2.8. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа — Математика 5 класс, Алдамуратова: разбор и ответы
ААқыл · разбор уроков

Разберём любой номер вместе!

2.8. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава II: Делимость натуральных чисел. Страницы 102–107.

Чему научишься

  • Находить наибольший общий делитель (НОД) двух и трёх чисел.
  • Искать его двумя способами: перебором делителей и через разложение на простые множители.
  • Замечать «быстрый случай», когда НОД виден сразу.
  • Отличать взаимно простые числа от простых.
  • Решать задачи про одинаковые подарки, гирлянды и плитки.

Разминка

Ответь в уме, потом открой ответ.

  • Какие делители у числа 24? 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 — восемь штук.
  • А у числа 40? 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 — тоже восемь.
  • Какие числа есть в обоих списках? 1, 2, 4 и 8.
  • Какое из них самое большое? 8.

💡 Ты только что нашёл наибольший общий делитель чисел 24 и 40. Это и есть вся тема урока — осталось научиться делать это быстро.

Разбираемся

Общие делители — это «общая территория»

У каждого числа есть свой набор делителей. Если нарисовать два набора кругами, то делители, которые подходят обоим числам, окажутся в общей части — в пересечении. Нажимай на кнопки под рисунком.

Числа в середине — общие делители: на каждое из них делится и 24, и 40. Самое большое из них называют наибольшим общим делителем, коротко НОД. Записывают так: НОД $(24, 40) = 8$.

📌 НОД нескольких чисел — самое большое натуральное число, на которое делится каждое из них.

Способ 1: выписать делители

Давай найдём НОД $(56, 98)$. Выписываем делители каждого числа и смотрим, что совпало.

Общие: 1, 2, 7, 14. Самый большой — 14. Значит, НОД $(56, 98) = 14$.

Способ понятный, но для больших чисел долгий: легко пропустить какой-нибудь делитель.

Способ 2: разобрать числа на «детали»

Разложим те же числа на простые множители:

56 | 2      98 | 2
28 | 2      49 | 7
14 | 2       7 | 7
 7 | 7       1 |
 1 |

$56 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7$, а $98 = 2 \cdot 7 \cdot 7$. В обоих разложениях есть одна двойка и одна семёрка. Перемножаем их: $2 \cdot 7 = 14$. Тот же ответ, только без длинных списков!

Правило такое:

  1. Разложи числа на простые множители.
  2. Выпиши множители, которые есть во всех разложениях. Каждый бери столько раз, сколько он встречается там, где его меньше всего (с наименьшей степенью).
  3. Перемножь их.

Для трёх чисел — то же самое: $18 = 2 \cdot 3^2$, $24 = 2^3 \cdot 3$, $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$. Во всех трёх есть только одна двойка и одна тройка: НОД $(18, 24, 30) = 2 \cdot 3 = 6$.

⚠️ Частая ошибка. Берут общий множитель с большей степенью: для 756 и 1848 пишут $2^3$ вместо $2^2$. Но 756 на $2^3 = 8$ не делится! Проверка простая: раздели каждое число на найденный НОД — должно получиться без остатка.

Быстрый случай: меньшее делит остальных

Найди НОД $(120, 80, 20)$. Смотри: 120 и 80 делятся на 20. А больше 20 общий делитель быть не может — ведь 20 на большее число не делится. Значит, НОД $= 20$, и считать ничего не надо.

💡 Перед любым расчётом проверь: может, меньшее число само делит все остальные? Тогда оно и есть ответ.

Взаимно простые числа

Посмотри на 25 и 12. Делители 25: 1, 5, 25. Делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Общий — только 1. Такие числа называют взаимно простыми: их НОД равен 1.

Хитрость в том, что взаимно простые числа сами не обязаны быть простыми. И 25, и 12 — составные. Важно только, что у них нет одинаковых «деталей»: $25 = 5^2$, $12 = 2^2 \cdot 3$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Спросите: «8 и 9 — взаимно простые? А сами они простые?» Ответ: взаимно простые — да, простые — нет. Эти два слова дети часто путают.

