3.5. Изображение обыкновенных дробей и смешанных чисел на координатном луче

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава III: Обыкновенные дроби и действия над ними. Страницы 148–154.

Чему научишься

• Ставить на луче любую дробь — хоть $\frac{5}{9}$, хоть $\frac{7}{12}$.
• Отмечать смешанные числа вроде $2\frac{3}{4}$ и не путаться, откуда считать.
• Читать координату точки по рисунку.
• Выбирать удобный единичный отрезок: сколько клеток взять, чтобы всё делилось.
• Понимать, почему $\frac{1}{2}$ и $\frac{5}{10}$ — одна и та же точка.

Разминка

Ответь в уме, потом открой ответ.

• Что такое единичный отрезок? Расстояние от 0 до 1 на луче. Это наша «мерка»: все числа откладываем ею.
• Что показывает знаменатель в дроби $\frac{3}{8}$? На сколько равных частей режут целое — на 8. А числитель 3 — сколько кусочков взяли.
• Из чего состоит $2\frac{3}{4}$? Из двух целых и ещё $\frac{3}{4}$: $2\frac{3}{4} = 2 + \frac{3}{4}$.

Разбираемся

Луч — это линейка для дробей

Помнишь, как мы отмечали на луче 1, 2, 3? Откладывали единичный отрезок раз, другой, третий. С дробями так же, только мерку надо сначала разрезать на мелкие кусочки.

Пусть нужно отметить $\frac{5}{9}$. Знаменатель 9 — режем единичный отрезок на 9 равных частей. Числитель 5 — отсчитываем от нуля 5 кусочков. Там и ставим точку $A\left(\frac{5}{9}\right)$.

📌 Знаменатель говорит, на сколько частей резать единичный отрезок. Числитель — сколько частей отсчитать от нуля.

Удобно брать единичный отрезок в клетках, которые делятся на знаменатель. Для девятых — 9 клеток, тогда одна клетка — это $\frac{1}{9}$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Спросите: «Сколько клеток взять, чтобы отметить и $\frac{1}{3}$, и $\frac{1}{4}$?» Хороший ответ — 12: оно делится и на 3, и на 4. Это прямая подготовка к следующему уроку про общий знаменатель.

Смешанное число: сначала целые, потом кусочек

$2\frac{3}{4}$ — это два целых и ещё три четверти. Так и шагаем: от нуля откладываем две единицы и попадаем в 2. Следующую единицу (от 2 до 3) режем на 4 части и отсчитываем 3 из них от двойки.

⚠️ Частая ошибка. Отсчитать 3 части от нуля, а не от двойки. Получится $\frac{3}{4}$ вместо $2\frac{3}{4}$. Проверка: число $2\frac{\ldots}{\ldots}$ всегда живёт между 2 и 3.

Как прочитать точку по рисунку

Теперь наоборот: точка уже стоит, надо узнать её число.

1. Считаем, на сколько частей разрезан один единичный отрезок. Это знаменатель.
2. Смотрим, после какого целого стоит точка. Это целая часть.
3. Считаем кусочки от этого целого до точки. Это числитель.

⚠️ Частая ошибка. Считать чёрточки вместо промежутков. Если от 0 до 1 видно 6 чёрточек (вместе с 0 и 1), то частей 5, а не 6. Считай промежутки!

Две дроби — одна точка

Возьмём единичный отрезок в 10 клеток. $\frac{1}{2}$ — это половина, 5 клеток. А $\frac{5}{10}$ — пять клеток по $\frac{1}{10}$. Тоже 5 клеток! Равные дроби всегда попадают в одну точку.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как отметить на луче дробь $\frac{2}{3}$? Режем единичный отрезок на 3 равные части и отсчитываем от нуля 2 части. Удобно взять 3, 6 или 9 клеток.
• Как отметить смешанное число $4\frac{1}{5}$? Откладываем от нуля 4 единицы. Следующую единицу (от 4 до 5) режем на 5 частей и от четвёрки отсчитываем одну часть.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 437

Какие числа стоят в точках $A$, $B$, $C$, $D$? Запиши точки с координатами.

Как думать. Каждая единица разрезана на 5 частей — знаменатель 5. Дальше смотрим, после какого целого стоит точка.

Решение.

