3.7. Сравнение обыкновенных дробей. Сравнение смешанных чисел

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава III: Обыкновенные дроби и действия над ними. Страницы 162–168.

Чему научишься

• Сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями — по числителям.
• Сравнивать дроби с одинаковыми числителями — и не попадаться в ловушку «8 больше 4».
• Сравнивать любые дроби: через общий знаменатель или «крест-накрест».
• Сравнивать смешанные числа: сначала целые, потом дроби.
• Видеть на луче: большая дробь всегда правее.

Разминка

Три одинаковые полоски. На каждой закрашено по 2 части, но полоски разрезаны по-разному.

• Где закрашено больше всего? У $\frac{2}{3}$: полоска разрезана на 3 части, куски самые крупные.
• А где меньше всего? У $\frac{2}{7}$: семь частей — куски самые мелкие. Получается $\frac{2}{7} < \frac{2}{5} < \frac{2}{3}$.

Разбираемся

Кусочки одинаковые — считаем, сколько их

Пиццу разрезали на 8 частей. Арман съел 3 куска, Дана — 5. Куски одинаковые, значит, Дана съела больше: $\frac{5}{8} > \frac{3}{8}$.

📌 Знаменатели равны — больше та дробь, у которой больше числитель: $\frac{3}{4} > \frac{1}{4}$, $\frac{4}{9} < \frac{7}{9}$.

На луче меньшая дробь лежит левее, большая — правее. Так у любых чисел.

Кусков поровну — смотрим на их размер

$\frac{3}{8}$ и $\frac{3}{4}$: в обоих случаях 3 куска. Но восьмая часть пиццы меньше четверти! Значит, 3 восьмых меньше, чем 3 четверти: $\frac{3}{8} < \frac{3}{4}$.

📌 Числители равны — больше та дробь, у которой меньше знаменатель: $\frac{5}{6} > \frac{5}{8}$, $\frac{4}{9} < \frac{4}{5}$.

⚠️ Частая ошибка. «$\frac{1}{8} > \frac{1}{4}$, потому что 8 больше 4». Спроси себя: что больше — восьмая часть торта или четверть? Чем на большее число частей режем, тем мельче каждая часть.

Всё разное: два способа

Способ 1 — общий знаменатель. Режем обе дроби на одинаковые кусочки и сравниваем числители. $\frac{5}{6}$ и $\frac{3}{8}$: НОК(6, 8) = 24, $\frac{5}{6} = \frac{20}{24}$, $\frac{3}{8} = \frac{9}{24}$. $20 > 9$, значит, $\frac{5}{6} > \frac{3}{8}$.

Способ 2 — «крест-накрест». Числитель первой умножаем на знаменатель второй, знаменатель первой — на числитель второй. Где произведение больше, там и дробь больше.

$\frac{3}{7}$ и $\frac{2}{9}$: $3 \cdot 9 = 27$, $7 \cdot 2 = 14$. $27 > 14$, значит, $\frac{3}{7} > \frac{2}{9}$. Если произведения равны, равны и дроби: $\frac{2}{5} = \frac{4}{10}$, ведь $2 \cdot 10 = 5 \cdot 4$.

💡 «Крест-накрест» — это тот же общий знаменатель, только хитрый: мы будто привели дроби к знаменателю $7 \cdot 9$ и сравнили одни числители.

👨‍👩‍👧 Родителю. Дети часто путают, какое произведение к какой дроби относится. Пусть ребёнок пишет каждое произведение над «своей» дробью: 27 над $\frac{3}{7}$, 14 над $\frac{2}{9}$. Тогда знак между числами и будет знаком между дробями.

💡 Ещё приём — сравнить с половинкой. $\frac{4}{9} < \frac{1}{2}$ (4 меньше половины от 9), а $\frac{5}{8} > \frac{1}{2}$. Значит, $\frac{4}{9} < \frac{5}{8}$ без всяких вычислений!

Смешанные числа: целые важнее

1. Сначала сравниваем целые части. $2\frac{5}{7} < 3\frac{1}{7}$, потому что $2 < 3$. Дроби тут уже не важны.
2. Целые равны — сравниваем дроби: $2\frac{5}{7} > 2\frac{1}{3}$, так как $\frac{5}{7} > \frac{1}{3}$.

