3.15. Задачи на совместную работу

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава III: Обыкновенные дроби и действия над ними (продолжение). Страницы 11–15.

Чему научишься

• Принимать всю работу (бассейн, забор, дорогу) за 1.
• Находить, какую часть работы делают за 1 час: $1 : \text{время}$.
• Складывать части, когда работают вместе, и вычитать, когда кто-то мешает или когда нужно найти одного из участников.
• Решать задачи, где сначала работали вместе, а потом один.
• Видеть, что лодка на реке и встречное движение решаются точно так же.

Разминка

Эти действия понадобятся в каждой задаче. Посчитай в уме.

• $1 : 6$ и $1 : 15$? $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{15}$.
• $\frac{1}{4} + \frac{1}{12}$? $\frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = $ $\frac{1}{3}$.
• $\frac{1}{6} - \frac{1}{10}$? $\frac{5}{30} - \frac{3}{30} = \frac{2}{30} = $ $\frac{1}{15}$.
• $1 : \frac{1}{5}$ и $1 : \frac{2}{9}$? 5 и $\frac{9}{2} = $ $4\frac{1}{2}$.
• $\frac{3}{5}$ от 45? Число, $\frac{2}{9}$ которого — 18? $45 \cdot \frac{3}{5} = $ 27; $18 : \frac{2}{9} = $ 81.

Разбираемся

Вся работа — это 1

Арман красит забор у бабушки на даче. Один он справится за 6 часов, а папа — за 3 часа. Сколько метров в заборе, мы не знаем. И не надо! Весь забор принимаем за 1.

Арман за 1 час красит $1 : 6 = \frac{1}{6}$ забора. Папа — $1 : 3 = \frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ забора. Это их «скорости работы» — производительности.

Вместе за 1 час они красят $\frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ забора. Значит, весь забор будет готов через $1 : \frac{1}{2} = 2$ часа.

Смотрим на график

Разделим забор на 6 кусочков и проследим, сколько готово к каждому часу. Чем круче линия, тем быстрее работа.

Самая крутая линия добирается до 6 кусочков уже на втором часе. Вдвоём — быстрее, чем самый быстрый из двоих.

📌 Схема всегда одна: время → часть за 1 час → складываем → $1 : \text{сумма}$.

⚠️ Частая ошибка. Складывают время: «6 ч + 3 ч = 9 ч». Но вдвоём работа идёт быстрее! Совместное время всегда меньше, чем у самого быстрого участника. 2 ч меньше 3 ч — ответ разумный.

Насосы, утки и лодки

Насос наполняет цистерну за 24 мин, второй — за 40 мин. Вместе за минуту: $\frac{1}{24} + \frac{1}{40} = \frac{5}{120} + \frac{3}{120} = \frac{8}{120} = \frac{1}{15}$ цистерны. Вся цистерна — за $1 : \frac{1}{15} = 15$ мин.

Движение — тоже работа. Плот плывёт от $A$ до $B$ за 20 ч: течение за час проносит $\frac{1}{20}$ пути. Лодка по озеру проходит такой путь за 5 ч — $\frac{1}{5}$ в час. По течению река помогает: $\frac{1}{5} + \frac{1}{20} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$ пути в час, весь путь — за 4 ч.

💡 Против течения река мешает — доли вычитаются. А двое, идущие навстречу, «съедают» путь вместе — доли складываются, как у двух насосов.

Когда нужно вычитать

Если знаешь время совместной работы и время одного, то второго найдёшь вычитанием: $\frac{1}{\text{вместе}} - \frac{1}{\text{первый}}$. Так же, когда одна труба наливает, а другая выливает.

⚠️ Частая ошибка. Получили $\frac{1}{15}$ и пишут в ответ «$\frac{1}{15}$ ч». Но $\frac{1}{15}$ — это часть работы за час, а не время! Время — последним действием: $1 : \frac{1}{15} = 15$ ч.

👨‍👩‍👧 Родителю. Перед решением пусть ребёнок ответит на два вопроса: «Что принимаем за 1?» и «Какую часть делает каждый за 1 час (минуту, день)?» Если ответы есть, дальше задача решается почти сама.