1. $A$ — 2-я часть после 0: $\frac{2}{5}$.
2. $B$ — 1-я часть после 1: $1\frac{1}{5}$.
3. $C$ — 3-я часть после 1: $1\frac{3}{5}$.
4. $D$ — 4-я часть после 2: $2\frac{4}{5}$.

Ответ: $A\left(\frac{2}{5}\right)$, $B\left(1\frac{1}{5}\right)$, $C\left(1\frac{3}{5}\right)$, $D\left(2\frac{4}{5}\right)$.

№ 438

Единичный отрезок — 5 клеток. Отметь $\frac{2}{5}$; $\frac{4}{5}$; $1\frac{3}{5}$; $2\frac{4}{5}$; $3\frac{2}{5}$.

Как думать. $\frac{1}{5}$ мерки — ровно 1 клетка. Чтобы перевести число в клетки, целые умножаем на 5 и прибавляем числитель.

Решение.

Луч нужен хотя бы на 20 клеток — до числа 4.

Ответ: точки стоят на расстоянии 2, 4, 8, 14 и 17 клеток от начала луча.

№ 439

Единичный отрезок — 4 см. Отметь $A\left(\frac{1}{2}\right)$, $B\left(1\frac{1}{4}\right)$, $C\left(1\frac{3}{4}\right)$, $D(2)$, $E\left(2\frac{1}{2}\right)$.

Как думать. Четверть от 4 см — 1 см, половина — 2 см.

Решение.

1. $A$: $\frac{1}{2}$ — 2 см от нуля.
2. $B$: $1\frac{1}{4}$ — $4 + 1 = 5$ см.
3. $C$: $1\frac{3}{4}$ — $4 + 3 = 7$ см.
4. $D$: 2 — 8 см.
5. $E$: $2\frac{1}{2}$ — $8 + 2 = 10$ см.

Ответ: точки на расстоянии 2 см, 5 см, 7 см, 8 см и 10 см от начала луча.

№ 440

Запиши координаты точек $E$, $F$, $M$, $N$ по рисунку.

Как думать. В каждой единице 7 частей — знаменатель 7.

Решение.

1. $E$ — 4-я часть после 0: $\frac{4}{7}$.
2. $F$ — 2-я часть после 1: $1\frac{2}{7}$.
3. $M$ — 5-я часть после 1: $1\frac{5}{7}$.
4. $N$ — 2-я часть после 2: $2\frac{2}{7}$.

Ответ: $E\left(\frac{4}{7}\right)$, $F\left(1\frac{2}{7}\right)$, $M\left(1\frac{5}{7}\right)$, $N\left(2\frac{2}{7}\right)$.

№ 441

Единичный отрезок 8 см делим пополам, потом каждую половину ещё раз пополам. Какие координаты у полученных точек?

Как думать. Пополам и ещё раз пополам — это 4 равные части. Значит, получаются четверти.

Решение.

1. Делим 8 см пополам: середина в 4 см от нуля. Её координата $\frac{1}{2}$.
2. Каждую половину пополам: 4 части по 2 см. Каждая часть — $\frac{1}{4}$.
3. Чёрточки стоят на 2, 4, 6 и 8 см. Координаты: $\frac{1}{4}$, $\frac{2}{4}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{4}{4}$.

Заметь: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $\frac{4}{4} = 1$ — это старые точки.

Ответ: $\frac{1}{4}$; $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$; $\frac{3}{4}$; $\frac{4}{4} = 1$.

№ 442

Дорогу заасфальтировали за 12 дней. Какую часть дороги сделали за 5, 7 и 10 дней? Отметь это точками $A$, $B$, $C$.

Как думать. Каждый день делали одинаково, то есть $\frac{1}{12}$ дороги. Вся дорога — единичный отрезок, удобно взять 12 клеток.

Решение.

1. За 5 дней — $\frac{5}{12}$ дороги. Точка $A$ — 5 клеток от нуля.
2. За 7 дней — $\frac{7}{12}$. Точка $B$ — 7 клеток.
3. За 10 дней — $\frac{10}{12} = \frac{5}{6}$. Точка $C$ — 10 клеток.

Ответ: $A\left(\frac{5}{12}\right)$, $B\left(\frac{7}{12}\right)$, $C\left(\frac{10}{12}\right)$, то есть $\frac{5}{6}$ дороги.

