3.13. Деление обыкновенных дробей и смешанных чисел

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава III: Обыкновенные дроби и действия над ними. Страницы 203–211.

Чему научишься

• Делить дробь на дробь одним простым фокусом: «перевернуть и умножить».
• Делить смешанные числа: сначала «распаковать» их в неправильные дроби.
• Делить целое число на дробь и дробь на целое число.
• Заранее прикидывать, будет ответ больше или меньше делимого.
• Решать уравнения вида $\frac{a}{b}x = c$.

Разминка

Ответь в уме, потом открой ответ.

• Какое действие обратно умножению? Деление.
• Сколько будет $\frac{24}{4} : \frac{21}{7}$? $\frac{24}{4} = 6$, $\frac{21}{7} = 3$, а $6 : 3 = $ 2.
• А теперь «переверни» делитель и умножь: $\frac{24}{4} \cdot \frac{7}{21}$. Сколько? $\frac{24 \cdot 7}{4 \cdot 21} = \frac{168}{84} = $ 2. Ответ тот же!
• Попробуй этот фокус сам: $\frac{8}{9} : \frac{1}{3}$ и $\frac{4}{5} : \frac{1}{2}$. $\frac{8}{9} \cdot \frac{3}{1} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$; $\frac{4}{5} \cdot 2 = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5}$.
• И ещё: $\frac{5}{6} : \frac{2}{3}$ и $\frac{7}{8} : \frac{3}{4}$. $\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{2} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$; $\frac{7}{8} \cdot \frac{4}{3} = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$.

💡 Заметил? Деление каждый раз превратилось в умножение, когда мы перевернули вторую дробь. Это и есть главный секрет урока.

Разбираемся

Делить — значит узнать, сколько раз помещается

У тебя 4 м ленты. На один бант нужно $\frac{2}{3}$ м. Сколько бантов выйдет? Нужно узнать, сколько раз $\frac{2}{3}$ помещается в 4, то есть найти $4 : \frac{2}{3}$.

Получилось $4 : \frac{2}{3} = 6$. Ответ больше 4! Ничего странного: кусочки маленькие, поэтому их много.

Фокус «переверни и умножь»

Почему фокус из разминки работает? Возьмём прямоугольник: площадь $\frac{9}{25}$ дм², ширина $\frac{2}{5}$ дм. Длина $x$ — это $\frac{9}{25} : \frac{2}{5}$.

1. Площадь = ширина · длина, то есть $\frac{2}{5}x = \frac{9}{25}$.
2. Умножим обе части на $\frac{5}{2}$. Слева $\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} = 1$, и остаётся просто $x$.
3. Значит, $x = \frac{9}{25} \cdot \frac{5}{2} = \frac{9 \cdot 5}{25 \cdot 2} = \frac{9}{10}$ дм.

Вышло, что делить на $\frac{2}{5}$ — то же самое, что умножать на $\frac{5}{2}$.

📌 Чтобы разделить дробь на дробь, умножь делимое на число, обратное делителю: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$.

Например, $\frac{4}{7} : \frac{2}{3} = \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{2} = \frac{6}{7}$ и $\frac{3}{4} : \frac{5}{7} = \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{5} = \frac{21}{20} = 1\frac{1}{20}$.

⚠️ Частая ошибка. Переворачивают не ту дробь: $\frac{4}{7} : \frac{2}{3} = \frac{7}{4} \cdot \frac{2}{3}$. Неверно! Первая дробь остаётся как есть, переворачивается только вторая. Проверь умножением: $\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{7}$ — сошлось.

А на нуль делить нельзя: у нуля нет обратного числа.

Смешанные числа — сначала «распаковать»

Смешанное число нельзя перевернуть целиком. Поэтому сначала превращаем его в неправильную дробь, а дальше — тот же фокус:

$4\frac{2}{5} : 1\frac{7}{9} = \frac{22}{5} : \frac{16}{9} = \frac{22}{5} \cdot \frac{9}{16} = \frac{11 \cdot 9}{5 \cdot 8} = \frac{99}{40} = 2\frac{19}{40}$.

Целое число и дробь

Любое целое число — это дробь со знаменателем 1: $4 = \frac{4}{1}$. Отсюда два коротких правила:

• $n : \frac{a}{b} = \frac{n \cdot b}{a}$. Пример: $4 : \frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$.
• $\frac{a}{b} : n = \frac{a}{b \cdot n}$ — знаменатель умножаем на число. Пример: $\frac{4}{5} : 2 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

Ещё примеры: $2 : 1\frac{4}{5} = 2 : \frac{9}{5} = \frac{10}{9} = 1\frac{1}{9}$; $3\frac{1}{3} : 2 = \frac{10}{3 \cdot 2} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$; $1\frac{1}{2} : \frac{3}{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} = 2$.

⚠️ Частая ошибка. В $3\frac{1}{3} : 2$ делят на 2 только целую часть и пишут $1\frac{1}{3}$. Правильно: $\frac{10}{3} : 2 = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$.

Больше или меньше? Угадай без вычислений

Делишь на число меньше 1 — ответ больше делимого. Делишь на число больше 1 — ответ меньше. Проверь своё чутьё:

👨‍👩‍👧 Родителю. Перед каждым примером спросите: «Ответ будет больше или меньше?» Такая прикидка ловит половину ошибок, особенно «перевернул не ту дробь».

