4.1. Десятичная дробь. Чтение и запись десятичных дробей

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава IV: Десятичные дроби. Действия над десятичными дробями. Страницы 16–23.

Чему научишься

• Понимать, что 4,17 — это та же дробь $4\frac{17}{100}$, только записанная короче.
• Называть разряды после запятой: десятые, сотые, тысячные, десятитысячные.
• Читать десятичные дроби вслух: «… целых … сотых».
• Записывать дроби со знаменателем 10, 100, 1000 через запятую и не терять нули.
• Знать, какие нули можно отбросить, а какие — ни в коем случае.

Разминка

Помни: 1 м = 10 дм = 100 см, 1 кг = 1000 г. Сначала скажи смешанным числом, потом открой ответ.

• 4 м 3 дм — это сколько метров? $4\frac{3}{10}$ м $= $ 4,3 м.
• 21 м 7 дм? $21\frac{7}{10}$ м $= $ 21,7 м.
• 9 м 41 см? $9\frac{41}{100}$ м $= $ 9,41 м.
• 5 м 7 см? $5\frac{7}{100}$ м $= $ 5,07 м — нолик держит место!
• 8 кг 351 г? 12 кг 29 г? 15 кг 3 г? $8\frac{351}{1000} = $ 8,351 кг; $12\frac{29}{1000} = $ 12,029 кг; $15\frac{3}{1000} = $ 15,003 кг.

💡 Заметил закономерность? Сколько нулей в знаменателе — столько цифр после запятой. Это главное правило урока.

Разбираемся

Дробь без знаменателя

Дроби со знаменателями 10, 100, 1000 встречаются на каждом шагу: метры и сантиметры, тенге и тиыны, килограммы и граммы. Их договорились писать короче — без черты и знаменателя, через запятую:

$4\frac{17}{100} = 4{,}17$.

Это одно и то же число, просто две записи. Запись 4,17 называется десятичной дробью. Слева от запятой — целая часть (4), справа — дробная часть (17). Цифры справа от запятой называют десятичными знаками.

Режем целое на 10 и на 100

Возьмём полоску-шоколадку и разрежем на 10 равных долек. Одна долька — это $\frac{1}{10} = 0{,}1$, одна десятая. А если каждую дольку разрезать ещё на 10, выйдет 100 крошечных кусочков. Один такой кусочек — $\frac{1}{100} = 0{,}01$, одна сотая.

Видишь разницу? 0,3 и 0,03 — совсем разные числа. Нуль после запятой сдвигает тройку в разряд помельче.

Разряды после запятой

У натуральных чисел разряды идут влево: единицы, десятки, сотни… Каждый следующий в 10 раз больше. У десятичной дроби таблица продолжается вправо за запятую, и каждый новый разряд в 10 раз меньше.

В числе 8,534 — 8 единиц, 5 десятых, 3 сотых и 4 тысячных. Разрядные единицы: $\frac{1}{10} = 0{,}1$; $\frac{1}{100} = 0{,}01$; $\frac{1}{1000} = 0{,}001$. Нуль в разряде значит: таких долей нет.

Десятичную дробь можно разложить на разрядные слагаемые, как натуральное число:

$2{,}817 = 2 + 0{,}8 + 0{,}01 + 0{,}007 = 2 + \frac{8}{10} + \frac{1}{100} + \frac{7}{1000}$.

Как читать вслух

Сначала целую часть и слово «целых». Потом число после запятой — как обычное число — и название последнего разряда. Попробуй сам, потом переверни карточку.

В жизни часто говорят проще: «два запятая пять». А в Англии и США вместо запятой ставят точку: 2.5. Посмотри на калькулятор в телефоне — там тоже бывает точка.

Как записывать

1. Пиши целую часть (если её нет — пиши 0) и ставь запятую.
2. После запятой пиши числитель. Цифр после запятой должно быть столько, сколько нулей в знаменателе.
3. Не хватает цифр — дописывай нули сразу после запятой.

Примеры: $2\frac{7}{10} = 2{,}7$; $5\frac{19}{100} = 5{,}19$; $\frac{43}{100} = 0{,}43$; $4\frac{9}{1000} = 4{,}009$.

