Арифметические действия над обыкновенными дробями и смешанными числами

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава III: Обыкновенные дроби и действия над ними. Страницы 212–217.

Что повторяем

Это итоговый урок главы III. Порядок действий с дробями тот же, что и с обычными числами: сначала скобки, потом умножение и деление слева направо, потом сложение и вычитание.

• Что такое дробь, числитель и знаменатель — п. 3.1.
• Основное свойство дроби и сокращение — п. 3.2. Ответ всегда сокращай до конца.
• Правильные и неправильные дроби — п. 3.3; смешанные числа и как их «распаковать» в неправильную дробь — п. 3.4.
• Дроби на координатном луче — п. 3.5.
• Наименьший общий знаменатель — п. 3.6; сравнение дробей — п. 3.7.
• Сложение и вычитание дробей — п. 3.8, смешанных чисел — п. 3.9. Здесь нужен общий знаменатель.
• Аликвотные дроби (с числителем 1) — п. 3.10.
• Умножение дробей и смешанных чисел — п. 3.11. Общий знаменатель не нужен.
• Взаимно обратные числа — п. 3.12.
• Деление дробей — п. 3.13: умножаем на число, обратное делителю.

📌 Две главные задачи главы. Найти часть от числа — умножаем на дробь. Найти число по его части — делим на дробь. Ещё встречаются задачи «с конца» про остатки: их удобно решать от последнего шага к первому.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 637

Три цепочки: начни с первого примера и по очереди выполняй действия. 1) $\frac{5}{7} - \frac{2}{7}$, $+2$, $+\frac{4}{7}$, $-2\frac{2}{5}$, $-\frac{1}{5}$; 2) $1\frac{2}{9} + \frac{3}{9}$, $-\frac{5}{9}$, $-\frac{3}{8}$, $+2$, $-\frac{5}{8}$; 3) $1 - \frac{1}{8}$, $-\frac{3}{8}$, $+\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{4}$, $+3$.

Как думать. Ищи шаги, которые дают целое число: на них легко «перевести дух».

Решение.

1. $\frac{5}{7} - \frac{2}{7} = \frac{3}{7} \to +2 = 2\frac{3}{7} \to +\frac{4}{7} = 3 \to -2\frac{2}{5} = \frac{3}{5} \to -\frac{1}{5} = \frac{2}{5}$;
2. $1\frac{2}{9} + \frac{3}{9} = 1\frac{5}{9} \to -\frac{5}{9} = 1 \to -\frac{3}{8} = \frac{5}{8} \to +2 = 2\frac{5}{8} \to -\frac{5}{8} = 2$;
3. $1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \to -\frac{3}{8} = \frac{1}{2} \to +\frac{1}{2} = 1 \to -\frac{1}{4} = \frac{3}{4} \to +3 = 3\frac{3}{4}$.

Ответ: 1) $\frac{2}{5}$; 2) 2; 3) $3\frac{3}{4}$.

Уровень A

№ 638

По рисунку сложи дроби: у одного круга закрашена $\frac{1}{3}$, у другого — $\frac{1}{2}$. Оба круга дополнительно разрезаны на 6 частей.

Как думать. Чтобы сложить трети и половинки, разрежем всё на шестые доли — одинаковые кусочки.

Решение. $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$.

Ответ: $\frac{5}{6}$.

№ 639

Вычисли: $\left(\frac{3}{4} - \frac{1}{6}\right) \cdot \frac{3}{7}$; $\left(\frac{4}{15} + \frac{2}{3}\right) : \frac{2}{5}$; $\left(\frac{4}{9} + \frac{1}{6}\right) \cdot \frac{9}{11}$; $\frac{8}{11} \cdot \left(\frac{5}{6} - \frac{3}{8}\right)$; $\frac{3}{5} : \left(\frac{4}{5} - \frac{1}{2}\right)$; $\frac{3}{8} \cdot \left(\frac{7}{12} + \frac{3}{4}\right)$.

Как думать. Сначала скобки — там нужен общий знаменатель. Потом умножение или деление.

Решение.