Проверь, как понял

Решаем упражнения

Уровень A

№ 695

1) Люда соберёт клубнику с грядки за 20 мин, Наташа — за 30 мин. За сколько минут соберут вместе? (A. 15; B. 10; C. 18; D. 12 мин.) 2) Три мастера делают юрту за 20, 12 и 15 дней. За сколько дней сделают вместе?

Как думать. Грядку принимаем за 1. Находим, сколько грядки собирает каждая за минуту, и складываем.

Решение.

1. Люда за 1 мин: $\frac{1}{20}$, Наташа: $\frac{1}{30}$. Вместе: $\frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$. Время: $1 : \frac{1}{12} = 12$ мин.
2. За 1 день: $\frac{1}{20} + \frac{1}{12} + \frac{1}{15} = \frac{3}{60} + \frac{5}{60} + \frac{4}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$ юрты. Время: $1 : \frac{1}{5} = 5$ дней.

Ответ: 1) за 12 мин (вариант D); 2) за 5 дней.

№ 696

Старинная китайская задача (II век). Дикая утка летит от южного моря до северного 7 дней, дикий гусь от северного до южного — 9 дней. Через сколько дней они встретятся, если вылетят одновременно?

Как думать. Они летят навстречу, поэтому их доли пути за день складываются — как у двух насосов.

Решение.

1. Весь путь — 1. Утка за день пролетает $\frac{1}{7}$ пути, гусь — $\frac{1}{9}$.
2. Вместе за день: $\frac{1}{7} + \frac{1}{9} = \frac{9}{63} + \frac{7}{63} = \frac{16}{63}$ пути.
3. Встреча через $1 : \frac{16}{63} = \frac{63}{16} = 3\frac{15}{16}$ дня.

Ответ: через $3\frac{15}{16}$ дня.

🌟 Этой задаче почти 2000 лет! Её записали в китайской книге «Математика в девяти книгах». Дроби люди умели складывать задолго до компьютеров.

№ 697

Старинная задача. Лев съест барана за 2 дня, волк — за 3 дня, собака — за 6 дней. За сколько дней они съедят барана вместе?

Как думать. Барана принимаем за 1. Складываем, сколько съедает каждый за день.

Решение.

1. За день: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = 1$ барана.
2. Время: $1 : 1 = 1$ день.

Ответ: за 1 день.

№ 698

Через две трубы бассейн наполняется за 6 ч, через одну первую — за 10 ч. За сколько часов его наполнит одна вторая труба?

Как думать. Известна работа «вместе» и работа первой. Вторую находим вычитанием.

Решение.

1. Обе за 1 ч: $\frac{1}{6}$ бассейна, первая: $\frac{1}{10}$.
2. Вторая за 1 ч: $\frac{1}{6} - \frac{1}{10} = \frac{5}{30} - \frac{3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$.
3. Время: $1 : \frac{1}{15} = 15$ ч.

Ответ: за 15 ч.

№ 699

Старший брат, младший брат и сестра вместе слепили снеговика за 12 мин. Старший один слепил бы его за 24 мин, младший — за 40 мин. За сколько минут слепит снеговика сестра?

Как думать. Из общей «скорости» троих вычитаем «скорость» двух братьев — остаётся сестра.

Решение.

1. Все вместе за 1 мин: $\frac{1}{12}$ снеговика.
2. Братья за 1 мин: $\frac{1}{24} + \frac{1}{40} = \frac{5}{120} + \frac{3}{120} = \frac{8}{120} = \frac{1}{15}$.
3. Сестра за 1 мин: $\frac{1}{12} - \frac{1}{15} = \frac{5}{60} - \frac{4}{60} = \frac{1}{60}$.
4. Время: $1 : \frac{1}{60} = 60$ мин.

Ответ: за 60 мин (1 ч).

Уровень B

№ 700

Две трубы наливают бассейн за 6 ч и за 8 ч, третья выливает полный бассейн за 4 ч. Какая часть бассейна наполнится за час, если открыты все три?

Как думать. Наливающие трубы складываем, выливающую вычитаем.

