3.2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава III: Обыкновенные дроби и действия над ними. Страницы 130–136.

Чему научишься

• Записывать одну и ту же часть разными дробями: $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8}$.
• Находить дробь с нужным знаменателем, например $\frac{3}{4} = \frac{?}{100}$.
• Сокращать дроби тремя способами: сразу на НОД, по шагам, через простые множители.
• Узнавать несократимую дробь с первого взгляда.

Разминка

Начерти отрезок $CD$ и отметь его середину $E$. Ответь в уме, потом открой ответ.

• Какую часть отрезка $CD$ составляет $CE$? Половину, то есть $\frac{1}{2}$.
• Раздели $CD$ на 4 равные части. Сколько таких частей в $CE$? Две. Значит, $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$.
• А если разделить $CD$ на 8 частей? В $CE$ поместятся 4 части. Значит, $\frac{2}{4} = \frac{4}{8}$ и $\frac{1}{2} = \frac{4}{8}$.
• Верно ли, что $\frac{4}{8} = \frac{2}{4}$ и $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$? Да: это всё тот же отрезок $CE$, просто нарезанный на разное число кусочков.

💡 Главная мысль разминки: одну и ту же часть можно записать разными дробями. Отрезок не изменился — изменилась только «нарезка».

Разбираемся

Пицца, которую разрезали ещё раз

Мама разрезала пиццу на 4 куска, ты съел 3. Это $\frac{3}{4}$ пиццы. А теперь представь: каждый кусок перед едой разрезали ещё пополам. Кусков стало 8, а съеденных — 6.

Съел $\frac{6}{8}$ пиццы. Но живот-то не обманешь — съел ровно столько же! Значит, $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$. Проверь сам: покрути числитель и знаменатель у правой пиццы и сравни.

Главное правило дробей

Когда мы разрезали каждый кусок пополам, оба числа выросли в 2 раза: и сколько всего кусков (знаменатель), и сколько съели (числитель). А сама дробь не изменилась.

📌 Основное свойство дроби. Числитель и знаменатель можно умножить или разделить на одно и то же натуральное число — дробь от этого не изменится: $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n}$ и $\frac{a}{b} = \frac{a : n}{b : n}$.

Вот как это выглядит в деле: $\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15}$, а $\frac{12}{16} = \frac{12 : 4}{16 : 4} = \frac{3}{4}$.

⚠️ Частая ошибка. Умножают только знаменатель: «$\frac{3}{4} = \frac{3}{8}$». Проверь глазами: $\frac{3}{8}$ — меньше половины, а $\frac{3}{4}$ — больше. Что сделал внизу, то же сделай и наверху.

А вот прибавлять одно и то же число так нельзя: $\frac{1}{2}$ и $\frac{1+1}{2+1} = \frac{2}{3}$ — это уже разные дроби.

Сокращаем: делаем дробь «короче»

Сократить дробь — значит разделить числитель и знаменатель на их общий делитель (больше 1). Цифры становятся меньше, а дробь остаётся той же. Как будто ты вместо «шесть восьмушек» говоришь «три четверти» — быстрее, а смысл тот же.

Если у числителя и знаменателя общий делитель только 1, дальше сокращать некуда. Такая дробь — несократимая: $\frac{2}{5}$, $\frac{4}{9}$, $\frac{7}{12}$.

Три способа сократить

Способ 1. Сразу на НОД — самый быстрый. Возьмём $\frac{42}{63}$. $НОД(42, 63) = 21$, поэтому $\frac{42}{63} = \frac{42 : 21}{63 : 21} = \frac{2}{3}$. Одним ходом — и готово.

Способ 2. По шагам, с признаками делимости. Возьмём $\frac{180}{315}$. Числа оканчиваются на 0 и 5 — делим на 5: $\frac{36}{63}$. У обоих сумма цифр 9 — делим на 9: $\frac{4}{7}$. Всё.

Способ 3. Через простые множители. Возьмём $\frac{60}{225} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5}{3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5}$. Вычёркиваем пары одинаковых множителей сверху и снизу — одну тройку и одну пятёрку. Остаётся $\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{4}{15}$.