⚠️ Частая ошибка. $4\frac{9}{1000}$ пишут как 4,9. Но 4,9 — это $4\frac{9}{10}$, совсем другое число. Проверка: в 1000 три нуля, значит, после запятой три цифры: 4,009.

👨‍👩‍👧 Родителю. Деньги — лучший тренажёр. 3 тг 5 тиын — это 3,05 тг, а не 3,5 тг (3,5 тг — это 3 тг 50 тиын). Попросите ребёнка записать несколько цен в тенге и тиынах — ошибка с пропущенным нулём станет очевидной.

Нули в конце — можно, в середине — нельзя

Разрежем одну полоску на 10 долек, а другую — на 100 кусочков. Закрасим 7 долек и 70 кусочков:

Значит, $0{,}7 = 0{,}70 = 0{,}700$, ведь $\frac{7}{10} = \frac{70}{100} = \frac{700}{1000}$. Нули в конце можно приписывать и отбрасывать: $0{,}300 = 0{,}3$. Даже натуральное число можно так записать: $7 = 7{,}0 = 7{,}00$.

⚠️ Частая ошибка. Нуль сразу после запятой отбрасывают: 0,05 превращают в 0,5. Так нельзя: этот нуль держит пятёрку в разряде сотых. Отбрасывать можно только нули в самом конце дробной части.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как называются разряды справа от запятой? Десятые, сотые, тысячные, десятитысячные и т. д. Каждый следующий в 10 раз меньше предыдущего.
• Где ставится запятая? Сразу после разряда единиц: она отделяет целую часть от дробной.
• Что такое десятичные знаки? Цифры справа от запятой. В числе 35,418 это 4, 1, 8.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 715

Прочитай числа из таблицы разрядов: 2 единицы и 8 десятых; 3 десятка, 0 единиц, 1 десятая и 5 сотых; 6 единиц, 0 десятых, 0 сотых и 7 тысячных.

Как думать. Выписываем цифры по разрядам, ставим запятую после единиц, читаем по последнему разряду.

Решение.

1. 2,8 — две целых восемь десятых;
2. 30,15 — тридцать целых пятнадцать сотых;
3. 6,007 — шесть целых семь тысячных.

Ответ: 2,8; 30,15; 6,007 (прочитаны выше).

Уровень A

№ 716

Запиши десятичными дробями: 1) $\frac{7}{10}$; $\frac{19}{100}$; $\frac{317}{1000}$; $\frac{501}{1000}$; 2) $\frac{11}{10}$; $\frac{718}{100}$; $\frac{2409}{100}$; $\frac{9813}{1000}$; 3) $2\frac{3}{10}$; $5\frac{7}{10}$; $6\frac{49}{100}$; $3\frac{419}{1000}$; 4) $5\frac{7}{100}$; $3\frac{9}{100}$; $4\frac{174}{1000}$; $5\frac{13}{1000}$.

Как думать. Число нулей в знаменателе = число цифр после запятой. Во второй строке дроби неправильные: сначала выделяем целую часть ($\frac{718}{100} = 7\frac{18}{100}$).

Решение.

1. 0,7; 0,19; 0,317; 0,501;
2. $\frac{11}{10} = 1\frac{1}{10} = 1{,}1$; $\frac{718}{100} = 7{,}18$; $\frac{2409}{100} = 24\frac{9}{100} = 24{,}09$; $\frac{9813}{1000} = 9{,}813$;
3. 2,3; 5,7; 6,49; 3,419;
4. $5\frac{7}{100} = 5{,}07$; $3\frac{9}{100} = 3{,}09$; 4,174; $5\frac{13}{1000} = 5{,}013$.

Ответ: 1) 0,7; 0,19; 0,317; 0,501; 2) 1,1; 7,18; 24,09; 9,813; 3) 2,3; 5,7; 6,49; 3,419; 4) 5,07; 3,09; 4,174; 5,013.

№ 717

Запиши цифрами: нуль целых девять десятых; нуль целых семнадцать сотых; нуль целых три сотых; две целых триста пятнадцать тысячных; три целых пять сотых; девять целых двести семь тысячных.