Решение. $\frac{1}{6} + \frac{1}{8} - \frac{1}{4} = \frac{4}{24} + \frac{3}{24} - \frac{6}{24} = \frac{1}{24}$.

Ответ: $\frac{1}{24}$ бассейна (весь бассейн наполнится за 24 ч).

№ 701

Первая бригада построит здание за 15 месяцев, вторая — за $\frac{2}{3}$ этого времени. За сколько месяцев построят вместе?

Как думать. Сначала — время второй бригады (это дробь от числа). Дальше — обычная совместная работа.

Решение.

1. Время второй бригады: $15 \cdot \frac{2}{3} = 10$ месяцев.
2. Вместе за месяц: $\frac{1}{15} + \frac{1}{10} = \frac{2}{30} + \frac{3}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$ здания.
3. Время: $1 : \frac{1}{6} = 6$ месяцев.

Ответ: за 6 месяцев.

№ 702

Три бригады строят 2 одинаковых дома. Первой на один дом нужно 9 недель, второй — в $1\frac{1}{3}$ раза больше, третьей — в 2 раза больше, чем первой. За сколько недель построят два дома вместе?

Как думать. За 1 принимаем один дом. Находим время на один дом и в конце удваиваем.

Решение.

1. Вторая бригада: $9 \cdot 1\frac{1}{3} = 9 \cdot \frac{4}{3} = 12$ недель на дом. Третья: $9 \cdot 2 = 18$ недель.
2. Вместе за неделю: $\frac{1}{9} + \frac{1}{12} + \frac{1}{18} = \frac{4}{36} + \frac{3}{36} + \frac{2}{36} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$ дома.
3. Один дом — за $1 : \frac{1}{4} = 4$ недели, два дома — за $4 \cdot 2 = 8$ недель.

Ответ: за 8 недель.

№ 703

Старинная задача из «Арифметики» Магницкого. Лошадь съедает воз сена за месяц, коза — за 2 месяца, овца — за 3 месяца. За какое время они съедят воз вместе?

Как думать. Лошадь одна съедает целый воз за месяц, а тут ей ещё помогают. Значит, ответ — меньше месяца.

Решение.

1. За месяц вместе: $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{6}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{11}{6}$ воза.
2. Время: $1 : \frac{11}{6} = \frac{6}{11}$ месяца.

Ответ: за $\frac{6}{11}$ месяца (примерно за 16 дней, если в месяце 30 дней).

№ 704

Через две трубы бак наполняется за 2 ч, через одну первую — за 3 ч. За сколько времени одна вторая наполнит $\frac{2}{3}$ бака?

Как думать. Находим «скорость» второй трубы, а потом — время не на весь бак, а только на $\frac{2}{3}$.

Решение.

1. Вторая за 1 ч: $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ бака. Значит, весь бак она наполняет за 6 ч.
2. $\frac{2}{3}$ бака: $\frac{2}{3} : \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$ ч.

Ответ: за 4 ч.

№ 705

От пристани отплыла лодка, а навстречу ей одновременно от пункта $A$ поплыл плот. Встретились через 2 ч. Через 30 мин после встречи лодка пришла в $A$. Через сколько времени после встречи плот приплыл к пристани?

Как думать. На рисунке течение идёт от $A$ к пристани: плот плывёт по течению, лодка — против. Весь путь лодки занял $2 \text{ ч} + 30 \text{ мин} = 2\frac{1}{2}$ ч.

Решение. Расстояние от пристани до $A$ примем за 1.

1. Лодка за 1 ч: $1 : 2\frac{1}{2} = \frac{2}{5}$ пути.
2. Встретились через 2 ч, значит, вместе за 1 ч они проходят $\frac{1}{2}$ пути.
3. Плот за 1 ч: $\frac{1}{2} - \frac{2}{5} = \frac{5}{10} - \frac{4}{10} = \frac{1}{10}$ пути. Весь путь плот проплывает за 10 ч.
4. До встречи плот плыл 2 ч, после встречи ему осталось $10 - 2 = 8$ ч.

Ответ: через 8 ч.

Уровень C

№ 706

Первая и вторая бригады построят коттедж за 12 месяцев, вторая и третья — за 10, первая и третья — за 15. За сколько месяцев построят все три вместе?

