2.9. Наименьшее общее кратное

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава II: Делимость натуральных чисел. Страницы 108–113.

Чему научишься

• Находить наименьшее общее кратное (НОК) двух и трёх чисел.
• Искать его перебором кратных и через разложение на простые множители.
• Пользоваться двумя быстрыми случаями, когда НОК видно сразу.
• Понимать, как связаны НОД и НОК: НОД $(a, b) \cdot$ НОК $(a, b) = a \cdot b$.
• Узнавать задачи на НОК: «когда снова совпадут», «наименьшая длина без остатка».

Разминка

Ответь в уме, потом открой ответ.

• Назови числа, кратные 2: первые шесть. 4, 6, 8, 10, 12, 14 (если начинать с $2 \cdot 2$).
• А кратные 3? 6, 9, 12, 15, 18, 21.
• Какие числа попали в оба списка? 6 и 12.
• Какое из них меньше? 6.

💡 Ты только что нашёл наименьшее общее кратное чисел 2 и 3. Прошлый урок был про делители, а этот — про кратные. Они похожи, как близнецы, но смотрят в разные стороны.

Разбираемся

Кратные «шагают» по лучу

Кратные числа 6 — это 6, 12, 18, 24… Будто кузнечик прыгает по лучу на 6 делений за раз. Кратные 4 — это прыжки по 4: 4, 8, 12, 16… Где кузнечики впервые окажутся на одном месте?

Общие кратные 4 и 6 — это 12, 24, 36… Их бесконечно много, а самое маленькое — 12. Его называют наименьшим общим кратным, коротко НОК. Записывают: НОК $(4, 6) = 12$.

📌 НОК нескольких чисел — самое маленькое натуральное число, которое делится на каждое из них.

⚠️ Частая ошибка. Путают НОД и НОК. Запомни: НОД — делитель, он не больше меньшего из чисел. НОК — кратное, оно не меньше большего из чисел. Получилось НОК $(4, 6) = 2$? Это ошибка: 2 не делится ни на 4, ни на 6.

Способ 1: перебор кратных большего числа

Найдём НОК $(16, 12)$. Можно выписать кратные обоих чисел и искать совпадение. Но есть приём быстрее: шагай только по кратным большего числа и проверяй, делятся ли они на меньшее.

16 на 12 не делится, 32 — тоже нет, а 48 — да. НОК $(16, 12) = 48$.

Способ 2: собрать число из «деталей»

Для больших чисел перебор долгий. Тогда раскладываем числа на простые множители. Посмотри на 12 и 18: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$, $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$.

• НОД — это произведение того, что в середине: $2 \cdot 3 = 6$.
• НОК — произведение всего, что есть на рисунке (нажми «Объединение»): $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 36$.

Правило для НОК:

1. Разложи числа на простые множители.
2. Выпиши разложение одного числа (лучше большего).
3. Допиши множители из других чисел, которых не хватает.
4. Перемножь.

Со степенями правило ещё короче: каждый простой множитель берём с наибольшей степенью. $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$, $24 = 2^3 \cdot 3$, поэтому НОК $= 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 360$. Для трёх чисел так же: $18 = 2 \cdot 3^2$, $45 = 3^2 \cdot 5$, $50 = 2 \cdot 5^2$; НОК $= 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 450$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Сравните НОД и НОК для одной пары, например 12 и 18. Для НОД берём меньшие степени: $2 \cdot 3 = 6$. Для НОК — большие: $2^2 \cdot 3^2 = 36$. Проверка: $6 \cdot 36 = 216 = 12 \cdot 18$.

Два быстрых случая

• Взаимно простые числа. Общих «деталей» нет, поэтому НОК — просто произведение: НОК $(6, 35) = 6 \cdot 35 = 210$.
• Большее число делится на остальные. Тогда оно и есть НОК: НОК $(57, 19) = 57$, НОК $(8, 16, 32) = 32$.

Как узнать задачу на НОК

Ищем число, которое делится на все данные: «наименьшая длина проволоки, чтобы разрезать и на куски по 12 м, и по 18 м», «когда машины снова встретятся», «на каком расстоянии шаги совпадут». А если нужно разделить что-то на одинаковые части — это задача на НОД.