👨‍👩‍👧 Родителю. Задачу на НОД выдаёт вопрос «какое наибольшее число одинаковых подарков (гирлянд, вагонов)». Если непонятно, почему тут НОД, возьмите 12 конфет и 8 яблок: на сколько детей можно поровну разделить и то и другое?

Проверь, как понял

Проверь себя

  • Что называют наибольшим общим делителем чисел? Самое большое натуральное число, на которое делится каждое из них.
  • Как найти НОД двух чисел? Выписать делители обоих и выбрать наибольший общий. Или разложить на простые множители и перемножить общие, каждый с наименьшей степенью.
  • Как найти НОД, если все числа делятся на меньшее из них? НОД равен этому меньшему числу.
  • Какие числа называют взаимно простыми? Те, у которых НОД равен 1. Например, 25 и 12, 8 и 9.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 276

Найди НОД в уме: 1) 3 и 12; 2) 4 и 10; 3) 15 и 60; 4) 16 и 56; 5) 19 и 38; 6) 63 и 81.

Как думать. Сначала проверь, не делится ли большее число на меньшее — тогда меньшее и есть НОД. Если нет, подумай, на какое большое число делятся оба.

Решение.

  1. 12 делится на 3 — НОД 3.
  2. Оба чётные, но 10 на 4 не делится — НОД 2.
  3. 60 делится на 15 — НОД 15.
  4. $16 = 8 \cdot 2$, $56 = 8 \cdot 7$, а у 2 и 7 общих делителей нет — НОД 8.
  5. 38 делится на 19 — НОД 19.
  6. $63 = 9 \cdot 7$, $81 = 9 \cdot 9$ — НОД 9.

Ответ: 1) 3; 2) 2; 3) 15; 4) 8; 5) 19; 6) 9.

Уровень A

№ 277

Найди НОД, выписывая делители: 1) 12 и 32; 2) 30 и 42; 3) 35 и 60; 4) 36 и 63; 5) 30 и 45; 6) 27 и 54; 7) 42 и 56; 8) 80 и 32; 9) 39 и 65.

Как думать. Выписывай делители меньшего числа и проверяй, какие из них делят большее. Начинай с самых больших — так быстрее наткнёшься на ответ.

Решение.

  1. Делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Из них делят 32: 1, 2, 4. НОД 4.
  2. Делители 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Делят 42: 1, 2, 3, 6. НОД 6.
  3. Делители 35: 1, 5, 7, 35. Делят 60: 1, 5. НОД 5.
  4. Делители 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Делят 63: 1, 3, 9. НОД 9.
  5. Делители 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Делят 45: 1, 3, 5, 15. НОД 15.
  6. 54 делится на 27 — значит, НОД 27.
  7. Делители 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42. Делят 56: 1, 2, 7, 14. НОД 14.
  8. Делители 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32. Делят 80: 1, 2, 4, 8, 16. НОД 16.
  9. Делители 39: 1, 3, 13, 39. Делят 65: 1, 13. НОД 13.

Ответ: 1) 4; 2) 6; 3) 5; 4) 9; 5) 15; 6) 27; 7) 14; 8) 16; 9) 13.

№ 278

Найди НОД через разложение на простые множители: 1) 48 и 84; 2) 70 и 98; 3) 16 и 45; 4) 52 и 78; 5) 44 и 65; 6) 72 и 96; 7) 78, 117 и 195; 8) 110, 154 и 286; 9) 90, 126 и 162.

Как думать. Раскладываем, подчёркиваем множители, которые есть у всех, и перемножаем их. Если общих нет — НОД равен 1.

Решение.

