3.1. Обыкновенная дробь. Чтение и запись обыкновенных дробей

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава III: Обыкновенные дроби и действия над ними. Страницы 122–129.

С этого параграфа начинается глава III «Обыкновенные дроби и действия над ними».

Чему научишься

• Понимать, что такое доля и обыкновенная дробь.
• Читать и записывать дроби: $\frac{3}{8}$ — «три восьмых».
• Объяснять, что показывают числитель и знаменатель.
• Записывать частное дробью, а натуральное число — дробью с любым знаменателем.
• Находить часть от числа и число по его части.

Разминка

• Отрезок AB разделён штрихами на равные части, точка C стоит на третьем штрихе от A. На сколько частей разделён AB? На 8 равных частей.
• Сколько частей в AC и в CB? В AC — 3 части, в CB — 5 частей. Проверка: $3 + 5 = 8$.

💡 Получается, AC — это 3 части из 8 равных частей отрезка AB. Именно так и записывают дроби: $\frac{3}{8}$.

Разбираемся

Доля — это честный кусок

Разрежем пирог на 4 равные части. Каждая часть — это доля: одна четвёртая пирога, $\frac{1}{4}$. Если куски неравные, долями их не называют — это уже нечестно!

Дробь: сколько разрезали и сколько взяли

Квадрат разрезали на 8 равных треугольников и закрасили 3. Закрашено «три восьмых» квадрата. Пишут $\frac{3}{8}$. Такая запись называется обыкновенной дробью.

• Знаменатель — число под чертой. Он показывает, на сколько равных частей разделили целое (здесь 8).
• Числитель — число над чертой. Он показывает, сколько таких частей взяли (здесь 3).

Поиграй с кругами: нажимай «+» и «−» у числителя и знаменателя и смотри, как меняется картинка.

Пример. Мальчик разрезал яблоко на 3 равные части и взял 2. Он взял $\frac{2}{3}$ яблока: числитель 2, знаменатель 3.

В общем виде дробь пишут так: $\frac{a}{b}$. Числитель $a$ — натуральное число или нуль. Знаменатель $b$ — только натуральное число: разрезать целое на нуль частей нельзя.

👨‍👩‍👧 Родителю. Чтобы ребёнок не путал числитель и знаменатель, спросите: «Что мы сделали сначала — разрезали или взяли?» Сначала разрезали — это знаменатель, он внизу, как фундамент. Потом взяли — это числитель, он сверху.

Как читать дроби

Сначала читаем числитель — как количество, в женском роде: «одна», «две», «пять». Потом знаменатель — как порядок: «четвёртая», «пятых», «восьмых».

• $\frac{1}{4}$ — одна четвёртая;
• $\frac{2}{5}$ — две пятых;
• $\frac{4}{8}$ — четыре восьмых;
• $\frac{17}{100}$ — семнадцать сотых.

⚠️ Частая ошибка. Читают «два пятых» или «одна четыре». Правильно: «две пятых», «одна четвёртая». Числитель всегда в женском роде — ведь речь про «две части», «одну часть».

Черта дроби — это деление

Черта дроби означает то же, что знак деления. Поэтому любое частное можно записать дробью: делимое — наверх, делитель — вниз.

$12 : 4 = \frac{12}{4}$; $\quad 7 : 12 = \frac{7}{12}$.

А значит, натуральное число можно записать дробью с любым знаменателем: $3 = \frac{3}{1} = \frac{6}{2} = \frac{12}{4}$. Проверка: $12 : 4 = 3$.

Часть от числа и число по части

Это две главные задачи урока.

Найти часть от числа. В классе 30 учеников, $\frac{2}{5}$ из них — мальчики. Делим 30 на 5 равных частей: $30 : 5 = 6$. Берём 2 части: $6 \cdot 2 = 12$ мальчиков.

📌 Часть от числа: делим на знаменатель, умножаем на числитель.

Найти число по его части. 4 ученика — это $\frac{1}{6}$ всех участников. Одна часть из шести — 4 ученика, значит, всех $4 \cdot 6 = 24$.