Как думать. Название последнего разряда подсказывает, сколько цифр после запятой: десятые — одна, сотые — две, тысячные — три.

Решение. 1) 0,9; 2) 0,17; 3) 0,03; 4) 2,315; 5) 3,05; 6) 9,207.

Ответ: 0,9; 0,17; 0,03; 2,315; 3,05; 9,207.

№ 718

Запиши частные десятичными дробями: 1) $7 : 10$; $13 : 100$; $91 : 1000$; $109 : 1000$; $33 : 1000$; $7 : 1000$; 2) $21 : 10$; $119 : 100$; $893 : 10$; $4911 : 1000$; $627 : 100$; $517 : 10$.

Как думать. Частное можно записать дробью: $13 : 100 = \frac{13}{100}$. Дальше — как в № 716.

Решение.

1. $\frac{7}{10} = 0{,}7$; $\frac{13}{100} = 0{,}13$; $\frac{91}{1000} = 0{,}091$; $\frac{109}{1000} = 0{,}109$; $\frac{33}{1000} = 0{,}033$; $\frac{7}{1000} = 0{,}007$;
2. $\frac{21}{10} = 2{,}1$; $\frac{119}{100} = 1{,}19$; $\frac{893}{10} = 89{,}3$; $\frac{4911}{1000} = 4{,}911$; $\frac{627}{100} = 6{,}27$; $\frac{517}{10} = 51{,}7$.

Ответ: 1) 0,7; 0,13; 0,091; 0,109; 0,033; 0,007; 2) 2,1; 1,19; 89,3; 4,911; 6,27; 51,7.

💡 Видишь фокус? При делении на 10, 100, 1000 запятая просто «прыгает» влево на столько цифр, сколько нулей: $893 : 10 = 89{,}3$.

№ 719

Допиши цифры, чтобы было верно: 1) $1\frac{9}{100} = 1{,}?$; 2) $\frac{719}{?} = 0{,}0719$; 3) $5\frac{?}{10000} = 5{,}0081$.

Как думать. Работаем в обе стороны: по знаменателю — сколько цифр после запятой, и по цифрам после запятой — какой знаменатель.

Решение.

1. Знаменатель 100 — две цифры после запятой: $1{,}09$.
2. После запятой четыре цифры (0719) — в знаменателе четыре нуля: $\frac{719}{10000} = 0{,}0719$.
3. Дробная часть 0081 — это 81 десятитысячная: $5\frac{81}{10000} = 5{,}0081$.

Ответ: 1) $1{,}09$; 2) 10 000; 3) 81.

№ 720

Разложи на разрядные слагаемые и назови разряды: 1) 0,18; 0,315; 0,14; 0,222; 0,8627; 2) 2,9; 4,61; 8,731; 6,44; 7,9312.

Как думать. Каждая цифра после запятой — отдельное слагаемое в своём разряде: первая — десятые, вторая — сотые, третья — тысячные, четвёртая — десятитысячные.

Решение.

1. $0{,}18 = 0{,}1 + 0{,}08$ (1 десятая, 8 сотых); $0{,}315 = 0{,}3 + 0{,}01 + 0{,}005$ (3 десятых, 1 сотая, 5 тысячных); $0{,}14 = 0{,}1 + 0{,}04$ (1 десятая, 4 сотых); $0{,}222 = 0{,}2 + 0{,}02 + 0{,}002$ (2 десятых, 2 сотых, 2 тысячных); $0{,}8627 = 0{,}8 + 0{,}06 + 0{,}002 + 0{,}0007$ (8 десятых, 6 сотых, 2 тысячных, 7 десятитысячных).
2. $2{,}9 = 2 + 0{,}9$ (2 единицы, 9 десятых); $4{,}61 = 4 + 0{,}6 + 0{,}01$ (4 единицы, 6 десятых, 1 сотая); $8{,}731 = 8 + 0{,}7 + 0{,}03 + 0{,}001$ (8 единиц, 7 десятых, 3 сотых, 1 тысячная); $6{,}44 = 6 + 0{,}4 + 0{,}04$ (6 единиц, 4 десятых, 4 сотых); $7{,}9312 = 7 + 0{,}9 + 0{,}03 + 0{,}001 + 0{,}0002$ (7 единиц, 9 десятых, 3 сотых, 1 тысячная, 2 десятитысячных).