1. $\frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{7}{12}$; $\frac{7}{12} \cdot \frac{3}{7} = \frac{1}{4}$;
2. $\frac{4}{15} + \frac{10}{15} = \frac{14}{15}$; $\frac{14}{15} : \frac{2}{5} = \frac{14}{15} \cdot \frac{5}{2} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$;
3. $\frac{8}{18} + \frac{3}{18} = \frac{11}{18}$; $\frac{11}{18} \cdot \frac{9}{11} = \frac{1}{2}$;
4. $\frac{20}{24} - \frac{9}{24} = \frac{11}{24}$; $\frac{8}{11} \cdot \frac{11}{24} = \frac{1}{3}$;
5. $\frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}$; $\frac{3}{5} : \frac{3}{10} = \frac{3}{5} \cdot \frac{10}{3} = 2$;
6. $\frac{7}{12} + \frac{9}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$; $\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{2}$.

Ответ: 1) $\frac{1}{4}$; 2) $2\frac{1}{3}$; 3) $\frac{1}{2}$; 4) $\frac{1}{3}$; 5) 2; 6) $\frac{1}{2}$.

№ 640

Вычисли по порядку слева направо: $3\frac{1}{3} : \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5}$; $\frac{4}{5} \cdot 2\frac{1}{2} : 6$; $3\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{8} : \frac{2}{7}$; $26 : 3\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{16}$; $4\frac{1}{8} \cdot \frac{6}{11} : 2\frac{1}{4}$; $1\frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4} : \frac{3}{10}$.

Как думать. Здесь только умножение и деление, поэтому идём строго слева направо. Смешанные числа сразу «распаковываем».

Решение.

1. $3\frac{1}{3} : \frac{2}{3} = \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{2} = 5$; $5 \cdot \frac{1}{5} = 1$;
2. $\frac{4}{5} \cdot 2\frac{1}{2} = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} = 2$; $2 : 6 = \frac{1}{3}$;
3. $3\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{8} = \frac{16}{5} \cdot \frac{5}{8} = 2$; $2 : \frac{2}{7} = 7$;
4. $26 : 3\frac{1}{4} = 26 \cdot \frac{4}{13} = 8$; $8 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{2}$;
5. $4\frac{1}{8} \cdot \frac{6}{11} = \frac{33}{8} \cdot \frac{6}{11} = \frac{9}{4}$; $\frac{9}{4} : 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4} : \frac{9}{4} = 1$;
6. $1\frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4} = \frac{8}{7} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{7}$; $\frac{6}{7} : \frac{3}{10} = \frac{6}{7} \cdot \frac{10}{3} = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7}$.

Ответ: 1) 1; 2) $\frac{1}{3}$; 3) 7; 4) $\frac{1}{2}$; 5) 1; 6) $2\frac{6}{7}$.

№ 641

Вычисли: $\frac{3}{5} \cdot \frac{4}{9} + 1\frac{1}{3}$; $1\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} - \frac{1}{3}$; $\frac{3}{8} : \frac{1}{2} + 3\frac{1}{4}$; $\frac{5}{6} : \frac{1}{3} + 1\frac{3}{8}$; $1\frac{2}{5} : \frac{5}{7} + \frac{3}{8}$; $2\frac{1}{3} : 1\frac{5}{9} - \frac{5}{6}$.

Как думать. Сначала умножение или деление, потом сложение или вычитание.

Решение.

1. $\frac{3}{5} \cdot \frac{4}{9} = \frac{4}{15}$; $\frac{4}{15} + 1\frac{5}{15} = 1\frac{9}{15} = 1\frac{3}{5}$;
2. $\frac{5}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{2}$; $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$;
3. $\frac{3}{8} : \frac{1}{2} = \frac{3}{8} \cdot 2 = \frac{3}{4}$; $\frac{3}{4} + 3\frac{1}{4} = 4$;
4. $\frac{5}{6} : \frac{1}{3} = \frac{5}{6} \cdot 3 = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$; $2\frac{4}{8} + 1\frac{3}{8} = 3\frac{7}{8}$;
5. $1\frac{2}{5} : \frac{5}{7} = \frac{7}{5} \cdot \frac{7}{5} = \frac{49}{25} = 1\frac{24}{25}$; $1\frac{24}{25} + \frac{3}{8} = 1\frac{192}{200} + \frac{75}{200} = 1\frac{267}{200} = 2\frac{67}{200}$;
6. $2\frac{1}{3} : 1\frac{5}{9} = \frac{7}{3} \cdot \frac{9}{14} = \frac{3}{2}$; $\frac{3}{2} - \frac{5}{6} = \frac{9}{6} - \frac{5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ответ: 1) $1\frac{3}{5}$; 2) $\frac{1}{6}$; 3) 4; 4) $3\frac{7}{8}$; 5) $2\frac{67}{200}$; 6) $\frac{2}{3}$.

