2.7. Разложение составных чисел на простые множители
Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава II: Делимость натуральных чисел. Страницы 97–101.
Чему научишься
- Понимать, что значит «разложить число на простые множители».
- Раскладывать число двумя способами: «деревом» и столбиком.
- Записывать повторы степенью: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$.
- По разложению находить само число и его делители.
- Решать задачи, где стороны или рёбра — простые числа.
Разминка
Дели на простые числа, пока не получится 1. Попробуй в уме, потом открой ответ.
- $30 : 2 = 15$, $15 : 3 = 5$, $5 : 5 = 1$. Из чего собрано 30? $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.
- $44 : 2 = 22$, $22 : 2 = 11$, $11 : 11 = 1$. Из чего собрано 44? $44 = 2 \cdot 2 \cdot 11$.
- $165 : 3 = 55$, $55 : 5 = 11$, $11 : 11 = 1$. Из чего собрано 165? $165 = 3 \cdot 5 \cdot 11$.
💡 Ты только что сделал то, чему посвящён весь урок: записал число как произведение одних простых чисел.
Разбираемся
Простые числа — детали конструктора
Простые числа — как детальки лего: из них умножением собирается любое составное число. Например, $15 = 3 \cdot 5$, $28 = 2 \cdot 2 \cdot 7$, $99 = 3 \cdot 3 \cdot 11$.
Если в произведении все множители простые — это и есть разложение на простые множители. Запись $90 = 9 \cdot 10$ ещё не годится: 9 и 10 — составные, их можно разобрать дальше. А $90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$ — готово.
Способ 1: «дерево»
Записываем число как произведение двух любых множителей. Если множитель составной — разбираем его дальше. Стоп, когда на концах всех «веток» остались только простые числа.
84 84
/ \ / \
4 21 6 14
/ \ / \ / \ / \
2 2 3 7 2 3 2 7
Начали по-разному ($4 \cdot 21$ и $6 \cdot 14$), а «листья» вышли одинаковые: $84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7$.
Способ 2: столбиком
Это самый надёжный способ — без угадывания.
- Пишем число слева от вертикальной черты.
- Справа — самый маленький простой делитель (проверяем по признакам: 2, 3, 5, потом 7, 11, 13…).
- Частное пишем слева под числом.
- Повторяем, пока слева не останется 1.
Вот как это выглядит в тетради:
420 | 2
210 | 2
105 | 3
35 | 5
7 | 7
1 |
⚠️ Частая ошибка. Справа от черты пишут составное число: «$36 : 4 = 9$». Так нельзя — справа только простые! Проверь правый столбик: если там затесались 4, 6, 8, 9, 10, 15…, разложение не закончено.
Детали всегда одни и те же
Каким способом ни раскладывай, набор простых множителей получится один и тот же. Может отличаться только порядок: $2 \cdot 3 \cdot 7$ и $7 \cdot 2 \cdot 3$ — одно и то же. Обычно пишут по возрастанию.
А если перемножить все множители обратно, получится исходное число: $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11 = 132$. Это лучшая проверка.
👨👩👧 Родителю. Попросите ребёнка после каждого разложения перемножить множители обратно. Совпало с исходным числом — всё верно. Минута работы, а ловит почти все ошибки.
Зачем это нужно
Разложение — как рентген числа: сразу видно все делители. Раз $105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$, то делители 105 — это 1, сами 3, 5, 7 и их произведения: 15, 21, 35, 105. А 4 делителем быть не может: в разложении нет двойки. Скоро это понадобится для НОД, НОК и сокращения дробей.
Проверь, как понял
Проверь себя
- Что значит разложить составное число на простые множители? Записать его как произведение, где все множители — простые числа.
- В каком порядке пишут множители? По возрастанию: от меньшего к большему.
- Как найти число по его разложению? Перемножить все простые множители.
- Чем могут отличаться разложения одного числа? Только порядком множителей. Сами множители и их количество всегда одинаковые.
Решаем упражнения
Устный счёт
№ 263
Умножь в уме 12, 16, 46, 64 на 10, на 15 и на 101.
Как думать. На 10 — припиши нуль. На 15 — это «на 10 и ещё половинка от этого». На 101 — двузначное число просто пишем два раза подряд.
Решение.
| число | $\cdot 10$ | $\cdot 15$ | $\cdot 101$ |
|---|---|---|---|
| 12 | 120 | $120 + 60 = 180$ | 1212 |
| 16 | 160 | $160 + 80 = 240$ | 1616 |
| 46 | 460 | $460 + 230 = 690$ | 4646 |
| 64 | 640 | $640 + 320 = 960$ | 6464 |
Ответ: 1) 120; 180; 1212. 2) 160; 240; 1616. 3) 460; 690; 4646. 4) 640; 960; 6464.