Ответ: разложения записаны выше. Разряды слева направо: единицы, десятые, сотые, тысячные, десятитысячные.

№ 721

Оставшаяся часть суток в $1\frac{2}{5}$ раза больше времени, которое сейчас показывают часы. Который час?

Как думать. Прошедшее время примем за 1 часть. Оставшееся — $1\frac{2}{5}$ таких частей. Вместе — сутки, 24 ч.

Решение.

1. Всего частей: $1 + 1\frac{2}{5} = 2\frac{2}{5} = \frac{12}{5}$.
2. Прошедшее время: $24 : \frac{12}{5} = 24 \cdot \frac{5}{12} = 10$ ч.

Проверка: осталось $24 - 10 = 14$ ч, и $10 \cdot 1\frac{2}{5} = 14$. Верно.

Ответ: 10 ч.

№ 722

Четыре одинаковые фигуры-«запятые» складываются в круг (рис. 4.1), две из них синие. Нарисуй их и запиши обыкновенной дробью, какая часть круга синяя.

Как нарисовать. Начерти круг и два перпендикулярных диаметра — получится четыре радиуса. На каждом радиусе, как на диаметре, построй полуокружность, выгибая все четыре в одну сторону (например, по часовой стрелке). Круг разделится на четыре одинаковых завитка, которые сходятся в центре. Два противоположных закрась синим, два других — серым.

Решение. Фигуры одинаковые, их 4, синих 2: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Ответ: синим закрашена $\frac{1}{2}$ круга.

Уровень B

№ 723

Назови разряд, который в 10 раз меньше: 1) единиц; 2) десятых; 3) сотых; 4) тысячных.

Как думать. Каждый шаг вправо по таблице разрядов — в 10 раз меньше.

Решение. Двигаемся по таблице разрядов на одну клетку вправо.

Ответ: 1) десятые; 2) сотые; 3) тысячные; 4) десятитысячные.

№ 724

Запиши десятичными дробями: 1) $\frac{6}{100}$; $\frac{17}{1000}$; $\frac{303}{1000}$; $\frac{7}{1000}$; $\frac{99}{1000}$; $\frac{8}{1000}$; $\frac{705}{10000}$; 2) $\frac{404}{10}$; $\frac{505}{100}$; $\frac{9806}{1000}$; $\frac{6006}{1000}$; $\frac{23709}{10000}$; 3) $3\frac{7}{100}$; $9\frac{1}{100}$; $16\frac{302}{1000}$; $27\frac{18}{1000}$; $42\frac{6}{1000}$; $77\frac{315}{10000}$.

Как думать. Следим, чтобы цифр после запятой было столько, сколько нулей в знаменателе. Недостающие места заполняем нулями сразу после запятой.

Решение.

1. 0,06; 0,017; 0,303; 0,007; 0,099; 0,008; 0,0705;
2. 40,4; 5,05; 9,806; 6,006; 2,3709;
3. 3,07; 9,01; 16,302; 27,018; 42,006; 77,0315.

Ответ: см. решение.

№ 725

Запиши дробь, в которой: 1) 0 целых, 4 десятых, 5 сотых, 6 тысячных; 2) 31 целая, 7 сотых, 8 тысячных, 3 десятитысячных; 3) 5 целых, 1 десятая, 9 тысячных.

Как думать. Если какого-то разряда в списке нет, на его место ставим 0.

Решение.

1. 0,456;
2. десятых нет — пишем 0: 31,0783;
3. сотых нет — пишем 0: 5,109.

Ответ: 1) 0,456; 2) 31,0783; 3) 5,109.

№ 726

Запиши результат десятичной дробью: 1) $\frac{3}{10} + \frac{1}{100} + \frac{4}{1000}$; 2) $5 + \frac{7}{10} + \frac{9}{100}$; 3) $6 + \frac{9}{10} + \frac{7}{1000}$; 4) $20 + 8 + \frac{5}{100} + \frac{6}{1000}$; 5) $30 + 2 + \frac{3}{100} + \frac{1}{1000}$; 6) $90 + \frac{5}{10} + \frac{7}{100} + \frac{3}{10000}$.