№ 642

В первый день тракторист вспахал $12\frac{1}{4}$ га, во второй — на $\frac{2}{5}$ га больше. Сколько гектаров за два дня?

Как думать. Сначала узнай второй день, потом сложи оба дня.

Решение.

1. Второй день: $12\frac{1}{4} + \frac{2}{5} = 12\frac{5}{20} + \frac{8}{20} = 12\frac{13}{20}$ (га).
2. За два дня: $12\frac{5}{20} + 12\frac{13}{20} = 24\frac{18}{20} = 24\frac{9}{10}$ (га).

Ответ: $24\frac{9}{10}$ га.

№ 643

Сырой кирпич весит $4\frac{1}{2}$ кг, а при сушке теряет $\frac{4}{5}$ кг. Сколько весит сухой кирпич?

Как думать. Дробная часть $\frac{5}{10}$ меньше $\frac{8}{10}$, поэтому придётся «разменять» одну целую.

Решение. $4\frac{1}{2} - \frac{4}{5} = 4\frac{5}{10} - \frac{8}{10} = 3\frac{15}{10} - \frac{8}{10} = 3\frac{7}{10}$ (кг).

Ответ: $3\frac{7}{10}$ кг.

№ 644

Сторона квадрата $6\frac{2}{5}$ см. Найди периметр и площадь.

Как думать. Периметр — 4 стороны, площадь — сторона, умноженная на себя.

Решение.

1. $P = 6\frac{2}{5} \cdot 4 = \frac{32}{5} \cdot 4 = \frac{128}{5} = 25\frac{3}{5}$ (см).
2. $S = \left(\frac{32}{5}\right)^2 = \frac{1024}{25} = 40\frac{24}{25}$ (см²).

Ответ: $25\frac{3}{5}$ см; $40\frac{24}{25}$ см².

№ 645

Два поезда вышли навстречу друг другу и встретились через 3 ч. Первый прошёл $210\frac{3}{4}$ км, второй — $181\frac{1}{2}$ км. На сколько километров они сближались за час?

Как думать. Сложи оба пути — это сближение за 3 часа. Потом раздели на 3.

Решение.

1. Вместе: $210\frac{3}{4} + 181\frac{2}{4} = 391\frac{5}{4} = 392\frac{1}{4}$ (км).
2. За час: $392\frac{1}{4} : 3 = \frac{1569}{4} : 3 = \frac{523}{4} = 130\frac{3}{4}$ (км).

Ответ: на $130\frac{3}{4}$ км.

№ 646

Реши уравнения: $\frac{11}{15}x = 77$; $\frac{23}{28}x = 92$; $\frac{15}{64}x = 25$; $5\frac{1}{3}x = 8\frac{8}{9}$; $3\frac{2}{5}y = 6\frac{4}{5}$; $9\frac{1}{2}y = 14\frac{1}{4}$.

Как думать. Неизвестный множитель = число справа : коэффициент при $x$.

Решение.

1. $x = 77 : \frac{11}{15} = \frac{77 \cdot 15}{11} = 105$;
2. $x = 92 : \frac{23}{28} = \frac{92 \cdot 28}{23} = 4 \cdot 28 = 112$;
3. $x = 25 : \frac{15}{64} = \frac{25 \cdot 64}{15} = \frac{5 \cdot 64}{3} = \frac{320}{3} = 106\frac{2}{3}$;
4. $x = 8\frac{8}{9} : 5\frac{1}{3} = \frac{80}{9} \cdot \frac{3}{16} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$;
5. $y = 6\frac{4}{5} : 3\frac{2}{5} = \frac{34}{5} : \frac{17}{5} = 2$;
6. $y = 14\frac{1}{4} : 9\frac{1}{2} = \frac{57}{4} \cdot \frac{2}{19} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.

Ответ: 1) 105; 2) 112; 3) $106\frac{2}{3}$; 4) $1\frac{2}{3}$; 5) 2; 6) $1\frac{1}{2}$.

№ 647

Вычисли, вынеся общий множитель за скобки: $3\frac{3}{4} \cdot 1\frac{2}{3} + 3\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}$; $1\frac{2}{5} \cdot 2\frac{5}{7} - 1\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{14}$; $\frac{1}{9} \cdot 1\frac{5}{6} + 1\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{9}$; $1\frac{3}{8} \cdot \frac{3}{5} - \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{8}$.

