3.14. Нахождение дроби от числа. Нахождение числа по его дроби

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава III: Обыкновенные дроби и действия над ними (продолжение). Страницы 3–10.

Чему научишься

• Находить дробь от числа: сколько страниц в $\frac{3}{8}$ книги.
• Находить целое по его части: сколько всего книг, если 70 — это $\frac{2}{5}$.
• С первого взгляда понимать, умножать или делить.
• Рисовать к задаче полоску-отрезок из равных частей.
• Не попадаться на ловушку «дробь от остатка».

Разминка

Две задачи про одну и ту же книгу. Реши в уме, потом открой ответ.

• В книге 72 страницы, прочитано $\frac{3}{8}$. Сколько страниц прочитано? Одна восьмая — $72 : 8 = 9$ страниц, три восьмых — $9 \cdot 3 = $ 27. Одним действием: $72 \cdot \frac{3}{8} = 27$.
• Прочитано 27 страниц, это $\frac{3}{8}$ книги. Сколько страниц в книге? Одна восьмая — $27 : 3 = 9$, вся книга (восемь восьмых) — $9 \cdot 8 = $ 72. Одним действием: $27 : \frac{3}{8} = 72$.

💡 Задачи — как отражение в зеркале. Знаешь целое, ищешь часть — умножаешь. Знаешь часть, ищешь целое — делишь. На этом стоит весь урок.

Разбираемся

Полоска из равных кусочков

В магазине 315 часов, и $\frac{3}{7}$ из них — наручные. Сколько наручных? Нарисуем все часы полоской и разрежем её на 7 равных кусочков.

Один кусочек: $315 : 7 = 45$ часов. Закрашено три кусочка: $45 \cdot 3 = 135$ часов. Два шага можно склеить в одно умножение:

$315 \cdot \frac{3}{7} = \frac{315 \cdot 3}{7} = 135$.

📌 Чтобы найти дробь от числа, умножь число на эту дробь. Устно: «делю на знаменатель, умножаю на числитель».

Правило работает и со смешанными числами. Например, $1\frac{1}{8}$ от $5\frac{1}{3}$: $\frac{16}{3} \cdot \frac{9}{8} = 6$.

А если целое спрятано?

У школьника 70 учебников, и это $\frac{2}{5}$ всех его книг. Теперь мы знаем не всю полоску, а только закрашенный кусок.

Два кусочка — 70 книг, значит, один кусочек $70 : 2 = 35$. Кусочков пять: $35 \cdot 5 = 175$ книг. Одним действием:

$70 : \frac{2}{5} = 70 \cdot \frac{5}{2} = 175$.

📌 Чтобы найти число по его дроби, раздели известную часть на эту дробь. Устно: «делю на числитель, умножаю на знаменатель».

Такую задачу можно решить и уравнением. Если $\frac{5}{7}$ отрезка — 15 см, пусть длина $x$. Тогда $\frac{5}{7}x = 15$, и $x = 15 : \frac{5}{7} = 21$ см.

⚠️ Частая ошибка. «$\frac{2}{5}$ числа равны 70» — и ученик умножает: $70 \cdot \frac{2}{5} = 28$. Проверь прикидкой: целое должно быть больше своей части. 28 меньше 70 — значит, действие перепутано.

👨‍👩‍👧 Родителю. Перед каждой задачей спросите: «Целое мы знаем или ищем?» Пусть ребёнок ответит вслух и только потом считает. А ещё попросите нарисовать полоску — даже кривую. Это снимает половину ошибок.

Ловушка «от остатка»

В первый день сделали $\frac{1}{3}$ работы, во второй — $\frac{1}{4}$ остатка. Остаток — это $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$. Значит, во второй день сделали $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{6}$ всей работы, а вовсе не $\frac{1}{4}$.

