2.6. Степень числа
Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава II: Делимость натуральных чисел. Страницы 91–96.
Чему научишься
- Записывать $5 \cdot 5 \cdot 5$ коротко — как $5^{3}$, и обратно.
- Различать основание и показатель и читать «в квадрате», «в кубе».
- Считать квадраты и кубы чисел до 10.
- Записывать 100, 1000, 1 000 000 как степени десятки.
- Не путать порядок действий, когда в примере есть степень.
Разминка
Заполни пропуск в уме, потом открой ответ.
- $5 \cdot 5 = 25$, значит $\square^{2} = 25$. Что в квадратике? 5.
- $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$, значит $\square^{3} = 64$? 4.
- $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$, значит $\square^{4} = 81$? 3.
- $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$, значит $\square^{5} = 32$? 2.
💡 Маленькая цифра сверху — это счётчик: сколько раз число умножили само на себя.
Разбираемся
Умножение для ленивых
Помнишь, зачем придумали умножение? Чтобы не писать $3 + 3 + 3 + 3$, а коротко: $3 \cdot 4$. Теперь следующий шаг лени: вместо $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ пишут $3^{5}$.
Такая запись называется степенью. Читаем: «три в пятой степени».
Кто есть кто в степени
Посмотрим на $3^{5} = 243$:
- 3 — основание: число, которое умножаем;
- 5 — показатель: сколько раз основание стоит множителем;
- 243 — значение степени: что получилось.
В общем виде $a^{n} = a \cdot a \cdot \ldots \cdot a$ — здесь $n$ множителей. А $a^{1}$ — это просто $a$.
Почему «квадрат» — это квадрат
Вторую степень зовут квадратом, и это не просто красивое слово. Нарисуй квадрат со стороной 3 клетки — внутри окажется ровно $3 \cdot 3 = 9$ клеток. Посчитай сам!
А куб — третья степень. Сложи из кубиков большой куб с ребром 3. В нём 3 слоя, и в каждом слое — квадрат $3 \times 3$. Получается $9 \cdot 3 = 27$ кубиков, то есть $3^{3} = 27$.
📌 $7^{2}$ читают «семь в квадрате», $7^{2} = 49$. $4^{3}$ — «четыре в кубе», $4^{3} = 64$.
⚠️ Частая ошибка. Пишут $3^{2} = 6$ — умножают основание на показатель. Нет! $3^{2} = 3 \cdot 3 = 9$. Вспомни картинку: в квадрате $3 \times 3$ девять клеток, а не шесть. Сначала распиши степень как произведение, потом считай.
Десятка — королева нулей
$10 = 10^{1}$, $100 = 10^{2}$, $1000 = 10^{3}$, $10,000 = 10^{4}$. Заметил? Показатель равен числу нулей.
Это очень удобно для огромных чисел. Свет летит со скоростью 300 000 000 м/с. Длинно! А коротко — $3 \cdot 10^{8}$ м/с: после тройки восемь нулей.
🌟 Число $10^{100}$ (единица и сто нулей) называют «гугол». От этого слова придумали название известного поисковика.
Кто ходит первым
Степень — важная персона: её считают раньше умножения и деления.
- Скобки.
- Степени.
- Умножение и деление.
- Сложение и вычитание.
Смотри:
- $16^{2} - 130 = 256 - 130 = 126$;
- $(23 - 12)^{2} = 11^{2} = 121$ — сначала скобка;
- $19 \cdot 2^{3} = 19 \cdot 8 = 152$ — сначала степень.
Если меняешь степень на произведение внутри примера — бери его в скобки: $294 : 7^{2} = 294 : (7 \cdot 7) = 294 : 49 = 6$. Без скобок вышло бы $294 : 7 \cdot 7 = 294$ — ошибка.
С буквами так же: $7 \cdot a \cdot 8 \cdot a = 56a^{2}$.