В тетради промежуточное деление обычно не пишут: зачёркивают числа, надписывают результат, а после «=» сразу ставят сокращённую дробь.

👨‍👩‍👧 Родителю. После каждого сокращения спросите: «А дальше можно?» Частая недоработка — сократить $\frac{24}{36}$ на 2, получить $\frac{12}{18}$ и остановиться. В ответе должна быть несократимая дробь: $\frac{2}{3}$.

⚠️ Частая ошибка. В дроби $\frac{35 + 28}{35 - 28}$ «сокращают 35 и 35». Нельзя! Сокращают только множители, а не слагаемые. Сначала посчитай: $\frac{63}{7} = 9$.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Что говорит основное свойство дроби? Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, получится дробь, равная данной.
• Что значит сократить дробь? Разделить числитель и знаменатель на их общий делитель, отличный от 1.
• Как сокращают дробь? Находят общий делитель (лучше всего НОД) и делят на него оба числа. Можно и по шагам, пока дробь не станет несократимой.
• Какая дробь несократимая? Та, у которой числитель и знаменатель взаимно простые: общий делитель у них только 1.
• Сократи $\frac{6}{15}$ и $\frac{28}{63}$. $\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ (на 3); $\frac{28}{63} = \frac{4}{9}$ (на 7).

Решаем упражнения

Уровень A

№ 375

Устно найди равную дробь: 1) $\frac{7}{15}$ — умножь на 2; 2) $\frac{13}{20}$ — умножь на 3; 3) $\frac{10}{35}$ — раздели на 5; 4) $\frac{28}{49}$ — раздели на 7; 5) $\frac{18}{81}$ — раздели на 9.

Как думать. Одно и то же действие — и с числителем, и со знаменателем.

Решение.

1. $\frac{7 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{14}{30}$;
2. $\frac{13 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{39}{60}$;
3. $\frac{10 : 5}{35 : 5} = \frac{2}{7}$;
4. $\frac{28 : 7}{49 : 7} = \frac{4}{7}$;
5. $\frac{18 : 9}{81 : 9} = \frac{2}{9}$.

Ответ: 1) $\frac{14}{30}$; 2) $\frac{39}{60}$; 3) $\frac{2}{7}$; 4) $\frac{4}{7}$; 5) $\frac{2}{9}$.

№ 376

Найди $x$: 1) $\frac{8}{20} = \frac{x}{5}$; 2) $\frac{9}{x} = \frac{3}{7}$; 3) $\frac{x}{16} = \frac{3}{4}$; 4) $\frac{10}{25} = \frac{2}{x}$.

Как думать. Ищи пару, где известны оба числа. Во сколько раз изменилось одно, во столько же раз изменится и другое.

Решение.

1. 20 стало 5 — уменьшилось в 4 раза. Числитель: $8 : 4 = 2$.
2. 9 стало 3 — уменьшилось в 3 раза. Знаменатель: $7 \cdot 3 = 21$, ведь $\frac{9}{21} = \frac{3}{7}$.
3. 4 стало 16 — увеличилось в 4 раза. Числитель: $3 \cdot 4 = 12$.
4. 10 стало 2 — уменьшилось в 5 раз. Знаменатель: $25 : 5 = 5$.

Ответ: 1) $x = 2$; 2) $x = 21$; 3) $x = 12$; 4) $x = 5$.

№ 377

Сократи, пользуясь признаками делимости: 1) $\frac{14}{26}$, $\frac{18}{24}$, $\frac{24}{15}$, $\frac{25}{35}$, $\frac{81}{108}$; 2) $\frac{30}{42}$, $\frac{33}{39}$, $\frac{45}{51}$, $\frac{12}{60}$, $\frac{50}{100}$.

Как думать. Оба чётные — дели на 2. Сумма цифр делится на 3 — дели на 3. Оканчиваются на 0 или 5 — дели на 5. И так, пока можно.

Решение.

