

Собственная скорость теплохода 32 км/ч, течение 3 км/ч. Найди скорость по течению и против течения.

Решение.

1. По течению: $32 + 3 = 35$ км/ч.
2. Против течения: $32 - 3 = 29$ км/ч.

Ответ: 1) 35 км/ч; 2) 29 км/ч.

№ 331

Скорость катера по течению 24 км/ч, против течения 20 км/ч. Найди собственную скорость.

Как думать. Собственная скорость — ровно посередине между скоростью по течению и против.

Решение. Полусумма: $(24 + 20) : 2 = 44 : 2 = 22$ км/ч. Проверка: течение $(24 - 20) : 2 = 2$ км/ч; $22 + 2 = 24$, $22 - 2 = 20$.

Ответ: 22 км/ч.

№ 332

Скорость моторной лодки по течению 30 км/ч, против течения 26 км/ч. Найди скорость течения.

Решение. Полуразность: $(30 - 26) : 2 = 4 : 2 = 2$ км/ч.

Ответ: 2 км/ч.

№ 333

Собственная скорость теплохода 28 км/ч, течение 3 км/ч. Он плыл по течению 4 ч. Какой путь он прошёл?

Решение.

1. Скорость по течению: $28 + 3 = 31$ км/ч.
2. Путь: $31 \cdot 4 = 124$ км.

Ответ: 124 км.

№ 334

Собственная скорость катера 18 км/ч, течение 2 км/ч. Сколько он пройдёт против течения за 3 ч?

Решение.

1. Скорость против течения: $18 - 2 = 16$ км/ч.
2. Путь: $16 \cdot 3 = 48$ км.

Ответ: 48 км.

№ 335

Катер прошёл 92 км по течению. Течение 3 км/ч, собственная скорость 20 км/ч. Сколько часов он плыл?

Решение.

1. Скорость по течению: $20 + 3 = 23$ км/ч.
2. Время: $92 : 23 = 4$ ч.

Ответ: 4 часа.

№ 336

Лодка прошла 15 км против течения. Собственная скорость 7 км/ч, течение 2 км/ч. Сколько часов она плыла? Варианты: A. 4 ч; B. 5 ч; C. 3 ч; D. 2 ч.

Решение.

1. Скорость против течения: $7 - 2 = 5$ км/ч.
2. Время: $15 : 5 = 3$ ч.

Ответ: C. 3 часа.

Уровень B

№ 337

Течение 3 км/ч. На сколько скорость байдарки по течению больше, чем против течения?

Как думать. Собственная скорость не дана — и не нужна. Разница скоростей — это две скорости течения.

Решение. $3 \cdot 2 = 6$ км/ч. Например, при собственной скорости 10 км/ч: $13 - 7 = 6$.

Ответ: на 6 км/ч.

№ 338

Течение речки 30 м/мин. Поплывёт ли игрушечная лодка и куда, если: A) по течению со своей скоростью 28 м/мин; B) против течения со своей скоростью 40 м/мин; C) против течения со своей скоростью 30 м/мин?

Как думать. Для каждого случая найди скорость относительно берега. Если получился 0 — лодка стоит.

Решение.

• A) По течению: $28 + 30 = 58$ м/мин. Лодка плывёт по течению.
• B) Против течения: $40 - 30 = 10$ м/мин. Лодка медленно ползёт против течения.
• C) $30 - 30 = 0$ м/мин. Мотор работает, а лодка относительно берега стоит на месте.

Ответ: A) да, по течению, 58 м/мин; B) да, против течения, 10 м/мин; C) относительно берега не движется.

№ 339

Катер прошёл 120 км по реке и вернулся обратно. Течение 2 км/ч, собственная скорость 22 км/ч. Сколько часов он плыл по течению, сколько обратно и сколько всего?

Как думать. Путь туда и обратно один и тот же, а скорости разные. Считай каждую часть отдельно.

Решение.

1. Скорость по течению: $22 + 2 = 24$ км/ч. Время: $120 : 24 = 5$ ч.
2. Скорость против течения: $22 - 2 = 20$ км/ч. Время обратно: $120 : 20 = 6$ ч.
3. Всего: $5 + 6 = 11$ ч.

Ответ: по течению 5 ч; обратно 6 ч; весь путь 11 ч.

№ 340

Моторная лодка 3 ч плыла по реке, которая впадает в озеро, а потом 4 ч по озеру. Собственная скорость 30 км/ч, течение 2 км/ч. Какой путь она прошла?

Как думать. Река впадает в озеро, и лодка в озеро приплыла. Значит, по реке она шла по течению.

Решение.

1. По реке: $(30 + 2) \cdot 3 = 32 \cdot 3 = 96$ км.
2. По озеру: $30 \cdot 4 = 120$ км.
3. Всего: $96 + 120 = 216$ км.

Ответ: 216 км.

№ 341

Лодка проходит 40 км по озеру за 5 ч, а по течению реки — за 4 ч. За сколько часов это расстояние проплывёт плот? Варианты: A. 18 ч; B. 20 ч; C. 22 ч; D. 17 ч.

Решение.

1. Собственная скорость (озеро): $40 : 5 = 8$ км/ч.
2. Скорость по течению: $40 : 4 = 10$ км/ч.
3. Скорость течения: $10 - 8 = 2$ км/ч. С ней и плывёт плот.
4. Время плота: $40 : 2 = 20$ ч.

Ответ: B. за 20 ч.