Как думать. Это разрядные слагаемые: каждая дробь — цифра в своём разряде. Пропущенный разряд — нуль.

Решение.

1. 0,314;
2. 5,79;
3. сотых нет: 6,907;
4. $28$ целых, десятых нет: 28,056;
5. $32$ целых, десятых нет: 32,031;
6. тысячных нет: 90,5703.

Ответ: 1) 0,314; 2) 5,79; 3) 6,907; 4) 28,056; 5) 32,031; 6) 90,5703.

№ 727

Вырази десятичной дробью: 1) в метрах: 3 м 15 см, 2 м 7 см, 35 см, 9 см; 2) в килограммах: 6 кг 350 г, 4 кг 83 г, 650 г, 49 г; 3) в тенге: 5 тг 61 тн, 17 тг 35 тн, 67 тн; 4) в долларах: 5 долл. 61 цент, 17 долл. 35 центов, 67 центов.

Как думать. 1 м = 100 см, 1 кг = 1000 г, 1 тг = 100 тиын, 1 доллар = 100 центов. Знаменатель подсказывает, сколько цифр после запятой.

Решение.

1. $3\frac{15}{100} = 3{,}15$ м; $2\frac{7}{100} = 2{,}07$ м; $\frac{35}{100} = 0{,}35$ м; $\frac{9}{100} = 0{,}09$ м.
2. $6\frac{350}{1000} = 6{,}35$ кг (нуль в конце отбросили); $4\frac{83}{1000} = 4{,}083$ кг; $\frac{650}{1000} = 0{,}65$ кг; $\frac{49}{1000} = 0{,}049$ кг.
3. 5,61 тг; 17,35 тг; 0,67 тг.
4. 5,61 долл.; 17,35 долл.; 0,67 долл.

Ответ: 1) 3,15 м; 2,07 м; 0,35 м; 0,09 м; 2) 6,35 кг; 4,083 кг; 0,65 кг; 0,049 кг; 3) 5,61 тг; 17,35 тг; 0,67 тг; 4) 5,61; 17,35; 0,67 долл.

№ 728

14 учеников решили на олимпиаде 58 задач: кто-то 2, кто-то 3, кто-то 4. Докажи, что кто-то решил не меньше 5 задач.

Как думать. Задача на смекалку. Рассуждаем «от противного»: представим, что никто не решил 5 задач и больше, — и посмотрим, что выйдет.

Решение.

1. Пусть каждый решил не больше 4 задач.
2. Тогда все вместе решили не больше $14 \cdot 4 = 56$ задач.
3. Но решено 58 задач, а $58 > 56$. Противоречие.
4. Значит, предположение неверно: хотя бы один участник решил 5 задач или больше.

Ответ: доказано: если бы каждый решил не более 4 задач, всего было бы не более 56 задач, а не 58.

№ 729

Фигура сложена из брусков 20 см × 10 см × 5 см (рис. 4.2). Как она называется? Найди её объём. (A. 1 дм³; B. 8 дм³; C. 6 дм³; D. 27 дм³.)

Как думать. По рисунку: на передней грани сверху и снизу лежат бруски толщиной 5 см, посередине — ряд высотой 10 см (по краям стоят бруски толщиной 5 см, между ними два бруска по 5 см). Высота $5 + 10 + 5 = 20$ см, ширина $5 + 10 + 5 = 20$ см, а глубина — длина бруска, 20 см.

Решение.

1. Все рёбра по 20 см, значит, фигура — куб с ребром 20 см $= 2$ дм.
2. Объём: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ дм³.
3. Проверка: один брусок $20 \cdot 10 \cdot 5 = 1000$ см³ $= 1$ дм³, и в кубе как раз 8 брусков (2 сверху, 2 снизу, 4 в середине).

Ответ: куб; 8 дм³ (вариант B).

