2.5. Признаки делимости натуральных чисел на 3 и на 9

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава II: Делимость натуральных чисел. Страницы 87–90.

Чему научишься

• Быстро находить сумму цифр числа.
• По сумме цифр узнавать, делится ли число на 3 и на 9.
• Объяснять, почему для 3 и 9 нужны все цифры, а не только последняя.
• Проверять делимость на 6, 15 и 45, соединяя два признака.
• Подбирать пропущенную цифру так, чтобы число делилось на 3 или на 9.

Разминка

Возьми числа 12, 29, 45, 57, 61, 72, 83, 99 и сложи цифры каждого.

• У каких чисел сумма цифр делится на 3? Делятся ли сами числа на 3? У 12, 45, 57, 72, 99. И сами числа делятся: $12 : 3 = 4$, $45 : 3 = 15$, $57 : 3 = 19$, $72 : 3 = 24$, $99 : 3 = 33$.
• А у каких сумма цифр делится на 9? У 45, 72, 99. И снова сами числа делятся на 9: $45 : 9 = 5$, $72 : 9 = 8$, $99 : 9 = 11$.
• Что с числами 29, 61, 83? Ни на 3, ни на 9 не делятся — и суммы их цифр тоже.

💡 Похоже на совпадение? Это не совпадение, а правило. Сейчас разберёмся почему.

Разбираемся

Сумма цифр — волшебный ключ

Сумма цифр — это все цифры числа, сложенные вместе. У 273 она $2 + 7 + 3 = 12$, у 328 — $3 + 2 + 8 = 13$.

Суммы 12, 15, 18 делятся на 3 — и числа 273, 384, 567 тоже: $273 : 3 = 91$, $384 : 3 = 128$, $567 : 3 = 189$. А 328, 451, 623 на 3 не делятся.

📌 Если сумма цифр делится на 3, то и число делится на 3. Если сумма цифр делится на 9, то и число делится на 9. Если сумма не делится — число тоже не делится.

Пример: у 783 сумма цифр $7 + 8 + 3 = 18$, а 18 делится на 9. Значит, $783 : 9 = 87$ без остатка. У 289 сумма 19 — на 9 не делится.

Почему это работает

Попробуй сам

⚠️ Частая ошибка. «Раз делится на 3, значит, и на 9». Неверно: у 12 сумма цифр 3, на 3 делится, а на 9 — нет. Зато наоборот верно: всё, что делится на 9, делится и на 3, ведь $9 = 3 \cdot 3$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Сравните с прошлым уроком: для 2, 5, 10 хватает последней цифры, а для 3 и 9 нужны все цифры. Спросите, почему 2 346 делится на 3 (сумма 15), а 2 347 — нет (сумма 16). Если ребёнок объясняет «по последней цифре» — признаки перепутались.

Собираем признаки в команду

Признаки можно соединять:

• делится на 2 и на 3 → делится на 6;
• делится на 3 и на 5 → делится на 15;
• делится на 5 и на 9 → делится на 45.

Например, 372: последняя цифра 2 — делится на 2; сумма цифр 12 — делится на 3. Значит, $372 : 6 = 62$.

⚠️ Частая ошибка. Посчитали сумму цифр, проверили её — и ответили про сумму, а не про само число. Сумма цифр — только инструмент. Ответ всегда даём про исходное число.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какие натуральные числа делятся на 3? Те, у которых сумма цифр делится на 3.
• Какие делятся на 9? Те, у которых сумма цифр делится на 9.
• Какие не делятся ни на 9, ни на 3? Те, у которых сумма цифр не делится на 3. Тогда она и на 9 не делится.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 228

Какие числа делятся на 3, а какие нет: 1) 120, 203, 306; 2) 660, 800, 840; 3) 690, 510, 135; 4) 780, 910, 1005.

Как думать. Складывай цифры в уме. Нули можно пропускать — они сумму не меняют.

Решение.

1. 120 → 3, делится; 203 → 5, не делится; 306 → 9, делится.
2. 660 → 12, делится; 800 → 8, не делится; 840 → 12, делится.
3. 690 → 15; 510 → 6; 135 → 9 — все делятся.
4. 780 → 15, делится; 910 → 10, не делится; 1005 → 6, делится.

Ответ: делятся на 3: 120, 306, 660, 840, 690, 510, 135, 780, 1005; не делятся: 203, 800, 910.

Уровень A

№ 229

1) Выпиши числа, делящиеся на 3: 123, 325, 342, 404, 561, 672, 731, 873, 881, 948, 1041, 1112. 2) Выпиши числа, делящиеся на 9: 288, 333, 444, 558, 9468, 507, 8645, 576, 802, 891, 7839, 765, 781, 936.

Как думать. Для каждого числа — сумма цифр. Для 3 подходят суммы 6, 9, 12, 15…, для 9 — только 9, 18, 27.

