3.3. Правильные дроби. Неправильные дроби

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава III: Обыкновенные дроби и действия над ними. Страницы 137–141.

Чему научишься

• С одного взгляда отличать правильную дробь от неправильной.
• Понимать, почему правильная дробь меньше 1, а неправильная — 1 или больше.
• Записывать натуральное число дробью с любым знаменателем: $3 = \frac{15}{5}$.
• Находить, при каких значениях буквы дробь правильная, а при каких — нет.

Разминка

Посмотри на дроби $\frac{2}{5}$, $\frac{5}{4}$, $\frac{7}{7}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{5}{9}$, $\frac{11}{8}$.

• У каких дробей числитель меньше знаменателя? $\frac{2}{5}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{5}{9}$.
• А у каких числитель больше знаменателя или равен ему? $\frac{5}{4}$, $\frac{7}{7}$, $\frac{11}{8}$.
• Как называют дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему? Неправильной дробью (вариант B).

Разбираемся

Шоколадка из 7 долек

Плитка шоколада разломана на 7 равных долек. Одна долька — это $\frac{1}{7}$ плитки.

• Съел 3 дольки — это $\frac{3}{7}$. Меньше целой плитки.
• Съел все 7 — это $\frac{7}{7}$, ровно одна плитка.
• Взял 10 долек — из одной плитки столько не наберёшь, нужна вторая. Это $\frac{10}{7}$ — больше одной плитки.

Покрути числитель и посмотри, когда появляется вторая плитка.

Дроби на отрезке

Теперь отложим дроби на луче. Отрезок от 0 до 1 разделим на 7 равных частей — каждая часть $\frac{1}{7}$. Точки $C$ и $D$ стоят до единицы, а $K$ и $L$ — после неё.

Правильная и неправильная

📌 Правильная дробь — числитель меньше знаменателя: $\frac{3}{7}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{9}{10}$. Она всегда меньше 1.

📌 Неправильная дробь — числитель больше знаменателя или равен ему: $\frac{7}{7}$, $\frac{10}{7}$, $\frac{11}{6}$. Она равна 1 или больше 1.

Если числитель и знаменатель одинаковые, дробь равна единице: $\frac{5}{5} = 1$, $\frac{99}{99} = 1$. Ты взял все кусочки — значит, взял целое.

⚠️ Частая ошибка. Дробь $\frac{9}{9}$ называют правильной: «ничего же лишнего нет». Но правильная — только та, где числитель строго меньше знаменателя. $\frac{9}{9} = 1$ — это неправильная дробь.

👨‍👩‍👧 Родителю. Слово «неправильная» сбивает детей: кажется, что дробь записана с ошибкой. Объясните, что это просто название. Хороший вопрос: «Эта дробь меньше целого или нет?» Если не меньше — неправильная.

Любое число — тоже дробь

Любое натуральное число можно записать неправильной дробью: $4 = \frac{4}{1} = \frac{24}{6} = \frac{32}{8} = \frac{60}{15}$.

Как получить нужный знаменатель? Умножь число на знаменатель — получишь числитель. Хочешь записать 3 пятыми? $3 \cdot 5 = 15$, значит $3 = \frac{15}{5}$. Смысл простой: в каждой из 3 целых по 5 пятых, всего 15 пятых.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какую дробь называют правильной? Ту, у которой числитель меньше знаменателя: $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{11}{12}$.
• Какую дробь называют неправильной? Ту, у которой числитель больше знаменателя или равен ему: $\frac{4}{4}$, $\frac{7}{3}$, $\frac{20}{9}$.
• Как записать натуральное число неправильной дробью? Выбрать знаменатель и умножить на него число — это будет числитель: $6 = \frac{6 \cdot 2}{2} = \frac{12}{2}$, или просто $6 = \frac{6}{1}$.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 396

Какие из дробей $\frac{1}{3}$, $\frac{5}{4}$, $\frac{9}{9}$, $\frac{9}{10}$, $\frac{25}{25}$, $\frac{71}{43}$, $\frac{8}{9}$, $\frac{99}{99}$ правильные, а какие неправильные? Прочитай их.