⚠️ Частая ошибка. В задаче «4 ученика — это $\frac{1}{6}$ всех» делят $4 : 6$. Но 4 — это уже часть, а целое больше части. Нарисуй полоску из 6 клеток и подпиши одну клетку «4»: сразу видно, что надо умножать.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как читается дробь $\frac{3}{5}$? «Три пятых».
• Что показывает знаменатель? Числитель? Знаменатель — на сколько равных частей разделили целое. Числитель — сколько таких частей взяли.
• Как записать частное дробью? Делимое пишем над чертой, делитель — под чертой. Например, $5 : 9 = \frac{5}{9}$, $20 : 3 = \frac{20}{3}$.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 349

Прочитай дроби $\frac{3}{4}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{3}{7}$, $\frac{4}{9}$, $\frac{8}{5}$, $\frac{91}{100}$. Назови числитель и знаменатель и объясни, что они значат.

Как думать. Числитель — сколько взяли, знаменатель — на сколько частей разрезали.

Решение.

Ответ: см. таблицу.

Уровень A

№ 350

Запиши дробью, какая часть фигуры закрашена и какая не закрашена (рис. 3.3).

Как думать. На рисунке: а) треугольник из 4 равных треугольников, закрашены 3; б) круг из 6 равных секторов, закрашены 2; в) квадрат из 8 равных треугольников, закрашены 5; г) прямоугольник из 7 равных полос, закрашены 4. Знаменатель — число всех частей, числитель — закрашенных. Незакрашенные: из всех частей вычитаем закрашенные.

Решение.

• а) закрашено $\frac{3}{4}$, не закрашено $\frac{1}{4}$;
• б) закрашено $\frac{2}{6}$, не закрашено $\frac{4}{6}$;
• в) закрашено $\frac{5}{8}$, не закрашено $\frac{3}{8}$;
• г) закрашено $\frac{4}{7}$, не закрашено $\frac{3}{7}$.

Ответ: а) $\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{4}$; б) $\frac{2}{6}$ и $\frac{4}{6}$; в) $\frac{5}{8}$ и $\frac{3}{8}$; г) $\frac{4}{7}$ и $\frac{3}{7}$.

№ 351

1) Запиши частные дробью: $7 : 12$; $9 : 11$; $8 : 7$; $14 : 20$; $30 : 41$; $61 : 100$. 2) Запиши дроби $\frac{4}{7}$, $\frac{9}{12}$, $\frac{5}{9}$, $\frac{2}{5}$, $\frac{8}{10}$, $\frac{7}{4}$ в виде частного.

Как думать. Черта дроби — это знак деления. Делимое наверху, делитель внизу.

Решение.

1. $7 : 12 = \frac{7}{12}$; $9 : 11 = \frac{9}{11}$; $8 : 7 = \frac{8}{7}$; $14 : 20 = \frac{14}{20}$; $30 : 41 = \frac{30}{41}$; $61 : 100 = \frac{61}{100}$.
2. $\frac{4}{7} = 4 : 7$; $\frac{9}{12} = 9 : 12$; $\frac{5}{9} = 5 : 9$; $\frac{2}{5} = 2 : 5$; $\frac{8}{10} = 8 : 10$; $\frac{7}{4} = 7 : 4$.

Ответ: см. решение.

№ 352

1) В оркестре народных инструментов 32 музыканта, $\frac{3}{8}$ из них — домбристы. Сколько домбристов? 2) В тетради 48 страниц, исписано $\frac{7}{12}$. Сколько страниц исписано?

Как думать. Ищем часть от числа: делим на знаменатель, умножаем на числитель.

Решение.

1. $32 : 8 = 4$ — это $\frac{1}{8}$; $4 \cdot 3 = 12$ домбристов.
2. $48 : 12 = 4$ — это $\frac{1}{12}$; $4 \cdot 7 = 28$ страниц.

Ответ: 1) 12 домбристов; 2) 28 страниц.