Решение.

1. Суммы цифр: 123 → 6, 325 → 10, 342 → 9, 404 → 8, 561 → 12, 672 → 15, 731 → 11, 873 → 18, 881 → 17, 948 → 21, 1041 → 6, 1112 → 5. Делятся на 3 те, где сумма 6, 9, 12, 15, 18, 21.
2. Суммы цифр: 288 → 18, 333 → 9, 444 → 12, 558 → 18, 9468 → 27, 507 → 12, 8645 → 23, 576 → 18, 802 → 10, 891 → 18, 7839 → 27, 765 → 18, 781 → 16, 936 → 18. Делятся на 9 те, где сумма 9, 18, 27.

Ответ: 1) 123, 342, 561, 672, 873, 948, 1041; 2) 288, 333, 558, 9468, 576, 891, 7839, 765, 936.

№ 230

1) Какие из чисел 44, 444, 4444, 444 444, 555, 5555 делятся на 3? 2) Какие из 81, 818, 8181, 81 818, 818 181 делятся на 9?

Как думать. Когда цифры повторяются, сумму удобно считать умножением: в 4444 четыре четвёрки, сумма $4 \cdot 4 = 16$.

Решение.

1. 44 → 8; 444 → 12; 4444 → 16; 444 444 → 24; 555 → 15; 5555 → 20. На 3 делятся суммы 12, 24, 15.
2. 81 → 9; 818 → 17; 8181 → 18; 81 818 → 26; 818 181 → 27. На 9 делятся 9, 18, 27.

Ответ: 1) 444, 444 444, 555; 2) 81, 8181, 818 181.

№ 231

В поезде 9 платформ, на каждой одинаковое число тракторов. Сколько всего может быть тракторов: 143, 146 или 144? Сколько их на одной платформе?

Как думать. Если на 9 платформах поровну, то общее число тракторов делится на 9.

Решение.

1. Суммы цифр: 143 → 8, 146 → 11, 144 → 9. На 9 делится только 144.
2. На одной платформе: $144 : 9 = 16$ тракторов.

Ответ: 144 трактора; на одной платформе 16 тракторов.

Уровень B

№ 232

1) Какие из чисел 114, 116, 132, 143, 372, 438, 647 делятся на 6? 2) Какие из 105, 156, 255, 275, 345, 412, 465 делятся на 15? 3) Какие из 135, 315, 325, 360, 495, 506, 585 делятся на 45? Найди частные.

Как думать. На 6 — значит, на 2 и на 3. На 15 — на 3 и на 5. На 45 — на 5 и на 9. Сначала отсеиваем по последней цифре (это быстро), потом проверяем сумму цифр.

Решение.

1. Нечётные 143, 647 сразу отпадают. Суммы цифр остальных: 114 → 6, 116 → 8, 132 → 6, 372 → 12, 438 → 15. Число 116 не делится на 3. Частные: $114 : 6 = 19$, $132 : 6 = 22$, $372 : 6 = 62$, $438 : 6 = 73$.
2. 156 и 412 не оканчиваются на 0 или 5 — отпадают. Суммы цифр: 105 → 6, 255 → 12, 275 → 14, 345 → 12, 465 → 15. Число 275 не делится на 3. Частные: $105 : 15 = 7$, $255 : 15 = 17$, $345 : 15 = 23$, $465 : 15 = 31$.
3. 506 не делится на 5. Суммы цифр: 135 → 9, 315 → 9, 325 → 10, 360 → 9, 495 → 18, 585 → 18. Число 325 не делится на 9. Частные: $135 : 45 = 3$, $315 : 45 = 7$, $360 : 45 = 8$, $495 : 45 = 11$, $585 : 45 = 13$.

Ответ: 1) 114, 132, 372, 438 (частные 19, 22, 62, 73); 2) 105, 255, 345, 465 (частные 7, 17, 23, 31); 3) 135, 315, 360, 495, 585 (частные 3, 7, 8, 11, 13).

№ 233

Поставь цифру вместо звёздочки. 1) Наименьшее число, делящееся на 3: 1*1; 1*5; 2*8; 31*; 23*. 2) Число, делящееся на 9: 5*3; 42*; 2*8; 7*1; 4*4; *37.

Как думать. Сложи известные цифры и подбери самую маленькую цифру, которая «дотягивает» сумму до числа, кратного 3 (или 9).

Решение.