№ 443

Волк гонится за лисой. Отметь на луче волка и лису, запиши их координаты и найди расстояние между ними дробью.

Как думать. Волк стоит на 2-й чёрточке, лиса — на 8-й. Расстояние — это разность.

Решение.

1. Волк: точка $W\left(\frac{2}{10}\right)$, то есть $\frac{1}{5}$.
2. Лиса: точка $L\left(\frac{8}{10}\right)$, то есть $\frac{4}{5}$.
3. Между ними $8 - 2 = 6$ частей: $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ единичного отрезка.

Ответ: 1) волк $\frac{2}{10}$; 2) лиса $\frac{8}{10}$; 3) расстояние $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ единичного отрезка.

Уровень B

№ 444

Единичный отрезок — 6 см. Отметь $\frac{1}{6}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{2}{3}$; $1\frac{1}{6}$; $1\frac{1}{2}$.

Как думать. $\frac{1}{6}$ от 6 см — 1 см. Трети и половины переводим в шестые: $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$, $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$, $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$.

Решение.

Ответ: точки на расстоянии 1, 2, 4, 7 и 9 см от начала луча.

№ 445

Единичный отрезок — 20 клеток. Отметь $\frac{2}{5}$; $\frac{1}{2}$; $\frac{8}{10}$; $\frac{5}{10}$; $\frac{4}{5}$; $\frac{4}{10}$. Какие числа попадут в одну точку?

Как думать. Сначала узнаём, сколько клеток в одной доле: $\frac{1}{5}$ — $20 : 5 = 4$ клетки, $\frac{1}{2}$ — 10 клеток, $\frac{1}{10}$ — 2 клетки.

Решение.

• $\frac{2}{5}$: $2 \cdot 4 = 8$ клеток;
• $\frac{1}{2}$: 10 клеток;
• $\frac{8}{10}$: $8 \cdot 2 = 16$ клеток;
• $\frac{5}{10}$: $5 \cdot 2 = 10$ клеток;
• $\frac{4}{5}$: $4 \cdot 4 = 16$ клеток;
• $\frac{4}{10}$: $4 \cdot 2 = 8$ клеток.

Ответ: одной точкой изображаются $\frac{2}{5}$ и $\frac{4}{10}$ (8 клеток); $\frac{1}{2}$ и $\frac{5}{10}$ (10 клеток); $\frac{8}{10}$ и $\frac{4}{5}$ (16 клеток). Это равные дроби.

№ 446

Перечерти два луча с рисунка и отметь на каждом $A\left(\frac{2}{3}\right)$, $B\left(1\frac{1}{3}\right)$, $C\left(1\frac{2}{3}\right)$.

Как думать. На первом луче единица — 6 клеток, на втором — 9 клеток. Оба числа делятся на 3. Значит, $\frac{1}{3}$ — это 2 клетки на первом луче и 3 клетки на втором.

Решение.

Ответ: на первом луче точки через 4, 8 и 10 клеток от нуля; на втором — через 6, 12 и 15 клеток.

№ 447

Единичный отрезок 1 см. 1) От точки $A(6)$ отложи отрезки по 2 единицы. Сколько точек получится и какие у них координаты? 2) Даны $A(2)$ и $B(8)$. Найди середину $C$ отрезка $AB$.

Как думать. Отложить можно в обе стороны — и вправо, и влево. А середина — это точка, до которой от концов одинаково.

Решение.

1. От 6 откладываем 2 единицы влево и вправо: $6 - 2 = 4$ и $6 + 2 = 8$. Получаются две точки.
2. Длина $AB$: $8 - 2 = 6$. Половина — 3. Середина: $2 + 3 = 5$.

Ответ: 1) две точки: 4 и 8; 2) $C(5)$.

№ 448

Как отрезать от ленты 1 м 20 см кусок 45 см без линейки?

Как думать. Задача на смекалку. Ленту можно складывать пополам. Узнай, какую часть ленты составляют 45 см.

Решение.

1. 1 м 20 см = 120 см.
2. Пополам — 60 см, ещё раз — 30 см, ещё раз — 15 см. Лента делится на 8 равных частей по 15 см.
3. $45 = 3 \cdot 15$. Нужен кусок из 3 таких частей — это $\frac{3}{8}$ ленты.
4. Или так: отметь четверть ленты (30 см) и добавь восьмую часть (15 см): $30 + 15 = 45$.