Как думать. $ab + ac = a(b + c)$. В скобках часто получается целое число — и всё считается в уме.

Решение.

1. $3\frac{3}{4} \cdot \left(1\frac{2}{3} + \frac{1}{3}\right) = 3\frac{3}{4} \cdot 2 = 7\frac{1}{2}$;
2. $1\frac{2}{5} \cdot \left(2\frac{5}{7} - \frac{3}{14}\right) = \frac{7}{5} \cdot \left(2\frac{10}{14} - \frac{3}{14}\right) = \frac{7}{5} \cdot \frac{5}{2} = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$;
3. $\frac{1}{9} \cdot \left(1\frac{5}{6} + 1\frac{1}{6}\right) = \frac{1}{9} \cdot 3 = \frac{1}{3}$;
4. $\frac{3}{5} \cdot \left(1\frac{3}{8} - \frac{1}{8}\right) = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$.

Ответ: 1) $7\frac{1}{2}$; 2) $3\frac{1}{2}$; 3) $\frac{1}{3}$; 4) $\frac{3}{4}$.

№ 648

Упрости и найди значение: $6\frac{3}{7}a + 1\frac{1}{2}a$ при $a = 14$; $8b - 3\frac{5}{9}b$ при $b = \frac{3}{5}$; $2\frac{3}{10}a - 1\frac{2}{3}a$ при $a = 6$; $2\frac{5}{8}b + 3\frac{1}{4}b$ при $b = 2\frac{2}{3}$.

Как думать. $ma + na = (m + n)a$: складываем или вычитаем числа перед буквой, а букву оставляем.

Решение.

1. $\left(6\frac{3}{7} + 1\frac{1}{2}\right)a = 7\frac{13}{14}a = \frac{111}{14}a$; при $a = 14$: $111$;
2. $\left(8 - 3\frac{5}{9}\right)b = 4\frac{4}{9}b = \frac{40}{9}b$; при $b = \frac{3}{5}$: $\frac{40}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$;
3. $\left(2\frac{9}{30} - 1\frac{20}{30}\right)a = \frac{19}{30}a$; при $a = 6$: $\frac{19}{5} = 3\frac{4}{5}$;
4. $\left(2\frac{5}{8} + 3\frac{2}{8}\right)b = 5\frac{7}{8}b = \frac{47}{8}b$; при $b = 2\frac{2}{3} = \frac{8}{3}$: $\frac{47}{3} = 15\frac{2}{3}$.

Ответ: 1) 111; 2) $2\frac{2}{3}$; 3) $3\frac{4}{5}$; 4) $15\frac{2}{3}$.

№ 649

Вычисли: $\left(2\frac{1}{3}\right)^2 - \frac{4}{9}$; $\left(1\frac{1}{2}\right)^3 + \frac{5}{8}$; $3\frac{5}{9} + \left(\frac{2}{3}\right)^2$; $\left(\frac{1}{2}\right)^4 + 3\frac{1}{4}$; $7\frac{2}{5} - \left(\frac{2}{5}\right)^2$; $9 - \left(1\frac{1}{3}\right)^2$.

Как думать. Степень — первая! Смешанное число перед возведением в степень делаем неправильной дробью.

Решение.

1. $\left(\frac{7}{3}\right)^2 - \frac{4}{9} = \frac{49}{9} - \frac{4}{9} = \frac{45}{9} = 5$;
2. $\left(\frac{3}{2}\right)^3 + \frac{5}{8} = \frac{27}{8} + \frac{5}{8} = \frac{32}{8} = 4$;
3. $3\frac{5}{9} + \frac{4}{9} = 4$;
4. $\frac{1}{16} + 3\frac{4}{16} = 3\frac{5}{16}$;
5. $7\frac{2}{5} - \frac{4}{25} = 7\frac{10}{25} - \frac{4}{25} = 7\frac{6}{25}$;
6. $9 - \left(\frac{4}{3}\right)^2 = 9 - \frac{16}{9} = 9 - 1\frac{7}{9} = 7\frac{2}{9}$.

⚠️ Частая ошибка. $\left(2\frac{1}{3}\right)^2$ считают как $4\frac{1}{9}$ — возводят в квадрат отдельно целую и дробную часть. Так нельзя! Правильно: $\left(\frac{7}{3}\right)^2 = \frac{49}{9} = 5\frac{4}{9}$.

Ответ: 1) 5; 2) 4; 3) 4; 4) $3\frac{5}{16}$; 5) $7\frac{6}{25}$; 6) $7\frac{2}{9}$.

