3.6. Приведение обыкновенных дробей и смешанных чисел к наименьшему общему знаменателю

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава III: Обыкновенные дроби и действия над ними. Страницы 155–161.

Чему научишься

• Переписывать дробь с новым знаменателем, не меняя её величину.
• Находить дополнительный множитель — «во сколько раз мельче режем».
• Находить наименьший общий знаменатель двух и трёх дробей через НОК.
• Приводить к общему знаменателю смешанные числа.
• Записывать целое число дробью или смешанным числом с нужным знаменателем.

Разминка

Подбери числа так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. Помни: числитель и знаменатель умножаем на одно и то же.

• $\frac{1}{6}$ и $\frac{4}{9}$: какой самый маленький знаменатель подойдёт обеим? 18 — это НОК(6, 9). Тогда $\frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{3}{18}$ и $\frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{8}{18}$.
• $\frac{3}{4}$ и $\frac{7}{10}$: а здесь? 20 — это НОК(4, 10). Тогда $\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20}$ и $\frac{7 \cdot 2}{10 \cdot 2} = \frac{14}{20}$.

Разбираемся

Режем мельче — дробь та же

Представь шоколадку из 7 долек, ты съел 3 — это $\frac{3}{7}$. Теперь разрежь каждую дольку пополам. Долек стало 14, а твоих — 6. Съел ты столько же, просто кусочки мельче: $\frac{3}{7} = \frac{6}{14}$.

Число, на которое умножили числитель и знаменатель, называют дополнительным множителем. Здесь это 2.

📌 Дополнительный множитель = новый знаменатель : старый знаменатель. Например, $14 : 7 = 2$.

Его удобно писать маленькой цифрой над числителем: $\frac{3^{\backslash 2}}{7} = \frac{6}{14}$.

💡 Привести дробь можно только к знаменателю, который делится на старый. $\frac{3}{7}$ со знаменателем 15 не запишешь: 15 на 7 не делится.

Общий знаменатель — общий размер кусочков

У $\frac{1}{4}$ и $\frac{2}{3}$ кусочки разные: четвертинки и трети. Нужен знаменатель, который делится и на 4, и на 3. Подходят 12, 24, 36… Берём самый маленький — НОК(4, 3) = 12. Это наименьший общий знаменатель.

Алгоритм в три шага

Пример: $\frac{5}{6}$ и $\frac{1}{8}$.

1. Ищем НОК знаменателей: НОК(6, 8) = 24.
2. Ищем дополнительные множители: $24 : 6 = 4$, $24 : 8 = 3$.
3. Умножаем: $\frac{5}{6} = \frac{20}{24}$, $\frac{1}{8} = \frac{3}{24}$.

Для трудных знаменателей НОК ищем через простые множители. $\frac{4}{21}$ и $\frac{7}{30}$: $21 = 3 \cdot 7$, $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$, НОК $= 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$. Множители $210 : 21 = 10$ и $210 : 30 = 7$. Получаем $\frac{40}{210}$ и $\frac{49}{210}$.

⚠️ Частая ошибка. Умножить только знаменатель: $\frac{5}{6} = \frac{5}{24}$. Так дробь стала в 4 раза меньше! Числитель и знаменатель умножаем на одно и то же число.

👨‍👩‍👧 Родителю. Пусть ребёнок после каждого примера делает проверку — сокращает ответ обратно. $\frac{20}{24}$ делим на 4 — снова $\frac{5}{6}$. Не вернулось — ищите ошибку в множителе.

💡 Если дробь сокращается, сначала сократи. Знаменатель станет меньше — считать проще.

Смешанные числа: целые не трогаем

У смешанного числа к общему знаменателю приводим только дробную часть. $2\frac{5}{12}$ и $1\frac{7}{9}$: НОК(12, 9) = 36, множители 3 и 4. Получаем $2\frac{15}{36}$ и $1\frac{28}{36}$.