Уровень A
№ 264
Разложи на простые множители: 1) 14, 26, 35, 38, 52, 87; 2) 88, 136, 222, 246, 385, 435, 530, 555; 3) 396, 456, 504, 700, 594, 1170, 2310, 3100.
Как думать. Делим столбиком на самый маленький простой делитель. Проверяем по очереди: 2 (чётное?), 3 (сумма цифр делится на 3?), 5 (на конце 0 или 5?), потом 7, 11, 13…
Решение.
- Небольшие числа — устно:
- $14 = 2 \cdot 7$; $26 = 2 \cdot 13$; $35 = 5 \cdot 7$; $38 = 2 \cdot 19$;
- $52 = 2 \cdot 26 = 2 \cdot 2 \cdot 13$;
- $87$: сумма цифр 15 делится на 3, $87 : 3 = 29$, значит $87 = 3 \cdot 29$.
- Несколько чисел столбиком:
88 | 2 136 | 2 222 | 2 385 | 5
44 | 2 68 | 2 111 | 3 77 | 7
22 | 2 34 | 2 37 | 37 11 | 11
11 | 11 17 | 17 1 | 1 |
1 | 1 |
- $88 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11 = 2^3 \cdot 11$;
- $136 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 17 = 2^3 \cdot 17$;
- $222 = 2 \cdot 3 \cdot 37$;
- $246 = 2 \cdot 123 = 2 \cdot 3 \cdot 41$;
- $385 = 5 \cdot 7 \cdot 11$;
- $435 = 3 \cdot 145 = 3 \cdot 5 \cdot 29$;
- $530 = 2 \cdot 265 = 2 \cdot 5 \cdot 53$;
- $555 = 3 \cdot 185 = 3 \cdot 5 \cdot 37$.
- Большие числа — столбиком:
396 | 2 456 | 2 504 | 2 700 | 2
198 | 2 228 | 2 252 | 2 350 | 2
99 | 3 114 | 2 126 | 2 175 | 5
33 | 3 57 | 3 63 | 3 35 | 5
11 | 11 19 | 19 21 | 3 7 | 7
1 | 1 | 7 | 7 1 |
1 |
594 | 2 1170 | 2 2310 | 2 3100 | 2
297 | 3 585 | 3 1155 | 3 1550 | 2
99 | 3 195 | 3 385 | 5 775 | 5
33 | 3 65 | 5 77 | 7 155 | 5
11 | 11 13 | 13 11 | 11 31 | 31
1 | 1 | 1 | 1 |
Ответ:
- $14 = 2 \cdot 7$; $26 = 2 \cdot 13$; $35 = 5 \cdot 7$; $38 = 2 \cdot 19$; $52 = 2^2 \cdot 13$; $87 = 3 \cdot 29$.
- $88 = 2^3 \cdot 11$; $136 = 2^3 \cdot 17$; $222 = 2 \cdot 3 \cdot 37$; $246 = 2 \cdot 3 \cdot 41$; $385 = 5 \cdot 7 \cdot 11$; $435 = 3 \cdot 5 \cdot 29$; $530 = 2 \cdot 5 \cdot 53$; $555 = 3 \cdot 5 \cdot 37$.
- $396 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 11$; $456 = 2^3 \cdot 3 \cdot 19$; $504 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7$; $700 = 2^2 \cdot 5^2 \cdot 7$; $594 = 2 \cdot 3^3 \cdot 11$; $1170 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 13$; $2310 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11$; $3100 = 2^2 \cdot 5^2 \cdot 31$.
№ 265
Какое число разложено на простые множители: $2 \cdot 3 \cdot 5$; $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7$; $2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$; $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$; $2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11$; $2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11$?
Как думать. Просто перемножаем. Лайфхак: если есть 2 и 5, умножь их первыми — получится 10, а на 10 умножать легко.
Решение.
- $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$;
- $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 12 \cdot 7 = 84$;
- $2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 10 \cdot 9 = 90$;
- $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 4 \cdot 10 = 40$;
- $2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 10 \cdot 77 = 770$;
- $2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11 = 18 \cdot 11 = 198$.
Ответ: 1) 30; 2) 84; 3) 90; 4) 40; 5) 770; 6) 198.