⚠️ Частая ошибка. «$4\frac{5}{6} > 5\frac{1}{6}$, ведь $\frac{5}{6} > \frac{1}{6}$». Нет! $4\frac{5}{6}$ меньше 5, а $5\frac{1}{6}$ больше 5.

Попробуй сам

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какая из дробей с одинаковыми знаменателями больше? Та, у которой больше числитель.
• Какая из дробей с одинаковыми числителями больше? А какая меньше? Больше та, у которой знаменатель меньше; меньше та, у которой знаменатель больше.
• Как сравнить дроби с разными знаменателями? Привести к общему знаменателю и сравнить числители. Или сравнить произведения «крест-накрест».
• Как сравнить смешанные числа? Больше то, у которого больше целая часть. Если целые равны — то, у которого больше дробная часть.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 478

Среди дробей $\frac{2}{4}$, $\frac{15}{20}$, $\frac{6}{8}$, $\frac{5}{10}$, $\frac{8}{16}$, $\frac{9}{12}$ найди равные $\frac{1}{2}$ и равные $\frac{3}{4}$.

Как думать. Сокращай каждую дробь. Или проще: дробь равна $\frac{1}{2}$, если числитель ровно вдвое меньше знаменателя.

Решение. $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$; $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$; $\frac{8}{16} = \frac{1}{2}$. $\frac{15}{20} = \frac{3}{4}$ (сократили на 5); $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$; $\frac{9}{12} = \frac{3}{4}$.

Ответ: 1) $\frac{2}{4}$, $\frac{5}{10}$, $\frac{8}{16}$; 2) $\frac{15}{20}$, $\frac{6}{8}$, $\frac{9}{12}$.

Уровень A

№ 479

Сравни дроби, поставь знак

Как думать. Сначала посмотри, что одинаковое: знаменатели или числители. От этого зависит правило.

Решение. В 1), 2), 3), 7) знаменатели равны — сравниваем числители. В 4), 5), 6), 8) равны числители — больше дробь с меньшим знаменателем.

1. $\frac{2}{3} > \frac{1}{3}$;
2. $\frac{2}{7} < \frac{5}{7}$;
3. $\frac{3}{8} > \frac{1}{8}$;
4. $\frac{3}{5} > \frac{3}{8}$;
5. $\frac{5}{6} > \frac{5}{7}$;
6. $\frac{3}{4} > \frac{3}{5}$;
7. $\frac{11}{27} > \frac{8}{27}$;
8. $\frac{9}{14} < \frac{9}{11}$.

Ответ: см. решение.

№ 480

1) Расставь по возрастанию: $\frac{9}{10}$, $\frac{9}{8}$, $\frac{9}{7}$, $\frac{9}{13}$, $\frac{9}{2}$, $\frac{9}{11}$, $\frac{9}{9}$. 2) Расставь по убыванию: $\frac{11}{15}$, $\frac{14}{15}$, $\frac{2}{15}$, $\frac{7}{15}$, $\frac{4}{15}$, $\frac{1}{15}$, $\frac{8}{15}$.

Как думать. В первом ряду одинаковые числители — значит, чем больше знаменатель, тем меньше дробь. Во втором — одинаковые знаменатели, смотрим на числители.

Решение.

1. По возрастанию — знаменатели по убыванию: 13, 11, 10, 9, 8, 7, 2.
2. По убыванию — числители по убыванию: 14, 11, 8, 7, 4, 2, 1.

Ответ: 1) $\frac{9}{13} < \frac{9}{11} < \frac{9}{10} < \frac{9}{9} < \frac{9}{8} < \frac{9}{7} < \frac{9}{2}$; 2) $\frac{14}{15} > \frac{11}{15} > \frac{8}{15} > \frac{7}{15} > \frac{4}{15} > \frac{2}{15} > \frac{1}{15}$.

№ 481

Сравни смешанные числа: $1\frac{3}{4}$ и $1\frac{1}{4}$; $2\frac{5}{8}$ и $2\frac{1}{8}$; $3\frac{5}{8}$ и $4\frac{5}{8}$; $7\frac{1}{9}$ и $6\frac{5}{9}$; $2\frac{9}{11}$ и $2\frac{9}{10}$; $5\frac{3}{4}$ и $5\frac{1}{4}$.