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как разделить дробь на дробь? Умножить делимое на число, обратное делителю.
• Как разделить смешанное число на смешанное? Записать оба числа неправильными дробями и разделить по тому же правилу.
• Как разделить натуральное число на дробь? Умножить число на знаменатель дроби и разделить на её числитель: $n : \frac{a}{b} = \frac{n \cdot b}{a}$.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 606

Раздели в уме: $\frac{1}{3} : 3$; $\frac{7}{10} : 7$; $\frac{2}{5} : \frac{2}{3}$; $\frac{1}{100} : \frac{1}{100}$; $\frac{4}{5} : \frac{2}{5}$; $7 : \frac{1}{4}$; $8 : \frac{2}{3}$; $\frac{1}{5} : \frac{1}{10}$.

Как думать. Делишь дробь на число — умножай знаменатель (или дели числитель, если делится). Делишь число на дробь — умножай на перевёрнутую дробь.

Решение.

Ответ: $\frac{1}{9}$; $\frac{1}{10}$; $\frac{3}{5}$; 1; 2; 28; 12; 2.

Уровень A

№ 607

Раздели: $\frac{1}{3} : \frac{1}{9}$; $\frac{3}{8} : \frac{1}{2}$; $\frac{4}{9} : \frac{8}{9}$; $\frac{1}{12} : \frac{1}{6}$; $\frac{3}{5} : \frac{1}{25}$; $\frac{2}{7} : \frac{3}{7}$; $\frac{1}{10} : \frac{1}{10}$; $\frac{3}{4} : \frac{5}{8}$.

Как думать. Переворачиваем вторую дробь и умножаем. Делить на $\frac{1}{9}$ — то же, что умножать на 9.

Решение.

1. $\frac{1}{3} \cdot 9 = 3$;
2. $\frac{3}{8} \cdot 2 = \frac{3}{4}$;
3. $\frac{4}{9} \cdot \frac{9}{8} = \frac{1}{2}$;
4. $\frac{1}{12} \cdot 6 = \frac{1}{2}$;
5. $\frac{3}{5} \cdot 25 = 15$;
6. $\frac{2}{7} \cdot \frac{7}{3} = \frac{2}{3}$;
7. $\frac{1}{10} : \frac{1}{10} = 1$;
8. $\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{5} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$.

Ответ: 1) 3; 2) $\frac{3}{4}$; 3) $\frac{1}{2}$; 4) $\frac{1}{2}$; 5) 15; 6) $\frac{2}{3}$; 7) 1; 8) $1\frac{1}{5}$.

№ 608

Раздели: $3 : \frac{1}{9}$; $6 : \frac{1}{11}$; $4 : \frac{3}{8}$; $5 : \frac{5}{7}$; $2\frac{1}{7} : 15$; $1\frac{7}{9} : 8$; $4\frac{1}{2} : 6$; $5\frac{1}{4} : 7$.

Как думать. В первых четырёх число делим на дробь: $n : \frac{a}{b} = \frac{n \cdot b}{a}$. В последних четырёх смешанное число сначала делаем неправильной дробью, а потом умножаем знаменатель.

Решение.

1. $3 : \frac{1}{9} = 3 \cdot 9 = 27$;
2. $6 : \frac{1}{11} = 6 \cdot 11 = 66$;
3. $4 : \frac{3}{8} = \frac{4 \cdot 8}{3} = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3}$;
4. $5 : \frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 7}{5} = 7$;
5. $2\frac{1}{7} : 15 = \frac{15}{7} : 15 = \frac{15}{7 \cdot 15} = \frac{1}{7}$;
6. $1\frac{7}{9} : 8 = \frac{16}{9 \cdot 8} = \frac{2}{9}$;
7. $4\frac{1}{2} : 6 = \frac{9}{2 \cdot 6} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$;
8. $5\frac{1}{4} : 7 = \frac{21}{4 \cdot 7} = \frac{3}{4}$.

Ответ: 1) 27; 2) 66; 3) $10\frac{2}{3}$; 4) 7; 5) $\frac{1}{7}$; 6) $\frac{2}{9}$; 7) $\frac{3}{4}$; 8) $\frac{3}{4}$.

№ 609

Найди частное: $3\frac{1}{5} : 2\frac{2}{15}$; $1\frac{7}{8} : 4\frac{1}{6}$; $6\frac{1}{2} : 1\frac{6}{7}$; $6\frac{2}{3} : 2\frac{7}{9}$; $5\frac{3}{11} : 2\frac{7}{11}$; $5\frac{1}{3} : 3\frac{5}{9}$; $5\frac{5}{14} : 2\frac{1}{7}$; $6\frac{2}{5} : 1\frac{7}{9}$.

Как думать. Сначала «распаковываем» оба числа в неправильные дроби, потом переворачиваем делитель. Сокращай до умножения — числа будут маленькими.

Решение.