Целое число в «дробной одежде»

Любое натуральное число можно записать дробью: $4 = \frac{24}{6}$, ведь $24 : 6 = 4$. Числитель = число $\cdot$ знаменатель.

А смешанным числом — «разменяв» одну единицу: $12 = 11 + 1 = 11\frac{9}{9}$.

⚠️ Частая ошибка. Записать $4 = \frac{4}{6}$. Но $\frac{4}{6}$ меньше единицы, а 4 — это четыре целых! Правильно: $\frac{4 \cdot 6}{6} = \frac{24}{6}$.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Что может быть наименьшим общим знаменателем дробей? НОК их знаменателей (если дроби несократимые).
• Что такое дополнительный множитель? Число, на которое умножают и числитель, и знаменатель, чтобы получить новый знаменатель.
• Как его найти? Общий знаменатель разделить на знаменатель дроби.
• Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю? Найти НОК знаменателей, для каждой дроби найти дополнительный множитель и умножить на него числитель и знаменатель.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 458

Восстанови три цепочки, считая с конца. A: $A \xrightarrow{\cdot 3} \bigcirc \xrightarrow{+32} \bigcirc \xrightarrow{:5} \bigcirc \xrightarrow{+24} 40$; B: $B \xrightarrow{+180} \bigcirc \xrightarrow{:5} \bigcirc \xrightarrow{-25} \bigcirc \xrightarrow{\cdot 4} 60$; C: $C \xrightarrow{-66} \bigcirc \xrightarrow{\cdot 10} \bigcirc \xrightarrow{+160} \bigcirc \xrightarrow{:4} 80$.

Как думать. Идём от конца к началу и каждое действие меняем на обратное: плюс на минус, умножение на деление.

Решение.

• A: $40 - 24 = 16$; $16 \cdot 5 = 80$; $80 - 32 = 48$; $48 : 3 = 16$. Цепочка: 16 → 48 → 80 → 16 → 40.
• B: $60 : 4 = 15$; $15 + 25 = 40$; $40 \cdot 5 = 200$; $200 - 180 = 20$. Цепочка: 20 → 200 → 40 → 15 → 60.
• C: $80 \cdot 4 = 320$; $320 - 160 = 160$; $160 : 10 = 16$; $16 + 66 = 82$. Цепочка: 82 → 16 → 160 → 320 → 80.

Ответ: $A = 16$, $B = 20$, $C = 82$.

Уровень A

№ 459

Приведи пары дробей к наименьшему общему знаменателю: $\frac{3}{5}$ и $\frac{5}{6}$; $\frac{6}{11}$ и $\frac{4}{9}$; $\frac{5}{6}$ и $\frac{4}{11}$; $\frac{7}{18}$ и $\frac{1}{6}$; $\frac{9}{13}$ и $\frac{4}{5}$; $\frac{5}{7}$ и $\frac{3}{4}$; $\frac{2}{15}$ и $\frac{1}{3}$; $\frac{5}{8}$ и $\frac{3}{4}$.

Как думать. Если у знаменателей нет общих делителей, НОК — их произведение. Если один делится на другой — больший и есть общий.

Решение. В каждой строке: НОК знаменателей, дополнительные множители, результат.

Заметь 4), 7), 8): один знаменатель делится на другой, поэтому общий — больший из них.

Ответ: см. последний столбец таблицы.

№ 460

Приведи тройки дробей к наименьшему общему знаменателю: $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{2}{3}$; $\frac{1}{4}$, $\frac{5}{7}$, $\frac{9}{28}$; $\frac{1}{5}$, $\frac{11}{20}$, $\frac{3}{10}$; $\frac{3}{4}$, $\frac{7}{8}$, $\frac{3}{16}$; $\frac{2}{3}$, $\frac{2}{15}$, $\frac{4}{5}$; $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{9}$, $\frac{5}{6}$.

Как думать. Сначала проверь самый большой знаменатель: может, он уже делится на два других? Если нет — ищи НОК.

Решение.

В 6) число 9 не делится на 6, поэтому ищем НОК(2, 9, 6) = 18.