Как думать. Сравниваем верх и низ. Верх меньше — правильная. Верх такой же или больше — неправильная.

Решение.

• Правильные: $\frac{1}{3}$ — одна третья; $\frac{9}{10}$ — девять десятых; $\frac{8}{9}$ — восемь девятых.
• Неправильные: $\frac{5}{4}$ — пять четвёртых; $\frac{9}{9}$ — девять девятых; $\frac{25}{25}$ — двадцать пять двадцать пятых; $\frac{71}{43}$ — семьдесят одна сорок третья; $\frac{99}{99}$ — девяносто девять девяносто девятых.

Ответ: правильные — $\frac{1}{3}$, $\frac{9}{10}$, $\frac{8}{9}$; неправильные — $\frac{5}{4}$, $\frac{9}{9}$, $\frac{25}{25}$, $\frac{71}{43}$, $\frac{99}{99}$.

Уровень A

№ 397

Выпиши в одну строку правильные, в другую — неправильные дроби: $\frac{1}{4}$, $\frac{2}{5}$, $\frac{3}{2}$, $\frac{7}{12}$, $\frac{13}{13}$, $\frac{18}{23}$, $\frac{17}{10}$, $\frac{31}{34}$, $\frac{9}{7}$.

Как думать. Тот же приём: смотрим, что больше — числитель или знаменатель. Не забудь про $\frac{13}{13}$!

Решение. У $\frac{1}{4}$, $\frac{2}{5}$, $\frac{7}{12}$, $\frac{18}{23}$, $\frac{31}{34}$ верх меньше низа. У $\frac{3}{2}$, $\frac{17}{10}$, $\frac{9}{7}$ верх больше, у $\frac{13}{13}$ — равен.

Ответ: правильные: $\frac{1}{4}$, $\frac{2}{5}$, $\frac{7}{12}$, $\frac{18}{23}$, $\frac{31}{34}$; неправильные: $\frac{3}{2}$, $\frac{13}{13}$, $\frac{17}{10}$, $\frac{9}{7}$.

№ 398

1) Из пар чисел 5 и 2; 3 и 7; 10 и 1; 8 и 5 составь правильные дроби. 2) Из пар 3 и 5; 9 и 2; 2 и 7; 1 и 8 составь неправильные дроби.

Как думать. Для правильной дроби меньшее число ставим наверх, для неправильной — вниз.

Решение. 1) Меньшее число — в числитель: $\frac{2}{5}$, $\frac{3}{7}$, $\frac{1}{10}$, $\frac{5}{8}$. 2) Меньшее число — в знаменатель: $\frac{5}{3}$, $\frac{9}{2}$, $\frac{7}{2}$, $\frac{8}{1}$.

Ответ: 1) $\frac{2}{5}$, $\frac{3}{7}$, $\frac{1}{10}$, $\frac{5}{8}$; 2) $\frac{5}{3}$, $\frac{9}{2}$, $\frac{7}{2}$, $\frac{8}{1}$.

№ 399

Запиши числа 5, 6, 8, 11 и 15 неправильными дробями со знаменателем 7.

Как думать. Умножаем число на 7 — это и есть числитель.

Решение. $5 = \frac{35}{7}$; $6 = \frac{42}{7}$; $8 = \frac{56}{7}$; $11 = \frac{77}{7}$; $15 = \frac{105}{7}$.

Ответ: $\frac{35}{7}$, $\frac{42}{7}$, $\frac{56}{7}$, $\frac{77}{7}$, $\frac{105}{7}$.

№ 400

1) При каких натуральных $x$ дробь а) $\frac{x}{3}$; б) $\frac{x}{5}$ правильная? 2) При каких натуральных $y$ дробь а) $\frac{4}{y}$; б) $\frac{5}{y}$ неправильная? Запиши эти дроби.

Как думать. Правильная — значит верх меньше низа. Неправильная — низ не больше верха. Перебираем натуральные числа с единицы.