№ 266
Найди $a : b$ по разложениям: 1) $a = 5 \cdot 7 \cdot 13$, $b = 7 \cdot 13$; 2) $a = 11 \cdot 13 \cdot 41$, $b = 11 \cdot 41$; 3) $a = 7 \cdot 3 \cdot 19$, $b = 7 \cdot 19$; 4) $a = 2 \cdot 2 \cdot 41$, $b = 2 \cdot 41$; 5) $a = 3 \cdot 3 \cdot 29$, $b = 3 \cdot 29$; 6) $a = 2 \cdot 11 \cdot 37$, $b = 2 \cdot 37$.
Как думать. Большие числа перемножать не нужно! Все множители $b$ есть в $a$. Вычёркиваем их — что осталось, то и частное.
Решение.
- $(5 \cdot 7 \cdot 13) : (7 \cdot 13) = 5$;
- $(11 \cdot 13 \cdot 41) : (11 \cdot 41) = 13$;
- $(7 \cdot 3 \cdot 19) : (7 \cdot 19) = 3$;
- $(2 \cdot 2 \cdot 41) : (2 \cdot 41) = 2$;
- $(3 \cdot 3 \cdot 29) : (3 \cdot 29) = 3$;
- $(2 \cdot 11 \cdot 37) : (2 \cdot 37) = 11$.
Ответ: 1) 5; 2) 13; 3) 3; 4) 2; 5) 3; 6) 11.
№ 267
1) Какими простыми числами выражаются стороны прямоугольника площадью 55 см²? 2) Каким простым числом выражается сторона квадрата площадью 121 см²? 3) Велосипедист проехал 33 км с постоянной скоростью; скорость и время — простые числа. Найди их.
Как думать. Площадь прямоугольника — это произведение сторон, путь — скорость умножить на время. Значит, раскладываем число на два простых множителя.
Решение.
- $55 = 5 \cdot 11$. Стороны 5 см и 11 см.
- У квадрата стороны равны: $121 = a \cdot a$. $121 = 11 \cdot 11$, сторона 11 см.
- $33 = 3 \cdot 11$. Вариантов два: 3 км/ч и 11 ч или 11 км/ч и 3 ч. Но 3 км/ч — скорость пешехода, не велосипедиста. Значит, велосипедист ехал 11 км/ч в течение 3 ч.
Ответ: 1) 5 см и 11 см; 2) 11 см; 3) 11 км/ч, 3 ч.
Уровень B
№ 268
1) Зная, что $105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$, выбери делители 105 из чисел 1, 3, 4, 5, 7, 12, 15, 20, 21, 35. 2) Зная, что $130 = 2 \cdot 5 \cdot 13$, выбери делители 130 из чисел 1, 2, 5, 10, 13, 24, 26, 31, 65.
Как думать. Делитель можно «собрать» из простых множителей числа, беря каждый не больше одного раза. А 1 — делитель любого числа.
Решение.
- Подходят: 1; 3; 5; 7; $15 = 3 \cdot 5$; $21 = 3 \cdot 7$; $35 = 5 \cdot 7$. Не подходят 4, 12, 20: в них есть двойка, а в разложении 105 её нет.
- Подходят: 1; 2; 5; $10 = 2 \cdot 5$; 13; $26 = 2 \cdot 13$; $65 = 5 \cdot 13$. Не подходят 24 ($= 2^3 \cdot 3$, нет тройки) и 31 (простое, его нет в разложении).
Ответ: 1) 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35; 2) 1, 2, 5, 10, 13, 26, 65.
№ 269
Ребро куба — простое число. Найди ребро, если объём куба 1) 27 см³; 2) 125 см³.
Как думать. Объём куба $V = a \cdot a \cdot a = a^3$. Ищем простое число, которое трижды повторяется в разложении.
Решение.
- $27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$, ребро 3 см.
- $125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$, ребро 5 см.
Ответ: 1) 3 см; 2) 5 см.
№ 270
1) Одному человеку для чистого воздуха нужно 45 м² растений. Какими простыми числами можно выразить стороны прямоугольного участка? Сколько решений? 2) Измерения ящика — простые числа, объём 110 дм³. Найди измерения.
Как думать. Раскладываем площадь (или объём) на простые множители и думаем, как раздать их по сторонам.
Решение.
- $45 = 3 \cdot 3 \cdot 5$. Сторон у прямоугольника две, а простых множителей три. Значит, два из них придётся перемножить: $3 \cdot 15$ или $9 \cdot 5$. Но 15 и 9 — составные. Поэтому сделать обе стороны простыми нельзя: решений с простыми сторонами нет. Если стороны могут быть любыми натуральными числами, участков три: 1 м × 45 м, 3 м × 15 м, 5 м × 9 м. В каждом из них одна сторона простая (3 или 5), кроме первого.