Как думать. Хитрость: если сложить все три пары, каждая бригада попадёт в сумму дважды.

Решение.

1. Сумма пар за месяц: $\frac{1}{12} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{5}{60} + \frac{6}{60} + \frac{4}{60} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4}$. Это работа трёх бригад, посчитанная дважды.
2. Три бригады за месяц: $\frac{1}{4} : 2 = \frac{1}{8}$ коттеджа.
3. Время: $1 : \frac{1}{8} = 8$ месяцев.

Ответ: за 8 месяцев.

№ 707

Олжас и Дима нарубят дрова на зиму за 10 дней, Дима и Антон — за 15 дней, Олжас и Антон — за 18 дней. За сколько дней справится каждый в одиночку?

Как думать. Тот же приём, что в № 706: сначала находим всех троих, а потом «вычитаем» пару — остаётся один.

Решение.

1. Сумма пар за день: $\frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{18} = \frac{9}{90} + \frac{6}{90} + \frac{5}{90} = \frac{20}{90} = \frac{2}{9}$.
2. Трое вместе за день: $\frac{2}{9} : 2 = \frac{1}{9}$.
3. Олжас: $\frac{1}{9} - \frac{1}{15} = \frac{5}{45} - \frac{3}{45} = \frac{2}{45}$ в день, время $1 : \frac{2}{45} = 22\frac{1}{2}$ дня.
4. Дима: $\frac{1}{9} - \frac{1}{18} = \frac{1}{18}$ в день, время 18 дней.
5. Антон: $\frac{1}{9} - \frac{1}{10} = \frac{1}{90}$ в день, время 90 дней.

Проверка: Олжас + Дима $= \frac{2}{45} + \frac{1}{18} = \frac{4}{90} + \frac{5}{90} = \frac{1}{10}$. Верно.

Ответ: Олжас — за $22\frac{1}{2}$ дня, Дима — за 18 дней, Антон — за 90 дней.

№ 708

Первый грейдер выровняет дорогу за 45 ч, второй — за 36 ч. Они вместе работали 15 ч, потом остаток доделал второй. Сколько часов работала вторая машина?

Как думать. Работа в два этапа. После первого этапа записываем: «сделано …, осталось …».

Решение.

1. Вместе за 1 ч: $\frac{1}{45} + \frac{1}{36} = \frac{4}{180} + \frac{5}{180} = \frac{9}{180} = \frac{1}{20}$ дороги.
2. За 15 ч: $15 \cdot \frac{1}{20} = \frac{3}{4}$ дороги. Осталось $\frac{1}{4}$.
3. Вторая одна доделала остаток за $\frac{1}{4} : \frac{1}{36} = 9$ ч.
4. Всего вторая машина работала $15 + 9 = 24$ ч.

Ответ: после совместной работы вторая машина работала одна 9 ч, а всего — 24 ч.

№ 709

Надя составит все букеты за 40 мин, Валя — за 35 мин. Они вместе работали 14 мин, затем остаток доделала Надя. За сколько минут составили все букеты?

Как думать. Снова два этапа: сначала вместе, потом одна Надя. Ответ — сумма времени двух этапов.

Решение.

1. Вместе за 1 мин: $\frac{1}{40} + \frac{1}{35} = \frac{7}{280} + \frac{8}{280} = \frac{15}{280} = \frac{3}{56}$.
2. За 14 мин: $14 \cdot \frac{3}{56} = \frac{3}{4}$ работы. Осталось $\frac{1}{4}$.
3. Надя доделала за $\frac{1}{4} : \frac{1}{40} = 10$ мин.
4. Всего: $14 + 10 = 24$ мин.

Ответ: за 24 мин.

№ 710

Два оператора вместе наберут рукопись за 10 ч. Они вместе работали 6 ч, затем первый один допечатал остаток за 12 ч. За сколько часов набрал бы весь текст каждый?

Как думать. Узнаём, сколько осталось после совместной работы. По остатку и 12 часам находим «скорость» первого.

Решение.