Уровень C

№ 730

Запиши десятичными дробями: $\frac{7777}{10000}$; $\frac{913}{10000}$; $8\frac{3}{1000}$; $5\frac{17}{1000}$; $9\frac{7}{10000}$; $6\frac{8}{10000}$.

Как думать. Тут много нулей в знаменателях — считай их внимательно и добивай нулями сразу после запятой.

Решение.

• $\frac{7777}{10000} = 0{,}7777$;
• $\frac{913}{10000} = 0{,}0913$;
• $8\frac{3}{1000} = 8{,}003$;
• $5\frac{17}{1000} = 5{,}017$;
• $9\frac{7}{10000} = 9{,}0007$;
• $6\frac{8}{10000} = 6{,}0008$.

Ответ: 0,7777; 0,0913; 8,003; 5,017; 9,0007; 6,0008.

№ 731

Сократи и запиши десятичными: 1) $\frac{35}{500}$; $\frac{24}{800}$; $\frac{66}{600}$; $\frac{82}{200}$; $\frac{63}{700}$; $\frac{95}{500}$; 2) $\frac{27}{3000}$; $\frac{28}{4000}$; $\frac{18}{6000}$; $\frac{65}{5000}$; $\frac{51}{3000}$; 3) $\frac{324}{40}$; $\frac{488}{80}$; $\frac{7777}{70}$; $\frac{3636}{90}$; $\frac{4242}{60}$.

Как думать. Сокращаем так, чтобы в знаменателе осталось 10, 100 или 1000: делим числитель и знаменатель на первую цифру знаменателя.

Решение.

1. $\frac{35}{500} = \frac{7}{100} = 0{,}07$; $\frac{24}{800} = \frac{3}{100} = 0{,}03$; $\frac{66}{600} = \frac{11}{100} = 0{,}11$; $\frac{82}{200} = \frac{41}{100} = 0{,}41$; $\frac{63}{700} = \frac{9}{100} = 0{,}09$; $\frac{95}{500} = \frac{19}{100} = 0{,}19$.
2. $\frac{27}{3000} = \frac{9}{1000} = 0{,}009$; $\frac{28}{4000} = \frac{7}{1000} = 0{,}007$; $\frac{18}{6000} = \frac{3}{1000} = 0{,}003$; $\frac{65}{5000} = \frac{13}{1000} = 0{,}013$; $\frac{51}{3000} = \frac{17}{1000} = 0{,}017$.
3. $\frac{324}{40} = \frac{81}{10} = 8{,}1$; $\frac{488}{80} = \frac{61}{10} = 6{,}1$; $\frac{7777}{70} = \frac{1111}{10} = 111{,}1$; $\frac{3636}{90} = \frac{404}{10} = 40{,}4$; $\frac{4242}{60} = \frac{707}{10} = 70{,}7$.

Ответ: 1) 0,07; 0,03; 0,11; 0,41; 0,09; 0,19; 2) 0,009; 0,007; 0,003; 0,013; 0,017; 3) 8,1; 6,1; 111,1; 40,4; 70,7.

№ 732

Нурбол доходит от дома до школы за 15 мин, Айдын — за 20 мин. Айдын вышел на 3 мин раньше. Через сколько минут Нурбол его догонит? (A. 8; B. 6; C. 9; D. 12 мин.)

Как думать. Это задача из прошлого урока, про совместную работу. Путь до школы примем за 1.

Решение.

1. Нурбол за 1 мин: $\frac{1}{15}$ пути, Айдын: $\frac{1}{20}$ пути.
2. За 3 мин Айдын ушёл вперёд на $3 \cdot \frac{1}{20} = \frac{3}{20}$ пути.
3. Каждую минуту Нурбол сокращает отставание на $\frac{1}{15} - \frac{1}{20} = \frac{4}{60} - \frac{3}{60} = \frac{1}{60}$ пути.
4. Догонит через $\frac{3}{20} : \frac{1}{60} = \frac{3}{20} \cdot 60 = 9$ мин.

Проверка: за 9 мин Нурбол пройдёт $\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ пути, Айдын за 12 мин — $\frac{12}{20} = \frac{3}{5}$ пути. Встреча до школы.

Ответ: через 9 мин (вариант C).