Как думать. Целые разные — ответ уже ясен. Целые равны — сравниваем дробные части.

Решение.

1. Целые равны, $\frac{3}{4} > \frac{1}{4}$: $1\frac{3}{4} > 1\frac{1}{4}$.
2. Целые равны, $\frac{5}{8} > \frac{1}{8}$: $2\frac{5}{8} > 2\frac{1}{8}$.
3. $3 < 4$: $3\frac{5}{8} < 4\frac{5}{8}$.
4. $7 > 6$: $7\frac{1}{9} > 6\frac{5}{9}$.
5. Целые равны, $\frac{9}{11} < \frac{9}{10}$ (числители равны, знаменатель 11 больше): $2\frac{9}{11} < 2\frac{9}{10}$.
6. Целые равны, $\frac{3}{4} > \frac{1}{4}$: $5\frac{3}{4} > 5\frac{1}{4}$.

Ответ: 1)

№ 482

Приведи к наименьшему общему знаменателю и сравни: $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{6}$; $\frac{5}{12}$ и $\frac{7}{18}$; $\frac{1}{2}$ и $\frac{4}{9}$; $\frac{2}{3}$ и $\frac{4}{5}$.

Как думать. Находим НОК знаменателей, переписываем дроби и сравниваем числители.

Решение.

1. НОК(4, 6) = 12: $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$, $\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$. $\frac{3}{4} < \frac{5}{6}$.
2. НОК(12, 18) = 36: $\frac{5}{12} = \frac{15}{36}$, $\frac{7}{18} = \frac{14}{36}$. $\frac{5}{12} > \frac{7}{18}$.
3. НОК(2, 9) = 18: $\frac{1}{2} = \frac{9}{18}$, $\frac{4}{9} = \frac{8}{18}$. $\frac{1}{2} > \frac{4}{9}$.
4. НОК(3, 5) = 15: $\frac{2}{3} = \frac{10}{15}$, $\frac{4}{5} = \frac{12}{15}$. $\frac{2}{3} < \frac{4}{5}$.

Ответ: 1) $\frac{3}{4} < \frac{5}{6}$; 2) $\frac{5}{12} > \frac{7}{18}$; 3) $\frac{1}{2} > \frac{4}{9}$; 4) $\frac{2}{3} < \frac{4}{5}$.

№ 483

Единичный отрезок 6 см. Отметь $A\left(\frac{5}{6}\right)$, $B\left(1\frac{2}{3}\right)$, $C\left(\frac{1}{2}\right)$, $D\left(1\frac{1}{6}\right)$. Какая точка левее всех, какая правее? Сравни координаты.

Как думать. $\frac{1}{6}$ от 6 см — 1 см. Переводим всё в шестые доли.

Решение.

1. $A$: $\frac{5}{6}$ — 5 см от нуля.
2. $B$: $1\frac{2}{3} = 1\frac{4}{6}$ — $6 + 4 = 10$ см.
3. $C$: $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ — 3 см.
4. $D$: $1\frac{1}{6}$ — $6 + 1 = 7$ см.

По расстояниям: 3 см ($C$), 5 см ($A$), 7 см ($D$), 10 см ($B$).

Ответ: левее всех $C$, правее всех $B$; $\frac{1}{2} < \frac{5}{6} < 1\frac{1}{6} < 1\frac{2}{3}$.

№ 484

Первый принтер печатает 41 страницу за 5 мин, второй — 28 страниц за 3 мин. У какого производительность больше?

Как думать. Производительность — сколько страниц за 1 минуту. Это частное, его можно записать дробью.

Решение.

1. Первый: $\frac{41}{5} = 8\frac{1}{5}$ страницы в минуту.
2. Второй: $\frac{28}{3} = 9\frac{1}{3}$ страницы в минуту.
3. Целые части: $8 < 9$, значит, $8\frac{1}{5} < 9\frac{1}{3}$.

Ответ: производительность больше у второго принтера.

Уровень B

№ 485

Сравни дроби «крест-накрест», без общего знаменателя. Образец: $\frac{3}{8}$ и $\frac{4}{7}$: $3 \cdot 7 < 8 \cdot 4$, значит, $\frac{3}{8} < \frac{4}{7}$.