👨‍👩‍👧 Родителю. Вернитесь к загадке про автобусы: каждые 10 и каждые 15 минут. Снова вместе они уйдут через НОК $(10, 15) = 30$ минут. Такие примеры из жизни запоминаются лучше правила.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Что называют наименьшим общим кратным чисел? Самое маленькое натуральное число, которое делится на каждое из них.
• Как найти НОК? Перебрать кратные большего числа до первого, которое делится на остальные. Или разложить числа на простые множители, взять разложение одного числа и дописать недостающие множители из других, затем перемножить.
• Чему равно НОК взаимно простых чисел? Их произведению.
• Как найти НОК, если одно из чисел делится на все остальные? НОК равно этому числу.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 296

Найди НОК в уме: 1) 2 и 5; 2) 3 и 4; 3) 6 и 12; 4) 2 и 10; 5) 3, 5 и 10; 6) 6, 8 и 24.

Как думать. Сначала проверь быстрые случаи: числа взаимно простые? большее делится на остальные? Если нет — шагай по кратным большего числа.

Решение.

1. 2 и 5 взаимно простые: $2 \cdot 5 = 10$.
2. 3 и 4 взаимно простые: $3 \cdot 4 = 12$.
3. 12 делится на 6: НОК 12.
4. 10 делится на 2: НОК 10.
5. 10 делится на 5, но не на 3. Кратные 10: 10, 20, 30 — 30 делится на 3. НОК 30.
6. 24 делится и на 6, и на 8: НОК 24.

Ответ: 1) 10; 2) 12; 3) 12; 4) 10; 5) 30; 6) 24.

Уровень A

№ 297

Найди НОК удобным способом: 1) 6 и 8; 2) 4 и 7; 3) 9 и 15; 4) 5 и 15; 5) 6 и 10; 6) 12 и 20; 7) 5, 16 и 20; 8) 15, 30 и 45; 9) 10, 14 и 35.

Как думать. Для небольших чисел быстрее всего перебрать кратные большего числа. Для трёх чисел удобнее разложение.

Решение.

1. Кратные 8: 8, 16, 24 — 24 делится на 6. НОК 24.
2. 4 и 7 взаимно простые: 28.
3. Кратные 15: 15, 30, 45 — 45 делится на 9. НОК 45.
4. 15 делится на 5: НОК 15.
5. Кратные 10: 10, 20, 30 — делится на 6. НОК 30.
6. Кратные 20: 20, 40, 60 — делится на 12. НОК 60.
7. $5$, $16 = 2^4$, $20 = 2^2 \cdot 5$. НОК $= 2^4 \cdot 5 = 80$.
8. Кратные 45: 45, 90 — 90 делится и на 15, и на 30. НОК 90.
9. $10 = 2 \cdot 5$, $14 = 2 \cdot 7$, $35 = 5 \cdot 7$. НОК $= 2 \cdot 5 \cdot 7 = 70$.

Ответ: 1) 24; 2) 28; 3) 45; 4) 15; 5) 30; 6) 60; 7) 80; 8) 90; 9) 70.

№ 298

Числа даны разложениями. Найди НОК: 1) $a = 2 \cdot 3$, $b = 2 \cdot 7$; 2) $c = 3 \cdot 5$, $d = 3 \cdot 3 \cdot 5$; 3) $e = 2 \cdot 2 \cdot 5$, $f = 2 \cdot 3 \cdot 5$; 4) $m = 2 \cdot 2 \cdot 3$, $n = 2 \cdot 3 \cdot 5$; 5) $p = 2 \cdot 2 \cdot 7$, $t = 2 \cdot 3 \cdot 7$; 6) $x = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$, $y = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$.

Как думать. Бери разложение одного числа и дописывай то, чего не хватает из другого.

Решение.

1. $2 \cdot 3$ и дописываем 7: $2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$.
2. $3 \cdot 3 \cdot 5$ — в нём уже есть всё из $c$: $45$.
3. $2 \cdot 2 \cdot 5$ и дописываем 3: $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.
4. $2 \cdot 2 \cdot 3$ и дописываем 5: $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.
5. $2 \cdot 2 \cdot 7$ и дописываем 3: $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 84$.
6. $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$ и дописываем ещё одну тройку: $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 180$.