⚠️ Частая ошибка. Слово «остатка» проскакивают глазами. Подчёркивай в условии, от чего берётся каждая дробь: от всего или от того, что осталось.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как найти дробь от числа? Умножить число на эту дробь. Например, $\frac{2}{3}$ от 18 — это $18 \cdot \frac{2}{3} = 12$.
• Как найти число по его дроби? Разделить известную часть на эту дробь. Например, если $\frac{2}{3}$ числа равны 12, то число $12 : \frac{2}{3} = 18$.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 666

Найди в уме: $\frac{1}{4}$ от 32; $\frac{1}{2}$ от 100; $\frac{3}{5}$ от 25; $\frac{7}{10}$ от 60; $\frac{4}{5}$ от 35; $\frac{1}{3}$ от 15.

Как думать. Делим на знаменатель, умножаем на числитель.

Решение.

1. $32 : 4 = 8$;
2. $100 : 2 = 50$;
3. $25 : 5 \cdot 3 = 15$;
4. $60 : 10 \cdot 7 = 42$;
5. $35 : 5 \cdot 4 = 28$;
6. $15 : 3 = 5$.

Ответ: 1) 8; 2) 50; 3) 15; 4) 42; 5) 28; 6) 5.

Уровень A

№ 667

Найди: $\frac{3}{5}$ от 15; $\frac{4}{5}$ от 20; $\frac{5}{6}$ от 48; $\frac{1}{4}$ от 60; $\frac{3}{4}$ от 45; $\frac{3}{7}$ от 70; $\frac{3}{5}$ от 30; $\frac{3}{10}$ от 120; $\frac{2}{3}$ от 150.

Как думать. Тот же приём: делим на знаменатель, умножаем на числитель. Если не делится нацело — умножаем на дробь и выделяем целую часть.

Решение.

В пятом примере 45 не делится на 4 нацело — получается смешанное число.

Ответ: 1) 9; 2) 16; 3) 40; 4) 15; 5) $33\frac{3}{4}$; 6) 30; 7) 18; 8) 36; 9) 100.

№ 668

Найди число, если: $\frac{1}{4}$ его — 80; $\frac{1}{10}$ — 10; $\frac{1}{2}$ — 30; $\frac{1}{5}$ — 20; $\frac{3}{4}$ — 60; $\frac{3}{5}$ — 90; $\frac{2}{3}$ — 10; $\frac{5}{6}$ — 50; $\frac{3}{7}$ — 30.

Как думать. Теперь наоборот: делим на числитель (находим один кусочек), умножаем на знаменатель (собираем целое).

Решение.

1. $80 \cdot 4 = 320$;
2. $10 \cdot 10 = 100$;
3. $30 \cdot 2 = 60$;
4. $20 \cdot 5 = 100$;
5. $60 : 3 \cdot 4 = 80$;
6. $90 : 3 \cdot 5 = 150$;
7. $10 : 2 \cdot 3 = 15$;
8. $50 : 5 \cdot 6 = 60$;
9. $30 : 3 \cdot 7 = 70$.

Ответ: 1) 320; 2) 100; 3) 60; 4) 100; 5) 80; 6) 150; 7) 15; 8) 60; 9) 70.

№ 669

Найди: $\frac{3}{4}$ от 8 м; $\frac{5}{8}$ от 12 дм; $\frac{2}{5}$ от 10 т; $\frac{3}{10}$ от 5 кг; $\frac{5}{6}$ от 8 ч; $\frac{3}{4}$ от 20 мин.

Как думать. Единицы измерения просто «едут» вместе с ответом. Если вышла дробь — можно перевести в более мелкие единицы.

Решение.

1. $8 \cdot \frac{3}{4} = 6$ м;
2. $12 \cdot \frac{5}{8} = \frac{60}{8} = 7\frac{1}{2}$ дм (это 7 дм 5 см);
3. $10 \cdot \frac{2}{5} = 4$ т;
4. $5 \cdot \frac{3}{10} = \frac{15}{10} = 1\frac{1}{2}$ кг (это 1 кг 500 г);
5. $8 \cdot \frac{5}{6} = \frac{40}{6} = 6\frac{2}{3}$ ч (это 6 ч 40 мин, ведь $\frac{2}{3}$ ч $= 40$ мин);
6. $20 \cdot \frac{3}{4} = 15$ мин.