Ответ: см. последний столбец таблицы.

№ 461

Приведи к наименьшему общему знаменателю пары с «неудобными» знаменателями: $\frac{7}{20}$ и $\frac{5}{12}$; $\frac{11}{24}$ и $\frac{1}{30}$; $\frac{3}{16}$ и $\frac{7}{12}$; $\frac{11}{18}$ и $\frac{7}{12}$; $\frac{1}{12}$ и $\frac{2}{9}$; $\frac{4}{21}$ и $\frac{13}{28}$; $\frac{8}{15}$ и $\frac{5}{12}$; $\frac{7}{30}$ и $\frac{1}{12}$.

Как думать. У этих знаменателей есть общие делители, поэтому НОК меньше их произведения. Удобный способ: больший знаменатель умножаем на 2, 3, 4…, пока не получится число, которое делится на меньший.

Решение.

Ответ: см. последний столбец таблицы.

№ 462

Поставь вместо звёздочки знаменатель, чтобы равенства стали верными. Какие дроби привели к общему знаменателю?

Как думать. Во сколько раз новый числитель больше старого — это и есть дополнительный множитель. Знаменатель уменьшаем во столько же раз.

Решение.

1. $14 : 2 = 7$, $21 : 7 = 3$ — $\frac{2}{3} = \frac{14}{21}$. $15 : 5 = 3$, $21 : 3 = 7$ — $\frac{5}{7} = \frac{15}{21}$.
2. $52 : 4 = 13$, $65 : 13 = 5$ — $\frac{4}{5} = \frac{52}{65}$. $35 : 7 = 5$, $65 : 5 = 13$ — $\frac{7}{13} = \frac{35}{65}$.
3. $34 : 2 = 17$, $51 : 17 = 3$ — $\frac{2}{3} = \frac{34}{51}$. $24 : 8 = 3$, $51 : 3 = 17$ — $\frac{8}{17} = \frac{24}{51}$.
4. $70 : 10 = 7$, $133 : 7 = 19$ — $\frac{10}{19} = \frac{70}{133}$. $57 : 3 = 19$, $133 : 19 = 7$ — $\frac{3}{7} = \frac{57}{133}$.

Ответ: 1) $\frac{2}{3}$ и $\frac{5}{7}$; 2) $\frac{4}{5}$ и $\frac{7}{13}$; 3) $\frac{2}{3}$ и $\frac{8}{17}$; 4) $\frac{10}{19}$ и $\frac{3}{7}$.

№ 463

Приведи смешанные числа к наименьшему общему знаменателю: $2\frac{1}{6}$ и $3\frac{1}{9}$; $1\frac{3}{4}$ и $3\frac{5}{12}$; $4\frac{2}{7}$ и $5\frac{4}{21}$; $1\frac{7}{20}$ и $2\frac{3}{50}$; $1\frac{3}{11}$ и $2\frac{1}{2}$; $6\frac{7}{100}$ и $4\frac{9}{10}$; $2\frac{8}{15}$ и $1\frac{5}{12}$; $3\frac{1}{18}$ и $2\frac{4}{15}$.

Как думать. Целые части переписываем как есть. Работаем только с дробными частями.

Решение.

Для 8): $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$, $15 = 3 \cdot 5$, НОК $= 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 90$; множители $90 : 18 = 5$, $90 : 15 = 6$.

Ответ: см. последний столбец таблицы.

№ 464

Запиши натуральное число дробью с тем же знаменателем, что у соседней дроби. Образец: 4 и $\frac{5}{6}$ → $\frac{24}{6}$ и $\frac{5}{6}$.

Как думать. Числитель новой дроби = число $\cdot$ знаменатель.

Решение.