№ 650

В гараже легковые машины и автобусы. Легковых — $\frac{1}{4}$ всех машин и ещё 8, остальные 10 — автобусы. Сколько всего машин?

Как думать. Без «четверти» остаются $\frac{3}{4}$ машин — и мы знаем, сколько это штук.

Решение.

1. Без $\frac{1}{4}$ части остаются $\frac{3}{4}$ машин; среди них 8 легковых и 10 автобусов: $8 + 10 = 18$.
2. $\frac{3}{4}$ всех машин — это 18, значит, всего $18 : \frac{3}{4} = 24$.

Проверка: легковых $24 \cdot \frac{1}{4} + 8 = 14$, автобусов $24 - 14 = 10$. Верно.

Ответ: 24 машины.

№ 651

1) В первый день продали $\frac{1}{3}$ овощей, во второй — $\frac{2}{9}$. Осталось $5\frac{3}{5}$ т. Сколько было? 2) Оператор до обеда набрал $\frac{1}{2}$ рукописи, после обеда — $\frac{1}{3}$. Осталось 7 страниц. Сколько страниц в рукописи?

Как думать. Найди, какая часть осталась, — и раздели остаток на эту дробь.

Решение.

1. Продали $\frac{3}{9} + \frac{2}{9} = \frac{5}{9}$, осталось $\frac{4}{9}$. Было $5\frac{3}{5} : \frac{4}{9} = \frac{28}{5} \cdot \frac{9}{4} = \frac{63}{5} = 12\frac{3}{5}$ (т).
2. Набрал $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$, осталось $\frac{1}{6}$ — это 7 страниц. Всего $7 : \frac{1}{6} = 42$ страницы.

Ответ: 1) $12\frac{3}{5}$ т; 2) 42 страницы.

№ 652

Сколько рулонов обоев (длина 12 м, ширина $\frac{3}{4}$ м) нужно на стену длиной $7\frac{1}{2}$ м и высотой $2\frac{2}{5}$ м?

Как думать. Сравни площадь стены с площадью одного рулона.

Решение.

1. Площадь стены: $\frac{15}{2} \cdot \frac{12}{5} = 18$ (м²).
2. Площадь рулона: $12 \cdot \frac{3}{4} = 9$ (м²).
3. Рулонов: $18 : 9 = 2$.

💡 Как клеят на самом деле: каждая полоса — высотой $2\frac{2}{5}$ м, из рулона выходит $12 : 2\frac{2}{5} = 5$ полос. Нужно полос $7\frac{1}{2} : \frac{3}{4} = 10$. Рулонов $10 : 5 = 2$ — ответ тот же.

Ответ: 2 рулона.

№ 653

В оранжерее розы — $\frac{1}{6}$ всех цветов, астры — $\frac{3}{5}$ остатка, остальные 120 — тюльпаны. Сколько всего цветов?

Как думать. Астры — это часть от остатка, а не от всех цветов. Сначала переведи их в долю всех цветов.

Решение.

1. Остаток после роз: $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
2. Астры: $\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{2}$ всех цветов.
3. Тюльпаны: $\frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{3}$ — это 120 цветов.
4. Всего: $120 : \frac{1}{3} = 360$.

Ответ: 360 цветов.

№ 654

На ферме пастбища — $\frac{2}{5}$ земли, бахчевые — $\frac{1}{4}$. Пастбищ на 15 га больше. Сколько всего земли?

Решение.

1. Разница: $\frac{2}{5} - \frac{1}{4} = \frac{8}{20} - \frac{5}{20} = \frac{3}{20}$ — это 15 га.
2. Вся земля: $15 : \frac{3}{20} = \frac{15 \cdot 20}{3} = 100$ (га).

Ответ: 100 га.

№ 655

Вычисли: 1) $\frac{5}{9} + 1\frac{5}{7} \cdot \left(4\frac{2}{3} - 2\frac{5}{8}\right) : 1\frac{3}{4}$; 2) $2 - 3\frac{1}{7} \cdot \left(2 - 1\frac{9}{11}\right) : \frac{8}{21}$; 3) $2\frac{1}{3} + 4\frac{1}{10} : \left(2\frac{7}{15} - \frac{5}{12}\right) \cdot \frac{5}{6}$; 4) $4\frac{5}{12} - 1\frac{1}{2} : \left(2\frac{1}{6} + \frac{8}{15}\right) \cdot 1\frac{4}{5}$.