Ответ: 1) 42; 2) 45; 3) 60; 4) 60; 5) 84; 6) 180.

№ 299

Найди НОК, разложив числа на простые множители: 1) 21 и 18; 2) 24 и 32; 3) 16 и 20; 4) 20 и 35; 5) 75 и 90; 6) 6 и 13; 7) 14 и 18; 8) 28 и 42; 9) 21 и 33; 10) 12, 30 и 75; 11) 15, 42 и 105; 12) 21, 28 и 35.

Как думать. Каждый простой множитель бери с наибольшей степенью, в которой он встречается.

Решение.

1. $21 = 3 \cdot 7$, $18 = 2 \cdot 3^2$. НОК $= 2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 126$.
2. $24 = 2^3 \cdot 3$, $32 = 2^5$. НОК $= 2^5 \cdot 3 = 96$.
3. $16 = 2^4$, $20 = 2^2 \cdot 5$. НОК $= 2^4 \cdot 5 = 80$.
4. $20 = 2^2 \cdot 5$, $35 = 5 \cdot 7$. НОК $= 2^2 \cdot 5 \cdot 7 = 140$.
5. $75 = 3 \cdot 5^2$, $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$. НОК $= 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 450$.
6. $6 = 2 \cdot 3$, $13$ — простое. Числа взаимно простые: НОК $= 78$.
7. $14 = 2 \cdot 7$, $18 = 2 \cdot 3^2$. НОК $= 2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 126$.
8. $28 = 2^2 \cdot 7$, $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$. НОК $= 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84$.
9. $21 = 3 \cdot 7$, $33 = 3 \cdot 11$. НОК $= 3 \cdot 7 \cdot 11 = 231$.
10. $12 = 2^2 \cdot 3$, $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$, $75 = 3 \cdot 5^2$. НОК $= 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 300$.
11. $15 = 3 \cdot 5$, $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$, $105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$. НОК $= 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$.
12. $21 = 3 \cdot 7$, $28 = 2^2 \cdot 7$, $35 = 5 \cdot 7$. НОК $= 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 420$.

Ответ: 1) 126; 2) 96; 3) 80; 4) 140; 5) 450; 6) 78; 7) 126; 8) 84; 9) 231; 10) 300; 11) 210; 12) 420.

№ 300

Заполни пропуски: НОК $(3, 40)$; НОК $(7, 33)$; НОК $(21, 14)$; НОК $(8, 12)$; НОК $(20, 25)$; НОК $(38, 19)$.

Как думать. Тут много быстрых случаев. Сначала проверь, нет ли общих множителей, и не делится ли большее число на меньшее.

Решение.

1. 3 и 40 взаимно простые: $3 \cdot 40 = 120$.
2. 7 и 33 взаимно простые: $7 \cdot 33 = 231$.
3. $21 = 3 \cdot 7$, $14 = 2 \cdot 7$: НОК $= 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$.
4. Кратные 12: 12, 24 — 24 делится на 8. НОК 24.
5. $20 = 2^2 \cdot 5$, $25 = 5^2$: НОК $= 2^2 \cdot 5^2 = 100$.
6. 38 делится на 19: НОК 38.

Ответ: 1) 120; 2) 231; 3) 42; 4) 24; 5) 100; 6) 38.

№ 301

1) Какой наименьшей длины должна быть проволока, чтобы её можно было разрезать без остатка и на куски по 12 м, и на куски по 18 м? 2) Три машины выехали с элеватора в 8 ч утра. Первая возвращается каждые 3 ч, вторая — каждые 4 ч, третья — каждые 6 ч. Когда все три снова окажутся на элеваторе вместе?

Как думать. В обоих пунктах нужно число, которое делится на все данные числа, и самое маленькое из таких — это НОК.

Решение.

1. $12 = 2^2 \cdot 3$, $18 = 2 \cdot 3^2$. НОК $= 2^2 \cdot 3^2 = 36$. Проволока 36 м: это 3 куска по 12 м или 2 куска по 18 м.
2. НОК $(3, 4, 6)$: кратные 6 — 6, 12; 12 делится и на 3, и на 4. НОК $= 12$. Машины снова соберутся через 12 ч: $8 + 12 = 20$ ч.