  1. $48 = 2^4 \cdot 3$, $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$. НОД $= 2^2 \cdot 3 = 12$.
  2. $70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$, $98 = 2 \cdot 7^2$. НОД $= 2 \cdot 7 = 14$.
  3. $16 = 2^4$, $45 = 3^2 \cdot 5$. Общих множителей нет, НОД $= 1$ (числа взаимно простые).
  4. $52 = 2^2 \cdot 13$, $78 = 2 \cdot 3 \cdot 13$. НОД $= 2 \cdot 13 = 26$.
  5. $44 = 2^2 \cdot 11$, $65 = 5 \cdot 13$. НОД $= 1$.
  6. $72 = 2^3 \cdot 3^2$, $96 = 2^5 \cdot 3$. НОД $= 2^3 \cdot 3 = 24$.
  7. $78 = 2 \cdot 3 \cdot 13$, $117 = 3^2 \cdot 13$, $195 = 3 \cdot 5 \cdot 13$. НОД $= 3 \cdot 13 = 39$.
  8. $110 = 2 \cdot 5 \cdot 11$, $154 = 2 \cdot 7 \cdot 11$, $286 = 2 \cdot 11 \cdot 13$. НОД $= 2 \cdot 11 = 22$.
  9. $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$, $126 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7$, $162 = 2 \cdot 3^4$. НОД $= 2 \cdot 3^2 = 18$.

Ответ: 1) 12; 2) 14; 3) 1; 4) 26; 5) 1; 6) 24; 7) 39; 8) 22; 9) 18.

№ 279

1) Из чисел 3, 5, 6 и 25 составь пары взаимно простых чисел. 2) Из чисел 21, 30, 35, 52, 77 составь четыре пары взаимно простых чисел.

Как думать. Разложи каждое число на простые множители. Пара взаимно простая, если в разложениях нет ни одного одинакового множителя.

Решение.

  1. $3$, $5$, $6 = 2 \cdot 3$, $25 = 5^2$. Не подходят 3 и 6 (общий множитель 3) и 5 и 25 (общий множитель 5). Остальные пары подходят: 3 и 5; 3 и 25; 5 и 6; 6 и 25.
  2. $21 = 3 \cdot 7$, $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$, $35 = 5 \cdot 7$, $52 = 2^2 \cdot 13$, $77 = 7 \cdot 11$. Проверяем пары:
    • 21 и 52 — общих множителей нет ✓;
    • 30 и 77 — нет ✓;
    • 35 и 52 — нет ✓;
    • 52 и 77 — нет ✓;
    • у остальных пар есть общий множитель (3, 5, 7 или 2).

Ответ: 1) 3 и 5; 3 и 25; 5 и 6; 6 и 25. 2) 21 и 52; 30 и 77; 35 и 52; 52 и 77.

№ 280

Числа даны разложениями. Найди НОД: 1) $a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$, $b = 2 \cdot 3 \cdot 3$; 2) $a = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11$, $b = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 11$; 3) $a = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7$, $b = 2 \cdot 7 \cdot 11$; 4) $a = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$, $b = 5 \cdot 7 \cdot 11$.

Как думать. Раскладывать уже не нужно — просто найди, какие «детали» есть в обоих числах.

Решение.

  1. Общие: 2 и 3. НОД $= 6$.
  2. Общие: 2 и 11. НОД $= 22$.
  3. Общие: 2 и 7. НОД $= 14$.
  4. Общих нет. НОД $= 1$.

Ответ: 1) 6; 2) 22; 3) 14; 4) 1.

№ 281

1) Самосвал за три дня перевёз 35 т, 21 т и 14 т угля, за каждый рейс — одинаково. Сколько тонн он возил за рейс? 2) В купейных вагонах трёх поездов 180, 252 и 216 мест, в каждом вагоне мест поровну. Какое наибольшее число мест может быть в одном вагоне?

Как думать. Груз за один рейс (места в одном вагоне) должен укладываться в каждое число целиком. Значит, это общий делитель. А раз спрашивают наибольший — это НОД.

Решение.

  1. Делители 35: 1, 5, 7, 35; делители 21: 1, 3, 7, 21; делители 14: 1, 2, 7, 14. НОД $(35, 21, 14) = 7$. За рейс 7 т (по дням 5, 3 и 2 рейса).
  2. $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$, $252 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7$, $216 = 2^3 \cdot 3^3$. НОД $= 2^2 \cdot 3^2 = 36$. Проверка: $180 : 36 = 5$, $252 : 36 = 7$, $216 : 36 = 6$ вагонов.