1. Делимость на 3:
   • 1*1: известные цифры дают 2, нужно ещё 1 → 111;
   • 1*5: сумма 6 уже делится на 3, ставим 0 → 105;
   • 2*8: сумма 10, до 12 не хватает 2 → 228;
   • 31*: сумма 4, до 6 не хватает 2 → 312;
   • 23*: сумма 5, до 6 не хватает 1 → 231.
2. Делимость на 9 (здесь в каждом случае подходит только одна цифра):
   • 5*3: сумма 8, до 9 — цифра 1 → 513;
   • 42*: сумма 6, до 9 — цифра 3 → 423;
   • 2*8: сумма 10, до 18 — цифра 8 → 288;
   • 7*1: сумма 8 → цифра 1 → 711;
   • 4*4: сумма 8 → цифра 1 → 414;
   • *37: сумма 10, до 18 — цифра 8 → 837.

Ответ: 1) 111, 105, 228, 312, 231; 2) 513, 423, 288, 711, 414, 837.

№ 234

Во втором рулоне ткани в 3 раза больше, чем в первом, в третьем — в 5 раз больше, чем в первом. Может ли во всех рулонах вместе быть 241 м, 127 м, 216 м? Сколько метров в третьем рулоне?

Как думать. Первый рулон — 1 часть, второй — 3 части, третий — 5 частей. Всего $1 + 3 + 5 = 9$ частей. Значит, общая длина делится на 9.

Решение.

1. Суммы цифр: 241 → 7, 127 → 10, 216 → 9. На 9 делится только 216.
2. Одна часть: $216 : 9 = 24$ м.
3. В третьем рулоне: $24 \cdot 5 = 120$ м.

Проверка: $24 + 72 + 120 = 216$.

Ответ: 241 м и 127 м быть не может, 216 м — может; в третьем рулоне 120 м.

Уровень C

№ 235

1) Запиши наименьшее число, кратное 3, вставив цифры вместо звёздочек: а) 5*9*; б) 30*4*; в) *71*; г) 2**71; д) **41; е) *4*21; ж) 6*7*; з) 6*23*. 2) Запиши наибольшее число, кратное 9: а) 2*76*; б) 38*6*; в) *47*3; г) 73*8*; д) 30*1*; е) 2*3*0.

Как думать. Хочешь наименьшее — левые звёздочки делай как можно меньше (0, а если звёздочка в начале числа — 1), а последнюю подбирай по признаку. Хочешь наибольшее — левую звёздочку делай 9, а правую подбирай.

Решение.

1. Кратные 3, наименьшие:
   • а) 5*9*: $5 + 0 + 9 = 14$, до 15 нужна 1 → 5091;
   • б) 30*4*: $3 + 0 + 0 + 4 = 7$, до 9 нужна 2 → 30 042;
   • в) *71*: первую ставим 1, $1 + 7 + 1 = 9$, последняя 0 → 1710;
   • г) 2**71: $2 + 0 + 7 + 1 = 10$, до 12 нужна 2 → 20 271;
   • д) **41: первая 1, $1 + 4 + 1 = 6$, вторая 0 → 1041;
   • е) *4*21: первая 1, $1 + 4 + 2 + 1 = 8$, до 9 нужна 1 → 14 121;
   • ж) 6*7*: $6 + 0 + 7 = 13$, до 15 нужна 2 → 6072;
   • з) 6*23*: $6 + 0 + 2 + 3 = 11$, до 12 нужна 1 → 60 231.
2. Кратные 9, наибольшие:
   • а) 2*76*: $2 + 9 + 7 + 6 = 24$, до 27 нужна 3 → 29 763;
   • б) 38*6*: $3 + 8 + 9 + 6 = 26$, до 27 нужна 1 → 38 961;
   • в) *47*3: $9 + 4 + 7 + 3 = 23$, до 27 нужна 4 → 94 743;
   • г) 73*8*: $7 + 3 + 9 + 8 = 27$, подходят 0 и 9, берём 9 → 73 989;
   • д) 30*1*: $3 + 0 + 9 + 1 = 13$, до 18 нужна 5 → 30 915;
   • е) 2*3*0: $2 + 9 + 3 + 0 = 14$, до 18 нужна 4 → 29 340.

Ответ: 1) 5091; 30 042; 1710; 20 271; 1041; 14 121; 6072; 60 231. 2) 29 763; 38 961; 94 743; 73 989; 30 915; 29 340.

№ 236

Через 3 года Гулдане будет в 3 раза больше лет, чем было 3 года назад. Сколько ей сейчас?

Как думать. Между «3 года назад» и «через 3 года» проходит $3 + 3 = 6$ лет. Возраст «через 3 года» — 3 части, «3 года назад» — 1 часть. Разница — 2 части.

Решение.

1. 2 части = 6 лет, 1 часть = 3 года. Значит, 3 года назад Гулдане было 3 года.
2. Сейчас ей $3 + 3 = 6$ лет.

Проверка: через 3 года будет 9, а $9 = 3 \cdot 3$. Верно.

Ответ: 6 лет.