Как думать. Слева — числитель первой на знаменатель второй, справа — знаменатель первой на числитель второй.

Решение.

Ответ: 1)

№ 486

Расставь по возрастанию: $\frac{1}{2}$, $\frac{4}{5}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{6}{7}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{8}{9}$, $\frac{7}{8}$.

Как думать. Хитрость! У каждой дроби числитель на 1 меньше знаменателя. Значит, до целой единицы ей не хватает ровно одной доли: $\frac{1}{2}$ не хватает $\frac{1}{2}$, а $\frac{8}{9}$ — всего $\frac{1}{9}$. Чем меньше «недостача», тем ближе дробь к 1 и тем она больше.

Решение. Недостачи: $\frac{1}{2} > \frac{1}{3} > \frac{1}{4} > \frac{1}{5} > \frac{1}{6} > \frac{1}{7} > \frac{1}{8} > \frac{1}{9}$. Значит, сами дроби растут в порядке знаменателей: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Проверка одной пары «крест-накрест»: $\frac{6}{7}$ и $\frac{7}{8}$: $48 < 49$, верно, $\frac{6}{7} < \frac{7}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{2} < \frac{2}{3} < \frac{3}{4} < \frac{4}{5} < \frac{5}{6} < \frac{6}{7} < \frac{7}{8} < \frac{8}{9}$.

№ 487

Сравни смешанные числа: $2\frac{5}{7}$ и $2\frac{3}{8}$; $4\frac{1}{3}$ и $5\frac{1}{4}$; $3\frac{4}{5}$ и $3\frac{1}{2}$; $9\frac{5}{6}$ и $10\frac{1}{6}$; $5\frac{1}{6}$ и $4\frac{2}{3}$; $6\frac{5}{6}$ и $6\frac{2}{7}$.

Как думать. Целые разные — сразу ответ. Целые равны — сравниваем дроби любым способом.

Решение.

1. Целые равны. $\frac{5}{7}$ и $\frac{3}{8}$: $5 \cdot 8 = 40 > 7 \cdot 3 = 21$. $2\frac{5}{7} > 2\frac{3}{8}$.
2. $4 < 5$: $4\frac{1}{3} < 5\frac{1}{4}$.
3. Целые равны. $\frac{4}{5} > \frac{1}{2}$ (4 больше половины от 5). $3\frac{4}{5} > 3\frac{1}{2}$.
4. $9 < 10$: $9\frac{5}{6} < 10\frac{1}{6}$.
5. $5 > 4$: $5\frac{1}{6} > 4\frac{2}{3}$.
6. Целые равны. $\frac{5}{6}$ и $\frac{2}{7}$: $35 > 12$. $6\frac{5}{6} > 6\frac{2}{7}$.

Ответ: 1)

№ 488

1) Сравни: а) $\frac{3}{4}$ ч и 20 мин; б) $\frac{51}{100}$ кг и 590 г; в) $\frac{7}{10}$ км и 900 м. 2) Что тяжелее: а) $\frac{6}{8}$ м³ воды или $\frac{3}{4}$ м³ льда; б) $\frac{1}{2}$ см³ парафина или $\frac{5}{10}$ см³ свинца?

Как думать. В 1) переводим дробь в мелкие единицы. В 2) сначала сравниваем объёмы, а потом вспоминаем, какое вещество тяжелее.

Решение.

1. а) 1 ч = 60 мин; $\frac{3}{4}$ ч $= 60 : 4 \cdot 3 = 45$ мин. $45 > 20$. б) 1 кг = 1000 г; $\frac{51}{100}$ кг $= 1000 : 100 \cdot 51 = 510$ г. $510 < 590$. в) 1 км = 1000 м; $\frac{7}{10}$ км $= 700$ м. $700 < 900$.
2. а) $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ — объёмы равны. Лёд легче воды (он плавает), поэтому тяжелее вода. Справочно: 1 м³ воды весит около 1000 кг, 1 м³ льда — около 900 кг. б) $\frac{1}{2} = \frac{5}{10}$ — объёмы равны. Свинец намного тяжелее парафина (1 см³ свинца — около 11 г, парафина — меньше 1 г). Тяжелее свинец.