Ответ: 1) 7 т; 2) 36 мест.

№ 282

Купили 180 орехов, 150 яблок и 210 конфет для одинаковых подарков. Какое наибольшее число подарков можно собрать?

Как думать. Число подарков должно делить и 180, и 150, и 210 — иначе что-то останется лишним. Самое большое такое число — НОД.

Решение.

  1. $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$, $150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$, $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$.
  2. НОД $= 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.
  3. В каждом подарке: $180 : 30 = 6$ орехов, $150 : 30 = 5$ яблок, $210 : 30 = 7$ конфет.

Ответ: 30 подарков (в каждом 6 орехов, 5 яблок, 7 конфет).

№ 283

Из 24 красных, 42 синих и 30 жёлтых шаров сделали одинаковые гирлянды. Сколько гирлянд можно сделать самое большее?

Как думать. Та же история, что с подарками: шары каждого цвета делятся между гирляндами поровну. Ищем НОД.

Решение.

  1. $24 = 2^3 \cdot 3$, $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$, $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.
  2. НОД $= 2 \cdot 3 = 6$.
  3. В каждой гирлянде $24 : 6 = 4$ красных, $42 : 6 = 7$ синих, $30 : 6 = 5$ жёлтых шаров.

Ответ: 6 гирлянд.

Уровень B

№ 284

Найди НОД самым удобным способом: 1) 42 и 60; 2) 45 и 81; 3) 28 и 33; 4) 75 и 90; 5) 26, 65 и 130; 6) 48, 240 и 264; 7) 72, 432 и 792; 8) 163, 310 и 997.

Как думать. Сначала проверь «быстрый случай»: может, меньшее число делит остальные? Если нет — раскладывай.

Решение.

  1. $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$, $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$. НОД $= 6$.
  2. $45 = 3^2 \cdot 5$, $81 = 3^4$. НОД $= 9$.
  3. $28 = 2^2 \cdot 7$, $33 = 3 \cdot 11$. НОД $= 1$.
  4. $75 = 3 \cdot 5^2$, $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$. НОД $= 3 \cdot 5 = 15$.
  5. $26 = 2 \cdot 13$, $65 = 5 \cdot 13$, $130 = 2 \cdot 5 \cdot 13$. НОД $= 13$.
  6. 240 делится на 48, а 264 — нет ($264 : 48 = 5$, ост. 24). Раскладываем: $48 = 2^4 \cdot 3$, $240 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5$, $264 = 2^3 \cdot 3 \cdot 11$. НОД $= 2^3 \cdot 3 = 24$.
  7. $432 : 72 = 6$, $792 : 72 = 11$. Меньшее число делит остальные — НОД $= 72$.
  8. 163 — простое число (не делится на 2, 3, 5, 7, 11, а $13 \cdot 13 = 169 > 163$). 310 на 163 не делится. Значит, общий делитель только 1.

Ответ: 1) 6; 2) 9; 3) 1; 4) 15; 5) 13; 6) 24; 7) 72; 8) 1.

№ 285

Найди НОД по разложениям: $a = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$ и $b = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$; $c = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$ и $d = 2^3 \cdot 3 \cdot 7$; $e = 2 \cdot 3^3 \cdot 7$ и $f = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 11$; $h = 2 \cdot 5^2 \cdot 11$ и $k = 2^3 \cdot 5^3 \cdot 13$; $m = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 7$ и $n = 2^3 \cdot 3 \cdot 11$; $x = 3 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11$ и $y = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2$.

Как думать. Для каждого общего простого множителя смотри, где его степень меньше, — её и бери.

Решение.

  • НОД $(a, b) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$;
  • НОД $(c, d) = 2^2 \cdot 3 = 12$;
  • НОД $(e, f) = 2 \cdot 3^2 = 18$;
  • НОД $(h, k) = 2 \cdot 5^2 = 50$;
  • НОД $(m, n) = 2^3 \cdot 3 = 24$;
  • НОД $(x, y) = 3 \cdot 5^2 = 75$.