№ 342

Теплоход прошёл по течению 114 км за 3 ч, а против течения 64 км за 2 ч. Найди собственную скорость и скорость течения.

Как думать. Сначала найди обе скорости, а потом — полусумму и полуразность.

Решение.

1. По течению: $114 : 3 = 38$ км/ч.
2. Против течения: $64 : 2 = 32$ км/ч.
3. Собственная скорость: $(38 + 32) : 2 = 35$ км/ч.
4. Скорость течения: $(38 - 32) : 2 = 3$ км/ч.

Ответ: собственная скорость 35 км/ч; скорость течения 3 км/ч.

Уровень C

№ 343

1) Катер прошёл 105 км по течению за 5 ч, а против течения — за 7 ч. За сколько часов он пройдёт по озеру 108 км? Варианты: A. 6 ч; B. 4 ч; C. 7 ч; D. 5 ч. 2) Моторная лодка прошла 36 км по течению за 2 ч, а против — за 3 ч. За сколько часов это расстояние проплывёт плот?

Как думать. В озере нужна собственная скорость (полусумма), а плоту — скорость течения (полуразность).

Решение.

1. По течению: $105 : 5 = 21$ км/ч; против: $105 : 7 = 15$ км/ч. Собственная скорость: $(21 + 15) : 2 = 18$ км/ч. По озеру: $108 : 18 = 6$ ч.
2. По течению: $36 : 2 = 18$ км/ч; против: $36 : 3 = 12$ км/ч. Течение: $(18 - 12) : 2 = 3$ км/ч. Плот: $36 : 3 = 12$ ч.

Ответ: 1) A. за 6 ч; 2) за 12 часов.

№ 344

Мальчик плавает в озере со скоростью 58 м/мин. Плот проплывает по реке 280 м за 8 мин. За сколько минут мальчик проплывёт 465 м по течению этой реки?

Как думать. Плот подскажет скорость течения, а озеро — собственную скорость мальчика.

Решение.

1. Скорость течения (скорость плота): $280 : 8 = 35$ м/мин.
2. Скорость мальчика по течению: $58 + 35 = 93$ м/мин.
3. Время: $465 : 93 = 5$ мин.

Ответ: за 5 мин.

№ 345

От пристани A вышла лодка, одновременно от пристани B ей навстречу — катер. Их собственные скорости 8 км/ч и 17 км/ч, расстояние 72 км. Сколько километров будет между ними через 2 ч? Почему не дана скорость течения?

Как думать. Один плывёт по течению, другой против. Течение одному прибавляет ровно столько, сколько у другого отнимает.

Решение.

1. Скорость сближения — сумма собственных скоростей: $8 + 17 = 25$ км/ч.
2. За 2 ч они сблизятся на $25 \cdot 2 = 50$ км.
3. Останется $72 - 50 = 22$ км.

Ответ: 22 км. Скорость течения не нужна: при движении навстречу она не влияет на скорость сближения.

№ 346

Катер ушёл по течению на 42 км вперёд, затем вслед за ним вышел теплоход. Собственные скорости: катер 18 км/ч, теплоход 32 км/ч, течение 2 км/ч. Через сколько часов теплоход догонит катер? Какое условие лишнее?

Как думать. Течение одинаково помогает обоим, так что на разность скоростей не влияет.

Решение.

1. Обе скорости по течению: катер $18 + 2 = 20$ км/ч, теплоход $32 + 2 = 34$ км/ч.
2. Скорость сближения: $34 - 20 = 14$ км/ч (то же, что $32 - 18$).
3. Время: $42 : 14 = 3$ ч.

Ответ: через 3 часа. Лишнее условие — скорость течения: она одинаково помогает обоим и на разность скоростей не влияет.

№ 347

Собственная скорость лодки в 5 раз больше скорости течения. По течению лодка проходит 36 км за 3 ч. Сколько она пройдёт против течения за 2 ч?

Как думать. Прими скорость течения за 1 часть. Собственная — 5 частей. По течению — 6 частей, против — 4 части.

Решение.

1. Скорость по течению: $36 : 3 = 12$ км/ч. Это 6 частей.
2. Одна часть: $12 : 6 = 2$ км/ч — скорость течения. Собственная: $2 \cdot 5 = 10$ км/ч.
3. Против течения: $10 - 2 = 8$ км/ч.
4. За 2 ч: $8 \cdot 2 = 16$ км.

Ответ: 16 км.

№ 348

Мальчик плыл по течению со скоростью 73 м/мин, течение 25 м/мин. Шапочка упала в воду, мальчик заметил это через 3 мин. Как далеко от него была шапочка? Реши двумя способами.

Как думать. 73 м/мин — это уже скорость по течению. Шапочка плывёт со скоростью течения.

Решение.

Способ 1. Мальчик проплыл $73 \cdot 3 = 219$ м, шапочка — $25 \cdot 3 = 75$ м. Расстояние: $219 - 75 = 144$ м.

Способ 2. Мальчик удаляется от шапочки со скоростью $73 - 25 = 48$ м/мин (это его собственная скорость). За 3 мин: $48 \cdot 3 = 144$ м.

Ответ: 144 м.

Шпаргалка

• По течению быстрее, против — медленнее; разница — две скорости течения.
• В озере течения нет. Плот плывёт со скоростью течения.
• При встрече и догонялках на реке течение не влияет на скорость сближения.
• Упавший предмет удаляется от лодки с её собственной скоростью.

Мини-тест