Ответ: 1) 36 м; 2) в 20 ч (в 8 часов вечера).

№ 302

Найди НОК: 1) 28, 35 и 70; 2) 18, 24 и 27; 3) 36, 54 и 81; 4) 88, 132 и 264; 5) 25, 75 и 150; 6) 54, 90 и 135.

Как думать. Сначала проверь: может, самое большое число делится на два других? В пунктах 4 и 5 это сэкономит кучу времени.

Решение.

1. $28 = 2^2 \cdot 7$, $35 = 5 \cdot 7$, $70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$. НОК $= 2^2 \cdot 5 \cdot 7 = 140$.
2. $18 = 2 \cdot 3^2$, $24 = 2^3 \cdot 3$, $27 = 3^3$. НОК $= 2^3 \cdot 3^3 = 216$.
3. $36 = 2^2 \cdot 3^2$, $54 = 2 \cdot 3^3$, $81 = 3^4$. НОК $= 2^2 \cdot 3^4 = 324$.
4. $264 : 88 = 3$, $264 : 132 = 2$. Наибольшее число делится на остальные: НОК $= 264$.
5. $150 : 25 = 6$, $150 : 75 = 2$. НОК $= 150$.
6. $54 = 2 \cdot 3^3$, $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$, $135 = 3^3 \cdot 5$. НОК $= 2 \cdot 3^3 \cdot 5 = 270$.

Ответ: 1) 140; 2) 216; 3) 324; 4) 264; 5) 150; 6) 270.

Уровень B

№ 303

Найди НОК по разложениям: 1) $a = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$, $b = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$; 2) $c = 2^4 \cdot 3^2$, $d = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$; 3) $e = 2^3 \cdot 3 \cdot 7$, $f = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7$; 4) $m = 2^2 \cdot 3^3$, $n = 3^3 \cdot 5$; 5) $p = 2 \cdot 3^2 \cdot 11$, $t = 2^3 \cdot 3 \cdot 11$; 6) $x = 2^4 \cdot 3 \cdot 5$, $y = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$.

Как думать. Каждый множитель — с наибольшей степенью. Это зеркало задачи № 285 из прошлого урока, где брали наименьшую.

Решение.

1. $2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 = 8 \cdot 3 \cdot 25 = 600$;
2. $2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 = 16 \cdot 9 \cdot 5 = 720$;
3. $2^3 \cdot 3^2 \cdot 7 = 8 \cdot 9 \cdot 7 = 504$;
4. $2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 = 4 \cdot 27 \cdot 5 = 540$;
5. $2^3 \cdot 3^2 \cdot 11 = 8 \cdot 9 \cdot 11 = 792$;
6. $2^4 \cdot 3 \cdot 5^2 = 16 \cdot 3 \cdot 25 = 1200$.

Ответ: 1) 600; 2) 720; 3) 504; 4) 540; 5) 792; 6) 1200.

№ 304

Запиши пару взаимно простых чисел, у которых НОК равно 1) 69; 2) 85.

Как думать. НОК взаимно простых чисел — их произведение. Значит, ищем два взаимно простых числа, которые при умножении дают 69 (85).

Решение.

1. $69 = 3 \cdot 23$. Пара 3 и 23.
2. $85 = 5 \cdot 17$. Пара 5 и 17.

Подходят и пары 1 и 69, 1 и 85, но они неинтересные.

Ответ: 1) 3 и 23; 2) 5 и 17.

№ 305

Шаг Алии 70 см, шаг Маши 50 см. На каком наименьшем расстоянии обе сделают целое число шагов?

Как думать. Расстояние должно делиться и на 70, и на 50 — тогда у обеих девочек выйдет целое число шагов. Самое маленькое такое расстояние — НОК.

Решение.

1. Расстояние должно делиться и на 70, и на 50. Ищем НОК.
2. $70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$, $50 = 2 \cdot 5^2$. НОК $= 2 \cdot 5^2 \cdot 7 = 350$ см.
3. Алия сделает $350 : 70 = 5$ шагов, Маша $350 : 50 = 7$ шагов.