👨👩👧 Родителю. Попросите выучить квадраты от $2^{2}$ до $10^{2}$ (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100) и кубы от $2^{3}$ до $5^{3}$ (8, 27, 64, 125) — они пригодятся почти в каждом следующем уроке. Хорошая проверка: «$5 \cdot 10^{2}$ и $(5 \cdot 10)^{2}$ — одно и то же?» Нет: 500 и 2500.
Проверь, как понял
Проверь себя
- Как коротко записать произведение одинаковых множителей? Степенью: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{3}$, $9 \cdot 9 = 9^{2}$.
- Что такое основание степени? Множитель, который повторяется.
- Что такое показатель степени? Число, которое говорит, сколько раз повторяется множитель.
- Как читают $10^{2}$ и $10^{3}$? «Десять в квадрате» (во второй степени) и «десять в кубе» (в третьей степени).
Решаем упражнения
Устный счёт
№ 240
Прочитай $7^{2}$; $11^{3}$; $10^{4}$; $25^{6}$; $100^{2}$ и назови основание и показатель.
Как думать. Большое число внизу — основание, маленькое сверху — показатель. Вторая степень — «в квадрате», третья — «в кубе».
Решение.
| запись | как читать | основание | показатель |
|---|---|---|---|
| $7^{2}$ | семь в квадрате | 7 | 2 |
| $11^{3}$ | одиннадцать в кубе | 11 | 3 |
| $10^{4}$ | десять в четвёртой степени | 10 | 4 |
| $25^{6}$ | двадцать пять в шестой степени | 25 | 6 |
| $100^{2}$ | сто в квадрате | 100 | 2 |
Ответ: см. таблицу.
Уровень A
№ 241
Запиши степенью: 1) $4 \cdot 4$; 2) $6 \cdot 6 \cdot 6$; 3) пять пятёрок; 4) пять девяток; 5) четыре множителя 17; 6) семь двоек.
Как думать. Основание — то число, которое повторяется. Показатель — сколько раз. Считай множители пальцем, чтобы не сбиться.
Решение. В $6 \cdot 6 \cdot 6$ три шестёрки — значит $6^{3}$. «Семь двоек» — двойка семь раз, $2^{7}$. Остальные так же.
Ответ: 1) $4^{2}$; 2) $6^{3}$; 3) $5^{5}$; 4) $9^{5}$; 5) $17^{4}$; 6) $2^{7}$.
№ 242
Распиши как произведение: $3^{6}$; $7^{4}$; $10^{3}$; $9^{6}$; $a^{5}$; $x^{3}$.
Как думать. Обратная задача: пишем основание столько раз, сколько говорит показатель.
Решение.
- $3^{6} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$;
- $7^{4} = 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$;
- $10^{3} = 10 \cdot 10 \cdot 10$;
- $9^{6} = 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9$;
- $a^{5} = a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a$;
- $x^{3} = x \cdot x \cdot x$.
Ответ: записи выше.
№ 243
Найди значения: $2^{4}$, $7^{3}$, $33^{2}$, $10^{4}$, $10^{6}$, $41^{2}$, $31^{2}$, $50^{2}$, $20^{3}$, $30^{2}$.
Как думать. Умножай по очереди: сначала два множителя, потом результат на следующий. С «круглыми» числами спрячь нули: $20^{3}$ — это $2^{3} = 8$ и три нуля.
Решение.
- $2^{4} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$;
- $7^{3} = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$;
- $33^{2} = 33 \cdot 33 = 1089$;
- $10^{4} = 10,000$;
- $10^{6} = 1,000,000$;
- $41^{2} = 41 \cdot 41 = 1681$;
- $31^{2} = 31 \cdot 31 = 961$;
- $50^{2} = 50 \cdot 50 = 2500$;
- $20^{3} = 20 \cdot 20 \cdot 20 = 8000$;
- $30^{2} = 30 \cdot 30 = 900$.
Ответ: 16; 343; 1089; 10 000; 1 000 000; 1681; 961; 2500; 8000; 900.