Ответ: 1) 6 м; 2) $7\frac{1}{2}$ дм; 3) 4 т; 4) $1\frac{1}{2}$ кг; 5) $6\frac{2}{3}$ ч (6 ч 40 мин); 6) 15 мин.

№ 670

1) Из 75 м ткани $\frac{2}{5}$ ушло на платья — сколько метров? 2) Вода — это $\frac{13}{20}$ массы человека. Сколько воды в человеке массой 75 кг? 3) В классе 30 учеников, $\frac{3}{5}$ — девочки. Сколько девочек?

Как думать. Во всех трёх задачах целое известно — ищем часть, значит, умножаем.

Решение.

1. $75 \cdot \frac{2}{5} = 30$ м.
2. $75 \cdot \frac{13}{20} = \frac{975}{20} = 48\frac{15}{20} = 48\frac{3}{4}$ кг.
3. $30 \cdot \frac{3}{5} = 18$ девочек.

Ответ: 1) 30 м; 2) $48\frac{3}{4}$ кг; 3) 18 девочек.

🌟 Почти две трети тебя — вода! Вот почему так важно пить, когда жарко или после футбола.

№ 671

1) Белка живёт 6 лет — это $\frac{3}{5}$ жизни зайца. Сколько живёт заяц? 2) Сахар — это $\frac{3}{20}$ массы свёклы. Сколько свёклы нужно на 12 т сахара? 3) $\frac{2}{5}$ наибольшего удаления спутника от Земли равны 380 км. Найди это удаление.

Как думать. Здесь известна часть, а целое спрятано — делим на дробь.

Решение.

1. $6 : \frac{3}{5} = 6 \cdot \frac{5}{3} = 10$ лет.
2. $12 : \frac{3}{20} = 12 \cdot \frac{20}{3} = 80$ т.
3. $380 : \frac{2}{5} = 380 \cdot \frac{5}{2} = 950$ км.

Ответ: 1) 10 лет; 2) 80 т; 3) 950 км.

№ 672

В упражнении 80 слов: $\frac{1}{4}$ — существительные, $\frac{3}{10}$ — глаголы, остальное — другие части речи. Сколько слов каждого вида?

Как думать. Обе дроби берутся от всех 80 слов. А «остальное» — то, что не вошло ни туда, ни туда.

Решение.

1. Существительных: $80 \cdot \frac{1}{4} = 20$.
2. Глаголов: $80 \cdot \frac{3}{10} = 24$.
3. Других: $80 - 20 - 24 = 36$.

Ответ: 20 существительных, 24 глагола, 36 слов других частей речи.

№ 673

Ширина прямоугольника $4\frac{1}{5}$ см — это $\frac{1}{2}$ длины. Найди периметр.

Как думать. Ширина — половина длины, значит, длина вдвое больше. Потом обычная формула периметра.

Решение.

1. Длина: $4\frac{1}{5} : \frac{1}{2} = 4\frac{1}{5} \cdot 2 = 8\frac{2}{5}$ см.
2. Периметр: $2 \cdot \left(4\frac{1}{5} + 8\frac{2}{5}\right) = 2 \cdot 12\frac{3}{5} = 25\frac{1}{5}$ см.

Ответ: $25\frac{1}{5}$ см.

№ 674

Сумма трёх чисел — 324. Первое — $\frac{4}{9}$ суммы, второе — $\frac{1}{6}$ суммы. Найди третье.

Как думать. Сумма известна — это целое. Находим два числа как дроби от 324, а третье — то, что осталось.

Решение.

1. Первое: $324 \cdot \frac{4}{9} = 144$.
2. Второе: $324 \cdot \frac{1}{6} = 54$.
3. Третье: $324 - 144 - 54 = 126$.

Ответ: 126.

