Упражнения для повторения главы II

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава II: Делимость натуральных чисел. Страницы 114–115.

Что повторяем

Глава II — про то, как числа делятся друг на друга. Пробеги глазами список и найди, что помнишь хуже всего. С этого и начни.

• Делители и кратные (2.1). Делитель делит число без остатка. Кратное делится на число без остатка.
• Простые и составные числа (2.2). У простого числа ровно два делителя: 1 и оно само.
• Свойства делимости (2.3).
• Признаки делимости на 2, 5 и 10 (2.4). Смотрим на последнюю цифру.
• Признаки делимости на 3 и на 9 (2.5). Смотрим на сумму цифр.
• Степень числа (2.6). Например, $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
• Разложение на простые множители (2.7).
• НОД и взаимно простые числа (2.8).
• НОК (2.9).

Переверни карточки и проверь, помнишь ли главное.

💡 Как не перепутать НОД и НОК? Если что-то делят поровну (игрушки по группам) — это НОД. Если ждут, когда что-то совпадёт (мальчики снова на старте) — это НОК.

👨‍👩‍👧 Родителю. Перед решением попросите ребёнка своими словами объяснить разницу между НОД и НОК. Если он путается, задачи «на раздачу поровну» и «на одновременную встречу» будут решаться наоборот.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 316

Из чисел 94, 108, 207, 604, 825, 615, 710 выбери те, что делятся: 1) на 2; 2) на 5; 3) на 3.

Как думать. Для 2 и 5 хватит последней цифры. Для 3 сложи цифры числа.

Решение.

1. На 2 — числа с чётной последней цифрой: 94, 108, 604, 710.
2. На 5 — числа, которые оканчиваются на 0 или 5: 825, 615, 710.
3. Суммы цифр: 94 → 13; 108 → 9; 207 → 9; 604 → 10; 825 → 15; 615 → 12; 710 → 8. На 3 делятся 9, 9, 15 и 12. Подходят 108, 207, 825, 615.

Ответ: 1) 94, 108, 604, 710; 2) 825, 615, 710; 3) 108, 207, 825, 615.

№ 317

Замени звёздочку цифрой в числах 83*, 2*3, 51*, 76*, 64*, 84*, чтобы получилось: 1) число, кратное 9; 2) самое маленькое число, кратное 3.

Как думать. Сложи известные цифры. Для девятки дополни сумму до ближайшего числа, кратного 9. Для тройки бери самую маленькую цифру, с которой сумма делится на 3.

Решение.

Ответ: 1) 837, 243, 513, 765, 648, 846; 2) 831, 213, 510, 762, 642, 840.

⚠️ Частая ошибка. В числе 51* для тройки пишут 513. Но $5 + 1 = 6$ уже делится на 3! Значит, подходит цифра 0, и наименьшее число — 510. Всегда сначала пробуй 0.

№ 318

Найди НОД: 1) 48 и 28; 2) 12 и 15; 3) 45 и 32; 4) 24 и 88; 5) 60 и 75; 6) 78 и 117.

Как думать. Разложи оба числа на простые множители. Перемножь те, что есть у обоих.

Решение.

1. $48 = 2^4 \cdot 3$, $28 = 2^2 \cdot 7$. Общее: $2^2 = 4$.
2. $12 = 2^2 \cdot 3$, $15 = 3 \cdot 5$. Общее: 3.
3. $45 = 3^2 \cdot 5$, $32 = 2^5$. Общих множителей нет, НОД = 1. Числа взаимно простые.
4. $24 = 2^3 \cdot 3$, $88 = 2^3 \cdot 11$. Общее: $2^3 = 8$.
5. $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$, $75 = 3 \cdot 5^2$. Общее: $3 \cdot 5 = 15$.
6. $78 = 2 \cdot 3 \cdot 13$, $117 = 3^2 \cdot 13$. Общее: $3 \cdot 13 = 39$.

Ответ: 1) 4; 2) 3; 3) 1; 4) 8; 5) 15; 6) 39.

№ 319

Миша, Серёжа и Нурлан одновременно стартуют из одной точки и бегут по кругу. Миша пробегает круг за 4 мин, Серёжа — за 3 мин, Нурлан — за 6 мин. Через сколько минут они снова встретятся на старте?