1. $\frac{16}{5} : \frac{32}{15} = \frac{16}{5} \cdot \frac{15}{32} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$;
2. $\frac{15}{8} : \frac{25}{6} = \frac{15}{8} \cdot \frac{6}{25} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 5} = \frac{9}{20}$;
3. $\frac{13}{2} : \frac{13}{7} = \frac{13}{2} \cdot \frac{7}{13} = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$;
4. $\frac{20}{3} : \frac{25}{9} = \frac{20}{3} \cdot \frac{9}{25} = \frac{4 \cdot 3}{5} = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5}$;
5. $\frac{58}{11} : \frac{29}{11} = 58 : 29 = 2$;
6. $\frac{16}{3} : \frac{32}{9} = \frac{16}{3} \cdot \frac{9}{32} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$;
7. $\frac{75}{14} : \frac{15}{7} = \frac{75}{14} \cdot \frac{7}{15} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$;
8. $\frac{32}{5} : \frac{16}{9} = \frac{32}{5} \cdot \frac{9}{16} = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5}$.

💡 Посмотри на пример 5: знаменатели одинаковые, поэтому можно сразу разделить числители.

Ответ: 1) $1\frac{1}{2}$; 2) $\frac{9}{20}$; 3) $3\frac{1}{2}$; 4) $2\frac{2}{5}$; 5) 2; 6) $1\frac{1}{2}$; 7) $2\frac{1}{2}$; 8) $3\frac{3}{5}$.

№ 610

Вычисли: $\left(\frac{2}{7} + \frac{5}{21}\right) : 1\frac{4}{7}$; $\left(\frac{8}{11} + \frac{3}{22}\right) : \frac{5}{11}$; $1\frac{7}{12} : \left(\frac{3}{8} + \frac{5}{12}\right)$; $\frac{17}{36} : \left(\frac{7}{12} - \frac{5}{9}\right)$; $\left(\frac{3}{14} + \frac{5}{7}\right) : 3\frac{5}{7}$; $\frac{19}{24} : \left(\frac{3}{16} + \frac{5}{24}\right)$.

Как думать. Сначала скобки (там нужен общий знаменатель), потом деление.

Решение.

1. $\frac{6}{21} + \frac{5}{21} = \frac{11}{21}$; $\frac{11}{21} : \frac{11}{7} = \frac{11}{21} \cdot \frac{7}{11} = \frac{1}{3}$;
2. $\frac{16}{22} + \frac{3}{22} = \frac{19}{22}$; $\frac{19}{22} \cdot \frac{11}{5} = \frac{19}{10} = 1\frac{9}{10}$;
3. $\frac{9}{24} + \frac{10}{24} = \frac{19}{24}$; $\frac{19}{12} : \frac{19}{24} = \frac{19}{12} \cdot \frac{24}{19} = 2$;
4. $\frac{21}{36} - \frac{20}{36} = \frac{1}{36}$; $\frac{17}{36} : \frac{1}{36} = 17$;
5. $\frac{3}{14} + \frac{10}{14} = \frac{13}{14}$; $\frac{13}{14} : \frac{26}{7} = \frac{13}{14} \cdot \frac{7}{26} = \frac{1}{4}$;
6. $\frac{9}{48} + \frac{10}{48} = \frac{19}{48}$; $\frac{19}{24} : \frac{19}{48} = 2$.

Ответ: 1) $\frac{1}{3}$; 2) $1\frac{9}{10}$; 3) 2; 4) 17; 5) $\frac{1}{4}$; 6) 2.

№ 611

Реши уравнения: $\frac{2}{9}x = \frac{5}{12}$; $\frac{4}{15}y = \frac{2}{5}$; $\frac{3}{5}x = 6$; $\frac{7}{8}y = 14$; $\frac{3}{7}x = 1\frac{4}{5}$; $\frac{9}{10}y = 4\frac{1}{2}$.

Как думать. Неизвестный множитель = произведение : известный множитель. Значит, правую часть делим на дробь при $x$.

Решение.

1. $x = \frac{5}{12} : \frac{2}{9} = \frac{5}{12} \cdot \frac{9}{2} = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8}$;
2. $y = \frac{2}{5} : \frac{4}{15} = \frac{2}{5} \cdot \frac{15}{4} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$;
3. $x = 6 : \frac{3}{5} = \frac{6 \cdot 5}{3} = 10$;
4. $y = 14 : \frac{7}{8} = \frac{14 \cdot 8}{7} = 16$;
5. $x = \frac{9}{5} : \frac{3}{7} = \frac{9}{5} \cdot \frac{7}{3} = \frac{21}{5} = 4\frac{1}{5}$;
6. $y = \frac{9}{2} : \frac{9}{10} = \frac{9}{2} \cdot \frac{10}{9} = 5$.

Проверка для 3): $\frac{3}{5} \cdot 10 = 6$. Верно.

Ответ: 1) $1\frac{7}{8}$; 2) $1\frac{1}{2}$; 3) 10; 4) 16; 5) $4\frac{1}{5}$; 6) 5.

№ 612

1) В пачке $\frac{1}{4}$ кг чая. Сколько пачек нужно на 1 кг? 2) За 1 ч поезд проезжает $\frac{1}{3}$ пути. За сколько часов он проедет весь путь?

Как думать. Узнаём, сколько раз маленькая часть помещается в целом. Весь путь — это 1.

Решение.

1. $1 : \frac{1}{4} = 4$ (пачки).
2. $1 : \frac{1}{3} = 3$ (ч).

Ответ: 1) 4 пачки; 2) 3 ч.

№ 613

1) В пакете $\frac{3}{4}$ кг урюка. Сколько пакетов в 6 кг? 2) Звук в воздухе пролетает $\frac{3}{10}$ км за секунду. За сколько секунд он пролетит 3 км?