Решение.

1. а) Нужно $x < 3$: $x = 1; 2$. Дроби $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{3}$. б) Нужно $x < 5$: $x = 1; 2; 3; 4$. Дроби $\frac{1}{5}$, $\frac{2}{5}$, $\frac{3}{5}$, $\frac{4}{5}$.
2. а) Нужно $4 \geqslant y$: $y = 1; 2; 3; 4$. Дроби $\frac{4}{1}$, $\frac{4}{2}$, $\frac{4}{3}$, $\frac{4}{4}$. б) Нужно $5 \geqslant y$: $y = 1; 2; 3; 4; 5$. Дроби $\frac{5}{1}$, $\frac{5}{2}$, $\frac{5}{3}$, $\frac{5}{4}$, $\frac{5}{5}$.

Ответ: 1) а) 1, 2; б) 1, 2, 3, 4; 2) а) 1, 2, 3, 4; б) 1, 2, 3, 4, 5.

№ 401

1) 9 одинаковых слитков сплава весят вместе 8 кг. Сколько весит один? Какая это дробь? 2) 10 га земли поделили на 7 равных участков. Сколько гектаров в одном? Какая это дробь?

Как думать. Деление можно записать дробью: $a : b = \frac{a}{b}$.

Решение.

1. $8 : 9 = \frac{8}{9}$ кг. Верх меньше низа — дробь правильная, меньше 1 кг.
2. $10 : 7 = \frac{10}{7}$ га. Верх больше низа — дробь неправильная, больше 1 га.

Ответ: 1) $\frac{8}{9}$ кг, правильная дробь; 2) $\frac{10}{7}$ га, неправильная дробь.

Уровень B

№ 402

Сократи дроби $\frac{6}{8}$, $\frac{18}{15}$, $\frac{21}{21}$, $\frac{44}{36}$, $\frac{15}{55}$, $\frac{46}{30}$, $\frac{42}{90}$, $\frac{88}{88}$, $\frac{16}{60}$, $\frac{56}{96}$ и выпиши отдельно правильные и неправильные.

Как думать. Сокращение не меняет величину дроби. Значит, правильная останется правильной, а неправильная — неправильной.

Решение. $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$; $\frac{18}{15} = \frac{6}{5}$; $\frac{21}{21} = 1$; $\frac{44}{36} = \frac{11}{9}$; $\frac{15}{55} = \frac{3}{11}$; $\frac{46}{30} = \frac{23}{15}$; $\frac{42}{90} = \frac{7}{15}$; $\frac{88}{88} = 1$; $\frac{16}{60} = \frac{4}{15}$; $\frac{56}{96} = \frac{7}{12}$.

Ответ: правильные: $\frac{3}{4}$, $\frac{3}{11}$, $\frac{7}{15}$, $\frac{4}{15}$, $\frac{7}{12}$; неправильные: $\frac{6}{5}$, $\frac{21}{21} = 1$, $\frac{11}{9}$, $\frac{23}{15}$, $\frac{88}{88} = 1$.

№ 403

Заполни таблицу: запиши числа 3, 5, 8, 10, 16 неправильными дробями со знаменателями 4 и 5.

Как думать. Числитель = число · знаменатель.

Решение.

Ответ: см. таблицу.

№ 404

Запиши $x$ обыкновенной дробью: 1) 8 дм = $x$ м; 2) 118 дм = $x$ м; 3) 720 г = $x$ кг; 4) 1635 кг = $x$ т; 5) 2 мин = $x$ ч; 6) 90 мин = $x$ ч.

Как думать. Вспоминаем, сколько мелких единиц в крупной: 1 м = 10 дм, 1 кг = 1000 г, 1 т = 1000 кг, 1 ч = 60 мин. Значит, 1 дм — это $\frac{1}{10}$ м, 1 мин — $\frac{1}{60}$ ч.

Решение.