1. $\frac{14}{26} = \frac{7}{13}$ (на 2); $\frac{18}{24} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ (на 2, потом на 3); $\frac{24}{15} = \frac{8}{5}$ (на 3); $\frac{25}{35} = \frac{5}{7}$ (на 5); $\frac{81}{108} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ (на 9, потом на 3).
2. $\frac{30}{42} = \frac{15}{21} = \frac{5}{7}$ (на 2, потом на 3); $\frac{33}{39} = \frac{11}{13}$ (на 3); $\frac{45}{51} = \frac{15}{17}$ (на 3); $\frac{12}{60} = \frac{1}{5}$ (на 12); $\frac{50}{100} = \frac{1}{2}$ (на 50).

Ответ: 1) $\frac{7}{13}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{8}{5}$, $\frac{5}{7}$, $\frac{3}{4}$; 2) $\frac{5}{7}$, $\frac{11}{13}$, $\frac{15}{17}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{2}$.

№ 378

Сократи сразу на НОД: 1) $\frac{42}{24}$, $\frac{35}{77}$, $\frac{48}{60}$, $\frac{72}{96}$, $\frac{56}{70}$; 2) $\frac{72}{90}$, $\frac{60}{105}$, $\frac{45}{150}$, $\frac{84}{120}$, $\frac{96}{100}$.

Как думать. Сначала находим НОД числителя и знаменателя, потом делим на него оба числа — и дробь сразу несократимая.

Решение.

Ответ: 1) $\frac{7}{4}$, $\frac{5}{11}$, $\frac{4}{5}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{4}{5}$; 2) $\frac{4}{5}$, $\frac{4}{7}$, $\frac{3}{10}$, $\frac{7}{10}$, $\frac{24}{25}$.

№ 379

Впиши пропуски: 1) $\frac{5}{9} = \frac{?}{27} = \frac{25}{?} = \frac{40}{?}$; 2) $\frac{7}{6} = \frac{21}{?} = \frac{?}{30} = \frac{49}{?}$; 3) $\frac{3}{4} = \frac{?}{24} = \frac{24}{?} = \frac{?}{48}$; 4) $\frac{2}{3} = \frac{?}{15} = \frac{14}{?} = \frac{?}{27}$.

Как думать. Каждую дробь сравнивай с первой: во сколько раз выросло известное число, во столько же раз растёт и пропущенное.

Решение.

1. $27 = 9 \cdot 3$, значит числитель $5 \cdot 3 = 15$; $25 = 5 \cdot 5$, знаменатель $9 \cdot 5 = 45$; $40 = 5 \cdot 8$, знаменатель $9 \cdot 8 = 72$.
2. $21 = 7 \cdot 3$ → $6 \cdot 3 = 18$; $30 = 6 \cdot 5$ → $7 \cdot 5 = 35$; $49 = 7 \cdot 7$ → $6 \cdot 7 = 42$.
3. $24 = 4 \cdot 6$ → $3 \cdot 6 = 18$; $24 = 3 \cdot 8$ → $4 \cdot 8 = 32$; $48 = 4 \cdot 12$ → $3 \cdot 12 = 36$.
4. $15 = 3 \cdot 5$ → $2 \cdot 5 = 10$; $14 = 2 \cdot 7$ → $3 \cdot 7 = 21$; $27 = 3 \cdot 9$ → $2 \cdot 9 = 18$.

Ответ: 1) $\frac{5}{9} = \frac{15}{27} = \frac{25}{45} = \frac{40}{72}$; 2) $\frac{7}{6} = \frac{21}{18} = \frac{35}{30} = \frac{49}{42}$; 3) $\frac{3}{4} = \frac{18}{24} = \frac{24}{32} = \frac{36}{48}$; 4) $\frac{2}{3} = \frac{10}{15} = \frac{14}{21} = \frac{18}{27}$.

№ 380

1) Приведи к знаменателю 100: $\frac{3}{4}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{5}$, $\frac{3}{10}$, $\frac{9}{20}$, $\frac{2}{25}$, $\frac{9}{50}$. 2) Приведи к знаменателю 60: $\frac{2}{3}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{4}{15}$, $\frac{7}{20}$, $\frac{11}{30}$.