Ответ: сложить ленту трижды пополам (получится 8 частей по 15 см) и отрезать 3 такие части — это 45 см.

№ 449

Под домброй луч от 0 до 1, разрезанный на 10 частей. Какие дроби у подставки под струнами (точка $A$), начала грифа (точка $B$) и начала головки (точка $C$)?

Как думать. Считаем деления от нуля до каждой точки.

Решение. По рисунку: $A$ — на 1-м делении, $B$ — на 4-м, $C$ — на 9-м.

Ответ: $A\left(\frac{1}{10}\right)$, $B\left(\frac{4}{10}\right)$, то есть $\frac{2}{5}$, $C\left(\frac{9}{10}\right)$.

🌟 Выходит, гриф домбры занимает целую половину инструмента: от $\frac{4}{10}$ до $\frac{9}{10}$ — это $\frac{5}{10}$.

Уровень C

№ 450

Точка $A$ между 2 и 3: на 4 части правее двойки и на 5 частей левее тройки. Какое это число?

Как думать. От 2 до 3 — одна единица. В ней $4 + 5 = 9$ частей.

Решение.

1. Единица разрезана на 9 частей, каждая — $\frac{1}{9}$.
2. От 2 отсчитали 4 части: $2\frac{4}{9}$.

Ответ: $A\left(2\frac{4}{9}\right)$.

№ 451

Единичный отрезок 10 клеток. Точка $A$ — через 4 клетки от нуля, $B$ — через 19 клеток. Запиши их координаты и найди точки $C$ и $D$, которые делят $AB$ на три равные части.

Как думать. Переводим всё в клетки, делим длину $AB$ на 3, а потом возвращаемся к дробям.

Решение.

1. Одна клетка — $\frac{1}{10}$. $A\left(\frac{4}{10}\right) = A\left(\frac{2}{5}\right)$; $B\left(1\frac{9}{10}\right)$.
2. Длина $AB$: $19 - 4 = 15$ клеток. Треть: $15 : 3 = 5$ клеток.
3. $C$: $4 + 5 = 9$ клеток — $\frac{9}{10}$.
4. $D$: $9 + 5 = 14$ клеток — $1\frac{4}{10} = 1\frac{2}{5}$.

Ответ: $A\left(\frac{2}{5}\right)$, $B\left(1\frac{9}{10}\right)$; $C\left(\frac{9}{10}\right)$, $D\left(1\frac{2}{5}\right)$.

№ 452

На луче подписано только число 3 — через 18 клеток от нуля. Найди единичный отрезок и отметь $A\left(\frac{5}{6}\right)$, $B\left(1\frac{1}{2}\right)$, $C\left(2\frac{1}{6}\right)$, $D\left(2\frac{2}{3}\right)$.

Как думать. Три единицы — 18 клеток. Значит, одна единица в 3 раза короче. Дальше переводим всё в шестые.

Решение.

1. Одна единица — $18 : 3 = 6$ клеток. $\frac{1}{6}$ — 1 клетка.
2. $A$: $\frac{5}{6}$ — 5 клеток.
3. $B$: $1\frac{1}{2} = 1\frac{3}{6}$ — $6 + 3 = 9$ клеток.
4. $C$: $2\frac{1}{6}$ — $12 + 1 = 13$ клеток.
5. $D$: $2\frac{2}{3} = 2\frac{4}{6}$ — $12 + 4 = 16$ клеток.

Ответ: единичный отрезок 6 клеток; точки $A$, $B$, $C$, $D$ — через 5, 9, 13 и 16 клеток от нуля.

№ 453

Отрезок от 2 до 4 разрезан на 8 частей. $A$ — на 1-м делении после 2, $C$ — на 4-м. $C$ на одинаковом расстоянии от $A$ и $B$. Найди координату $B$.

Как думать. В каждой единице 4 части. $C$ — середина $AB$, значит, $B$ правее $C$ на столько же частей, на сколько $A$ левее.

Решение.

1. $A = 2\frac{1}{4}$; $C = 2\frac{4}{4} = 3$.
2. От $A$ до $C$ — $4 - 1 = 3$ части, то есть $\frac{3}{4}$.
3. $B$: от $C$ ещё 3 части вправо — $3\frac{3}{4}$.