1. $8$ дм $= \frac{8}{10}$ м $= \frac{4}{5}$ м;
2. $118$ дм $= \frac{118}{10}$ м $= \frac{59}{5}$ м;
3. $720$ г $= \frac{720}{1000}$ кг $= \frac{18}{25}$ кг;
4. $1635$ кг $= \frac{1635}{1000}$ т $= \frac{327}{200}$ т;
5. $2$ мин $= \frac{2}{60}$ ч $= \frac{1}{30}$ ч;
6. $90$ мин $= \frac{90}{60}$ ч $= \frac{3}{2}$ ч.

Ответ: 1) $\frac{4}{5}$; 2) $\frac{59}{5}$; 3) $\frac{18}{25}$; 4) $\frac{327}{200}$; 5) $\frac{1}{30}$; 6) $\frac{3}{2}$. (Можно оставить и несокращённые дроби $\frac{8}{10}$, $\frac{118}{10}$ и т.д. — они равны.)

💡 Футбольный матч — 90 минут, то есть $\frac{3}{2}$ часа. Уже больше часа, поэтому дробь неправильная!

№ 405

Проволоку длиной 8 м разрезали на а) 3; б) 24; в) 16; г) 6 равных частей. Запиши дробью длину одной части. Когда она больше 1 м, а когда меньше?

Как думать. Длина части — это $8 : (\text{число частей})$, то есть дробь. Дальше смотрим, правильная она или нет.

Решение. а) $8 : 3 = \frac{8}{3}$ м — неправильная дробь, больше 1 м; б) $8 : 24 = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$ м — меньше 1 м; в) $8 : 16 = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$ м — меньше 1 м; г) $8 : 6 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ м — больше 1 м.

Вывод: если частей меньше, чем метров (3 и 6 меньше 8), каждая часть длиннее метра.

Ответ: а) $\frac{8}{3}$ м; б) $\frac{1}{3}$ м; в) $\frac{1}{2}$ м; г) $\frac{4}{3}$ м. Больше 1 м — в случаях а) и г), меньше — в б) и в).

№ 406

В пакете 500 г крупы. Как за два взвешивания на чашечных весах с одной гирей 100 г отмерить 150 г?

Как думать. 150 — половина от 300. Сначала получим 300 г, а потом поделим их пополам.

Решение.

1. Первое взвешивание. Гиря 100 г — на левой чаше. Рассыпаем всю крупу по двум чашам так, чтобы весы уравновесились. Слева крупы $x$ г, справа $500 - x$ г, и $x + 100 = 500 - x$. Значит, слева 200 г, справа 300 г.
2. Второе взвешивание. Убираем гирю и 200 г. 300 г крупы делим между чашами до равновесия. На каждой чаше по 150 г.

Ответ: сначала с гирей делим 500 г на 200 г и 300 г, потом 300 г делим пополам — получаем 150 г.

№ 407

Квадрат $5 \times 5$ клеток, в нём 5 ворон. Разрежь его по линиям клеток на 5 равных частей так, чтобы в каждой части была одна ворона.

Как думать. Задача на смекалку. В квадрате 25 клеток, значит, в каждой части по 5 клеток. По рисунку вороны сидят в клетках (строка; столбец): (1; 4), (3; 2), (4; 2), (4; 3), (5; 2). Три вороны сидят тесно внизу слева — их надо «развести» по разным частям в первую очередь.

Решение. Одно из возможных разбиений (цифра — номер части, звёздочка — ворона):

• Часть 1: первый столбец сверху вниз (4 клетки) и клетка (4; 2) — ворона (4; 2).
• Часть 2: клетки (1; 2), (2; 2), (2; 3), (3; 2), (3; 3) — ворона (3; 2).
• Часть 3: клетки (1; 3), (1; 4), (1; 5), (2; 4), (2; 5) — ворона (1; 4).
• Часть 4: клетки (3; 4), (3; 5), (4; 3), (4; 4), (4; 5) — ворона (4; 3).
• Часть 5: вся нижняя строка — ворона (5; 2).

Ответ: в каждой части по 5 клеток и по одной вороне (см. разбиение выше).