№ 244
Запиши как степень десяти: 100 000; 1 000 000; 10 000 000; 100 000 000.
Как думать. Сосчитай нули — это и есть показатель.
Решение. В 100 000 пять нулей — $10^{5}$; в миллионе шесть — $10^{6}$; дальше семь и восемь.
Ответ: 1) $10^{5}$; 2) $10^{6}$; 3) $10^{7}$; 4) $10^{8}$.
№ 245
Найди значения: $6 \cdot 10^{2}$; $8 \cdot 10^{4}$; $9 \cdot 10^{6}$; $7 \cdot 10^{5}$; $4 \cdot 10^{7}$.
Как думать. Умножить на $10^{n}$ — значит приписать $n$ нулей.
Решение. $6 \cdot 100 = 600$; к 8 приписываем четыре нуля — 80 000; к 9 шесть нулей — 9 000 000; к 7 пять нулей — 700 000; к 4 семь нулей — 40 000 000.
Ответ: 1) 600; 2) 80 000; 3) 9 000 000; 4) 700 000; 5) 40 000 000.
№ 246
Заполни таблицу квадратов и кубов чисел от 2 до 10. Найди числа, квадрат которых равен 16, 64, 49, 100, и числа, куб которых равен 8, 27, 125, 1000.
Как думать. Квадрат — число умножаем на себя один раз: $n \cdot n$. Куб — квадрат умножаем ещё раз на $n$. Потом ищем нужные значения в таблице.
Решение.
| $n$ | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $n^{2}$ | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 |
| $n^{3}$ | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 | 1000 |
Ответ: 1) а) $16 = 4^{2}$; б) $64 = 8^{2}$; в) $49 = 7^{2}$; г) $100 = 10^{2}$. 2) а) $8 = 2^{3}$; б) $27 = 3^{3}$; в) $125 = 5^{3}$; г) $1000 = 10^{3}$.
💡 Видишь, 64 есть в обеих строках: $8^{2} = 64$ и $4^{3} = 64$. Одно число может быть и квадратом, и кубом.
№ 247
Сравни: 1) $3^{2}$ и $3 \cdot 2$; 2) $2 \cdot 4$ и $2^{4}$; 3) $14^{2}$ и $14 \cdot 2$; 4) $4^{2}$ и $2^{4}$; 5) $6^{2}$ и $2^{6}$; 6) $5^{2}$ и $2^{5}$.
Как думать. Степень почти всегда растёт гораздо быстрее, чем простое умножение на показатель. Но не гадай — посчитай обе части.
Решение.
- $3^{2} = 9$, $3 \cdot 2 = 6$; $9 > 6$.
- $2 \cdot 4 = 8$, $2^{4} = 16$; $8 < 16$.
- $14^{2} = 196$, $14 \cdot 2 = 28$; $196 > 28$.
- $4^{2} = 16$, $2^{4} = 16$; равны.
- $6^{2} = 36$, $2^{6} = 64$; $36 < 64$.
- $5^{2} = 25$, $2^{5} = 32$; $25 < 32$.
Ответ: 1) $3^{2} > 3 \cdot 2$; 2) $2 \cdot 4 < 2^{4}$; 3) $14^{2} > 14 \cdot 2$; 4) $4^{2} = 2^{4}$; 5) $6^{2} < 2^{6}$; 6) $5^{2} < 2^{5}$.
№ 248
Вычисли: 1) $5 \cdot 10^{2}$; 2) $(5 \cdot 10)^{2}$; 3) $7 \cdot 2^{3}$; 4) $(7 \cdot 2)^{3}$; 5) $45 : 3^{2}$; 6) $(45 : 3)^{2}$; 7) $24 : 2^{3}$; 8) $(24 : 2)^{3}$.
Как думать. Без скобок степень цепляется только к соседнему числу. Со скобками — сначала считаем скобку, а потом весь результат возводим в степень. Примеры стоят парами, чтобы ты увидел разницу.