Ответ: 1) а) $\frac{3}{4}$ ч

№ 489

Тихий океан занимает $\frac{1}{2}$, Атлантический — $\frac{1}{4}$, Индийский — $\frac{1}{5}$ водной поверхности Земли. Сравни и запиши двойным неравенством.

Как думать. Числители одинаковые (по 1) — больше дробь с меньшим знаменателем.

Решение. $\frac{1}{5} < \frac{1}{4} < \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{5} < \frac{1}{4} < \frac{1}{2}$: больше всех Тихий океан, меньше всех Индийский.

🌟 Тихий океан один занимает половину всей воды на планете. В него поместились бы все материки Земли — и ещё место осталось бы!

№ 490

Вода составляет $\frac{13}{20}$ организма человека, $\frac{1}{2}$ организма животных и $\frac{3}{4}$ организма рыб. У кого воды больше, у кого меньше? Запиши двойным неравенством.

Как думать. Знаменатели 20, 2 и 4 — все делят 20. Приводим к 20.

Решение. $\frac{13}{20}$; $\frac{1}{2} = \frac{10}{20}$; $\frac{3}{4} = \frac{15}{20}$. По числителям: $10 < 13 < 15$.

Ответ: $\frac{1}{2} < \frac{13}{20} < \frac{3}{4}$: больше всего воды в организме рыб, меньше всего — в организме животных.

№ 491

Есть сосуды на 8 л и 5 л. Как налить из крана ровно 7 л?

Как думать. Задача на смекалку. Ищем, как получить 2 л: тогда $2 + 5 = 7$.

Решение. Записываем, сколько воды в сосудах (8 л; 5 л) после каждого шага.

1. Наполняем 5-литровый и выливаем в 8-литровый: (5; 0).
2. Снова наполняем 5-литровый: (5; 5).
3. Доливаем из него 8-литровый до краёв — туда войдёт ещё 3 л: (8; 2).
4. Выливаем воду из 8-литрового: (0; 2).
5. Переливаем 2 л в 8-литровый: (2; 0).
6. Наполняем 5-литровый и выливаем в 8-литровый: (7; 0).

Ответ: в 8-литровом сосуде окажется $2 + 5 = 7$ л.

Уровень C

№ 492

1) Не меняя знаменателя $\frac{12}{19}$, запиши дроби, которые меньше её в 2, 3, 4 и 6 раз. 2) Не меняя числителя $\frac{5}{24}$, запиши дроби, которые больше её в 2, 4, 6 и 8 раз.

Как думать. 1) Знаменатель тот же — уменьшаем числитель: делим 12. 2) Числитель тот же — чтобы дробь выросла, кусочки должны стать крупнее: делим знаменатель 24.

Решение.

1. $12 : 2 = 6$, $12 : 3 = 4$, $12 : 4 = 3$, $12 : 6 = 2$: $\frac{6}{19}$, $\frac{4}{19}$, $\frac{3}{19}$, $\frac{2}{19}$.
2. $24 : 2 = 12$, $24 : 4 = 6$, $24 : 6 = 4$, $24 : 8 = 3$: $\frac{5}{12}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{5}{4}$, $\frac{5}{3}$.

Проверка для 2): $\frac{5}{24}$ — это 5 кусочков по $\frac{1}{24}$; $\frac{5}{12}$ — 5 кусочков по $\frac{1}{12}$, а $\frac{1}{12}$ вдвое больше $\frac{1}{24}$. Верно.

Ответ: 1) $\frac{6}{19}$; $\frac{4}{19}$; $\frac{3}{19}$; $\frac{2}{19}$. 2) $\frac{5}{12}$; $\frac{5}{6}$; $\frac{5}{4}$; $\frac{5}{3}$.

№ 493

1) Запиши четыре дроби со знаменателем 9, которые больше $\frac{3}{7}$ и меньше $\frac{6}{7}$. 2) Запиши три дроби со знаменателем 7, которые больше $\frac{2}{5}$ и меньше $\frac{4}{5}$.

Как думать. Приводим всё к общему знаменателю и подбираем числители.

Решение.