Как думать. Новый знаменатель делим на старый — получаем множитель. На него умножаем числитель.

Решение.

1. $\frac{3}{4}$: $100 : 4 = 25$, $\frac{75}{100}$; $\frac{1}{2}$: множитель 50, $\frac{50}{100}$; $\frac{3}{5}$: множитель 20, $\frac{60}{100}$; $\frac{3}{10}$: множитель 10, $\frac{30}{100}$; $\frac{9}{20}$: множитель 5, $\frac{45}{100}$; $\frac{2}{25}$: множитель 4, $\frac{8}{100}$; $\frac{9}{50}$: множитель 2, $\frac{18}{100}$.
2. $\frac{2}{3}$: $60 : 3 = 20$, $\frac{40}{60}$; $\frac{1}{2}$: множитель 30, $\frac{30}{60}$; $\frac{3}{4}$: множитель 15, $\frac{45}{60}$; $\frac{1}{6}$: множитель 10, $\frac{10}{60}$; $\frac{4}{15}$: множитель 4, $\frac{16}{60}$; $\frac{7}{20}$: множитель 3, $\frac{21}{60}$; $\frac{11}{30}$: множитель 2, $\frac{22}{60}$.

Ответ: 1) $\frac{75}{100}$, $\frac{50}{100}$, $\frac{60}{100}$, $\frac{30}{100}$, $\frac{45}{100}$, $\frac{8}{100}$, $\frac{18}{100}$; 2) $\frac{40}{60}$, $\frac{30}{60}$, $\frac{45}{60}$, $\frac{10}{60}$, $\frac{16}{60}$, $\frac{21}{60}$, $\frac{22}{60}$.

💡 Знаменатель 100 — это проценты. $\frac{75}{100}$ — это 75 %. Скоро пригодится!

№ 381

1) В саду 42 дерева, из них 14 яблонь. Какую часть деревьев составляют яблони? 2) Туристы прошли 162 км, из них 108 км ехали на автобусе. Какую часть пути они проехали?

Как думать. Часть — это дробь «сколько взяли / сколько всего». Потом сокращаем.

Решение.

1. $\frac{14}{42}$. $НОД(14, 42) = 14$, значит $\frac{14}{42} = \frac{1}{3}$.
2. $\frac{108}{162}$. $НОД(108, 162) = 54$: $108 : 54 = 2$, $162 : 54 = 3$. Получаем $\frac{2}{3}$.

Ответ: 1) $\frac{1}{3}$ деревьев; 2) $\frac{2}{3}$ пути.

Уровень B

№ 382

Посмотри на циферблаты и допиши равенства: 1) $\frac{1}{6} = \frac{?}{12} = \frac{10}{?}$; 2) $\frac{1}{3} = \frac{4}{?} = \frac{?}{60}$; 3) $\frac{2}{3} = \frac{?}{12} = \frac{40}{?}$; 4) $\frac{5}{6} = \frac{10}{?} = \frac{?}{60}$.

Как думать. Целый час — это целый круг. На циферблате 12 больших делений и 60 минут. Минутная стрелка на рисунках показывает 10, 20, 40 и 50 минут.

Решение.

1. 10 минут: 2 деления из 12, то есть $\frac{2}{12}$ часа, и 10 минут из 60 — $\frac{10}{60}$. Всё это $\frac{1}{6}$ часа.
2. 20 минут: 4 деления из 12 и 20 минут из 60. $\frac{1}{3} = \frac{4}{12} = \frac{20}{60}$.
3. 40 минут: 8 делений из 12. $\frac{2}{3} = \frac{8}{12} = \frac{40}{60}$.
4. 50 минут: 10 делений из 12. $\frac{5}{6} = \frac{10}{12} = \frac{50}{60}$.

Равенства верные: каждая дробь получается из первой умножением числителя и знаменателя на 2 или на 10.