Решение.
- $5 \cdot 100 = 500$;
- $50^{2} = 2500$;
- $7 \cdot 8 = 56$;
- $14^{3} = 14 \cdot 14 \cdot 14 = 196 \cdot 14 = 2744$;
- $45 : 9 = 5$;
- $15^{2} = 225$;
- $24 : 8 = 3$;
- $12^{3} = 12 \cdot 12 \cdot 12 = 144 \cdot 12 = 1728$.
Ответ: 500; 2500; 56; 2744; 5; 225; 3; 1728.
№ 249
Дети собрали 64 яблока и поделили поровну. Каждому досталось столько яблок, сколько было детей. Сколько детей и сколько яблок у каждого?
Как думать. Число детей умножить на яблоки у каждого — это одно и то же число, умноженное само на себя. Ищем число, квадрат которого 64.
Решение. $8^{2} = 8 \cdot 8 = 64$. Значит, детей 8, и у каждого по 8 яблок.
Ответ: а) 8 детей; б) по 8 яблок.
Уровень B
№ 250
Запиши короче с помощью степени: 1) $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$; 2) $2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$; 3) $x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y$; 4) $3 \cdot 3 + 5 \cdot 5 \cdot 5 + 7 \cdot 7$; 5) $(a + b) \cdot (a + b)$; 6) $(a - b) \cdot (a - b)$.
Как думать. Каждую «кучку» одинаковых множителей пишем своей степенью. Скобку тоже можно возвести в степень, если она повторяется множителем. Одиночный множитель оставляем как есть.
Решение. Например, во втором: одна двойка, две тройки, три пятёрки — $2 \cdot 3^{2} \cdot 5^{3}$. В четвёртом между группами плюсы, поэтому каждое слагаемое сворачиваем отдельно.
Ответ: 1) $2^{2} \cdot 3^{3}$; 2) $2 \cdot 3^{2} \cdot 5^{3}$; 3) $x^{2}y^{3}$; 4) $3^{2} + 5^{3} + 7^{2}$; 5) $(a + b)^{2}$; 6) $(a - b)^{2}$.
№ 251
Найди основание степени, если значения 16, 81, 625, а показатель 2 или 4.
Как думать. Для показателя 2 ищем число, которое, умноженное на себя, даёт нужное значение. Для показателя 4 удобно так: $a^{4} = a^{2} \cdot a^{2}$. Значит, основание для показателя 4 — это число, квадрат которого равен ответу для показателя 2.
Решение.
| значение степени | показатель 2 | показатель 4 |
|---|---|---|
| 16 | $4^{2}$ → 4 | $2^{4}$ → 2 |
| 81 | $9^{2}$ → 9 | $3^{4}$ → 3 |
| 625 | $25^{2}$ → 25 | $5^{4}$ → 5 |
Проверка последней строки: $25 \cdot 25 = 625$; $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 25 = 625$.
Ответ: 16: 4 и 2; 81: 9 и 3; 625: 25 и 5.
№ 252
Запиши выражение и найди значение: 1) сумма квадратов 5 и 12; 2) разность квадратов 16 и 11; 3) сумма кубов 2 и 9; 4) разность кубов 10 и 3.
Как думать. «Сумма квадратов» — сначала каждое число в квадрат, потом складываем. Не путай с «квадратом суммы» $(5 + 12)^{2}$ — это совсем другое число.
Решение.
- $5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169$;
- $16^{2} - 11^{2} = 256 - 121 = 135$;
- $2^{3} + 9^{3} = 8 + 729 = 737$;
- $10^{3} - 3^{3} = 1000 - 27 = 973$.
Ответ: 1) 169; 2) 135; 3) 737; 4) 973.