Ответ: 30; 12; 18; 50; 24; 75.

№ 286

Составь пары взаимно простых чисел из чисел: 1) 25, 30, 39; 2) 55, 26, 58; 3) 78, 35, 91; 4) 185, 123, 205; 5) 212, 148, 259; 6) 315, 154, 135.

Как думать. В каждой тройке всего три пары. Разложи числа и вычеркни пары, где есть общий множитель.

Решение.

  1. $25 = 5^2$, $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$, $39 = 3 \cdot 13$. Подходит только 25 и 39.
  2. $55 = 5 \cdot 11$, $26 = 2 \cdot 13$, $58 = 2 \cdot 29$. Подходят 55 и 26, 55 и 58 (26 и 58 оба чётные).
  3. $78 = 2 \cdot 3 \cdot 13$, $35 = 5 \cdot 7$, $91 = 7 \cdot 13$. Подходит только 78 и 35.
  4. $185 = 5 \cdot 37$, $123 = 3 \cdot 41$, $205 = 5 \cdot 41$. Подходит только 185 и 123.
  5. $212 = 2^2 \cdot 53$, $148 = 2^2 \cdot 37$, $259 = 7 \cdot 37$. Подходит только 212 и 259.
  6. $315 = 3^2 \cdot 5 \cdot 7$, $154 = 2 \cdot 7 \cdot 11$, $135 = 3^3 \cdot 5$. Подходит только 154 и 135.

Ответ: 1) 25 и 39; 2) 55 и 26, 55 и 58; 3) 78 и 35; 4) 185 и 123; 5) 212 и 259; 6) 154 и 135.

№ 287

Комната длиной 5 м 25 см и шириной 3 м 25 см. Пол выкладывают целыми квадратными плитками. Какой самый большой размер плитки подойдёт и сколько плиток нужно?

Как думать. Сторона плитки должна укладываться целое число раз и вдоль длины, и вдоль ширины — иначе придётся резать. Самая большая такая сторона — НОД длины и ширины.

Решение.

  1. Переводим в сантиметры: 525 см и 325 см.
  2. $525 = 3 \cdot 5^2 \cdot 7$, $325 = 5^2 \cdot 13$. НОД $= 5^2 = 25$. Плитка 25 см × 25 см.
  3. По длине $525 : 25 = 21$ плитка, по ширине $325 : 25 = 13$ плиток.
  4. Всего $21 \cdot 13 = 273$ плитки.

Ответ: плитка 25 см × 25 см; 273 плитки.

№ 288

В букетах из гвоздик всего 28 цветов, в букетах из жасмина — 35. Во всех букетах цветов поровну. Сколько цветов в букете и сколько букетов каждого вида?

Как думать. Число цветов в букете делит и 28, и 35. Общих делителей всего два — 1 и 7. Букет из одного цветка — уже не букет, поэтому берём 7.

Решение.

  1. $28 = 2^2 \cdot 7$, $35 = 5 \cdot 7$, НОД $= 7$. В букете 7 цветов.
  2. Букетов из гвоздик $28 : 7 = 4$, из жасмина $35 : 7 = 5$.

Ответ: по 7 цветов; 4 букета из гвоздик и 5 букетов из жасмина.

№ 289

Из 6 одинаковых на вид колец одно чуть тяжелее. Как найти его за два взвешивания на чашечных весах без гирь?

Как думать. Задача на смекалку. Каждое взвешивание должно уменьшать число «подозреваемых» колец.

Решение.

  1. Первое взвешивание: кладём по 3 кольца на каждую чашу. Тяжёлое — среди тех трёх, чья чаша опустилась.
  2. Второе взвешивание: из этих трёх колец кладём по одному на каждую чашу, третье откладываем.
  3. Если одна чаша перевесила — тяжёлое кольцо на ней. Если весы в равновесии — тяжёлое то, что отложили.

Ответ: взвесить 3 и 3, затем из тяжёлой тройки взвесить 1 и 1.