1. Вместе за 1 ч: $\frac{1}{10}$; за 6 ч: $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ текста. Осталось $\frac{2}{5}$.
2. Первый за 1 ч: $\frac{2}{5} : 12 = \frac{2}{60} = \frac{1}{30}$. Весь текст — за 30 ч.
3. Второй за 1 ч: $\frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{3}{30} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$. Весь текст — за 15 ч.

Ответ: первый — за 30 ч, второй — за 15 ч.

№ 711

Мастер выполнит задание за 45 мин, ученик — за 1 ч 30 мин. Мастер работал один 15 мин, потом доделали вместе. За сколько минут выполнено задание? (A. 30; B. 35; C. 25; D. 40 мин.)

Как думать. Переводим всё в минуты. Сначала — этап мастера, потом — этап вдвоём.

Решение.

1. Ученик: 1 ч 30 мин $= 90$ мин.
2. Мастер за 15 мин: $15 \cdot \frac{1}{45} = \frac{1}{3}$ задания. Осталось $\frac{2}{3}$.
3. Вместе за 1 мин: $\frac{1}{45} + \frac{1}{90} = \frac{2}{90} + \frac{1}{90} = \frac{3}{90} = \frac{1}{30}$.
4. Остаток вместе: $\frac{2}{3} : \frac{1}{30} = 20$ мин.
5. Всего: $15 + 20 = 35$ мин.

Ответ: за 35 мин (вариант B).

№ 712

Два велосипедиста одновременно выехали навстречу из $A$ и $B$ и встретились через 18 мин. Первый проезжает весь путь за $\frac{1}{2}$ ч. За какое время проедет путь второй? (A. $\frac{1}{4}$ ч; B. $\frac{3}{5}$ ч; C. $\frac{3}{4}$ ч; D. $\frac{4}{5}$ ч.)

Как думать. Встречное движение — как совместная работа. Удобнее считать в минутах: $\frac{1}{2}$ ч $= 30$ мин.

Решение.

1. Вместе за 1 мин: $\frac{1}{18}$ пути; первый: $\frac{1}{30}$ пути.
2. Второй за 1 мин: $\frac{1}{18} - \frac{1}{30} = \frac{5}{90} - \frac{3}{90} = \frac{2}{90} = \frac{1}{45}$ пути.
3. Весь путь второй проедет за 45 мин $= \frac{3}{4}$ ч.

Ответ: за $\frac{3}{4}$ ч (вариант C).

№ 713

Старинная задача Магницкого. Муж выпивает бочку воды за 14 дней, а вместе с женой — за 10 дней. За сколько дней выпьет бочку жена?

Как думать. Известны «вместе» и «муж» — жену находим вычитанием.

Решение.

1. Жена за день: $\frac{1}{10} - \frac{1}{14} = \frac{7}{70} - \frac{5}{70} = \frac{2}{70} = \frac{1}{35}$ бочки.
2. Время: $1 : \frac{1}{35} = 35$ дней.

Ответ: за 35 дней.

№ 714

Катер прошёл путь между пристанями по течению за 6 ч, плот — за 24 ч. За сколько часов катер пройдёт такой же путь по озеру?

Как думать. Плот движется только за счёт течения. По течению катеру помогает река. На озере течения нет — значит, его «долю» надо вычесть.

Решение.

1. По течению катер за 1 ч: $\frac{1}{6}$ пути; течение (плот): $\frac{1}{24}$ пути.
2. Катер по озеру: $\frac{1}{6} - \frac{1}{24} = \frac{4}{24} - \frac{1}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$ пути в час.
3. Время: $1 : \frac{1}{8} = 8$ ч.

Ответ: за 8 ч.

👨‍👩‍👧 Родителю. В № 708–711 работа идёт в два этапа. Хорошая привычка — после каждого этапа записывать: «сделано …, осталось …». Тогда ребёнок не путается, какую часть делает последний участник.

Шпаргалка

• Всю работу принимаем за 1.
• Часть за единицу времени: $1 : \text{время}$. Время: $1 : \text{часть за единицу времени}$.
• Вместе — складываем; одна труба выливает — вычитаем.
• По течению: лодка плюс течение (плот); против течения — минус.
• Два этапа: нашли, сколько сделано, вычли из 1, остаток разделили на «скорость» второго этапа.

Мини-тест