№ 253
Собери число из разрядных слагаемых: 1) $3 \cdot 10^{2} + 7 \cdot 10 + 9$; 2) $5 \cdot 10^{3} + 4 \cdot 10^{2} + 2 \cdot 10 + 3$; 3) $2 \cdot 10^{4} + 6 \cdot 10^{3} + 9 \cdot 10^{2} + 7 \cdot 10 + 5$; 4) $7 \cdot 10^{5} + 8 \cdot 10^{3} + 2 \cdot 10^{2} + 9 \cdot 10 + 4$.
Как думать. Показатель у десятки подсказывает разряд: $10^{2}$ — сотни, $10^{3}$ — тысячи, $10^{4}$ — десятки тысяч. Если какого-то разряда нет, ставим на его место 0.
Решение.
- 3 сотни, 7 десятков, 9 единиц → 379.
- 5 тысяч, 4 сотни, 2 десятка, 3 единицы → 5423.
- $20,000 + 6000 + 900 + 70 + 5 = 26,975$.
- $700,000 + 8000 + 200 + 90 + 4 = 708,294$ (десятков тысяч нет — ставим 0).
Ответ: 1) 379; 2) 5423; 3) 26 975; 4) 708 294.
№ 254
Райхан, Галя, Назерке и Вера — инженер, поэтесса, портниха и врач. Поэтесса написала стихи о Райхан и Вере. Поэтесса и портниха ходили на концерт с Галей. Райхан и Галя были на приёме у врача. Кто поэтесса, кто инженер, кто врач?
Как думать. Это задача-детектив. Каждая фраза говорит, кем человек быть не может. Отмечай минусы в таблице, пока в каждой строке не останется один плюс.
Решение.
- Поэтесса писала о Райхан и Вере — значит, они не поэтессы.
- Поэтесса и портниха ходили с Галей — значит, Галя не поэтесса и не портниха.
- Поэтессой остаётся только Назерке.
- Райхан и Галя были у врача — значит, они не врачи.
- Галя: не поэтесса, не портниха, не врач — значит, инженер.
- Райхан: не поэтесса, не врач, не инженер — значит, портниха.
- Остаётся Вера — врач.
| инженер | поэтесса | портниха | врач | |
|---|---|---|---|---|
| Райхан | − | − | + | − |
| Галя | + | − | − | − |
| Назерке | − | + | − | − |
| Вера | − | − | − | + |
Ответ: поэтесса — Назерке, инженер — Галя, врач — Вера (Райхан — портниха).
№ 255
1) Найди ребро куба объёмом 64 см³. 2) Из 27 кубиков по 1 см³ сложили один куб. Найди площадь его грани.
Как думать. Объём куба — ребро в кубе: $V = a^{3}$. Грань куба — квадрат, её площадь $S = a^{2}$. Вспомни картинку с тремя слоями по 9 кубиков!
Решение.
- Ищем число, куб которого 64: $4^{3} = 64$. Ребро 4 см.
- Объём большого куба 27 см³, а $3^{3} = 27$, значит ребро 3 см. Площадь грани $3^{2} = 9$ см².
Ответ: 1) 4 см; 2) 9 см².
№ 256
Найди показатель вместо звёздочки: 1) $30,000 = 3 \cdot 10^{}$; 2) $6,400,000 = 64 \cdot 10^{}$; 3) $2,000,000 = 2 \cdot 10^{}$; 4) $150,000,000 = 15 \cdot 10^{}$; 5) $315,000,000 = 315 \cdot 10^{}$; 6) $4,200,000,000 = 42 \cdot 10^{}$.
Как думать. Считаем только те нули, что стоят после числа-множителя. Например, $750,000 = 75 \cdot 10^{4}$ — после 75 четыре нуля.
Решение.
- После 3 — четыре нуля: $3 \cdot 10^{4}$.
- После 64 — пять нулей: $64 \cdot 10^{5}$.
- После 2 — шесть нулей: $2 \cdot 10^{6}$.
- После 15 — семь нулей: $15 \cdot 10^{7}$.