Решение.

1. $6 : \frac{3}{4} = \frac{6 \cdot 4}{3} = 8$ (пакетов).
2. $3 : \frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 10}{3} = 10$ (с).

Ответ: 1) 8 пакетов; 2) 10 с.

🌟 Вот почему при грозе сначала видна молния, а гром слышен позже: свет долетает почти мгновенно, а звук проходит всего $\frac{3}{10}$ км в секунду. Сосчитай секунды до грома и умножь на $\frac{3}{10}$ — узнаешь, сколько километров до грозы.

№ 614

1) Колесо машины за один оборот проходит $2\frac{2}{5}$ м. Сколько оборотов оно сделает на 108 м? 2) Трамвай за $\frac{2}{3}$ ч проезжает $10\frac{1}{6}$ км. Найди его скорость.

Решение.

1. $108 : 2\frac{2}{5} = 108 : \frac{12}{5} = \frac{108 \cdot 5}{12} = 9 \cdot 5 = 45$ (оборотов).
2. Скорость = путь : время: $10\frac{1}{6} : \frac{2}{3} = \frac{61}{6} \cdot \frac{3}{2} = \frac{61}{4} = 15\frac{1}{4}$ (км/ч).

Ответ: 1) 45 оборотов; 2) $15\frac{1}{4}$ км/ч.

№ 615

Туристы прошли путь за два дня. В первый день — на $\frac{3}{7}$ больше, чем во второй. Какую часть пути прошли в каждый день?

Как думать. Весь путь — это 1. Убери из него «лишние» $\frac{3}{7}$ первого дня — останутся две равные части.

Решение.

1. $1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$ — столько было бы, если бы оба дня шли поровну.
2. Второй день: $\frac{4}{7} : 2 = \frac{2}{7}$.
3. Первый день: $\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{5}{7}$.

Проверка: $\frac{5}{7} + \frac{2}{7} = 1$, а $\frac{5}{7} - \frac{2}{7} = \frac{3}{7}$.

Ответ: в первый день $\frac{5}{7}$ пути, во второй $\frac{2}{7}$.

Уровень B

№ 616

Вычисли по порядку: $\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{5} : \frac{9}{10}$; $\frac{6}{7} : \frac{3}{5} \cdot 1\frac{2}{5}$; $2\frac{2}{11} \cdot 1\frac{3}{8} : \frac{3}{4}$; $\frac{11}{23} \cdot 3\frac{2}{7} : 5\frac{1}{2}$; $\frac{3}{5} \cdot \left(2\frac{2}{3} : 3\frac{1}{5}\right)$; $1\frac{1}{8} \cdot \left(9\frac{1}{3} : 1\frac{3}{4}\right)$.

Как думать. Умножение и деление идут слева направо, а скобки — первыми. Смешанные числа сразу делаем неправильными дробями.

Решение.

1. $\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{10}$; $\frac{3}{10} : \frac{9}{10} = \frac{3}{10} \cdot \frac{10}{9} = \frac{1}{3}$;
2. $\frac{6}{7} : \frac{3}{5} = \frac{6}{7} \cdot \frac{5}{3} = \frac{10}{7}$; $\frac{10}{7} \cdot \frac{7}{5} = 2$;
3. $\frac{24}{11} \cdot \frac{11}{8} = 3$; $3 : \frac{3}{4} = 4$;
4. $\frac{11}{23} \cdot \frac{23}{7} = \frac{11}{7}$; $\frac{11}{7} : \frac{11}{2} = \frac{11}{7} \cdot \frac{2}{11} = \frac{2}{7}$;
5. $\frac{8}{3} : \frac{16}{5} = \frac{8}{3} \cdot \frac{5}{16} = \frac{5}{6}$; $\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{2}$;
6. $\frac{28}{3} : \frac{7}{4} = \frac{28}{3} \cdot \frac{4}{7} = \frac{16}{3}$; $\frac{9}{8} \cdot \frac{16}{3} = 6$.

Ответ: 1) $\frac{1}{3}$; 2) 2; 3) 4; 4) $\frac{2}{7}$; 5) $\frac{1}{2}$; 6) 6.

№ 617

Вычисли: $\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{6}\right) : \left(\frac{3}{8} - \frac{1}{4}\right)$; $\left(1 - \frac{4}{9}\right) : \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right)$; $\left(\frac{1}{3} - \frac{5}{16}\right) : \left(\frac{1}{6} - \frac{1}{8}\right)$; $\left(\frac{5}{7} - \frac{2}{3}\right) : \left(\frac{4}{9} - \frac{5}{12}\right)$.

Как думать. Считаем каждую скобку отдельно, потом делим первую на вторую.

Решение.

1. $\frac{1}{12} + \frac{2}{12} = \frac{1}{4}$; $\frac{3}{8} - \frac{2}{8} = \frac{1}{8}$; $\frac{1}{4} : \frac{1}{8} = 2$;
2. $1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$; $\frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{1}{12}$; $\frac{5}{9} \cdot 12 = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}$;
3. $\frac{16}{48} - \frac{15}{48} = \frac{1}{48}$; $\frac{4}{24} - \frac{3}{24} = \frac{1}{24}$; $\frac{1}{48} \cdot 24 = \frac{1}{2}$;
4. $\frac{15}{21} - \frac{14}{21} = \frac{1}{21}$; $\frac{16}{36} - \frac{15}{36} = \frac{1}{36}$; $\frac{1}{21} \cdot 36 = \frac{12}{7} = 1\frac{5}{7}$.