Ответ: 1) $\frac{1}{6} = \frac{2}{12} = \frac{10}{60}$; 2) $\frac{1}{3} = \frac{4}{12} = \frac{20}{60}$; 3) $\frac{2}{3} = \frac{8}{12} = \frac{40}{60}$; 4) $\frac{5}{6} = \frac{10}{12} = \frac{50}{60}$.

№ 383

Сократи: 1) $\frac{15}{18}$; $\frac{24}{30}$; $\frac{28}{32}$; $\frac{45}{75}$; $\frac{75}{300}$; $\frac{125}{1000}$; 2) $\frac{21}{360}$; $\frac{35}{700}$; $\frac{54}{900}$; $\frac{24}{600}$; $\frac{48}{800}$; $\frac{75}{1000}$.

Как думать. Ищи самый большой общий делитель — тогда хватит одного шага.

Решение.

1. $\frac{15}{18} = \frac{5}{6}$ (на 3); $\frac{24}{30} = \frac{4}{5}$ (на 6); $\frac{28}{32} = \frac{7}{8}$ (на 4); $\frac{45}{75} = \frac{3}{5}$ (на 15); $\frac{75}{300} = \frac{1}{4}$ (на 75); $\frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$ (на 125).
2. $\frac{21}{360} = \frac{7}{120}$ (на 3); $\frac{35}{700} = \frac{1}{20}$ (на 35); $\frac{54}{900} = \frac{3}{50}$ (на 18); $\frac{24}{600} = \frac{1}{25}$ (на 24); $\frac{48}{800} = \frac{3}{50}$ (на 16); $\frac{75}{1000} = \frac{3}{40}$ (на 25).

Ответ: 1) $\frac{5}{6}$, $\frac{4}{5}$, $\frac{7}{8}$, $\frac{3}{5}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{8}$; 2) $\frac{7}{120}$, $\frac{1}{20}$, $\frac{3}{50}$, $\frac{1}{25}$, $\frac{3}{50}$, $\frac{3}{40}$.

№ 384

Замени $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{3}{4}$ равными дробями со знаменателем 12.

Как думать. Сколько раз старый знаменатель помещается в 12 — на столько и умножаем числитель.

Решение. $\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 6}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12}$; $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$; $\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12}$; $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$.

Ответ: $\frac{6}{12}$, $\frac{8}{12}$, $\frac{2}{12}$, $\frac{9}{12}$.

№ 385

Сократи: 1) $\frac{6 \cdot 15}{5 \cdot 12}$; 2) $\frac{11 \cdot 9}{15 \cdot 22}$; 3) $\frac{18 \cdot 21}{14 \cdot 36}$; 4) $\frac{45 \cdot 17}{17 \cdot 35}$; 5) $\frac{81 \cdot 12}{24 \cdot 45}$; 6) $\frac{56 \cdot 16}{48 \cdot 49}$.

Как думать. Перемножать не нужно — это лишняя работа! Любой множитель сверху можно сокращать с любым множителем снизу.

Решение.

1. 6 и 12 — на 6: остаются 1 и 2. 15 и 5 — на 5: остаются 3 и 1. Получаем $\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{3}{2}$.
2. 11 и 22 — на 11: 1 и 2. 9 и 15 — на 3: 3 и 5. Получаем $\frac{3}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10}$.
3. 18 и 36 — на 18: 1 и 2. 21 и 14 — на 7: 3 и 2. Получаем $\frac{3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$.
4. 17 и 17 сокращаются полностью. Остаётся $\frac{45}{35} = \frac{9}{7}$.
5. 12 и 24 — на 12: 1 и 2. 81 и 45 — на 9: 9 и 5. Получаем $\frac{9}{2 \cdot 5} = \frac{9}{10}$.
6. 56 и 49 — на 7: 8 и 7. 16 и 48 — на 16: 1 и 3. Получаем $\frac{8}{7 \cdot 3} = \frac{8}{21}$.

Ответ: 1) $\frac{3}{2}$; 2) $\frac{3}{10}$; 3) $\frac{3}{4}$; 4) $\frac{9}{7}$; 5) $\frac{9}{10}$; 6) $\frac{8}{21}$.