- После 315 — шесть нулей: $315 \cdot 10^{6}$.
- После 42 — восемь нулей: $42 \cdot 10^{8}$.
Ответ: 1) 4; 2) 5; 3) 6; 4) 7; 5) 6; 6) 8.
Уровень C
№ 257
Разложи на разрядные слагаемые, записывая разрядные единицы степенями десяти: 4723; 7095; 53 802; 80 456; 375 612.
Как думать. Образец: $2375 = 2 \cdot 10^{3} + 3 \cdot 10^{2} + 7 \cdot 10 + 5$. Где в числе нуль — этот разряд просто пропускаем.
Решение.
- $4723 = 4 \cdot 10^{3} + 7 \cdot 10^{2} + 2 \cdot 10 + 3$;
- $7095 = 7 \cdot 10^{3} + 9 \cdot 10 + 5$;
- $53,802 = 5 \cdot 10^{4} + 3 \cdot 10^{3} + 8 \cdot 10^{2} + 2$;
- $80,456 = 8 \cdot 10^{4} + 4 \cdot 10^{2} + 5 \cdot 10 + 6$;
- $375,612 = 3 \cdot 10^{5} + 7 \cdot 10^{4} + 5 \cdot 10^{3} + 6 \cdot 10^{2} + 1 \cdot 10 + 2$.
Ответ: см. решение.
№ 258
Вставь цифры вместо звёздочек: 1) $(1\ast)^{2} = \ast\ast 9$; 2) $(3\ast)^{2} = 1\ast\ast 5$; 3) $(5\ast)^{2} = \ast 8 \ast 9$; 4) $(4\ast)^{2} = 2\ast\ast 6$; 5) $(6\ast)^{2} = \ast\ast 44$; 6) $(7\ast)^{2} = 5\ast\ast 6$.
Как думать. Хитрость: последняя цифра квадрата зависит только от последней цифры числа. На 9 оканчиваются квадраты чисел на 3 и 7; на 5 — на 5; на 6 — на 4 и 6; на 4 — на 2 и 8. Остаётся проверить два варианта.
Решение.
- $13^{2} = 169$, $17^{2} = 289$. Оба трёхзначные и оканчиваются на 9 — подходят оба.
- $35^{2} = 1225$ — подходит.
- $53^{2} = 2809$ (вторая цифра 8 — подходит); $57^{2} = 3249$ — не подходит.
- $44^{2} = 1936$ — не начинается с 2; $46^{2} = 2116$ — подходит.
- $62^{2} = 3844$ — подходит; $68^{2} = 4624$ — не оканчивается на 44.
- $74^{2} = 5476$ и $76^{2} = 5776$ — подходят оба.
Ответ: 1) $13^{2} = 169$ или $17^{2} = 289$; 2) $35^{2} = 1225$; 3) $53^{2} = 2809$; 4) $46^{2} = 2116$; 5) $62^{2} = 3844$; 6) $74^{2} = 5476$ или $76^{2} = 5776$.
№ 259
Вычисли при $a = 7$, $b = 5$: 1) $(a + b)^{2}$; 2) $(a + b)(a - b)$; 3) $(a - b)^{2}$; 4) $a^{2} + 2ab + b^{2}$; 5) $a^{2} - b^{2}$; 6) $a^{2} + b^{2} - 2ab$. Какие выражения равны?
Как думать. Подставь числа вместо букв и считай по порядку действий. Потом поищи одинаковые ответы — тебя ждёт сюрприз.
Решение.
- $(7 + 5)^{2} = 12^{2} = 144$;
- $(7 + 5) \cdot (7 - 5) = 12 \cdot 2 = 24$;
- $(7 - 5)^{2} = 2^{2} = 4$;
- $49 + 2 \cdot 7 \cdot 5 + 25 = 49 + 70 + 25 = 144$;
- $49 - 25 = 24$;
- $49 + 25 - 70 = 4$.