1. 7 и $\frac{5}{8}$: $7 = \frac{56}{8}$.
2. 9 и $\frac{1}{4}$: $9 = \frac{36}{4}$.
3. $\frac{3}{7}$ и 4: $4 = \frac{28}{7}$.
4. $\frac{9}{10}$ и 8: $8 = \frac{80}{10}$.
5. 15 и $\frac{3}{10}$: $15 = \frac{150}{10}$.
6. 20 и $\frac{3}{8}$: $20 = \frac{160}{8}$.
7. 9 и $\frac{5}{12}$: $9 = \frac{108}{12}$.
8. $\frac{7}{11}$ и 3: $3 = \frac{33}{11}$.

Ответ: 1) $\frac{56}{8}$; 2) $\frac{36}{4}$; 3) $\frac{28}{7}$; 4) $\frac{80}{10}$; 5) $\frac{150}{10}$; 6) $\frac{160}{8}$; 7) $\frac{108}{12}$; 8) $\frac{33}{11}$.

№ 465

Теплоход идёт по течению со скоростью 35 км/ч, против течения — 29 км/ч. Найди скорость течения и собственную скорость теплохода.

Как думать. По течению река помогает: собственная скорость + течение. Против — мешает: собственная скорость − течение. Разница между ними — это два течения.

Решение.

1. $35 - 29 = 6$ км/ч — удвоенная скорость течения.
2. Скорость течения: $6 : 2 = 3$ км/ч.
3. Собственная скорость: $29 + 3 = 32$ км/ч (или $35 - 3 = 32$ км/ч).

Ответ: скорость течения 3 км/ч, собственная скорость теплохода 32 км/ч.

Уровень B

№ 466

Сначала сократи дроби, потом приведи их к наименьшему общему знаменателю.

Как думать. После сокращения знаменатели становятся меньше — и НОК искать легче.

Решение.

1. $\frac{18}{30} = \frac{3}{5}$, $\frac{15}{18} = \frac{5}{6}$. НОК(5, 6) = 30: $\frac{18}{30}$ и $\frac{25}{30}$.
2. $\frac{28}{40} = \frac{7}{10}$, $\frac{10}{45} = \frac{2}{9}$. НОК(10, 9) = 90: $\frac{63}{90}$ и $\frac{20}{90}$.
3. $\frac{49}{105} = \frac{7}{15}$, $\frac{27}{36} = \frac{3}{4}$. НОК(15, 4) = 60: $\frac{28}{60}$ и $\frac{45}{60}$.
4. $\frac{60}{90} = \frac{2}{3}$, $\frac{15}{50} = \frac{3}{10}$. НОК(3, 10) = 30: $\frac{20}{30}$ и $\frac{9}{30}$.
5. $\frac{10}{20} = \frac{1}{2}$, $\frac{8}{24} = \frac{1}{3}$, $\frac{9}{45} = \frac{1}{5}$. НОК = 30: $\frac{15}{30}$, $\frac{10}{30}$, $\frac{6}{30}$.
6. $\frac{22}{44} = \frac{1}{2}$, $\frac{24}{30} = \frac{4}{5}$, $\frac{27}{36} = \frac{3}{4}$. НОК = 20: $\frac{10}{20}$, $\frac{16}{20}$, $\frac{15}{20}$.

Ответ: 1) $\frac{18}{30}$, $\frac{25}{30}$; 2) $\frac{63}{90}$, $\frac{20}{90}$; 3) $\frac{28}{60}$, $\frac{45}{60}$; 4) $\frac{20}{30}$, $\frac{9}{30}$; 5) $\frac{15}{30}$, $\frac{10}{30}$, $\frac{6}{30}$; 6) $\frac{10}{20}$, $\frac{16}{20}$, $\frac{15}{20}$.

№ 467

Запиши натуральное число смешанным числом с тем же знаменателем, что у соседнего смешанного числа. Образец: 12 и $3\frac{5}{9}$ → $11\frac{9}{9}$ и $3\frac{5}{9}$.

Как думать. Забираем у числа одну единицу и записываем её дробью с одинаковыми числителем и знаменателем: $1 = \frac{3}{3} = \frac{8}{8}$ и так далее.

Решение.