№ 353

1) 4 победителя соревнований по гимнастике — это $\frac{1}{6}$ всех участников. Сколько было участников? 2) 9 девочек — это $\frac{1}{3}$ класса. Сколько учеников в классе?

Как думать. На рисунке отрезок из 6 равных частей, одна часть — 4 ученика. Ищем целое по его части: умножаем.

Решение.

1. $4 \cdot 6 = 24$ ученика.
2. $9 \cdot 3 = 27$ учеников.

Ответ: 1) 24 ученика; 2) 27 учеников.

№ 354

1) В парке 120 деревьев, $\frac{1}{5}$ из них — ели. Сколько елей? 2) На выставке 57 фотографий, $\frac{1}{3}$ — цветные. Сколько цветных?

Как думать. Нужна одна часть — просто делим на знаменатель.

Решение.

1. $120 : 5 = 24$ ели.
2. $57 : 3 = 19$ фотографий.

Ответ: 1) 24 ели; 2) 19 цветных фотографий.

№ 355

Запиши, какую часть суток ты проводишь в школе, делаешь уроки, помогаешь по дому, играешь, спишь.

Как думать. В сутках 24 часа. Знаменатель — 24, числитель — сколько часов уходит на занятие. Ответ у каждого свой.

Решение. Пример:

1. В школе 6 ч — $\frac{6}{24}$ суток;
2. домашнее задание 2 ч — $\frac{2}{24}$;
3. работа по дому 1 ч — $\frac{1}{24}$;
4. игры 3 ч — $\frac{3}{24}$;
5. сон 9 ч — $\frac{9}{24}$.

Остальные 3 ч (дорога, еда) — $\frac{3}{24}$. Проверка: $6 + 2 + 1 + 3 + 9 + 3 = 24$.

Ответ: у каждого свой; сумма всех числителей вместе с прочими делами должна быть 24.

Уровень B

№ 356

Какая часть квадрата закрашена и какая не закрашена (рис. 3.4)? Запиши дробью.

Как думать. На рисунке: а) квадрат 3 × 3, закрашены 5 клеток (4 угловые и центр); б) квадрат из 4 четвертей, две из них разрезаны ещё на 4 маленьких квадрата, закрашены 4 маленьких; в) так же, закрашены 3 маленьких. Маленький квадрат — четверть от четверти, то есть $\frac{1}{16}$ всего квадрата: если так разрезать все четверти, получится 16 маленьких.

Решение.

• а) закрашено $\frac{5}{9}$, не закрашено $\frac{4}{9}$;
• б) закрашено $\frac{4}{16}$, не закрашено $\frac{12}{16}$;
• в) закрашено $\frac{3}{16}$, не закрашено $\frac{13}{16}$.

Ответ: а) $\frac{5}{9}$ и $\frac{4}{9}$; б) $\frac{4}{16}$ и $\frac{12}{16}$; в) $\frac{3}{16}$ и $\frac{13}{16}$.

№ 357

Вставь пропущенные числа: 1) $2 = \frac{}{3}$, $2 = \frac{14}{}$; 2) $8 = \frac{}{4}$, $8 = \frac{}{9}$; 3) $12 = \frac{}{5}$, $12 = \frac{96}{}$; 4) $27 = \frac{270}{}$, $27 = \frac{}{100}$.

Как думать. Дробь — это деление. Неизвестен числитель — умножь число на знаменатель. Неизвестен знаменатель — раздели числитель на число.

Решение.

1. $2 \cdot 3 = 6$: $2 = \frac{6}{3}$; $14 : 2 = 7$: $2 = \frac{14}{7}$.
2. $8 \cdot 4 = 32$: $8 = \frac{32}{4}$; $8 \cdot 9 = 72$: $8 = \frac{72}{9}$.
3. $12 \cdot 5 = 60$: $12 = \frac{60}{5}$; $96 : 12 = 8$: $12 = \frac{96}{8}$.
4. $270 : 27 = 10$: $27 = \frac{270}{10}$; $27 \cdot 100 = 2700$: $27 = \frac{2700}{100}$.