Ответ: 350 см = 3 м 50 см.

№ 306

Как поставить 6 стульев вдоль стен квадратной комнаты, чтобы у каждой стены стояло по 2 стула?

Как думать. Задача на смекалку. Стул в углу стоит сразу у двух стен — его «считают» дважды.

Решение.

1. Если бы угловых стульев не было, понадобилось бы $4 \cdot 2 = 8$ стульев. У нас на 2 меньше — значит, 2 стула надо поставить в углы.
2. Ставим 2 стула в противоположные углы. Каждая стена уже получила по одному стулу.
3. Оставшиеся 4 стула ставим по одному у середины каждой стены.

Проверка: у каждой стены один угловой стул и один посередине — по 2.

Ответ: 2 стула в противоположных углах, остальные 4 — по одному у каждой стены.

№ 307

Коробочки шириной 5 см и длиной 1 дм 2 см укладывают вплотную в ящик с квадратным дном. Какая наименьшая площадь дна?

Как думать. Сторона квадрата должна делиться и на 5 см, и на 12 см — тогда коробочки лягут ровными рядами без щелей.

Решение.

1. 1 дм 2 см = 12 см.
2. НОК $(5, 12) = 60$ см (числа взаимно простые). Сторона дна 60 см = 6 дм.
3. Площадь: $6 \cdot 6 = 36$ дм². Поместится $12 \cdot 5 = 60$ коробочек.

Ответ: 36 дм².

№ 308

Квадрат без остатка делится на прямоугольники 18 см × 8 см. Каков наименьший периметр квадрата?

Как думать. Вдоль стороны квадрата прямоугольники должны укладываться целиком — и длинной стороной, и короткой. Значит, сторона делится и на 18, и на 8.

Решение.

1. Сторона квадрата делится и на 18, и на 8.
2. $18 = 2 \cdot 3^2$, $8 = 2^3$. НОК $= 2^3 \cdot 3^2 = 72$ см.
3. Периметр: $72 \cdot 4 = 288$ см.

Ответ: 288 см.

Уровень C

№ 309

Найди НОК: 1) $(4, 303)$; 2) $(121,212, 151,515)$; 3) $(40,404, 363,636)$; 4) $(242,424, 181,818)$.

Как думать. Повторяющиеся числа удобно записать произведением: $121,212 = 12 \cdot 10,101$, $151,515 = 15 \cdot 10,101$. Общий множитель 10 101 переходит в НОК один раз, а остальное ищем у маленьких чисел.

Решение.

1. $303 = 3 \cdot 101$, с числом 4 общих множителей нет. НОК $= 4 \cdot 303 = 1212$.
2. $12 \cdot 10,101$ и $15 \cdot 10,101$. НОК $(12, 15) = 60$, значит НОК $= 60 \cdot 10,101 = 606,060$.
3. $4 \cdot 10,101$ и $36 \cdot 10,101$. 36 делится на 4, поэтому НОК $= 363,636$.
4. $24 \cdot 10,101$ и $18 \cdot 10,101$. НОК $(24, 18) = 72$, значит НОК $= 72 \cdot 10,101 = 727,272$.

Ответ: 1) 1212; 2) 606 060; 3) 363 636; 4) 727 272.

№ 310

Заполни таблицу для пар $a, b$: 6 и 8; 9 и 12; 15 и 18; 24 и 60 — столбцы $a \cdot b$, НОД, НОК, НОД · НОК. Допиши равенство НОД $(a, b) \cdot$ НОК $(a, b) = \square$.

Как думать. Заполни строку за строкой и сравни последний столбец с третьим. Увидишь закономерность.

Решение.

В каждой строке последний столбец совпадает с третьим.

Ответ: НОД $(a, b) \cdot$ НОК $(a, b) = a \cdot b$.

💡 Это равенство — отличная проверка. Нашёл НОД и НОК? Перемножь их — должно получиться произведение самих чисел.

№ 311

Две сцепленные шестерни: у первой 54 зуба, у второй 90. Отмечены два соприкасающихся зуба (рис. 2.4). Через сколько оборотов первой шестерни отмеченные зубья снова встретятся?