Уровень C

№ 290

Покажи на примерах, что взаимно простыми будут: 1) любые два простых числа; 2) два соседних натуральных числа; 3) два соседних нечётных числа.

Как думать. Возьми пару примеров и найди НОД. А потом попробуй понять, почему так будет всегда.

Решение.

  1. 5 и 7: делители 5 — это 1 и 5, делители 7 — это 1 и 7. Общий только 1. Так же 2 и 13, 11 и 17. У простого числа делители — только 1 и оно само, поэтому у двух разных простых общий делитель один — 1.
  2. 8 и 9: $8 = 2^3$, $9 = 3^2$, НОД $= 1$. 14 и 15: $2 \cdot 7$ и $3 \cdot 5$, НОД $= 1$. Если бы соседние числа делились на одно число больше 1, то и их разность 1 делилась бы на него — а так не бывает.
  3. 15 и 17: $3 \cdot 5$ и простое 17, НОД $= 1$. 21 и 23, 35 и 37 — тоже. Разность соседних нечётных чисел равна 2, значит общим делителем мог бы быть только 2, но нечётные числа на 2 не делятся.

Ответ: например, 5 и 7; 8 и 9; 15 и 17 — во всех парах НОД равен 1.

№ 291

Вынеси за скобки НОД коэффициентов: 1) $12a + 20b$; 2) $16c + 24d$; 3) $30m + 42n$; 4) $48x + 60y$; 5) $18a + 45b$; 6) $28c + 63d$; 7) $49m + 21n$; 8) $15m + 25n$.

Как думать. Найди НОД двух чисел перед буквами. Потом раздели каждое число на него — то, что получится, и останется в скобках. Это распределительное свойство, только «наоборот».

Решение.

  1. НОД $(12, 20) = 4$: $12a + 20b = 4(3a + 5b)$;
  2. НОД $(16, 24) = 8$: $16c + 24d = 8(2c + 3d)$;
  3. НОД $(30, 42) = 6$: $30m + 42n = 6(5m + 7n)$;
  4. НОД $(48, 60) = 12$: $48x + 60y = 12(4x + 5y)$;
  5. НОД $(18, 45) = 9$: $18a + 45b = 9(2a + 5b)$;
  6. НОД $(28, 63) = 7$: $28c + 63d = 7(4c + 9d)$;
  7. НОД $(49, 21) = 7$: $49m + 21n = 7(7m + 3n)$;
  8. НОД $(15, 25) = 5$: $15m + 25n = 5(3m + 5n)$.

Ответ: 1) $4(3a + 5b)$; 2) $8(2c + 3d)$; 3) $6(5m + 7n)$; 4) $12(4x + 5y)$; 5) $9(2a + 5b)$; 6) $7(4c + 9d)$; 7) $7(7m + 3n)$; 8) $5(3m + 5n)$.

№ 292

Три состава привезли 504 т, 288 т и 648 т бензина, во всех цистернах масса одинаковая. Сколько тонн в одной цистерне и сколько цистерн в каждом составе?

Как думать. Масса в цистерне делит все три числа. Считаем, что цистерны наполнены как можно больше, — значит, берём НОД.

Решение.

  1. $504 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7$, $288 = 2^5 \cdot 3^2$, $648 = 2^3 \cdot 3^4$.
  2. НОД $= 2^3 \cdot 3^2 = 72$ т.
  3. Цистерн: $504 : 72 = 7$, $288 : 72 = 4$, $648 : 72 = 9$.

Ответ: по 72 т в цистерне; в составах 7, 4 и 9 цистерн.

№ 293

Частное двух чисел равно НОД $(35, 77)$, а их сумма — НОД $(96, 160)$. Найди эти числа.

Как думать. Сначала найди оба НОД — тогда задача превратится в знакомую: «одно число в несколько раз больше другого, а вместе они дают…».

Решение.