Ответ: 1) 6; 7; 2) 32; 72; 3) 60; 8; 4) 10; 2700.

№ 358

У Айжан 3 яблока, 2 половинки яблока и 4 четвертинки. Сколько всего яблок?

Как думать. Сложи кусочки в целые яблоки.

Решение.

1. Две половинки — это 1 целое яблоко.
2. Четыре четвертинки — тоже 1 целое яблоко.
3. Всего: $3 + 1 + 1 = 5$.

Ответ: 5 яблок.

№ 359

В букете 27 цветов: 5 гвоздик, 13 веток жасмина, остальные — розы. Какую часть букета составляют розы?

Как думать. Сначала узнай, сколько роз. Потом — сколько это из 27.

Решение.

1. Гвоздик и жасмина: $5 + 13 = 18$.
2. Роз: $27 - 18 = 9$.
3. Часть: 9 из 27, то есть $\frac{9}{27}$.

Ответ: $\frac{9}{27}$ букета.

№ 360

Квадрат со стороной 4 см (рис. 3.5). Какая часть закрашена? Найди площадь закрашенной части.

Как думать. На рисунке середины сторон соединены, получился внутренний квадрат. Диагонали делят его на 4 равных маленьких квадрата, закрашены 2. Внутренний квадрат — половина большого: четыре угловых треугольника вокруг можно сложить в ещё один такой же квадрат. Значит, каждый маленький квадрат — $\frac{1}{8}$ большого.

Решение.

1. Закрашено 2 части из 8: $\frac{2}{8}$ квадрата (это то же, что $\frac{1}{4}$).
2. Площадь большого квадрата: $4 \cdot 4 = 16$ см².
3. Одна восьмая: $16 : 8 = 2$ см². Две восьмых: $2 \cdot 2 = 4$ см².

Ответ: 1) $\frac{2}{8}$ квадрата; 2) 4 см².

№ 361

На столе 5 чашек дном вниз. За один ход переворачивают сразу любые две. Можно ли поставить все чашки дном вверх?

Как думать. Задача на смекалку. Следи, чётно или нечётно число чашек, стоящих дном вверх.

Решение.

1. Сначала дном вверх 0 чашек — чётное число.
2. За ход переворачиваем две чашки. Число чашек дном вверх меняется на 2 или не меняется (одну перевернули вверх, другую вниз). Оно остаётся чётным.
3. Нужно получить 5 — нечётное число. Это невозможно.

Ответ: нельзя.

№ 362

Всех груш на 11 больше, чем собрала Марина, и на 7 больше, чем собрала Лиза. Какую часть всех груш собрала каждая?

Как думать. Все груши минус груши Марины — это груши Лизы. И наоборот.

Решение.

1. Всего на 11 больше, чем у Марины, значит, Лиза собрала 11 груш.
2. Всего на 7 больше, чем у Лизы, значит, Марина собрала 7 груш.
3. Всего: $7 + 11 = 18$ груш.

Ответ: Марина собрала $\frac{7}{18}$, Лиза — $\frac{11}{18}$ всех груш.

№ 363

Прямоугольник разделили на 3 равные части, каждую — ещё на 4 равные части, и закрасили 5 частей. Закрашено 20 см². Найди площадь прямоугольника. Варианты: A. 36 см²; B. 48 см²; C. 60 см²; D. 72 см².

Как думать. Сначала узнай, сколько всего маленьких частей и сколько см² в одной.

Решение.

1. Всего частей: $3 \cdot 4 = 12$.
2. 5 частей — 20 см², одна часть — $20 : 5 = 4$ см².
3. Площадь: $4 \cdot 12 = 48$ см².

Ответ: B. 48 см².

№ 364

Наш космонавт Талгат Мусабаев в полёте 1998 года пробыл в космосе 4992 ч, из них $\frac{5}{832}$ времени — в открытом космосе, ремонтируя станцию «Мир». Сколько это часов?