Как думать. Миша бывает на старте через 4, 8, 12… минут. Серёжа — через 3, 6, 9, 12… Нужно первое время, которое делится и на 4, и на 3, и на 6. Это НОК.

Решение.

1. $4 = 2^2$, $3 = 3$, $6 = 2 \cdot 3$.
2. НОК $(4, 3, 6) = 2^2 \cdot 3 = 12$.
3. Проверка: за 12 мин Миша пробежит 3 круга, Серёжа — 4 круга, Нурлан — 2 круга.

Ответ: через 12 минут.

Уровень B

№ 320

Разложи на простые множители и найди НОК: 1) 54 и 135; 2) 38 и 114; 3) 150 и 400; 4) 180 и 300; 5) 42, 60 и 70; 6) 18, 63 и 35.

Как думать. В НОК берём каждый простой множитель в самой большой степени, какая встречается.

Решение.

1. $54 = 2 \cdot 3^3$, $135 = 3^3 \cdot 5$. НОК $= 2 \cdot 3^3 \cdot 5 = 270$.
2. $38 = 2 \cdot 19$, $114 = 2 \cdot 3 \cdot 19$. НОК $= 114$ (114 делится на 38).
3. $150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$, $400 = 2^4 \cdot 5^2$. НОК $= 2^4 \cdot 3 \cdot 5^2 = 1200$.
4. $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$, $300 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$. НОК $= 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 900$.
5. $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$, $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$, $70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$. НОК $= 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 420$.
6. $18 = 2 \cdot 3^2$, $63 = 3^2 \cdot 7$, $35 = 5 \cdot 7$. НОК $= 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 630$.

Ответ: 1) 270; 2) 114; 3) 1200; 4) 900; 5) 420; 6) 630.

№ 321

Вынеси за скобки НОД чисел перед буквами: 1) $42x - 30y$; 2) $56x - 24y$; 3) $60m - 36n$; 4) $75m - 15n$; 5) $95a - 35b$; 6) $88a - 55b$.

Как думать. Найди НОД двух чисел перед буквами. Раздели каждое число на него и запиши результаты в скобках. Проверь: раскрой скобки — должно получиться то же самое.

Решение.

1. НОД $(42, 30) = 6$: $42x - 30y = 6(7x - 5y)$.
2. НОД $(56, 24) = 8$: $56x - 24y = 8(7x - 3y)$.
3. НОД $(60, 36) = 12$: $60m - 36n = 12(5m - 3n)$.
4. НОД $(75, 15) = 15$: $75m - 15n = 15(5m - n)$.
5. НОД $(95, 35) = 5$: $95a - 35b = 5(19a - 7b)$.
6. НОД $(88, 55) = 11$: $88a - 55b = 11(8a - 5b)$.

Ответ: 1) $6(7x - 5y)$; 2) $8(7x - 3y)$; 3) $12(5m - 3n)$; 4) $15(5m - n)$; 5) $5(19a - 7b)$; 6) $11(8a - 5b)$.

№ 322

Для детского сада купили 21 машинку, 35 кукол и 77 мячей. Каждой группе досталось поровну машинок, кукол и мячей. Сколько групп в садике?

Как думать. Игрушки делят поровну — значит, ищем НОД. Число групп должно делить и 21, и 35, и 77.

Решение.

1. $21 = 3 \cdot 7$, $35 = 5 \cdot 7$, $77 = 7 \cdot 11$.
2. Общий множитель один — 7. НОД $(21, 35, 77) = 7$.
3. Каждая группа получила $21 : 7 = 3$ машинки, $35 : 7 = 5$ кукол, $77 : 7 = 11$ мячей.

Ответ: 7 групп.

№ 323

Маржан купит в киоске либо лотерейные билеты по 80 тг, либо марки по 60 тг. Сколько денег взять из дома, если сдачи у продавца не будет?

Как думать. Сдача не нужна, если сумма делится без остатка и на 80, и на 60. Самая маленькая такая сумма — НОК.

Решение.

1. $80 = 2^4 \cdot 5$, $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$.
2. НОК $(80, 60) = 2^4 \cdot 3 \cdot 5 = 240$.
3. Проверка: $240 : 80 = 3$ билета, $240 : 60 = 4$ марки.