  1. $35 = 5 \cdot 7$, $77 = 7 \cdot 11$, НОД $= 7$. Значит, большее число в 7 раз больше меньшего.
  2. $96 = 2^5 \cdot 3$, $160 = 2^5 \cdot 5$, НОД $= 2^5 = 32$. Сумма чисел 32.
  3. Меньшее число — 1 часть, большее — 7 частей, вместе 8 частей. $32 : 8 = 4$ — меньшее, $4 \cdot 7 = 28$ — большее.

Проверка: $28 : 4 = 7$, $28 + 4 = 32$ ✓.

Ответ: 28 и 4.

№ 294

Прямоугольник $ABCD$ (рис. 2.3) сложен из квадратов I, II, III, самого маленького квадрата площадью 1 см² и прямоугольника $EFKD$ площадью 21 см². Найди периметр $ABCD$.

Как думать. На рисунке слева внизу квадрат III, над ним квадрат I. Справа от III, под квадратом I, — маленький квадрат со стороной 1 см. Справа от него и квадрата I — квадрат II. Под маленьким квадратом и квадратом II — прямоугольник $EFKD$. Попробуй выразить все стороны через сторону квадрата III.

Решение.

  1. Маленький квадрат: площадь 1 см², сторона 1 см.
  2. Пусть сторона квадрата III равна $c$ см. Маленький квадрат стоит вплотную к III и вместе с ним занимает всю ширину квадрата I. Значит, сторона I равна $c + 1$.
  3. Квадрат II начинается правее I и опускается до нижней стороны маленького квадрата. Его сторона равна стороне I плюс ещё сторона маленького квадрата: $c + 2$.
  4. Прямоугольник $EFKD$: ширина — маленький квадрат плюс квадрат II: $1 + (c + 2) = c + 3$; высота — квадрат III без маленького квадрата: $c - 1$.
  5. Площадь $(c + 3)(c - 1) = 21$. Подбираем: $21 = 7 \cdot 3$, при $c = 4$ получаем $7 \cdot 3 = 21$. Значит, $c = 4$ см.
  6. Стороны квадратов: III — 4 см, I — 5 см, II — 6 см.
  7. $AB$ (высота) $= 4 + 5 = 9$ см, $BC$ (ширина) $= 5 + 6 = 11$ см.
  8. Периметр $= 2 \cdot (9 + 11) = 40$ см.

Вот как выглядит прямоугольник, если одна клетка — 1 см:

Ответ: 40 см.

№ 295

Реши уравнения и по корням прочитай название звезды с «хвостом»: М. $x + 187 : 11 = 21$; Т. $16 \cdot 25 - 28x = 612 : 3$; К. $27 : x + 405 : 9 = 48$; О. $581 : 83 + 51 : x = 24$; А. $216 : x + 16 \cdot 18 = 324$; Е. $24x - 345 : 23 = 105$. Порядок корней в таблице: 9, 3, 4, 5, 7, 6.

Как думать. Сначала досчитай всё, что можно (деление и умножение чисел), потом находи неизвестное.

Решение.

  • М: $x + 17 = 21$, $x = 4$.
  • Т: $400 - 28x = 204$, $28x = 196$, $x = 7$.
  • К: $27 : x + 45 = 48$, $27 : x = 3$, $x = 9$.
  • О: $7 + 51 : x = 24$, $51 : x = 17$, $x = 3$.
  • А: $216 : x + 288 = 324$, $216 : x = 36$, $x = 6$.
  • Е: $24x - 15 = 105$, $24x = 120$, $x = 5$.

Ставим буквы под корнями 9, 3, 4, 5, 7, 6: К, О, М, Е, Т, А.

Ответ: КОМЕТА.

Шпаргалка

  • НОД $(24, 40) = 8$ — самый большой общий делитель.
  • Через разложение: общие множители, каждый с меньшей степенью.
  • НОД $(120, 80, 20) = 20$: меньшее число делит остальные.
  • Взаимно простые числа могут быть составными: 25 и 12.
  • Проверка НОД: каждое число делится на него без остатка.

Мини-тест

← 2.7. Разложение составных чисел на простые множители · 2.9. Наименьшее общее кратное →