Решение.

1. $4992 : 832 = 6$ ч — это $\frac{1}{832}$.
2. $6 \cdot 5 = 30$ ч.

Ответ: 30 часов.

🌟 Талгат Мусабаев — лётчик-космонавт из Казахстана, он трижды летал в космос и много раз выходил в открытый космос.

№ 365

Путешественник проехал 140 км: $\frac{5}{7}$ пути — на автобусе, остальное — на мотоцикле. Сколько километров на мотоцикле?

Как думать. На мотоцикле — то, что осталось после автобуса.

Решение.

1. $\frac{1}{7}$ пути: $140 : 7 = 20$ км.
2. На автобусе: $20 \cdot 5 = 100$ км.
3. На мотоцикле: $140 - 100 = 40$ км.

Ответ: 40 км.

№ 366

На стоянке 48 машин. $\frac{1}{6}$ — автобусы, $\frac{3}{4}$ остальных — легковые. Сколько легковых?

Как думать. Внимание на слово «остальных»: $\frac{3}{4}$ берём не от 48, а от того, что осталось после автобусов.

Решение.

1. Автобусов: $48 : 6 = 8$.
2. Остальных: $48 - 8 = 40$.
3. Легковых: $40 : 4 \cdot 3 = 30$.

Ответ: 30 легковых машин.

👨‍👩‍👧 Родителю. В задачах № 366–368 дробь берётся то от всего, то от остатка. Попросите ребёнка перед вычислением подчеркнуть слово «остальных» или «остатка» и сказать вслух, от какого числа берётся часть.

Уровень C

№ 367

В ящике 48 кубиков. Первый мальчик взял половину, а каждый из следующих троих — половину остатка. Сколько взял четвёртый?

Как думать. Каждый раз остаток уменьшается вдвое.

Решение.

1. Первый: $48 : 2 = 24$, осталось 24.
2. Второй: $24 : 2 = 12$, осталось 12.
3. Третий: $12 : 2 = 6$, осталось 6.
4. Четвёртый: $6 : 2 = 3$.

Ответ: 3 кубика.

№ 368

В магазине 580 швейных машин. $\frac{1}{4}$ — электрические, $\frac{1}{5}$ остальных — ножные, прочие — ручные. Сколько ручных?

Как думать. Тут тоже «остальных»: $\frac{1}{5}$ берём от того, что осталось после электрических.

Решение.

1. Электрических: $580 : 4 = 145$.
2. Остальных: $580 - 145 = 435$.
3. Ножных: $435 : 5 = 87$.
4. Ручных: $435 - 87 = 348$.

Ответ: 348 ручных машин.

№ 369

Половина всех марок Коли и ещё половина остатка — спортивные, а остальные 7 марок — исторические. Сколько всего марок?

Как думать. Решаем с конца — как будто отматываем видео назад.

Решение.

1. После первой половины остаётся половина марок. Половину остатка тоже забрали, осталась вторая половина остатка — 7 марок.
2. Значит, остаток был $7 \cdot 2 = 14$ марок.
3. Остаток — половина всех: $14 \cdot 2 = 28$ марок.

Проверка: $28 : 2 = 14$, $14 : 2 = 7$ спортивных, $14 + 7 = 21$ спортивных, $28 - 21 = 7$ исторических.

Ответ: 28 марок.

№ 370

Гульдана выучила половину стихотворения и ещё 4 строки. Потом выучила половину оставшейся части, и ей осталось 4 строки. Сколько строк в стихотворении?

Как думать. Тоже с конца.

Решение.

1. Половина остатка — это 4 строки, значит, остаток после первого раза: $4 \cdot 2 = 8$ строк.
2. После «половины и ещё 4 строк» осталось 8. Значит, вторая половина стихотворения — $8 + 4 = 12$ строк.
3. Всё стихотворение: $12 \cdot 2 = 24$ строки.

Проверка: $12 + 4 = 16$ выучила, осталось 8; половина — 4, осталось 4.

Ответ: 24 строки.