№ 675

1) Марат потратил на книгу $\frac{5}{7}$ своих денег, и у него осталось 50 тг. Сколько было? (A. 180; B. 175; C. 178; D. 165.) 2) Турист прошёл $\frac{7}{12}$ пути, осталось 85 км. Каков весь путь?

Как думать. Число 50 тг относится не к $\frac{5}{7}$, а к остатку! Сначала узнаём, какая часть осталась, потом ищем целое.

Решение.

1. Осталось $1 - \frac{5}{7} = \frac{2}{7}$ денег — это 50 тг. Всего: $50 : \frac{2}{7} = 50 \cdot \frac{7}{2} = 175$ тг.
2. Осталось $1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$ пути — это 85 км. Весь путь: $85 : \frac{5}{12} = 85 \cdot \frac{12}{5} = 204$ км.

Ответ: 1) 175 тг (вариант B); 2) 204 км.

⚠️ Частая ошибка. Делят 50 на $\frac{5}{7}$ и получают 70 тг. Но $\frac{5}{7}$ — это то, что потратили, а 50 тг — то, что осталось. Проверка: от 70 тг осталось бы всего 20.

Уровень B

№ 676

Найди: $\frac{9}{10}$ от $\frac{2}{3}$; $\frac{3}{16}$ от $\frac{4}{9}$; $\frac{3}{5}$ от $\frac{5}{12}$; $\frac{3}{4}$ от $\frac{8}{15}$; $\frac{4}{5}$ от $\frac{3}{8}$; $\frac{5}{7}$ от $\frac{14}{25}$.

Как думать. Дробь от дроби — то же правило: умножаем. Сокращай до умножения, так проще.

Решение.

1. $\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{10} = \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 10} = \frac{3}{5}$;
2. $\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{16} = \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 16} = \frac{1}{12}$;
3. $\frac{5}{12} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$;
4. $\frac{8}{15} \cdot \frac{3}{4} = \frac{8 \cdot 3}{15 \cdot 4} = \frac{2}{5}$;
5. $\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{5} = \frac{12}{40} = \frac{3}{10}$;
6. $\frac{14}{25} \cdot \frac{5}{7} = \frac{14 \cdot 5}{25 \cdot 7} = \frac{2}{5}$.

Ответ: 1) $\frac{3}{5}$; 2) $\frac{1}{12}$; 3) $\frac{1}{4}$; 4) $\frac{2}{5}$; 5) $\frac{3}{10}$; 6) $\frac{2}{5}$.

№ 677

Найди величину, если: $\frac{4}{7}$ её — 16 м; $\frac{5}{8}$ — 30 дм; $\frac{3}{10}$ — 15 см; $\frac{3}{4}$ — 12 т; $\frac{4}{5}$ — 32 кг; $\frac{7}{9}$ — 28 г; $\frac{2}{3}$ — 4 ч; $\frac{3}{5}$ — 15 мин; $\frac{5}{12}$ — 20 с.

Как думать. Это «число по дроби»: делим на числитель, умножаем на знаменатель.

Решение.

1. $16 : 4 \cdot 7 = 28$ м;
2. $30 : 5 \cdot 8 = 48$ дм;
3. $15 : 3 \cdot 10 = 50$ см;
4. $12 : 3 \cdot 4 = 16$ т;
5. $32 : 4 \cdot 5 = 40$ кг;
6. $28 : 7 \cdot 9 = 36$ г;
7. $4 : 2 \cdot 3 = 6$ ч;
8. $15 : 3 \cdot 5 = 25$ мин;
9. $20 : 5 \cdot 12 = 48$ с.

Ответ: 1) 28 м; 2) 48 дм; 3) 50 см; 4) 16 т; 5) 40 кг; 6) 36 г; 7) 6 ч; 8) 25 мин; 9) 48 с.

№ 678

Автобус с туристами ехал 4 ч со скоростью $58\frac{3}{4}$ км/ч. $\frac{4}{5}$ пути — по асфальту, остальное — по грунтовке. Сколько километров по грунтовке? (A. 47 км; B. 45 км; C. 60 км; D. 52 км.)