1. 7 и $2\frac{1}{3}$: $7 = 6\frac{3}{3}$.
2. 4 и $5\frac{3}{8}$: $4 = 3\frac{8}{8}$.
3. $5\frac{3}{8}$ и 9: $9 = 8\frac{8}{8}$.
4. $6\frac{7}{12}$ и 11: $11 = 10\frac{12}{12}$.
5. 10 и $1\frac{5}{99}$: $10 = 9\frac{99}{99}$.
6. 9 и $13\frac{1}{5}$: $9 = 8\frac{5}{5}$.
7. 8 и $3\frac{1}{4}$: $8 = 7\frac{4}{4}$.
8. 5 и $6\frac{5}{9}$: $5 = 4\frac{9}{9}$.

Ответ: 1) $6\frac{3}{3}$; 2) $3\frac{8}{8}$; 3) $8\frac{8}{8}$; 4) $10\frac{12}{12}$; 5) $9\frac{99}{99}$; 6) $8\frac{5}{5}$; 7) $7\frac{4}{4}$; 8) $4\frac{9}{9}$.

№ 468

1) Запиши $3\frac{2}{7}$ со знаменателями 21, 49, 56, 63. 2) Запиши $4\frac{5}{9}$ со знаменателями 18, 36, 45, 54.

Как думать. Целая часть остаётся. Дробную часть умножаем на дополнительный множитель.

Решение.

1. Множители: $21 : 7 = 3$, $49 : 7 = 7$, $56 : 7 = 8$, $63 : 7 = 9$. а) $3\frac{6}{21}$; б) $3\frac{14}{49}$; в) $3\frac{16}{56}$; г) $3\frac{18}{63}$.
2. Множители: $18 : 9 = 2$, $36 : 9 = 4$, $45 : 9 = 5$, $54 : 9 = 6$. а) $4\frac{10}{18}$; б) $4\frac{20}{36}$; в) $4\frac{25}{45}$; г) $4\frac{30}{54}$.

Ответ: 1) $3\frac{6}{21}$, $3\frac{14}{49}$, $3\frac{16}{56}$, $3\frac{18}{63}$; 2) $4\frac{10}{18}$, $4\frac{20}{36}$, $4\frac{25}{45}$, $4\frac{30}{54}$.

№ 469

Приведи смешанные числа к заданному знаменателю: 1) к 18; 2) к 12; 3) к 45.

Как думать. Для каждого числа: новый знаменатель делим на старый — получаем множитель.

Решение.

1. $7\frac{1}{2} = 7\frac{9}{18}$; $4\frac{2}{3} = 4\frac{12}{18}$; $5\frac{1}{6} = 5\frac{3}{18}$; $3\frac{4}{9} = 3\frac{8}{18}$.
2. $9\frac{1}{2} = 9\frac{6}{12}$; $5\frac{1}{3} = 5\frac{4}{12}$; $6\frac{3}{4} = 6\frac{9}{12}$; $8\frac{5}{6} = 8\frac{10}{12}$.
3. $12\frac{2}{3} = 12\frac{30}{45}$; $7\frac{3}{5} = 7\frac{27}{45}$; $6\frac{4}{9} = 6\frac{20}{45}$; $4\frac{2}{15} = 4\frac{6}{45}$.

Ответ: см. решение.

№ 470

Мадина расставила 8 ваз так, что у каждой стены комнаты стоят 3 вазы. Как?

Как думать. Задача на смекалку! По 3 вазы у каждой из 4 стен — это 12 ваз. А их только 8. Значит, некоторые вазы «работают» сразу на две стены. Где так бывает? В углах!

Решение.

1. Ставим по вазе в каждый из 4 углов. Угловая ваза стоит сразу у двух стен.
2. Ставим ещё по вазе посередине каждой стены — ещё 4 вазы.
3. У каждой стены: 2 угловые + 1 посередине = 3 вазы. Всего $4 + 4 = 8$ ваз.

Ответ: 4 вазы в углах и по одной посередине каждой стены.