Ответ: 1) 2; 2) $6\frac{2}{3}$; 3) $\frac{1}{2}$; 4) $1\frac{5}{7}$.

№ 618

Реши уравнения: $\left(1 - \frac{7}{10}\right)x = 2\frac{1}{4}$; $\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{5}\right)x = 1\frac{4}{5}$; $\left(3\frac{1}{8} + 1\frac{3}{4}\right)x = 2\frac{1}{6}$; $\left(2\frac{1}{12} - 1\frac{5}{6}\right)x = \frac{3}{4}$.

Как думать. Сначала посчитай скобку — получится обычное уравнение «дробь · $x$ = число».

Решение.

1. $\frac{3}{10}x = \frac{9}{4}$; $x = \frac{9}{4} \cdot \frac{10}{3} = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2}$;
2. $\left(\frac{5}{20} + \frac{4}{20}\right)x = \frac{9}{20}x = \frac{9}{5}$; $x = \frac{9}{5} \cdot \frac{20}{9} = 4$;
3. $3\frac{1}{8} + 1\frac{6}{8} = 4\frac{7}{8} = \frac{39}{8}$; $x = \frac{13}{6} : \frac{39}{8} = \frac{13}{6} \cdot \frac{8}{39} = \frac{4}{9}$;
4. $\frac{25}{12} - \frac{22}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$; $x = \frac{3}{4} : \frac{1}{4} = 3$.

Ответ: 1) $7\frac{1}{2}$; 2) 4; 3) $\frac{4}{9}$; 4) 3.

№ 619

1) Периметр квадрата $18\frac{2}{5}$ см. Найди сторону. 2) Все рёбра куба вместе — 69 см. Найди одно ребро.

Как думать. У квадрата 4 равные стороны, у куба 12 равных рёбер.

Решение.

1. $18\frac{2}{5} : 4 = \frac{92}{5} : 4 = \frac{23}{5} = 4\frac{3}{5}$ (см).
2. $69 : 12 = \frac{69}{12} = \frac{23}{4} = 5\frac{3}{4}$ (см).

Ответ: 1) $4\frac{3}{5}$ см; 2) $5\frac{3}{4}$ см.

№ 620

Голубь пролетел 420 м за 25 с. За сколько секунд он пролетит 672 м? Сколько метров пролетит за 30 с?

Как думать. Сначала узнаём скорость — сколько метров за 1 секунду.

Решение.

1. Скорость: $420 : 25 = \frac{84}{5} = 16\frac{4}{5}$ (м/с).
2. Время на 672 м: $672 : \frac{84}{5} = \frac{672 \cdot 5}{84} = 8 \cdot 5 = 40$ (с).
3. За 30 с: $\frac{84}{5} \cdot 30 = 84 \cdot 6 = 504$ (м).

Ответ: 40 с; 504 м.

№ 621

Сплав для пайки: 2 части свинца и 5 частей олова. Сколько каждого металла в куске массой $2\frac{9}{20}$ кг?

Как думать. Найди, сколько весит одна часть, — дальше всё просто.

Решение.

1. Всего частей: $2 + 5 = 7$.
2. Одна часть: $2\frac{9}{20} : 7 = \frac{49}{20 \cdot 7} = \frac{7}{20}$ (кг).
3. Свинец: $\frac{7}{20} \cdot 2 = \frac{7}{10}$ (кг). Олово: $\frac{7}{20} \cdot 5 = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$ (кг).

Проверка: $\frac{7}{10} + 1\frac{3}{4} = \frac{14}{20} + 1\frac{15}{20} = 2\frac{9}{20}$. Верно.

Ответ: свинца $\frac{7}{10}$ кг (700 г), олова $1\frac{3}{4}$ кг.

№ 622

За день ученик прочитал $\frac{9}{13}$ книги. Это на 25 страниц больше половины книги. Сколько страниц в книге?

Как думать. Найдём, какой части книги соответствуют эти 25 страниц, а потом — всю книгу.

Решение.

1. $\frac{9}{13} - \frac{1}{2} = \frac{18}{26} - \frac{13}{26} = \frac{5}{26}$ книги — это 25 страниц.
2. Вся книга: $25 : \frac{5}{26} = \frac{25 \cdot 26}{5} = 130$ (страниц).

Ответ: 130 страниц.

№ 623

В магазине продали $\frac{2}{7}$ овощей, и осталось на 150 кг больше, чем продали. Сколько овощей привезли?

Решение.

1. Осталось $1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$ всех овощей.
2. Разница: $\frac{5}{7} - \frac{2}{7} = \frac{3}{7}$ — это 150 кг.
3. Всего: $150 : \frac{3}{7} = \frac{150 \cdot 7}{3} = 350$ (кг).

Ответ: 350 кг.

№ 624

Квадрат 12 × 12 см разбит на клетки 4 × 4 см. В клетках поставили 37 точек. Докажи, что в какой-то клетке не меньше 5 точек.

Как думать. Задача на смекалку — её называют «принципом Дирихле» (как с кроликами в клетках). Посчитай клетки и представь, что в каждой не больше 4 точек.