Как думать. Пока шестерни крутятся, обе проходят одинаковое число зубьев. Отмеченные зубья встретятся, когда это число делится и на 54, и на 90, — то есть когда обе шестерни сделают целое число оборотов.

Решение.

1. $54 = 2 \cdot 3^3$, $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$. НОК $= 2 \cdot 3^3 \cdot 5 = 270$ зубьев.
2. Первая шестерня: $270 : 54 = 5$ оборотов. Вторая за это время: $270 : 90 = 3$ оборота.

Ответ: через 5 оборотов.

№ 312

Марка стоит 45 тг, у Насти только монеты по 20 тг, а сдачи нет. Какое наименьшее число марок она может купить?

Как думать. Стоимость покупки должна делиться и на 45 (целое число марок), и на 20 (целое число монет без сдачи).

Решение.

1. $45 = 3^2 \cdot 5$, $20 = 2^2 \cdot 5$. НОК $= 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 180$ тг.
2. Марок: $180 : 45 = 4$. Монет: $180 : 20 = 9$.

Ответ: 4 марки.

№ 313

Саша и Лена прошли одно и то же расстояние 75 м, их следы совпали 25 раз. Шаг Лены 75 см. Найди шаг Саши.

Как думать. Следы совпадают через равные промежутки — через НОК длин шагов. Сначала найди этот промежуток, а потом подбери шаг Саши.

Решение.

1. 75 м = 7500 см. Следы совпали 25 раз, значит, промежуток между совпадениями $7500 : 25 = 300$ см.
2. Нужен шаг Саши $s$, при котором НОК $(75, s) = 300$. $75 = 3 \cdot 5^2$, $300 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$. В шаге Саши обязательно есть $2^2$, остальные множители — из $3 \cdot 5^2$.
3. Реальные длины шага: 60 см ($2^2 \cdot 3 \cdot 5$) или 100 см ($2^2 \cdot 5^2$). Для школьника подходит 60 см: НОК $(75, 60) = 300$ ✓.

Ответ: 60 см.

№ 314

Два поезда одинаковой длины едут навстречу друг другу: 54 км/ч и 36 км/ч. Второй поезд промчался мимо пассажира первого поезда за 14 с. Какова длина поезда? Варианты: A. 310 м; B. 340 м; C. 400 м; D. 350 м.

Как думать. Для пассажира первого поезда второй поезд летит со скоростью сближения — суммой скоростей. За 14 с мимо окна проходит вся длина второго поезда.

Решение.

1. Скорость сближения: $54 + 36 = 90$ км/ч.
2. Переводим в м/с: $90$ км/ч $= 90,000$ м : $3600$ с $= 25$ м/с.
3. Длина поезда: $25 \cdot 14 = 350$ м.

Ответ: 350 м (вариант D).

№ 315

Вычисли: 1) $((45 - (16 \cdot 4 + 59) : 41 + 72) \cdot 3 + 158) : 25$; 2) $(5 \cdot ((18 \cdot 105 : 45 + 306) : 29 + 75) - 269) : 83$.

Как думать. Начинай с самых внутренних скобок. Внутри скобок сначала умножение и деление, потом сложение и вычитание.

Решение.

1)

1. $16 \cdot 4 = 64$; $64 + 59 = 123$;
2. $123 : 41 = 3$;
3. $45 - 3 + 72 = 114$;
4. $114 \cdot 3 = 342$; $342 + 158 = 500$;
5. $500 : 25 = 20$.

2)

1. $18 \cdot 105 = 1890$; $1890 : 45 = 42$;
2. $42 + 306 = 348$; $348 : 29 = 12$;
3. $12 + 75 = 87$; $5 \cdot 87 = 435$;
4. $435 - 269 = 166$;
5. $166 : 83 = 2$.

Ответ: 1) 20; 2) 2.

Шпаргалка

• НОК $(4, 6) = 12$ — самое маленькое общее кратное.
• Через разложение: каждый множитель с большей степенью. НОК $(90, 24) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 360$.
• НОК не меньше большего из чисел, НОД не больше меньшего.
• НОД $(a, b) \cdot$ НОК $(a, b) = a \cdot b$.
• НОК — «когда снова совпадут», НОД — «на сколько одинаковых частей разделить».

Мини-тест