№ 471

Старинная задача. Два дома надо поровну разделить между тремя сыновьями. Старший и средний взяли по дому и заплатили младшему по 500 динаров. Сколько стоит дом? Варианты: A. 2000; B. 1500; C. 1800; D. 1200.

Как думать. Два дома на троих — каждому по $\frac{2}{3}$ дома. Младший получил свою долю деньгами.

Решение.

1. Младший получил $500 + 500 = 1000$ динаров. Это $\frac{2}{3}$ стоимости дома.
2. $\frac{1}{3}$ дома: $1000 : 2 = 500$ динаров.
3. Целый дом: $500 \cdot 3 = 1500$ динаров.

Проверка: старший взял дом за 1500 и отдал 500 — у него осталось на 1000. Столько же, сколько у младшего. Поровну!

Ответ: B. 1500 динаров.

Уровень C

№ 472

1) Сколько раз в $\frac{1}{3}$ помещается $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{9}$, $\frac{1}{12}$, $\frac{1}{15}$? 2) Сколько раз в $\frac{3}{4}$ помещается $\frac{1}{8}$, $\frac{1}{12}$, $\frac{1}{16}$, $\frac{1}{20}$?

Как думать. Приводим дробь к нужному знаменателю — числитель и покажет, сколько долей в ней помещается.

Решение.

1. $\frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{3}{9} = \frac{4}{12} = \frac{5}{15}$.
2. $\frac{3}{4} = \frac{6}{8} = \frac{9}{12} = \frac{12}{16} = \frac{15}{20}$.

Ответ: 1) а) 2; б) 3; в) 4; г) 5. 2) а) 6; б) 9; в) 12; г) 15.

№ 473

Приведи смешанные числа к наименьшему общему знаменателю: $2\frac{5}{9}$ и $3\frac{1}{12}$; $1\frac{5}{8}$ и $4\frac{3}{125}$; $1\frac{1}{15}$, $3\frac{5}{24}$, $2\frac{3}{40}$; $9\frac{13}{24}$, $2\frac{5}{8}$, $3\frac{1}{6}$.

Как думать. Для простых случаев хватит перебора, для трудных — раскладываем знаменатели на простые множители.

Решение.

1. $2\frac{5}{9}$ и $3\frac{1}{12}$: НОК(9, 12) = 36 — $2\frac{20}{36}$ и $3\frac{3}{36}$.
2. $1\frac{5}{8}$ и $4\frac{3}{125}$: у 8 и 125 нет общих делителей, НОК $= 8 \cdot 125 = 1000$ — $1\frac{625}{1000}$ и $4\frac{24}{1000}$.
3. $1\frac{1}{15}$, $3\frac{5}{24}$, $2\frac{3}{40}$: $15 = 3 \cdot 5$, $24 = 2^3 \cdot 3$, $40 = 2^3 \cdot 5$; НОК $= 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 120$. Множители 8, 5, 3: $1\frac{8}{120}$, $3\frac{25}{120}$, $2\frac{9}{120}$.
4. $9\frac{13}{24}$, $2\frac{5}{8}$, $3\frac{1}{6}$: 24 делится на 8 и на 6, НОК = 24 — $9\frac{13}{24}$, $2\frac{15}{24}$, $3\frac{4}{24}$.

Ответ: 1) $2\frac{20}{36}$, $3\frac{3}{36}$; 2) $1\frac{625}{1000}$, $4\frac{24}{1000}$; 3) $1\frac{8}{120}$, $3\frac{25}{120}$, $2\frac{9}{120}$; 4) $9\frac{13}{24}$, $2\frac{15}{24}$, $3\frac{4}{24}$.

№ 474

Приведи смешанные числа к знаменателю 10, 100 или 1000.

Как думать. Это разминка перед десятичными дробями. Знаменатели 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125, 500 «дорастают» до 10, 100 или 1000.

Решение.