Как думать. План такой: скобки → умножение и деление слева направо → сложение или вычитание в самом конце.

Решение.

1. $4\frac{16}{24} - 2\frac{15}{24} = 2\frac{1}{24} = \frac{49}{24}$; $\frac{12}{7} \cdot \frac{49}{24} = \frac{7}{2}$; $\frac{7}{2} : \frac{7}{4} = 2$; $\frac{5}{9} + 2 = 2\frac{5}{9}$;
2. $2 - 1\frac{9}{11} = \frac{2}{11}$; $\frac{22}{7} \cdot \frac{2}{11} = \frac{4}{7}$; $\frac{4}{7} : \frac{8}{21} = \frac{4}{7} \cdot \frac{21}{8} = \frac{3}{2}$; $2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$;
3. $2\frac{28}{60} - \frac{25}{60} = 2\frac{3}{60} = 2\frac{1}{20} = \frac{41}{20}$; $\frac{41}{10} : \frac{41}{20} = 2$; $2 \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{3}$; $2\frac{1}{3} + 1\frac{2}{3} = 4$;
4. $2\frac{5}{30} + \frac{16}{30} = 2\frac{21}{30} = \frac{27}{10}$; $\frac{3}{2} : \frac{27}{10} = \frac{3}{2} \cdot \frac{10}{27} = \frac{5}{9}$; $\frac{5}{9} \cdot \frac{9}{5} = 1$; $4\frac{5}{12} - 1 = 3\frac{5}{12}$.

Ответ: 1) $2\frac{5}{9}$; 2) $\frac{1}{2}$; 3) 4; 4) $3\frac{5}{12}$.

Уровень C

№ 656

Запиши $\frac{4}{5}$, $\frac{3}{10}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{3}{7}$, $\frac{6}{11}$ суммой аликвотных дробей (с числителем 1) с разными знаменателями.

Как думать. Отнимай самую большую аликвотную дробь, которая помещается, и смотри на остаток. Вариантов бывает несколько — годится любой верный.

Решение.

• $\frac{4}{5} = \frac{1}{2} + \frac{3}{10} = \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{10}$ (проверка: $\frac{5}{10} + \frac{2}{10} + \frac{1}{10} = \frac{8}{10}$);
• $\frac{3}{10} = \frac{1}{5} + \frac{1}{10}$;
• $\frac{3}{8} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8}$;
• $\frac{3}{7} = \frac{1}{4} + \frac{1}{7} + \frac{1}{28}$ (проверка: $\frac{7}{28} + \frac{4}{28} + \frac{1}{28} = \frac{12}{28} = \frac{3}{7}$);
• $\frac{6}{11} = \frac{1}{2} + \frac{1}{22}$ (проверка: $\frac{11}{22} + \frac{1}{22} = \frac{12}{22}$).

🌟 Так записывали дроби древние египтяне: почти все дроби у них были суммами долей «один из …». Например, $\frac{3}{4}$ они писали как $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$.

Ответ: см. решение.

№ 657

Вычисли: 1) $\left(3\frac{1}{3} + 5\frac{1}{6}\right) \cdot \frac{2}{5} - 2\frac{3}{4} : \left(1\frac{1}{2} - \frac{2}{5}\right)$; 2) $\left(\frac{1}{8} + \frac{2}{9} - \frac{1}{4}\right) \cdot 5\frac{1}{7} : \left(\frac{7}{9} - \frac{2}{3} + \frac{1}{6}\right)$.

Как думать. Длинный пример — это несколько коротких. Посчитай обе скобки, потом действия по порядку.

Решение.

1. $3\frac{2}{6} + 5\frac{1}{6} = 8\frac{1}{2} = \frac{17}{2}$; $\frac{17}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{17}{5}$; $1\frac{5}{10} - \frac{4}{10} = \frac{11}{10}$; $\frac{11}{4} : \frac{11}{10} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$; $\frac{17}{5} - \frac{5}{2} = \frac{34}{10} - \frac{25}{10} = \frac{9}{10}$.
2. (в задании помечен номером 3) $\frac{9}{72} + \frac{16}{72} - \frac{18}{72} = \frac{7}{72}$; $\frac{7}{72} \cdot \frac{36}{7} = \frac{1}{2}$; $\frac{14}{18} - \frac{12}{18} + \frac{3}{18} = \frac{5}{18}$; $\frac{1}{2} : \frac{5}{18} = \frac{18}{10} = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5}$.