№ 386

В коробке 12 карандашей: 2 красных, 6 синих, остальные зелёные. Какую часть коробки занимает каждый цвет?

Как думать. Сначала узнаём, сколько зелёных. Потом каждый цвет записываем дробью из 12 и сокращаем.

Решение.

1. Зелёных: $12 - 2 - 6 = 4$.
2. Красные: $\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
3. Синие: $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ — ровно половина круга на диаграмме.
4. Зелёные: $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

Проверка: $\frac{2}{12} + \frac{6}{12} + \frac{4}{12} = \frac{12}{12}$ — вся коробка.

Ответ: красные — $\frac{1}{6}$, синие — $\frac{1}{2}$, зелёные — $\frac{1}{3}$.

№ 387

Жанар, Эльвира и Света учатся в 5, 6 и 7 классах и едут в Кызылорду, Актобе и Уральск. Жанар — в 7 классе и едет не в Уральск. В Уральск едет пятиклассница. Эльвира — в 6 классе и едет не в Кызылорду. Кто куда едет?

Как думать. Логическая задача, как в детективе. Сначала узнаём, кто в каком классе, потом — города.

Решение.

1. Жанар — 7 класс, Эльвира — 6 класс. Значит, Света — 5 класс.
2. В Уральск едет пятиклассница, то есть Света.
3. Эльвира едет не в Кызылорду и не в Уральск (там Света). Значит, в Актобе.
4. Жанар остаётся Кызылорда.

Ответ: Жанар — в Кызылорду, Эльвира — в Актобе, Света — в Уральск.

№ 388

Сократи: 1) $\frac{35 + 28}{35 - 28}$; 2) $\frac{75 - 33}{75 + 33}$; 3) $\frac{24 + 3}{24 - 3}$; 4) $\frac{15 + 6}{15 - 6}$; 5) $\frac{12 - 3}{12 + 3}$; 6) $\frac{26 + 2}{26 - 2}$.

Как думать. Ловушка! Слагаемые сокращать нельзя. Сначала считаем верх и низ, потом сокращаем.

Решение.

1. $\frac{63}{7} = 9$;
2. $\frac{42}{108} = \frac{7}{18}$ (на 6);
3. $\frac{27}{21} = \frac{9}{7}$ (на 3);
4. $\frac{21}{9} = \frac{7}{3}$ (на 3);
5. $\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ (на 3);
6. $\frac{28}{24} = \frac{7}{6}$ (на 4).

Ответ: 1) 9; 2) $\frac{7}{18}$; 3) $\frac{9}{7}$; 4) $\frac{7}{3}$; 5) $\frac{3}{5}$; 6) $\frac{7}{6}$.

Уровень C

№ 389

По рисунку запиши дробью, какая часть каждой фигуры закрашена и какая нет. Запиши разными способами и составь равенства по основному свойству дроби.

Как думать. На рисунке: а) шестиугольник из 6 равных треугольников, закрашено 3; б) квадрат из 16 клеток, закрашено 8; в) круг из 12 секторов, закрашено 8; г) прямоугольник из 15 клеток, закрашено 6. Пишем «закрашено из всего», потом сокращаем.

Решение. а) Закрашено $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$, не закрашено $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. б) Закрашено $\frac{8}{16} = \frac{1}{2}$, не закрашено $\frac{8}{16} = \frac{1}{2}$. в) Закрашено $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$, не закрашено $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$. г) Закрашено $\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$, не закрашено $\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$.

Равенства: $\frac{3}{6} = \frac{3 : 3}{6 : 3} = \frac{1}{2}$; $\frac{8}{16} = \frac{8 : 8}{16 : 8} = \frac{1}{2}$; $\frac{8}{12} = \frac{8 : 4}{12 : 4} = \frac{2}{3}$; $\frac{6}{15} = \frac{6 : 3}{15 : 3} = \frac{2}{5}$. Заметь: $\frac{3}{6} = \frac{8}{16}$ — половина шестиугольника и половина квадрата записаны разными дробями.