Решение.

1. По каждой стороне $12 : 4 = 3$ клетки, всего $3 \cdot 3 = 9$ клеток.
2. Пусть в каждой клетке не больше 4 точек. Тогда всего точек не больше $9 \cdot 4 = 36$.
3. А точек 37 — больше, чем 36. Не сходится! Значит, хотя бы в одной клетке не меньше 5 точек.

Ответ: доказано (9 клеток по 4 точки вмещают только 36 точек).

№ 625

Для компота купили фрукты: яблоки — 7 частей, груши — 4, абрикосы — 3. Груш на $1\frac{7}{20}$ кг меньше, чем яблок. Сколько всего фруктов?

Решение.

1. Разница: $7 - 4 = 3$ части — это $1\frac{7}{20} = \frac{27}{20}$ кг.
2. Одна часть: $\frac{27}{20} : 3 = \frac{9}{20}$ (кг).
3. Всего частей $7 + 4 + 3 = 14$: $\frac{9}{20} \cdot 14 = \frac{126}{20} = \frac{63}{10} = 6\frac{3}{10}$ (кг).

Ответ: $6\frac{3}{10}$ кг.

№ 626

Из Уральска и Актобе навстречу друг другу вышли два поезда и встретились через $4\frac{1}{4}$ ч. Один проехал $382\frac{1}{2}$ км, другой $300\frac{9}{10}$ км. На сколько километров они сближались за час? Реши двумя способами.

Как думать. Можно сложить пути и разделить на время. А можно найти скорость каждого поезда и сложить скорости.

Решение.

Первый способ (через общий путь).

1. $382\frac{5}{10} + 300\frac{9}{10} = 683\frac{4}{10} = 683\frac{2}{5} = \frac{3417}{5}$ (км) проехали вместе.
2. $\frac{3417}{5} : \frac{17}{4} = \frac{3417 \cdot 4}{5 \cdot 17} = \frac{201 \cdot 4}{5} = \frac{804}{5} = 160\frac{4}{5}$ (км/ч).

Второй способ (через скорость каждого).

1. $382\frac{1}{2} : 4\frac{1}{4} = \frac{765}{2} \cdot \frac{4}{17} = 90$ (км/ч).
2. $300\frac{9}{10} : 4\frac{1}{4} = \frac{3009}{10} \cdot \frac{4}{17} = \frac{354}{5} = 70\frac{4}{5}$ (км/ч).
3. $90 + 70\frac{4}{5} = 160\frac{4}{5}$ (км/ч).

Ответ: на $160\frac{4}{5}$ км.

Уровень C

№ 627

Вычисли «многоэтажные» дроби: 1) верх $\frac{3}{8} + \frac{1}{12} + \frac{1}{6}$, низ $\frac{1}{12} + \frac{1}{3} + \frac{5}{6}$; 2) верх $\frac{2}{3} - \frac{1}{6} - \frac{4}{9}$, низ $\frac{7}{9} - \frac{5}{12} - \frac{5}{18}$; 3) верх $2\frac{1}{4} \cdot 1\frac{1}{3} \cdot \frac{8}{9}$, низ $1\frac{1}{5} \cdot \frac{4}{9} \cdot 2\frac{1}{2}$.

Как думать. Черта дроби — это знак деления. Отдельно считаем верх, отдельно низ, потом делим.

Решение.

1. Верх: $\frac{9}{24} + \frac{2}{24} + \frac{4}{24} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}$. Низ: $\frac{1}{12} + \frac{4}{12} + \frac{10}{12} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$. Итог: $\frac{5}{8} : \frac{5}{4} = \frac{1}{2}$.
2. Верх: $\frac{12}{18} - \frac{3}{18} - \frac{8}{18} = \frac{1}{18}$. Низ: $\frac{28}{36} - \frac{15}{36} - \frac{10}{36} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$. Итог: $\frac{1}{18} : \frac{1}{12} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$.
3. Верх: $\frac{9}{4} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{8}{9} = \frac{8}{3}$. Низ: $\frac{6}{5} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{5}{2} = \frac{4}{3}$. Итог: $\frac{8}{3} : \frac{4}{3} = 2$.

Ответ: 1) $\frac{1}{2}$; 2) $\frac{2}{3}$; 3) 2.

№ 628

Сократи и вычисли: $\frac{6a^2}{7b} : \frac{3a}{21b^2}$; $\frac{8c^3}{5d} : \frac{2c^2}{15d^2}$; $\frac{16x^2}{5y} \cdot \frac{5^2 y}{2^3 x}$.

Как думать. Буквы сокращаются так же, как числа: $\frac{a^2}{a} = a$. Считаем, что буквы не равны нулю.

Решение.

1. $\frac{6a^2}{7b} \cdot \frac{21b^2}{3a} = \frac{6 \cdot 21 \cdot a^2 b^2}{7 \cdot 3 \cdot a b} = 6ab$;
2. $\frac{8c^3}{5d} \cdot \frac{15d^2}{2c^2} = \frac{8 \cdot 15 \cdot c^3 d^2}{5 \cdot 2 \cdot c^2 d} = 12cd$;
3. $\frac{16x^2}{5y} \cdot \frac{25y}{8x} = \frac{16 \cdot 25 \cdot x^2 y}{5 \cdot 8 \cdot x y} = 10x$.