Как думать. Сначала весь путь (скорость умножить на время), потом нужная часть.

Решение.

1. Весь путь: $58\frac{3}{4} \cdot 4 = 232 + 3 = 235$ км.
2. Грунтовка — это $1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ пути.
3. $235 \cdot \frac{1}{5} = 47$ км.

Ответ: 47 км (вариант A).

№ 679

$\frac{3}{5}$ класса ходят в кружки, из них $\frac{2}{3}$ — в спортивные. Спортсменов 12. Сколько учеников в классе?

Как думать. $\frac{2}{3}$ берётся не от класса, а от кружковцев. Сначала узнаём, какую долю всего класса составляют спортсмены.

Решение.

1. $\frac{2}{3}$ от $\frac{3}{5}$: $\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{5}$ класса.
2. $\frac{2}{5}$ класса — 12 учеников. Весь класс: $12 : \frac{2}{5} = 12 \cdot \frac{5}{2} = 30$.

Ответ: 30 учеников.

№ 680

Книги для школьной библиотеки переплетали три дня: в первый — $\frac{2}{7}$ всех книг, во второй — $\frac{1}{3}$, в третий — оставшиеся 40. Сколько всего книг?

Как думать. Обе дроби — от всех книг. Узнаём, какая доля пришлась на третий день, и по ней находим целое.

Решение.

1. За два дня: $\frac{2}{7} + \frac{1}{3} = \frac{6}{21} + \frac{7}{21} = \frac{13}{21}$.
2. В третий день: $1 - \frac{13}{21} = \frac{8}{21}$, это 40 книг.
3. Всего: $40 : \frac{8}{21} = 40 \cdot \frac{21}{8} = 105$ книг.

Проверка: $105 \cdot \frac{2}{7} = 30$, $105 \cdot \frac{1}{3} = 35$, $30 + 35 + 40 = 105$.

Ответ: 105 книг.

№ 681

Сакен дал кассиру 500 тг и получил сдачу — $\frac{3}{25}$ этих денег. Сколько стоит книга?

Как думать. Целое известно — 500 тг. Находим сдачу, а цена — всё остальное.

Решение.

1. Сдача: $500 \cdot \frac{3}{25} = 60$ тг.
2. Цена: $500 - 60 = 440$ тг.

Ответ: 440 тг.

№ 682

1) Песок — $\frac{5}{8}$ массы стекла, известь — $\frac{1}{3}$ остального. Какую часть стекла составляет известь? 2) Лёгкой атлетикой занимается $\frac{1}{3}$ класса, вольной борьбой — $\frac{3}{5}$ остальных. Какая часть класса занимается борьбой? Какая часть — лёгкой атлетикой и борьбой вместе?

Как думать. Опять ловушка «от остатка»: сначала находим остаток, потом берём дробь от него.

Решение.

1. Остальное: $1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$. Известь: $\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{8}$ стекла.
2. Остальные ученики: $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$. Борьба: $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ класса. Обе секции вместе: $\frac{1}{3} + \frac{2}{5} = \frac{5}{15} + \frac{6}{15} = \frac{11}{15}$ класса.

Ответ: 1) $\frac{1}{8}$; 2) борьбой — $\frac{2}{5}$ класса; лёгкой атлетикой и борьбой вместе — $\frac{11}{15}$ класса.

№ 683

Старинная задача. Пифагор рассказал: половина его учеников изучает математику, четверть — природу, $\frac{1}{7}$ размышляет, а ещё есть 3 девочки. Сколько всего учеников?

Как думать. Складываем все дроби — узнаём, какую долю занимают три девочки. Дальше — число по дроби.

Решение.

1. Три группы вместе: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{7} = \frac{14}{28} + \frac{7}{28} + \frac{4}{28} = \frac{25}{28}$.
2. На девочек приходится $1 - \frac{25}{28} = \frac{3}{28}$, это 3 ученицы.
3. Всего: $3 : \frac{3}{28} = 28$.