Ответ: 240 тг (наименьшая подходящая сумма).

Уровень C

№ 324

Числа уже разложены на простые множители. Найди НОК пар: 1) $2^2 \cdot 3 \cdot 7$ и $2 \cdot 3^2 \cdot 7$; 2) $2 \cdot 3^3 \cdot 5$ и $2^2 \cdot 5$; 3) $2 \cdot 3 \cdot 11$ и $2^3 \cdot 3 \cdot 11$; 4) $2 \cdot 5 \cdot 7$ и $5^2 \cdot 7$; 5) $2 \cdot 3 \cdot 5^2$ и $2^4 \cdot 3$; 6) $2 \cdot 5 \cdot 11$ и $5^2 \cdot 11$.

Как думать. Раскладывать уже не надо. Бери каждый множитель с самым большим показателем.

Решение.

1. $2^2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 4 \cdot 9 \cdot 7 = 252$.
2. $2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 = 4 \cdot 27 \cdot 5 = 540$.
3. $2^3 \cdot 3 \cdot 11 = 264$ (это само число $f$, оно делится на $e$).
4. $2 \cdot 5^2 \cdot 7 = 350$.
5. $2^4 \cdot 3 \cdot 5^2 = 16 \cdot 3 \cdot 25 = 1200$.
6. $2 \cdot 5^2 \cdot 11 = 550$.

Ответ: 1) 252; 2) 540; 3) 264; 4) 350; 5) 1200; 6) 550.

№ 325

Запиши числа, которые: 1) делят 42 и кратны 7; 2) делят 78 и кратны 13; 3) делят 76 и кратны 19.

Как думать. Выпиши все делители числа. Оставь те, что делятся на 7 (на 13, на 19).

Решение.

1. Делители 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42. Кратны 7: 7, 14, 21, 42.
2. Делители 78: 1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78. Кратны 13: 13, 26, 39, 78.
3. Делители 76: 1, 2, 4, 19, 38, 76. Кратны 19: 19, 38, 76.

Ответ: 1) 7, 14, 21, 42; 2) 13, 26, 39, 78; 3) 19, 38, 76.

№ 326

Объём коробки (прямоугольного параллелепипеда) — 165 см³. Длина, ширина и высота — простые числа. Найди их.

Как думать. Объём — это длина × ширина × высота. Значит, надо разложить 165 на три простых множителя.

Решение.

1. $165 = 5 \cdot 33 = 3 \cdot 5 \cdot 11$.
2. Другого разложения на простые множители нет. Значит, измерения — 3 см, 5 см и 11 см.
3. Проверка: $3 \cdot 5 \cdot 11 = 165$.

Ответ: 3 см, 5 см, 11 см.

№ 327

План дома — прямоугольник. Слева во всю высоту — комната I (45 м²). Справа сверху — комната II (21 м²), под ней — комната III. Найди площадь комнаты III. Варианты: A. 32 м²; B. 42 м²; C. 48 м²; D. 46 м².

Как думать. Считаем, что стены — целое число метров. Высота у комнаты I и у правой части одна и та же. Ширина у комнат II и III тоже общая. Подбираем делители 45 и 21.

Решение.

1. $45 = 5 \cdot 9$, $21 = 3 \cdot 7$.
2. Пусть высота дома 9 м. Тогда ширина комнаты I: $45 : 9 = 5$ м.
3. Пусть комната II высотой 3 м и шириной 7 м: $3 \cdot 7 = 21$ м².
4. Комната III той же ширины 7 м, а её высота $9 - 3 = 6$ м.
5. Площадь III: $7 \cdot 6 = 42$ м². Такой вариант есть среди ответов.

Другие разбиения (например, высота 5 м) дают площади, которых среди вариантов нет.

Ответ: B. 42 м².

Шпаргалка

• Ищешь наименьшее число с пропущенной цифрой — сначала пробуй 0.
• НОД взаимно простых чисел равен 1.
• Если одно число делится на другое, их НОК — большее число.
• Вынести НОД за скобки: $42x - 30y = 6(7x - 5y)$.

Мини-тест