Уровень C

№ 408

1) При каких натуральных $n$ дробь правильная: а) $\frac{n + 4}{7}$; б) $\frac{n - 2}{4}$; в) $\frac{2n + 3}{8}$? 2) При каких натуральных $n$ дробь неправильная: а) $\frac{10}{n + 8}$; б) $\frac{8}{5 + n}$; в) $\frac{9 - n}{6}$?

Как думать. Записываем условие «верх меньше низа» (или «не меньше») и подбираем $n$, начиная с 1.

Решение.

1. а) $n + 4 < 7$, то есть $n < 3$: $n = 1; 2$. б) $n - 2 < 4$, то есть $n < 6$. Числитель не может быть отрицательным, поэтому $n \geqslant 2$. Получаем $n = 2; 3; 4; 5$ (при $n = 2$ получается $\frac{0}{4}$; если нулевой числитель не рассматривать, то $n = 3; 4; 5$). в) $2n + 3 < 8$, то есть $2n < 5$: $n = 1; 2$.
2. а) $10 \geqslant n + 8$, то есть $n \leqslant 2$: $n = 1; 2$. б) $8 \geqslant 5 + n$, то есть $n \leqslant 3$: $n = 1; 2; 3$. в) $9 - n \geqslant 6$, то есть $n \leqslant 3$: $n = 1; 2; 3$.

Ответ: 1) а) 1, 2; б) 2, 3, 4, 5; в) 1, 2; 2) а) 1, 2; б) 1, 2, 3; в) 1, 2, 3.

№ 409

Запиши неправильной дробью: 1) сколько третей в 4 яблоках; 2) сколько четвертей в 7 грушах; 3) сколько десятых долей в 3 дынях.

Как думать. Режем каждый фрукт на нужное число долей и считаем все дольки вместе.

Решение.

1. В одном яблоке 3 трети, в четырёх $4 \cdot 3 = 12$ третей: $\frac{12}{3}$.
2. $7 \cdot 4 = 28$ четвертей: $\frac{28}{4}$.
3. $3 \cdot 10 = 30$ десятых: $\frac{30}{10}$.

Ответ: 1) $\frac{12}{3}$; 2) $\frac{28}{4}$; 3) $\frac{30}{10}$.

№ 410

При каких натуральных $x$: 1) $\frac{x}{7}$ и $\frac{10}{x}$ неправильные, а $\frac{8}{x}$ правильная; 2) $\frac{x}{11}$ и $\frac{14}{x}$ неправильные, а $\frac{12}{x}$ правильная?

Как думать. Каждое условие даёт ограничение на $x$. Ищем числа, которые подходят под все сразу.

Решение.

1. $\frac{x}{7}$ неправильная: $x \geqslant 7$. $\frac{10}{x}$ неправильная: $x \leqslant 10$. $\frac{8}{x}$ правильная: $x > 8$. Вместе: $x = 9; 10$.
2. $x \geqslant 11$, $x \leqslant 14$, $x > 12$. Вместе: $x = 13; 14$.

Ответ: 1) $x = 9$ или $x = 10$; 2) $x = 13$ или $x = 14$.

№ 411

$AD = 24$ см, $CD$ на 9 см короче $AD$, $AB$ на 6 см длиннее $AD$. Точки идут по порядку $A$, $C$, $D$, $B$. 1) Найди $AB$. 2) Найди $AC$ и какую часть $AB$ он составляет. 3) Найди $DB$ и какую часть $AB$ он составляет.

Как думать. Нарисуй отрезок и подпиши точки по порядку. Тогда видно: $AC = AD - CD$, а $DB = AB - AD$.

Решение.

1. $AB = 24 + 6 = 30$ см.
2. $CD = 24 - 9 = 15$ см. $AC = AD - CD = 24 - 15 = 9$ см. Часть: $\frac{9}{30} = \frac{3}{10}$.
3. $DB = AB - AD = 30 - 24 = 6$ см. Часть: $\frac{6}{30} = \frac{1}{5}$.

Ответ: 1) 30 см; 2) 9 см, $\frac{3}{10}$ отрезка $AB$; 3) 6 см, $\frac{1}{5}$ отрезка $AB$.