Ответ: 1) $\frac{9}{10}$; 2) $1\frac{4}{5}$.

№ 658

Реши уравнения, где $x$ спрятан в знаменателе: 1) $\frac{3}{4}$, делённое на $\left(\frac{1}{3}x + \frac{1}{4}\right)$, плюс $\frac{2}{3}$ равно 1; 2) $\frac{5}{6}$, делённое на $\left(\frac{1}{4}x - \frac{7}{12}\right)$, минус $\frac{1}{2}$ равно $\frac{3}{14}$; 3) $2\frac{1}{3}$, делённое на $\left(\frac{3}{8}x - \frac{5}{6}\right)$, плюс $5\frac{2}{3}$ равно $9\frac{1}{6}$.

Как думать. Снимаем «слои» по одному. Сначала находим всю дробь (как неизвестное слагаемое или уменьшаемое), потом её знаменатель (как неизвестный делитель), и только потом $x$.

Решение.

1. Дробь $= 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$. Знаменатель $= \frac{3}{4} : \frac{1}{3} = \frac{9}{4}$. $\frac{1}{3}x = \frac{9}{4} - \frac{1}{4} = 2$, $x = 6$.
2. Дробь $= \frac{3}{14} + \frac{1}{2} = \frac{3}{14} + \frac{7}{14} = \frac{5}{7}$. Знаменатель $= \frac{5}{6} : \frac{5}{7} = \frac{7}{6}$. $\frac{1}{4}x = \frac{7}{6} + \frac{7}{12} = \frac{21}{12} = \frac{7}{4}$, $x = 7$.
3. Дробь $= 9\frac{1}{6} - 5\frac{4}{6} = 3\frac{3}{6} = \frac{7}{2}$. Знаменатель $= \frac{7}{3} : \frac{7}{2} = \frac{2}{3}$. $\frac{3}{8}x = \frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$, $x = \frac{3}{2} \cdot \frac{8}{3} = 4$.

Ответ: 1) 6; 2) 7; 3) 4.

№ 659

Вычисли «многоэтажные» дроби: 1) $\frac{1}{\frac{3}{4} - \frac{2}{3}}$, делённое на $\frac{6}{\frac{9}{10} + \frac{3}{5}}$; 2) $\frac{7}{\frac{1}{8} + \frac{1}{6}}$, делённое на $\frac{2}{\frac{1}{3} - \frac{1}{9}}$, плюс $2\frac{1}{3}$; 3) верх $1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}}{3}$, низ $1 - \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}{5}$.

Как думать. Идём снизу вверх: сначала самые маленькие выражения в знаменателях, потом «этажи» повыше.

Решение.

1. $\frac{3}{4} - \frac{2}{3} = \frac{1}{12}$, $1 : \frac{1}{12} = 12$. $\frac{9}{10} + \frac{6}{10} = \frac{3}{2}$, $6 : \frac{3}{2} = 4$. Итог: $12 : 4 = 3$.
2. $\frac{3}{24} + \frac{4}{24} = \frac{7}{24}$, $7 : \frac{7}{24} = 24$. $\frac{3}{9} - \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$, $2 : \frac{2}{9} = 9$. $24 : 9 = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$; $2\frac{2}{3} + 2\frac{1}{3} = 5$.
3. Верх: $\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) : 3 = \frac{3}{4} : 3 = \frac{1}{4}$, $1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$. Низ: $\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right) : 5 = \frac{5}{6} : 5 = \frac{1}{6}$, $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$. Итог: $\frac{5}{4} : \frac{5}{6} = \frac{6}{4} = 1\frac{1}{2}$.

Ответ: 1) 3; 2) 5; 3) $1\frac{1}{2}$.

№ 660

В магазин привезли 320 компьютеров. Учреждения купили $\frac{1}{8}$ всех, школы — $\frac{5}{7}$ оставшихся. Сколько компьютеров купили школы?

Решение.

1. Учреждения: $320 \cdot \frac{1}{8} = 40$.
2. Осталось: $320 - 40 = 280$.
3. Школы: $280 \cdot \frac{5}{7} = 200$.

Ответ: 200 компьютеров.

№ 661

У треугольника сумма первой и второй сторон $4\frac{1}{5}$ дм, второй и третьей — $4\frac{9}{10}$ дм, первой и третьей — $3\frac{1}{2}$ дм. Найди периметр.