№ 371

Галя с папой плывут на лодке против течения: собственная скорость 90 м/мин, течение 30 м/мин. Галя уронила куклу. Какое расстояние будет между лодкой и куклой через 4 мин? Какая величина лишняя?

Как думать. Это повторение параграфа 2.10. Кукла плывёт с течением назад, лодка — вперёд.

Решение.

1. Скорость лодки против течения: $90 - 30 = 60$ м/мин. За 4 мин: $60 \cdot 4 = 240$ м вперёд.
2. Кукла за 4 мин: $30 \cdot 4 = 120$ м назад.
3. Расстояние: $240 + 120 = 360$ м. Короче: $90 \cdot 4 = 360$ м.

Ответ: 360 м. Лишняя величина — скорость течения: лодка удаляется от куклы со своей собственной скоростью.

№ 372

Собака бежит от дома навстречу Магжану со скоростью 10 м/с. Встретив его на середине пути, бежит домой, потом снова навстречу. Встретив его на $\frac{1}{4}$ пути, бежит к дому, до которого 50 м. С какого расстояния собака увидела Магжана? Сколько метров и сколько секунд она бежала?

Как думать. Вторая встреча — на $\frac{1}{4}$ пути от дома, и до дома оттуда 50 м.

Решение.

1. $\frac{1}{4}$ пути — 50 м. Весь путь: $50 \cdot 4 = 200$ м.
2. Середина пути — 100 м. Собака пробежала: до середины 100 м, назад 100 м, до второй встречи 50 м, назад 50 м. Всего $100 + 100 + 50 + 50 = 300$ м.
3. Время: $300 : 10 = 30$ с.

Ответ: увидела с 200 м; пробежала 300 м; бегала 30 секунд.

№ 373

Реши уравнения: 1) $87 : (4x + 5) = 3$; 2) $17 \cdot (3x - 16) = 85$; 3) $9 \cdot (6x - 13) = 153$; 4) $3 \cdot (8x + 51) = 201$; 5) $(46x - 57) : 3 = 27$; 6) $(19x + 62) : 15 = 13$.

Как думать. Скобку считай одним неизвестным. Сначала найди её, потом $x$.

Решение.

1. $4x + 5 = 87 : 3 = 29$; $4x = 24$; $x = 6$.
2. $3x - 16 = 85 : 17 = 5$; $3x = 21$; $x = 7$.
3. $6x - 13 = 153 : 9 = 17$; $6x = 30$; $x = 5$.
4. $8x + 51 = 201 : 3 = 67$; $8x = 16$; $x = 2$.
5. $46x - 57 = 27 \cdot 3 = 81$; $46x = 138$; $x = 3$.
6. $19x + 62 = 13 \cdot 15 = 195$; $19x = 133$; $x = 7$.

Ответ: 1) 6; 2) 7; 3) 5; 4) 2; 5) 3; 6) 7.

№ 374

По Казахстану Сырдарья течёт 1400 км. Найди всю длину реки (округлив до сотен км) и какая её часть приходится на Казахстан.

Как думать. Задание с поиском в интернете. Справочное значение (проверь по источнику): длина Сырдарьи около 2212 км, после округления до сотен — 2200 км.

Решение.

1. По Казахстану: 1400 км из 2200 км, то есть $\frac{1400}{2200}$.
2. Разделим оба числа на 200 (как делили в главе II на общий делитель): $\frac{7}{11}$.

Ответ: длина около 2200 км; по Казахстану протекает $\frac{14}{22}$, то есть $\frac{7}{11}$ длины реки.

Шпаргалка

• Доля — одна из равных частей целого.
• Дробь $\frac{a}{b}$: знаменатель $b$ — на сколько частей разделили, числитель $a$ — сколько взяли.
• Читаем: числитель в женском роде, знаменатель — как порядковое число: «две пятых».
• Дробная черта — знак деления: $a : b = \frac{a}{b}$.
• Число по части $\frac{1}{n}$: умножаем часть на $n$.

Мини-тест