Ответ: 1) $6ab$; 2) $12cd$; 3) $10x$.

№ 629

Реши уравнения и выбери ответы из A. 10; B. 6; C. 5; D. 7: 1) $\frac{1}{x} - \frac{1}{6\frac{1}{4}x} = \frac{3}{25}$; 2) $\frac{2}{x} + \frac{1}{4\frac{1}{2}x} = \frac{4}{9}$; 3) $\frac{6}{x} + \frac{1}{1\frac{1}{2}x} = \frac{2}{3}$.

Как думать. Сначала упрости «неудобную» дробь: $\frac{1}{6\frac{1}{4}x} = \frac{1}{\frac{25}{4}x} = \frac{4}{25x}$. Потом сведи всё к виду «$\frac{k}{x}$ = число».

Решение.

1. $\frac{1}{x} - \frac{4}{25x} = \frac{25}{25x} - \frac{4}{25x} = \frac{21}{25x}$. Из $\frac{21}{25x} = \frac{3}{25}$ получаем $25x \cdot 3 = 21 \cdot 25$, $x = 7$ — ответ D.
2. $\frac{1}{4\frac{1}{2}x} = \frac{2}{9x}$; $\frac{2}{x} + \frac{2}{9x} = \frac{18}{9x} + \frac{2}{9x} = \frac{20}{9x} = \frac{4}{9}$, $4x = 20$, $x = 5$ — ответ C.
3. $\frac{1}{1\frac{1}{2}x} = \frac{2}{3x}$; $\frac{6}{x} + \frac{2}{3x} = \frac{18}{3x} + \frac{2}{3x} = \frac{20}{3x} = \frac{2}{3}$, $2x = 20$, $x = 10$ — ответ A.

Проверка для 2): $\frac{2}{5} + \frac{2}{45} = \frac{18}{45} + \frac{2}{45} = \frac{20}{45} = \frac{4}{9}$. Верно.

Ответ: 1) 7 (D); 2) 5 (C); 3) 10 (A).

№ 630

3 л керосина и 5 л бензина весят $5\frac{9}{10}$ кг, а 5 л керосина и 3 л бензина — $6\frac{1}{10}$ кг. Сколько весит 1 л керосина и 1 л бензина?

Как думать. Хитрость: сложи оба набора — получится по 8 л того и другого. А разница наборов покажет, насколько керосин тяжелее.

Решение.

1. Вместе: $5\frac{9}{10} + 6\frac{1}{10} = 12$ (кг) — это 8 л керосина и 8 л бензина.
2. 1 л керосина + 1 л бензина: $12 : 8 = 1\frac{1}{2}$ (кг).
3. Разница наборов: $6\frac{1}{10} - 5\frac{9}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ (кг). Во втором наборе на 2 л керосина больше и на 2 л бензина меньше. Значит, 1 л керосина тяжелее 1 л бензина на $\frac{1}{5} : 2 = \frac{1}{10}$ кг.
4. Керосин: $\left(1\frac{1}{2} + \frac{1}{10}\right) : 2 = \frac{16}{10} : 2 = \frac{8}{10}$ кг $= 800$ г. Бензин: $\frac{8}{10} - \frac{1}{10} = \frac{7}{10}$ кг $= 700$ г.

Проверка: $3 \cdot \frac{8}{10} + 5 \cdot \frac{7}{10} = \frac{24}{10} + \frac{35}{10} = \frac{59}{10} = 5\frac{9}{10}$. Верно.

Ответ: 1 л керосина — 800 г, 1 л бензина — 700 г.

№ 631

Рассаду рассадили по трём клумбам: на первую — $\frac{1}{3}$ всех кустов, на вторую — $\frac{1}{3}$ остатка, на третью — $\frac{1}{3}$ нового остатка. Осталось 24 куста. Сколько кустов привезли и сколько посадили на каждой клумбе?

Как думать. Самый быстрый способ — идти с конца. После каждой клумбы остаётся $\frac{2}{3}$ того, что было.

Решение.

1. Перед третьей клумбой: $24 : \frac{2}{3} = 36$ кустов; на третьей посадили $36 - 24 = 12$.
2. Перед второй: $36 : \frac{2}{3} = 54$; на второй посадили $54 - 36 = 18$.
3. Всего: $54 : \frac{2}{3} = 81$; на первой посадили $81 - 54 = 27$.

Ответ: привезли 81 куст; посадили 27, 18 и 12 кустов.

№ 632

В первый час машина проехала $\frac{1}{4}$ пути и ещё 10 км, во второй — $\frac{2}{5}$ остатка и ещё 12 км, в третий — $\frac{2}{3}$ нового остатка и ещё 10 км. Осталось 20 км. Найди весь путь и путь за второй час.

Как думать. Решаем с конца. Если из остатка $R$ проехали «часть и ещё $k$ км», то оставшаяся доля минус $k$ — это то, что осталось.

Решение.

1. Третий час: $\frac{1}{3}R_2 - 10 = 20$, $\frac{1}{3}R_2 = 30$, $R_2 = 90$ км.
2. Второй час: $\frac{3}{5}R_1 - 12 = 90$, $\frac{3}{5}R_1 = 102$, $R_1 = 102 \cdot \frac{5}{3} = 170$ км.
3. Первый час: $\frac{3}{4}S - 10 = 170$, $\frac{3}{4}S = 180$, $S = 240$ км.
4. За второй час: $\frac{2}{5} \cdot 170 + 12 = 68 + 12 = 80$ км.