№ 733

Реши уравнения, сделай проверку и выбери ответ из A. 7; B. 5; C. 3; D. 2: 1) $\frac{1}{x} + \frac{3}{2\frac{2}{5}x} = \frac{3}{4}$; 2) $\frac{1}{x} - \frac{2}{4\frac{2}{3}x} = \frac{2}{7}$; 3) $\frac{6}{3\frac{1}{3}x} + \frac{1}{x} = \frac{2}{5}$.

Как думать. Сначала упростим дробь со смешанным числом, чтобы у обеих дробей был знаменатель с $x$. Потом сложим — и останется простое уравнение.

Решение.

1. $2\frac{2}{5} = \frac{12}{5}$, значит $\frac{3}{\frac{12}{5}x} = \frac{3 \cdot 5}{12x} = \frac{5}{4x}$. $\frac{1}{x} + \frac{5}{4x} = \frac{4}{4x} + \frac{5}{4x} = \frac{9}{4x}$. Уравнение: $\frac{9}{4x} = \frac{3}{4}$, откуда $4x = 9 : \frac{3}{4} = 12$, $x = 3$. Проверка: $\frac{1}{3} + \frac{3}{2\frac{2}{5} \cdot 3} = \frac{1}{3} + \frac{3}{7\frac{1}{5}} = \frac{1}{3} + \frac{15}{36} = \frac{12}{36} + \frac{15}{36} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}$. Верно.

2. $4\frac{2}{3} = \frac{14}{3}$, значит $\frac{2}{\frac{14}{3}x} = \frac{6}{14x} = \frac{3}{7x}$. $\frac{1}{x} - \frac{3}{7x} = \frac{7}{7x} - \frac{3}{7x} = \frac{4}{7x}$. Уравнение: $\frac{4}{7x} = \frac{2}{7}$, откуда $7x = 4 : \frac{2}{7} = 14$, $x = 2$. Проверка: $\frac{1}{2} - \frac{2}{4\frac{2}{3} \cdot 2} = \frac{1}{2} - \frac{2}{9\frac{1}{3}} = \frac{1}{2} - \frac{6}{28} = \frac{14}{28} - \frac{6}{28} = \frac{8}{28} = \frac{2}{7}$. Верно.

3. $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$, значит $\frac{6}{\frac{10}{3}x} = \frac{18}{10x} = \frac{9}{5x}$. $\frac{9}{5x} + \frac{1}{x} = \frac{9}{5x} + \frac{5}{5x} = \frac{14}{5x}$. Уравнение: $\frac{14}{5x} = \frac{2}{5}$, откуда $5x = 14 : \frac{2}{5} = 35$, $x = 7$. Проверка: $\frac{6}{3\frac{1}{3} \cdot 7} + \frac{1}{7} = \frac{6}{23\frac{1}{3}} + \frac{1}{7} = \frac{18}{70} + \frac{10}{70} = \frac{28}{70} = \frac{2}{5}$. Верно.

Ответ: 1) $x = 3$ (C); 2) $x = 2$ (D); 3) $x = 7$ (A).

№ 734

Задание с интернетом: найди площади материков и запиши их в миллионах квадратных километров десятичными дробями.

Как думать. Площадь в км² переводим в миллионы: 44 579 000 км² ≈ 44,6 млн км² (после запятой — сотни тысяч, десятки тысяч и т. д.).

Решение. Справочные значения (сверься с источником: в разных справочниках цифры немного отличаются, иногда с островами, иногда без):

Ответ: таблица заполнена выше. Самый большой материк — Евразия, самый маленький — Австралия.

🌟 Казахстан целиком лежит в Евразии и занимает около 2,7 млн км² — это примерно двадцатая часть материка.

Шпаргалка

• Десятичная дробь — другая запись дроби со знаменателем 10, 100, 1000…
• Каждый разряд справа в 10 раз меньше предыдущего.
• Читаем: целая часть + «целых», дробная часть + название последнего разряда.
• Не хватает цифр — дописываем нули сразу после запятой: $\frac{7}{1000} = 0{,}007$.
• Нули в конце можно приписывать и отбрасывать; нули сразу после запятой — нельзя.

Мини-тест