Проверка: $14 + 7 + 4 + 3 = 28$.

Ответ: 28 учеников.

№ 684

Сахар — $\frac{3}{5}$ вишнёвого варенья, остальное — вишня. Вишни на 2 кг меньше, чем сахара. Сколько весит варенье? (A. 8; B. 6; C. 10; D. 9 кг.)

Как думать. Сахара 3 кусочка из 5, вишни — 2. Разница в 1 кусочек — это и есть 2 кг.

Решение.

1. Вишня: $1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ варенья.
2. Разница: $\frac{3}{5} - \frac{2}{5} = \frac{1}{5}$ варенья, это 2 кг.
3. Варенье: $2 : \frac{1}{5} = 10$ кг.

Ответ: 10 кг (вариант C).

№ 685

Есть сосуды на 800 см³ и 700 см³ и кран с водой. Как переливаниями оставить в большом сосуде ровно 300 см³?

Как думать. Наполняем большой и доливаем из него малый до краёв — в большом остаётся на 100 см³ больше, чем было в малом. Так «копим» по 100 см³.

Решение. Записываем (большой; малый) после каждого шага.

1. Наполняем большой: (800; 0).
2. Доливаем малый до краёв: (100; 700).
3. Выливаем малый, переливаем в него 100: (0; 100).
4. Наполняем большой, доливаем малый (в него войдёт ещё 600): (200; 700).
5. Выливаем малый, переливаем в него 200: (0; 200).
6. Наполняем большой, доливаем малый (войдёт 500): (300; 700).

Ответ: в большом сосуде остаётся 300 см³ (шесть шагов выше).

Уровень C

№ 686

Пальто стоило 17 000 тг. Зимой подорожало на $\frac{1}{10}$ первоначальной цены, весной подешевело на $\frac{1}{10}$ новой цены. Сколько оно стоит весной?

Как думать. Хочется сказать «столько же» — но нет! Вторая десятая часть берётся уже от другой, большей цены.

Решение.

1. Подорожание: $17,000 \cdot \frac{1}{10} = 1700$ тг. Зимняя цена: $17,000 + 1700 = 18,700$ тг.
2. Снижение: $18,700 \cdot \frac{1}{10} = 1870$ тг. Весенняя цена: $18,700 - 1870 = 16,830$ тг.

Ответ: 16 830 тг. Цена не вернулась к 17 000 тг: во второй раз десятую часть брали от большей суммы.

№ 687

Нурлан проехал $\frac{2}{5}$ пути от дачи до станции, и до середины пути осталось $4\frac{3}{10}$ км. Найди всё расстояние. (A. 43; B. 45; C. 40; D. 42 км.)

Как думать. Середина — это $\frac{1}{2}$ пути. Какой кусочек пути лежит между $\frac{2}{5}$ и $\frac{1}{2}$?

Решение.

1. До середины осталось $\frac{1}{2} - \frac{2}{5} = \frac{5}{10} - \frac{4}{10} = \frac{1}{10}$ пути.
2. $\frac{1}{10}$ пути — это $4\frac{3}{10}$ км. Весь путь: $4\frac{3}{10} \cdot 10 = 43$ км.

Ответ: 43 км (вариант A).

№ 688

В первый день на заправке продали $\frac{7}{25}$ всего бензина, во второй — $\frac{1}{3}$ остатка. Осталось $4\frac{4}{5}$ т. Сколько бензина было сначала?

Как думать. Здесь как раз «дробь от остатка». Выражаем всё в долях от начального количества.

Решение.

1. После первого дня осталось $1 - \frac{7}{25} = \frac{18}{25}$.
2. Во второй день продали $\frac{18}{25} \cdot \frac{1}{3} = \frac{6}{25}$.
3. Осталось $\frac{18}{25} - \frac{6}{25} = \frac{12}{25}$ всего бензина, это $4\frac{4}{5} = \frac{24}{5}$ т.
4. Было: $\frac{24}{5} : \frac{12}{25} = \frac{24}{5} \cdot \frac{25}{12} = 10$ т.