Ответ: расстояние 240 км; за второй час — 80 км.

№ 633

На пододеяльники ушло $\frac{2}{5}$ рулона без 6 м, на простыни — $\frac{3}{5}$ остатка без 4 м, на наволочки — $\frac{3}{4}$ нового остатка без 3 м. Осталось 10 м. Сколько ткани было в рулоне и сколько ушло на пододеяльники?

Как думать. «$\frac{2}{5}$ без 6 м» — это $\frac{2}{5}$ рулона минус 6 м. Тогда в рулоне остаётся $\frac{3}{5}$ плюс 6 м. Снова идём с конца.

Решение.

1. Наволочки: остаётся $\frac{1}{4}R_2 + 3 = 10$, $\frac{1}{4}R_2 = 7$, $R_2 = 28$ м.
2. Простыни: остаётся $\frac{2}{5}R_1 + 4 = 28$, $\frac{2}{5}R_1 = 24$, $R_1 = 60$ м.
3. Пододеяльники: остаётся $\frac{3}{5}S + 6 = 60$, $\frac{3}{5}S = 54$, $S = 90$ м.
4. На пододеяльники: $\frac{2}{5} \cdot 90 - 6 = 36 - 6 = 30$ м.

Ответ: в рулоне 90 м; на пододеяльники ушло 30 м.

№ 634

Старинная задача. Сын спросил отца о возрасте. Отец ответил: «Прибавь к моему возрасту его половину, четверть и ещё 1 — получится 134». Сколько лет отцу?

Как думать. Возраст, его половина и четверть вместе — это $1\frac{3}{4}$ возраста.

Решение.

1. $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$ возраста.
2. $\frac{7}{4}x + 1 = 134$, $\frac{7}{4}x = 133$, $x = 133 \cdot \frac{4}{7} = 76$.

Проверка: $76 + 38 + 19 + 1 = 134$. Верно.

Ответ: 76 лет.

№ 635

Первый сосед купил 5 мешков муки, второй — 3. Всю муку поделили поровну на троих. Третий сосед заплатил двум другим 7200 тг за свою долю. Сколько тенге получил каждый?

Как думать. Главное не то, сколько купил каждый, а сколько он отдал третьему.

Решение.

1. Всего 8 мешков, каждому $8 : 3 = 2\frac{2}{3}$ мешка.
2. Третий заплатил 7200 тг за $2\frac{2}{3} = \frac{8}{3}$ мешка. Цена мешка: $7200 : \frac{8}{3} = \frac{7200 \cdot 3}{8} = 2700$ (тг).
3. Первый отдал $5 - 2\frac{2}{3} = 2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ мешка: $2700 \cdot \frac{7}{3} = 6300$ (тг).
4. Второй отдал $3 - 2\frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ мешка: $2700 \cdot \frac{1}{3} = 900$ (тг).

Ответ: первый — 6300 тг, второй — 900 тг.

👨‍👩‍👧 Родителю. Частый ответ — «поделить 7200 в отношении 5 : 3» (4500 и 2700 тг). Спросите ребёнка, сколько муки второй сосед оставил себе. Почти всю! Значит, и получить он должен мало.

№ 636

Эхолот посылает звук на дно, и тот возвращается обратно; в воде звук идёт 1500 м/с. 1) Найди (в интернете) наибольшую глубину Байкала и время, за которое звук вернётся. Варианты: A. $2\frac{2}{15}$ с; B. $2\frac{4}{25}$ с; C. $2\frac{7}{10}$ с; D. $2\frac{3}{4}$ с. 2) В Марианской впадине звук вернулся через $14\frac{2}{3}$ с. Какая там глубина? Варианты: A. 9000 м; B. 13 000 м; C. 11 000 м; D. 12 000 м.

Как думать. Звук проходит путь дважды: до дна и обратно. Время = 2 · глубина : скорость.

Решение.

1. Наибольшая глубина Байкала по современным данным — 1642 м (в старых справочниках — 1620 м; проверь по источнику). Путь звука: $2 \cdot 1620 = 3240$ м, время $3240 : 1500 = 2\frac{240}{1500} = 2\frac{4}{25}$ с. Для 1642 м: $3284 : 1500 = 2\frac{284}{1500} = 2\frac{71}{375}$ с — чуть больше $2\frac{4}{25}$, и ближе всего снова вариант B.
2. Путь звука: $1500 \cdot 14\frac{2}{3} = 1500 \cdot \frac{44}{3} = 22,000$ м. Глубина — половина: $22,000 : 2 = 11,000$ м.

Ответ: 1) B. $2\frac{4}{25}$ с; 2) C. 11 000 м.

🌟 Так же «видят» дельфины и летучие мыши: они издают звук и слушают эхо. Людям для этого понадобился прибор — эхолот.

Шпаргалка

• Деление на дробь = умножение на перевёрнутую дробь.
• Переворачиваем только делитель.
• Смешанные числа сначала «распаковываем».
• $n : \frac{a}{b} = \frac{n \cdot b}{a}$; $\frac{a}{b} : n = \frac{a}{b \cdot n}$.
• На нуль делить нельзя.

Мини-тест