Ответ: а) $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2}$; б) $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2}$; в) $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{3}$; г) $\frac{2}{5}$ и $\frac{3}{5}$.

№ 390

Сократи: 1) $\frac{2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 5}{3^{2} \cdot 2^{3}}$; 2) $\frac{45 \cdot 4^{2}}{80 \cdot 3^{2}}$; 3) $\frac{7^{3} \cdot 2^{3}}{16 \cdot 49}$; 4) $\frac{11 \cdot 9 \cdot 5}{3^{3} \cdot 11^{2}}$; 5) $\frac{5^{2} \cdot 3^{3}}{9 \cdot 25}$; 6) $\frac{5^{3} \cdot 29}{87 \cdot 25}$.

Как думать. Расписываем степени и числа на простые множители и вычёркиваем одинаковые пары сверху и снизу.

Решение.

1. $2^3$ сокращается полностью; $\frac{3^3}{3^2} = 3$. Остаётся $3 \cdot 5 = 15$.
2. $45 = 9 \cdot 5$, $4^2 = 16$, $80 = 16 \cdot 5$, $3^2 = 9$. Сверху $9 \cdot 5 \cdot 16$, снизу $16 \cdot 5 \cdot 9$ — всё сокращается, получаем 1.
3. $7^3 = 49 \cdot 7$, $2^3 = 8$. $\frac{49 \cdot 7 \cdot 8}{16 \cdot 49} = \frac{7 \cdot 8}{16} = \frac{7}{2}$.
4. $9 = 3^2$. $\frac{11 \cdot 3^2 \cdot 5}{3^3 \cdot 11^2} = \frac{5}{3 \cdot 11} = \frac{5}{33}$.
5. $5^2 = 25$, $3^3 = 27$. $\frac{25 \cdot 27}{9 \cdot 25} = \frac{27}{9} = 3$.
6. $87 = 3 \cdot 29$, $5^3 = 125$. $\frac{125 \cdot 29}{3 \cdot 29 \cdot 25} = \frac{5}{3}$.

Ответ: 1) 15; 2) 1; 3) $\frac{7}{2}$; 4) $\frac{5}{33}$; 5) 3; 6) $\frac{5}{3}$.

№ 391

В лотке 3 кг сахара. Сколько пакетов понадобится, если в каждый насыпать по $\frac{1}{4}$ кг?

Как думать. Сначала разберись с одним килограммом, а потом умножь на 3.

Решение. В 1 кг четыре раза по $\frac{1}{4}$ кг — это 4 пакета. В 3 кг: $3 \cdot 4 = 12$ пакетов.

Ответ: 12 пакетов.

№ 392

Вынеси общий множитель за скобки и сократи: 1) $\frac{35 \cdot 28 + 35 \cdot 32}{60 \cdot 15}$; 2) $\frac{57 \cdot 62 - 57 \cdot 34}{28 \cdot 19}$; 3) $\frac{48 \cdot 31 + 48 \cdot 19}{16 \cdot 100}$; 4) $\frac{17 \cdot 96 - 17 \cdot 24}{48 \cdot 85}$.

Как думать. В числителе сумма — её сокращать нельзя. Но если вынести общий множитель за скобки, сумма превратится в произведение, а произведение сокращать уже можно.

Решение.

1. Числитель: $35 \cdot (28 + 32) = 35 \cdot 60$. $\frac{35 \cdot 60}{60 \cdot 15} = \frac{35}{15} = \frac{7}{3}$.
2. Числитель: $57 \cdot (62 - 34) = 57 \cdot 28$. $\frac{57 \cdot 28}{28 \cdot 19} = \frac{57}{19} = 3$.
3. Числитель: $48 \cdot (31 + 19) = 48 \cdot 50$. $\frac{48 \cdot 50}{16 \cdot 100} = \frac{3 \cdot 1}{1 \cdot 2} = \frac{3}{2}$ (48 и 16 — на 16; 50 и 100 — на 50).
4. Числитель: $17 \cdot (96 - 24) = 17 \cdot 72$. $\frac{17 \cdot 72}{48 \cdot 85}$: 17 и 85 — на 17 (1 и 5); 72 и 48 — на 24 (3 и 2). Получаем $\frac{3}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10}$.