Ответ: 144; 24; 4; 144; 24; 4. Равенства: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$; $(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$; $(a - b)^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab$.
🌟 Это не случайность: такие равенства верны для любых чисел. В 7 классе их назовут формулами сокращённого умножения.
№ 260
Квадраты со сторонами 4 см и 3 см разрезали на квадратики по 1 см² и сложили из них один квадрат. Найди его периметр.
Как думать. Сначала узнаем, сколько всего квадратиков. Потом найдём, квадратом какого числа это будет, — это и есть сторона.
Решение.
- Площадь первого квадрата $4^{2} = 16$ см², второго $3^{2} = 9$ см². Всего $16 + 9 = 25$ квадратиков.
- Из 25 квадратиков складывается квадрат $5 \times 5$, так как $5^{2} = 25$. Его сторона 5 см.
- Периметр: $5 \cdot 4 = 20$ см.
Ответ: 20 см.
№ 261
Вычисли: 1) $(2^{4} \cdot 3^{3} : 54 + 7^{2}) : 3 - 4^{2}$; 2) $(2^{5} + 19) : 3 - 5^{2} \cdot 3^{3} : 45$; 3) $11^{2} - (5^{3} - 6^{2} \cdot 3^{3} : 9^{2})$; 4) $2^{5} \cdot 7^{2} : 56 - (10^{2} - 79)$.
Как думать. План один и тот же: сначала все степени, потом скобки, потом умножение и деление слева направо, в конце сложение и вычитание. Выписывай промежуточные числа — так не запутаешься.
Решение.
- $2^{4} = 16$, $3^{3} = 27$, $7^{2} = 49$, $4^{2} = 16$. В скобке: $16 \cdot 27 = 432$; $432 : 54 = 8$; $8 + 49 = 57$. Дальше $57 : 3 = 19$; $19 - 16 = 3$.
- $2^{5} = 32$; $32 + 19 = 51$; $51 : 3 = 17$. $5^{2} \cdot 3^{3} = 25 \cdot 27 = 675$; $675 : 45 = 15$. Итог $17 - 15 = 2$.
- $6^{2} \cdot 3^{3} = 36 \cdot 27 = 972$; $9^{2} = 81$; $972 : 81 = 12$. В скобке $125 - 12 = 113$. Итог $121 - 113 = 8$.
- $2^{5} \cdot 7^{2} = 32 \cdot 49 = 1568$; $1568 : 56 = 28$. В скобке $100 - 79 = 21$. Итог $28 - 21 = 7$.
Ответ: 1) 3; 2) 2; 3) 8; 4) 7.
№ 262
С компьютером: подбери показатель и запиши примерно массу Земли $6 \cdot 10^{}$ кг, массу Солнца $2 \cdot 10^{}$ кг, радиус Земли $64 \cdot 10^{2}$ км.
Как думать. Найди числа в справочнике или в интернете и посчитай, сколько нулей идёт после первых цифр. Данные ниже — сверься с источником.
Решение.
- Масса Земли — около 6 000 000 000 000 000 000 000 000 кг (после 6 двадцать четыре нуля): $6 \cdot 10^{24}$ кг.
- Масса Солнца — около $2 \cdot 10^{30}$ кг (после 2 тридцать нулей).
- Радиус Земли: $64 \cdot 10^{2} = 6400$ км (точнее около 6371 км).
Ответ: 1) $6 \cdot 10^{24}$ кг; 2) $2 \cdot 10^{30}$ кг; 3) $64 \cdot 10^{2}$ км $= 6400$ км.
Шпаргалка
- $a^{n} = a \cdot a \cdot \ldots \cdot a$ ($n$ множителей); $a^{1} = a$.
- $3^{2} = 3 \cdot 3 = 9$, а не $3 \cdot 2$.
- Квадраты: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Кубы: 8, 27, 64, 125.
- $10^{n}$ — единица с $n$ нулями.
- Степень считают раньше умножения и деления.