Как думать. Если сложить все три суммы, каждая сторона попадёт туда дважды. Получится удвоенный периметр.

Решение.

1. $4\frac{2}{10} + 4\frac{9}{10} + 3\frac{5}{10} = 11\frac{16}{10} = 12\frac{3}{5}$ (дм) — удвоенный периметр.
2. $P = 12\frac{3}{5} : 2 = \frac{63}{5} : 2 = \frac{63}{10} = 6\frac{3}{10}$ (дм).

Ответ: $6\frac{3}{10}$ дм.

№ 662

У подруг платья и туфли синего, белого и красного цвета. Только у Айжан платье и туфли одного цвета. У Сауле туфли белые, а платье не белое и не красное. У Гульнур ни платье, ни туфли не красные. Какого цвета платье и туфли у каждой?

Как думать. Логическая задача. Нарисуй табличку и начни с самой точной подсказки — про Сауле.

Решение.

1. Сауле: туфли белые, платье не белое и не красное — значит, синее.
2. Остались платья белое и красное. У Гульнур платье не красное — значит, белое. У Айжан — красное.
3. У Айжан туфли того же цвета — красные.
4. Гульнур достаются синие туфли: не красные и не того же цвета, что платье, — всё сходится.

Ответ: Айжан — красное платье и красные туфли; Сауле — синее платье и белые туфли; Гульнур — белое платье и синие туфли.

№ 663

Путешественник проехал $\frac{1}{3}$ пути на мотоцикле, $\frac{3}{7}$ остатка — на автобусе, $\frac{3}{4}$ нового остатка — на катере. Осталось 20 км. Каков весь путь?

Как думать. Каждый раз переводи «часть остатка» в долю всего пути.

Решение.

1. После мотоцикла осталось $\frac{2}{3}$ пути.
2. На автобусе: $\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{7}$ пути; осталось $\frac{2}{3} - \frac{2}{7} = \frac{14}{21} - \frac{6}{21} = \frac{8}{21}$.
3. На катере $\frac{3}{4}$ этого остатка, значит, осталась его четверть: $\frac{8}{21} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{21}$ пути — это 20 км.
4. Весь путь: $20 : \frac{2}{21} = 210$ (км).

Ответ: 210 км.

№ 664

На безрукавку ушла половина пряжи и ещё 100 г, на шапку — половина остатка и ещё 50 г. Из нового остатка на рукавички ушло 200 г, и осталось 50 г. Сколько пряжи купили и сколько ушло на шапку?

Как думать. Решаем с конца, шаг за шагом «отматывая» клубок назад.

Решение.

1. Перед рукавичками было $200 + 50 = 250$ г.
2. Шапка: $\frac{1}{2}R - 50 = 250$, $\frac{1}{2}R = 300$, $R = 600$ г.
3. Безрукавка: $\frac{1}{2}S - 100 = 600$, $\frac{1}{2}S = 700$, $S = 1400$ г.
4. На шапку: $600 : 2 + 50 = 350$ г.

Ответ: купили 1 кг 400 г пряжи; на шапку ушло 350 г.

№ 665

Магический квадрат 3 × 3: в верхнем левом углу 6, в центре 15, в нижнем левом углу 13. В верхней строке ещё $x$ и $a$, в нижней — $y$ и $b$. Найди буквы и заполни пустые клетки.

Как думать. В магическом квадрате суммы во всех строках, столбцах и обеих диагоналях одинаковые. Для квадрата 3 × 3 эта сумма в 3 раза больше числа в центре.

Решение.

1. Магическая сумма: $15 \cdot 3 = 45$.
2. Диагональ $6 + 15 + b = 45$, $b = 24$.
3. Другая диагональ $a + 15 + 13 = 45$, $a = 17$.
4. Верхняя строка $6 + x + 17 = 45$, $x = 22$.
5. Нижняя строка $13 + y + 24 = 45$, $y = 8$.
6. Левый столбец $6 + ? + 13 = 45$ — в середине 26. Правый столбец $17 + ? + 24 = 45$ — в середине 4.

Проверка: средняя строка $26 + 15 + 4 = 45$, средний столбец $22 + 15 + 8 = 45$.

Ответ: $a = 17$, $b = 24$, $x = 22$, $y = 8$; пустые клетки — 26 и 4.

🌟 Магическим квадратам тысячи лет. По китайской легенде, первый такой квадрат 3 × 3 был нарисован на панцире черепахи, вышедшей из реки.