№ 237

1) Какие из произведений $21 \cdot 5$; $29 \cdot 3$; $33 \cdot 5$; $25 \cdot 3$; $16 \cdot 5$; $51 \cdot 5$ делятся на 15? 2) Какие из $18 \cdot 5$; $17 \cdot 9$; $27 \cdot 5$; $65 \cdot 9$; $71 \cdot 9$; $135 \cdot 5$ делятся на 45? Найди частные, как в образце: $35 \cdot 9 = 7 \cdot 5 \cdot 9 = 7 \cdot 45$.

Как думать. $15 = 3 \cdot 5$, $45 = 5 \cdot 9$. Разложи множители на кусочки и поищи внутри произведения 15 или 45.

Решение.

1. На 15:
   • $21 \cdot 5 = 7 \cdot 3 \cdot 5 = 7 \cdot 15$ → частное 7;
   • $29 \cdot 3$ — нет множителя 5, не делится;
   • $33 \cdot 5 = 11 \cdot 3 \cdot 5 = 11 \cdot 15$ → 11;
   • $25 \cdot 3 = 5 \cdot 5 \cdot 3 = 5 \cdot 15$ → 5;
   • $16 \cdot 5$ — нет множителя 3, не делится;
   • $51 \cdot 5 = 17 \cdot 3 \cdot 5 = 17 \cdot 15$ → 17.
2. На 45:
   • $18 \cdot 5 = 2 \cdot 9 \cdot 5 = 2 \cdot 45$ → 2;
   • $17 \cdot 9$ — нет множителя 5, не делится;
   • $27 \cdot 5 = 3 \cdot 9 \cdot 5 = 3 \cdot 45$ → 3;
   • $65 \cdot 9 = 13 \cdot 5 \cdot 9 = 13 \cdot 45$ → 13;
   • $71 \cdot 9$ — нет множителя 5, не делится;
   • $135 \cdot 5 = 3 \cdot 45 \cdot 5 = 15 \cdot 45$ → 15.

Ответ: 1) $21 \cdot 5$, $33 \cdot 5$, $25 \cdot 3$, $51 \cdot 5$; частные 7, 11, 5, 17. 2) $18 \cdot 5$, $27 \cdot 5$, $65 \cdot 9$, $135 \cdot 5$; частные 2, 3, 13, 15.

№ 238

2 мальчика за 4 минуты делают 3 кораблика. 1) Сколько мальчиков за 8 минут сделают 6 корабликов? 2) Сколько мальчиков за 4 минуты сделают 6 корабликов?

Как думать. Задача на смекалку. Делить кораблики на кусочки не нужно — просто сравни с тем, что уже известно.

Решение.

1. Те же 2 мальчика за вдвое большее время (8 минут) сделают вдвое больше: $3 \cdot 2 = 6$ корабликов. Значит, нужно 2 мальчика.
2. Время то же (4 минуты), а корабликов нужно вдвое больше. Значит, мальчиков тоже вдвое больше: $2 \cdot 2 = 4$.

Ответ: 1) 2 мальчика; 2) 4 мальчика.

⚠️ Частая ошибка. В первом вопросе отвечают «4 мальчика», потому что «корабликов вдвое больше». Но и времени тоже вдвое больше — те же двое успеют.

№ 239

Найди значения выражений В, Е, Э, С, Т, Р и поставь буквы под ответами 8, 7, 9, 60, 9, 4, 5 — получится название самой высокой вершины мира.

Как думать. Считаем по действиям, потом расставляем буквы по порядку чисел.

Решение.

• В. $21 \cdot 9 = 189$; $316 + 189 = 505$; $3535 : 505 = 7$.
• Е. $58 \cdot 26 = 1508$; $1508 - 761 = 747$; $747 : 83 = 9$.
• Э. $117 \cdot 19 = 2223$; $2223 - 1223 = 1000$; $1000 : 125 = 8$.
• С. $216 \cdot 33 = 7128$; $121 \cdot 8 = 968$; $814 + 968 = 1782$; $7128 : 1782 = 4$.
• Т. $61 \cdot 15 = 915$; $915 - 746 = 169$; $845 : 169 = 5$.
• Р. $324 : 27 = 12$; $86 \cdot 105 = 9030$; $9030 - 9025 = 5$; $12 \cdot 5 = 60$.

Ответ: В = 7, Е = 9, Э = 8, С = 4, Т = 5, Р = 60. Слово — ЭВЕРЕСТ.

🌟 Высота Эвереста — около 8848 м. Проверь: сумма цифр $8 + 8 + 4 + 8 = 28$. На 3 не делится — значит, и высота 8848 на 3 не делится.

Шпаргалка

• Для 2, 5, 10 смотрим на последнюю цифру, для 3 и 9 — на все цифры.
• $100a + 10b + c = 99a + 9b + (a + b + c)$ — вот почему работает признак.
• Пропущенную цифру подбираем так, чтобы сумма «дотянулась» до числа, кратного 3 или 9.

Мини-тест