Ответ: $B\left(3\frac{3}{4}\right)$.

№ 454

Найди площадь четырёхугольника $ABCD$ с диагональю $AC$. К диагонали проведены отрезки $BE = 7$ см и $DF = 10$ см, на диагонали отмечены $EF = 8$ см и $FC = 2$ см.

Как думать. Задача на повторение. Диагональ $AC$ режет фигуру на два треугольника: $ABC$ и $ACD$. Отрезки $BE$ и $DF$ перпендикулярны $AC$ — это их высоты. Площадь треугольника — половина произведения основания на высоту.

Решение.

1. Нужна длина $AC$. По ответу она 10 см: $8 + 2 = 10$ см, то есть 8 см — это расстояние от $A$ до $F$.
2. $S_{ABC} = \frac{AC \cdot BE}{2} = \frac{10 \cdot 7}{2} = 35$ см².
3. $S_{ACD} = \frac{AC \cdot DF}{2} = \frac{10 \cdot 10}{2} = 50$ см².
4. $S_{ABCD} = 35 + 50 = 85$ см².

Ответ: 85 см².

№ 455

Навстречу друг другу едут поезд длиной 320 м со скоростью 54 км/ч и поезд длиной 275 м со скоростью 72 км/ч. Через сколько секунд после встречи машинистов встретятся бригадиры последних вагонов?

Как думать. Когда машинисты поравнялись, хвосты поездов разделяет сумма длин поездов. Поезда сближаются с суммой скоростей.

Решение.

1. Скорость сближения: $54 + 72 = 126$ км/ч.
2. В м/с: 126 км/ч — это 126 000 м за 3600 с; $126,000 : 3600 = 35$ м/с.
3. Расстояние между хвостами: $320 + 275 = 595$ м.
4. Время: $595 : 35 = 17$ с.

Ответ: через 17 секунд.

№ 456

Замени дробную черту делением и реши уравнения.

Как думать. Дробная черта — это знак деления. Решаем «с конца»: шаг за шагом находим неизвестный компонент.

Решение.

1. $\frac{7x + 139}{13} = 15$, то есть $(7x + 139) : 13 = 15$. $7x + 139 = 15 \cdot 13 = 195$; $7x = 195 - 139 = 56$; $x = 8$.
2. $5 + \frac{294}{x + 8} = 26$. $294 : (x + 8) = 21$; $x + 8 = 294 : 21 = 14$; $x = 6$.
3. $\frac{413 - x}{12} + 27 = 60$. $(413 - x) : 12 = 33$; $413 - x = 396$; $x = 17$.
4. $41 - \frac{216 - 3x}{34} = 35$. $(216 - 3x) : 34 = 6$; $216 - 3x = 204$; $3x = 12$; $x = 4$.

Проверка для 1): $(7 \cdot 8 + 139) : 13 = 195 : 13 = 15$. Верно.

Ответ: 1) 8; 2) 6; 3) 17; 4) 4.

№ 457

Начало луча — город Актобе. Единица разрезана на 10 частей. Точка «?» — на 9-м делении, Караганда — на 5-м делении после 1. Найди по карте город на месте «?» и запиши координаты городов.

Как думать. Координаты читаем по рисунку. Чтобы найти город, сравниваем расстояния: «?» на $\frac{9}{10}$, а Караганда на $1\frac{5}{10}$. Значит, от Актобе до «?» примерно $\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ пути до Караганды.

Решение.

1. Координата точки «?»: $\frac{9}{10}$.
2. Координата Караганды: $1\frac{5}{10} = 1\frac{1}{2}$.
3. Если идти по карте от Актобе на восток к Караганде, примерно на $\frac{3}{5}$ пути лежит город Аркалык (Костанайская область). Проверь по карте.

Ответ: «?» $\left(\frac{9}{10}\right)$ — по карте это, вероятно, Аркалык; Караганда $\left(1\frac{1}{2}\right)$.

Шпаргалка

• Дробь $\frac{a}{b}$: режем единицу на $b$ частей и отсчитываем от нуля $a$ частей.
• Смешанное число $2\frac{3}{4}$ всегда лежит между 2 и 3.
• Для $\frac{1}{3}$ бери мерку в 3, 6, 9 или 12 клеток.
• Считай промежутки, а не чёрточки.
• Равные дроби — одна точка.

Мини-тест