1. К 10: $7\frac{1}{2} = 7\frac{5}{10}$; $9\frac{2}{5} = 9\frac{4}{10}$; $3\frac{4}{5} = 3\frac{8}{10}$.
2. К 100: $6\frac{3}{4} = 6\frac{75}{100}$ (множитель 25); $5\frac{9}{20} = 5\frac{45}{100}$ (5); $8\frac{6}{25} = 8\frac{24}{100}$ (4); $1\frac{3}{50} = 1\frac{6}{100}$ (2).
3. К 1000: $2\frac{5}{8} = 2\frac{625}{1000}$ (125); $3\frac{7}{125} = 3\frac{56}{1000}$ (8); $6\frac{11}{125} = 6\frac{88}{1000}$ (8); $4\frac{123}{500} = 4\frac{246}{1000}$ (2).

Ответ: см. решение.

№ 475

Приведи к наименьшему общему знаменателю дроби с буквами: 1) $\frac{3 - b}{a^{2}}$ и $\frac{b}{a}$; 2) $\frac{4a + 5}{bc}$ и $\frac{2a}{cd}$; 3) $\frac{b + 7}{2a}$ и $\frac{9 - b}{3a}$.

Как думать. Всё как с числами: общий знаменатель делится на оба знаменателя. Буквы ведут себя как множители.

Решение.

1. $a^2 = a \cdot a$ делится на $a$. Общий знаменатель $a^2$, множитель для второй дроби — $a$: $\frac{3 - b}{a^2}$ и $\frac{ab}{a^2}$.
2. $bc$ и $cd$: общий множитель $c$, общий знаменатель $bcd$. Множители $d$ и $b$: $\frac{(4a + 5)d}{bcd}$ и $\frac{2ab}{bcd}$.
3. $2a$ и $3a$: общий знаменатель $6a$. Множители 3 и 2: $\frac{3(b + 7)}{6a}$ и $\frac{2(9 - b)}{6a}$.

Ответ: 1) $\frac{3 - b}{a^2}$ и $\frac{ab}{a^2}$; 2) $\frac{(4a + 5)d}{bcd}$ и $\frac{2ab}{bcd}$; 3) $\frac{3(b + 7)}{6a}$ и $\frac{2(9 - b)}{6a}$.

№ 476

На номера страниц сборника ушло 349 цифр, нумерация начиналась с третьей страницы. Сколько страниц в сборнике? Варианты: A. 172; B. 153; C. 185; D. 162.

Как думать. Считаем цифры по группам: однозначные, двузначные, трёхзначные номера.

Решение.

1. Страницы 3–9: 7 номеров по 1 цифре — 7 цифр.
2. Страницы 10–99: 90 номеров по 2 цифры — 180 цифр.
3. Осталось $349 - 7 - 180 = 162$ цифры. Это трёхзначные номера: $162 : 3 = 54$ страницы.
4. Трёхзначные начинаются со 100: последняя страница $100 + 54 - 1 = 153$.

Проверка: $7 + 180 + 54 \cdot 3 = 349$. Верно.

Ответ: B. 153 страницы.

№ 477

Реши уравнения: 1) $\frac{192 : (5x - 3) - 7}{9} = \frac{10,005}{10,005}$; 2) $\frac{(7x + 16) : 11 + 8}{12} = \frac{19,991}{19,991}$.

Как думать. Справа — дробь с одинаковыми числителем и знаменателем, она равна 1. Дальше решаем «с конца».

Решение.

1. Левая часть равна 1, значит $192 : (5x - 3) - 7 = 9$. $192 : (5x - 3) = 16$; $5x - 3 = 192 : 16 = 12$; $5x = 15$; $x = 3$.
2. $(7x + 16) : 11 + 8 = 12$. $(7x + 16) : 11 = 4$; $7x + 16 = 44$; $7x = 28$; $x = 4$.

Ответ: 1) 3; 2) 4.

Шпаргалка

• Множитель = новый знаменатель : старый.
• Сначала сократи, потом ищи общий знаменатель.
• Знаменатели без общих делителей — перемножь их.
• Проверка: сократи ответ — должна вернуться исходная дробь.

Мини-тест