- $110 = 2 \cdot 5 \cdot 11$. Три множителя — три измерения ящика: 2 дм, 5 дм, 11 дм.
Ответ: 1) обе стороны простыми быть не могут ($45 = 3 \cdot 3 \cdot 5$); участков с натуральными сторонами три: 1 × 45, 3 × 15, 5 × 9 (м); 2) 2 дм, 5 дм, 11 дм.
№ 271
Меруерт, Кайрат, Юра и Лена родились 7 мая, 15 мая, 20 августа и 15 сентября. Меруерт и Юра — в разных месяцах, но в одно число. Меруерт и Лена — в одном месяце, но в разные дни. Кто когда родился?
Как думать. Задача-детектив. Ищем даты, которые подходят под каждую подсказку, и вычёркиваем лишние.
Решение.
- Одно и то же число в разных месяцах — только 15 мая и 15 сентября. Значит, Меруерт и Юра родились 15-го: один в мае, другой в сентябре.
- Меруерт родилась в одном месяце с Леной. В сентябре только одна дата, а в мае две. Значит, Меруерт — 15 мая, а Лена — 7 мая.
- Тогда Юра — 15 сентября, а Кайрату остаётся 20 августа.
Ответ: Меруерт — 15 мая, Лена — 7 мая, Юра — 15 сентября, Кайрат — 20 августа.
Уровень C
№ 272
Измерения прямоугольного параллелепипеда — простые числа. Найди их, если объём 1) 66 см³; 2) 195 см³; 3) 255 см³.
Как думать. $V = a \cdot b \cdot c$. Разложим объём на простые множители — и получим три измерения.
Решение.
66 | 2 195 | 3 255 | 3
33 | 3 65 | 5 85 | 5
11 | 11 13 | 13 17 | 17
1 | 1 | 1 |
Ответ: 1) 2 см, 3 см, 11 см; 2) 3 см, 5 см, 13 см; 3) 3 см, 5 см, 17 см.
№ 273
Коробку в форме параллелепипеда заполнили 385 кубиками с ребром 5 см. Сколько кубиков уложено по длине, ширине и высоте? Какие размеры у коробки?
Как думать. Всего кубиков = (по длине) · (по ширине) · (по высоте). Раскладываем 385 на простые множители — и размеры в кубиках готовы.
Решение.
- $385 = 5 \cdot 7 \cdot 11$. По длине 11 кубиков, по ширине 7, по высоте 5.
- Длина: $11 \cdot 5 = 55$ см. Ширина: $7 \cdot 5 = 35$ см. Высота: $5 \cdot 5 = 25$ см.
Ответ: 11, 7 и 5 кубиков; коробка 55 см × 35 см × 25 см.
№ 274
На рис. 2.2 — параллелепипед, его измерения — простые числа. Площадь передней грани 21 см², верхней — 35 см². Найди измерения и объём.
Как думать. Передняя и верхняя грани соприкасаются по одному ребру — длине. Значит, длина — это общий простой множитель чисел 21 и 35.
Решение.
- Передняя грань: длина · высота $= 21 = 3 \cdot 7$.
- Верхняя грань: длина · ширина $= 35 = 5 \cdot 7$.
- Общий множитель 7 — это длина: 7 см. Тогда высота $21 : 7 = 3$ см, ширина $35 : 7 = 5$ см.
- Объём: $V = 7 \cdot 5 \cdot 3 = 105$ см³.
Ответ: измерения 7 см, 5 см, 3 см; объём 105 см³.
№ 275
Саша в 600 м от Антона. Антон идёт со скоростью 80 м/мин, Саша бежит навстречу со скоростью 120 м/мин. Собака носится между ними со скоростью 300 м/мин, пока они не встретятся. Сколько пробежала собака? Варианты: A. 750 м; B. 900 м; C. 810 м; D. 720 м.
Как думать. Задача с подвохом: кажется, надо считать каждый забег собаки туда-обратно. Но достаточно узнать, сколько минут она бегала, — ровно столько, сколько мальчики шли до встречи.
Решение.
- Скорость сближения: $80 + 120 = 200$ м/мин.
- Время до встречи: $600 : 200 = 3$ мин.
- Путь собаки: $300 \cdot 3 = 900$ м.
Ответ: 900 м (вариант B).
Шпаргалка
- Справа от черты — только простые числа.
- Признаки помогают: чётное → на 2, сумма цифр делится на 3 → на 3, на конце 0 или 5 → на 5.
- $36 = 2^2 \cdot 3^2$, а не $4 \cdot 9$.
- Делители числа собираются из его простых множителей.