Ответ: 10 т.

№ 689

Ученик прочитал $\frac{1}{8}$ книги, потом $\frac{2}{7}$ остатка. Оказалось, что прочитано на 18 страниц меньше, чем осталось. Сколько страниц в книге?

Как думать. Переводим всё в доли книги. Разница «на 18 страниц» — это тоже какая-то доля.

Решение.

1. После первого раза осталось $\frac{7}{8}$. Во второй раз прочитал $\frac{7}{8} \cdot \frac{2}{7} = \frac{2}{8}$.
2. Всего прочитано $\frac{1}{8} + \frac{2}{8} = \frac{3}{8}$, осталось $\frac{5}{8}$.
3. Разница $\frac{5}{8} - \frac{3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ книги, это 18 страниц.
4. В книге $18 \cdot 4 = 72$ страницы.

Проверка: прочитано 27, осталось 45, $45 - 27 = 18$.

Ответ: 72 страницы.

№ 690

Старинная задача. Крестьянин оставил трём сыновьям 17 верблюдов: первому $\frac{1}{2}$, второму $\frac{1}{3}$, третьему $\frac{1}{9}$. Мимо ехал Ходжа Насреддин, добавил своего верблюда — и всё поделилось, а его верблюд вернулся к нему. Как так?

Как думать. Задача на смекалку. Сложи доли, которые завещал отец, — и найдёшь фокус.

Решение.

1. С верблюдом Насреддина их 18. Первый сын получил $18 : 2 = 9$, второй $18 : 3 = 6$, третий $18 : 9 = 2$.
2. Всего роздано $9 + 6 + 2 = 17$ верблюдов. Восемнадцатый — верблюд Насреддина — остался лишним, и он его забрал.
3. Секрет: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} = \frac{9}{18} + \frac{6}{18} + \frac{2}{18} = \frac{17}{18}$. Доли отца в сумме не дают целого, поэтому одна восемнадцатая «лишняя». Каждый сын получил даже чуть больше, чем ему полагалось из 17.

Ответ: из 18 верблюдов сыновья взяли 9, 6 и 2 — всего 17, а 18-й вернулся к Насреддину, потому что сумма долей равна $\frac{17}{18}$, а не 1.

🌟 Ходжа Насреддин — герой весёлых историй по всему Востоку, от Турции до Казахстана. У казахов есть свой хитрец такого же нрава — Алдар Көсе.

№ 691

Сосуд наполнили молоком так, что $\frac{1}{5}$ осталась пустой. Потом $\frac{3}{4}$ налитого молока перелили в другой сосуд. Какая часть первого сосуда теперь пустая?

Как думать. $\frac{3}{4}$ берётся от налитого молока, а не от всего сосуда.

Решение.

1. Молока было $1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ сосуда.
2. Перелили $\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{5}$ сосуда. Осталось молока $\frac{4}{5} - \frac{3}{5} = \frac{1}{5}$ сосуда.
3. Пусто: $1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ сосуда.

Ответ: $\frac{4}{5}$ сосуда.

№ 692

В парке ели — $\frac{9}{25}$ всех деревьев, дубов — $\frac{1}{3}$ от числа елей, сосен на 60 больше, чем дубов. Сколько всего деревьев? (A. 145; B. 160; C. 150; D. 120.)

Как думать. Выражаем дубы и сосны в долях от всех деревьев. Разница «на 60» — это какая-то доля, по ней и находим целое.

Решение.

1. Дубы: $\frac{9}{25} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{25}$ всех деревьев.
2. Сосны: $1 - \frac{9}{25} - \frac{3}{25} = \frac{13}{25}$.
3. Сосен больше, чем дубов, на $\frac{13}{25} - \frac{3}{25} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$ всех деревьев. Это 60 деревьев.
4. Всего: $60 : \frac{2}{5} = 150$.