Ответ: 1) $\frac{7}{3}$; 2) 3; 3) $\frac{3}{2}$; 4) $\frac{3}{10}$.

№ 393

Найди $x$: 1) $\frac{5x - 11}{7} = \frac{32}{56}$; 2) $\frac{7x - 9}{12} = \frac{35}{84}$; 3) $\frac{2x + 7}{17} = \frac{60}{68}$.

Как думать. Сократи правую дробь так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. Раз дроби равны и низ одинаковый, то и верх одинаковый — получится обычное уравнение.

Решение.

1. $\frac{32}{56} = \frac{4}{7}$ (на 8). Значит, $5x - 11 = 4$, $5x = 15$, $x = 3$.
2. $\frac{35}{84} = \frac{5}{12}$ (на 7). Значит, $7x - 9 = 5$, $7x = 14$, $x = 2$.
3. $\frac{60}{68} = \frac{15}{17}$ (на 4). Значит, $2x + 7 = 15$, $2x = 8$, $x = 4$.

Ответ: 1) $x = 3$; 2) $x = 2$; 3) $x = 4$.

№ 394

Запиши числитель как произведение и сократи: 1) $\frac{x^{2} + xy}{x^{2}}$; 2) $\frac{4a + 12ab}{12a}$; 3) $\frac{5m^{2} - m^{2}}{8m}$; 4) $\frac{3x + 6y}{5x + 10y}$.

Как думать. Задача повышенной трудности. Буквы ведут себя как обычные числа. Выносим общий множитель за скобки и сокращаем одинаковые множители (буквы считаем не равными нулю).

Решение.

1. $x^2 + xy = x(x + y)$, $x^2 = x \cdot x$. $\frac{x(x + y)}{x \cdot x} = \frac{x + y}{x}$.
2. $4a + 12ab = 4a(1 + 3b)$. $\frac{4a(1 + 3b)}{12a} = \frac{1 + 3b}{3}$.
3. $5m^2 - m^2 = 4m^2 = 4 \cdot m \cdot m$. $\frac{4 \cdot m \cdot m}{8 \cdot m} = \frac{m}{2}$.
4. $3x + 6y = 3(x + 2y)$, $5x + 10y = 5(x + 2y)$. $\frac{3(x + 2y)}{5(x + 2y)} = \frac{3}{5}$.

Ответ: 1) $\frac{x + y}{x}$; 2) $\frac{1 + 3b}{3}$; 3) $\frac{m}{2}$; 4) $\frac{3}{5}$.

№ 395

Старинная задача. Корова в 4 раза дороже собаки и в 4 раза дешевле лошади. Мужик заплатил 200 рублей за собаку, лошадь и двух коров. Сколько стоят собака и корова?

Как думать. Самое дешёвое животное — собака. Примем её цену за 1 часть и выразим всех через части.

Решение.

1. Собака — 1 часть. Корова — $1 \cdot 4 = 4$ части. Лошадь — $4 \cdot 4 = 16$ частей.
2. Покупка: $1 + 16 + 2 \cdot 4 = 25$ частей.
3. Одна часть: $200 : 25 = 8$ рублей — цена собаки.
4. Корова: $8 \cdot 4 = 32$ рубля.

Проверка: лошадь $32 \cdot 4 = 128$ рублей; $8 + 128 + 2 \cdot 32 = 200$. Верно.

Ответ: собака стоит 8 рублей, корова — 32 рубля.

Шпаргалка

• $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} = \frac{a : n}{b : n}$ — что делаешь внизу, то и вверху.
• Привести к знаменателю: новый знаменатель : старый = множитель для числителя.
• Сокращать удобнее всего сразу на НОД.
• В ответе — всегда несократимая дробь.
• Сумму сначала посчитай, потом сокращай.

Мини-тест