№ 412

Найди $x$: 1) $\frac{4x + 1}{11} = \frac{50}{22}$; 2) $\frac{39}{57} = \frac{13}{8x - 5}$; 3) $\frac{72}{60} = \frac{18}{4x + 7}$; 4) $\frac{5x - 6}{9} = \frac{70}{45}$.

Как думать. Приводим известную дробь к тому же знаменателю (или числителю), что у дроби с $x$. Потом приравниваем то, что осталось.

Решение.

1. $\frac{50}{22} = \frac{25}{11}$. Значит, $4x + 1 = 25$, $4x = 24$, $x = 6$.
2. $\frac{39}{57} = \frac{13}{19}$ (на 3). Значит, $8x - 5 = 19$, $8x = 24$, $x = 3$.
3. $\frac{72}{60} = \frac{6}{5} = \frac{18}{15}$. Значит, $4x + 7 = 15$, $4x = 8$, $x = 2$.
4. $\frac{70}{45} = \frac{14}{9}$ (на 5). Значит, $5x - 6 = 14$, $5x = 20$, $x = 4$.

Ответ: 1) 6; 2) 3; 3) 2; 4) 4.

№ 413

Рыбаки поймали рыбу. Половина улова и ещё 3 — сазаны; половина остатка и ещё 5 — окуни; половина нового остатка и ещё 2 — щуки; остальные 7 — лещи. Сколько поймали сазанов, окуней и щук?

Как думать. С начала задачу не решить — не знаем улова. Зато знаем конец: 7 лещей. Идём назад, шаг за шагом.

Решение.

1. После щук осталось 7 рыб. Щуки — половина остатка и ещё 2. Значит, вторая половина остатка — $7 + 2 = 9$ рыб, а весь остаток перед щуками $9 \cdot 2 = 18$. Щук: $18 - 7 = 11$.
2. Перед окунями: вторая половина — $18 + 5 = 23$, всего $23 \cdot 2 = 46$. Окуней: $46 - 18 = 28$.
3. Перед сазанами (весь улов): вторая половина — $46 + 3 = 49$, всего $49 \cdot 2 = 98$. Сазанов: $98 - 46 = 52$.

Проверка: $52 + 28 + 11 + 7 = 98$. Верно.

Ответ: 52 сазана, 28 окуней, 11 щук.

№ 414

Вынеси общий множитель за скобки и сократи: 1) $\frac{7x + 7y}{21}$; 2) $\frac{8m - 4n}{4m}$; 3) $\frac{9a + 12b}{3}$; 4) $\frac{45c + 18d}{27d}$; 5) $\frac{5x - xy}{x}$; 6) $\frac{6mn - 4m}{2m}$.

Как думать. Как в прошлом уроке: сумму сокращать нельзя, а произведение можно. Выносим общий множитель — и сокращаем.

Решение.

1. $\frac{7(x + y)}{21} = \frac{x + y}{3}$;
2. $\frac{4(2m - n)}{4m} = \frac{2m - n}{m}$;
3. $\frac{3(3a + 4b)}{3} = 3a + 4b$;
4. $\frac{9(5c + 2d)}{27d} = \frac{5c + 2d}{3d}$;
5. $\frac{x(5 - y)}{x} = 5 - y$;
6. $\frac{2m(3n - 2)}{2m} = 3n - 2$.

Ответ: 1) $\frac{x + y}{3}$; 2) $\frac{2m - n}{m}$; 3) $3a + 4b$; 4) $\frac{5c + 2d}{3d}$; 5) $5 - y$; 6) $3n - 2$.

Шпаргалка

• Правильная: верх меньше низа, дробь меньше 1.
• Неправильная: верх больше низа или равен ему, дробь 1 или больше.
• Одинаковые верх и низ — дробь равна 1.
• Натуральное число как дробь: $n = \frac{n \cdot b}{b}$.
• Сокращение не превращает правильную дробь в неправильную и наоборот.

Мини-тест