Проверка: ели 54, дубы 18, сосны 78; $78 - 18 = 60$; $54 + 18 + 78 = 150$.

Ответ: 150 деревьев (вариант C).

№ 693

Реши уравнения: 1) $\dfrac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{9}x - \frac{4}{9}} + \frac{1}{20} = \frac{4}{5}$; 2) $\dfrac{\frac{5}{7}}{\frac{6}{7}x + \frac{3}{7}} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$; 3) $\dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}x - \frac{1}{2}} - \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$.

Как думать. «Разматываем» уравнение снаружи внутрь, как клубок: сначала находим всю большую дробь, потом её знаменатель, потом $x$.

Решение.

1. Дробь равна $\frac{4}{5} - \frac{1}{20} = \frac{16}{20} - \frac{1}{20} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$. Знаменатель (делитель): $\frac{2}{3} : \frac{3}{4} = \frac{8}{9}$. Значит, $\frac{4}{9}x - \frac{4}{9} = \frac{8}{9}$. $\frac{4}{9}x = \frac{12}{9}$, $x = \frac{12}{9} : \frac{4}{9} = 3$.

2. Дробь равна $\frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6} + \frac{3}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Знаменатель: $\frac{5}{7} : \frac{2}{3} = \frac{15}{14}$. Значит, $\frac{6}{7}x + \frac{3}{7} = \frac{15}{14}$. $\frac{6}{7}x = \frac{15}{14} - \frac{6}{14} = \frac{9}{14}$, $x = \frac{9}{14} : \frac{6}{7} = \frac{9 \cdot 7}{14 \cdot 6} = \frac{3}{4}$.

3. Дробь равна $\frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$. Знаменатель: $\frac{3}{4} : \frac{3}{8} = 2$. Значит, $\frac{5}{8}x - \frac{1}{2} = 2$. $\frac{5}{8}x = 2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$, $x = \frac{5}{2} : \frac{5}{8} = 4$.

Ответ: 1) 3; 2) $\frac{3}{4}$; 3) 4.

№ 694

На озере 6 островов и 10 мостов (рис. 3.43). Как обойти все острова, пройдя по каждому мосту ровно один раз?

Как думать. Задача на смекалку. Посчитай, сколько мостов выходит с каждого острова. Если нечётное число — путь обязан на этом острове начаться или закончиться.

Решение. Обозначим острова: Л — левый, ВП — верхний правый, СП — средний правый, Ц — центральный нижний, НЛ — нижний левый, НП — нижний правый. Мосты: Л–ВП, ВП–СП, Л–СП, Л–Ц, СП–Ц, Л–НЛ, НЛ–Ц, Ц–НП, СП–НП, НЛ–НП.

1. Число мостов у островов: Л — 4, ВП — 2, СП — 4, Ц — 4, НЛ — 3, НП — 3.
2. Нечётное число только у НЛ и НП. Значит, начинаем с одного из них, а заканчиваем на другом.
3. Маршрут: НЛ → Л → ВП → СП → Л → Ц → НЛ → НП → Ц → СП → НП.

Проверка: в маршруте 10 переходов, все мосты разные, все 6 островов посещены.

Ответ: например, НЛ → Л → ВП → СП → Л → Ц → НЛ → НП → Ц → СП → НП (начинать надо с нижнего левого или нижнего правого острова).

🌟 Похожую задачу про 7 мостов города Кёнигсберга решил великий математик Леонард Эйлер. С неё началась целая наука — теория графов. Сегодня на ней работают навигаторы в телефоне.

Шпаргалка

• Известно целое, ищем часть — умножаем на дробь.
• Известна часть, ищем целое — делим на дробь.
• Прикидка: часть меньше целого (если дробь меньше 1).
• Рисуй полоску: столько кусочков, каков знаменатель.
• «$\frac{1}{3}$ остатка» — это дробь от остатка, а не от всего.

Мини-тест