1. Общий знаменатель 63: $\frac{3}{7} = \frac{27}{63}$, $\frac{6}{7} = \frac{54}{63}$, а $\frac{x}{9} = \frac{7x}{63}$. Нужно $27 < 7x < 54$. Подходят $x = 4$ (28), 5 (35), 6 (42), 7 (49). Получаем $\frac{4}{9}$, $\frac{5}{9}$, $\frac{6}{9}$, $\frac{7}{9}$.
2. Общий знаменатель 35: $\frac{2}{5} = \frac{14}{35}$, $\frac{4}{5} = \frac{28}{35}$, $\frac{x}{7} = \frac{5x}{35}$. Нужно $14 < 5x < 28$. Подходят $x = 3$ (15), 4 (20), 5 (25). Получаем $\frac{3}{7}$, $\frac{4}{7}$, $\frac{5}{7}$.

Ответ: 1) $\frac{4}{9}$, $\frac{5}{9}$, $\frac{6}{9}$, $\frac{7}{9}$; 2) $\frac{3}{7}$, $\frac{4}{7}$, $\frac{5}{7}$.

№ 494

Масса Меркурия — $\frac{3}{50}$, Венеры — $\frac{4}{5}$, Луны — $\frac{3}{250}$ массы Земли. Какое тело тяжелее всех, какое легче? Запиши двойным неравенством.

Как думать. 250 делится и на 50, и на 5 — его и берём общим знаменателем.

Решение.

1. Общий знаменатель 250: $\frac{3}{50} = \frac{15}{250}$; $\frac{4}{5} = \frac{200}{250}$; $\frac{3}{250}$.
2. Числители: $3 < 15 < 200$.

Ответ: $\frac{3}{250} < \frac{3}{50} < \frac{4}{5}$: больше всех масса Венеры, меньше всех — масса Луны.

№ 495

Сократи и сравни: 1) $\frac{115}{223}$ и $\frac{115,115}{223,223}$; 2) $\frac{117,117}{219,219}$ и $\frac{205,205}{365,365}$; 3) $\frac{224,224}{234,234}$ и $\frac{560,560}{605,605}$.

Как думать. Фокус: шестизначное число вида «abcabc» равно $abc \cdot 1001$. Например, $115,115 = 115 \cdot 1001$. Значит, такие дроби сокращаются на 1001.

Решение.

1. $\frac{115,115}{223,223} = \frac{115 \cdot 1001}{223 \cdot 1001} = \frac{115}{223}$. Дроби равны.
2. $\frac{117,117}{219,219} = \frac{117}{219} = \frac{39}{73}$ (сократили на 3). $\frac{205,205}{365,365} = \frac{205}{365} = \frac{41}{73}$ (сократили на 5). $\frac{39}{73} < \frac{41}{73}$.
3. $\frac{224,224}{234,234} = \frac{224}{234} = \frac{112}{117}$ (на 2). $\frac{560,560}{605,605} = \frac{560}{605} = \frac{112}{121}$ (на 5). Числители равны, $117 < 121$, поэтому $\frac{112}{117} > \frac{112}{121}$.

Ответ: 1) $=$; 2)

№ 496

Доля углерода: в древесине $\frac{1}{2}$, в антраците $\frac{9}{10}$, в торфе $\frac{3}{5}$, в угле $\frac{7}{10}$. Запиши по возрастанию.

Как думать. Все знаменатели делят 10 — приводим к десятым.

Решение. Древесина $\frac{5}{10}$, антрацит $\frac{9}{10}$, торф $\frac{6}{10}$, уголь $\frac{7}{10}$. По числителям: $5 < 6 < 7 < 9$.

Ответ: $\frac{1}{2} < \frac{3}{5} < \frac{7}{10} < \frac{9}{10}$ — древесина, торф, уголь, антрацит.

№ 497

Дархан выстрелил 12 раз и попал 8 раз, Нурлан выстрелил 15 раз и попал 9 раз. У кого результат лучше?

Как думать. Сравниваем не число попаданий, а долю попаданий от всех выстрелов. У Нурлана попаданий больше, но и выстрелов больше!

Решение.

1. Дархан: $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.
2. Нурлан: $\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$.
3. Общий знаменатель 15: $\frac{2}{3} = \frac{10}{15}$, $\frac{3}{5} = \frac{9}{15}$. $\frac{10}{15} > \frac{9}{15}$.

Ответ: лучше результат у Дархана ($\frac{2}{3} > \frac{3}{5}$).

№ 498

Дима, Жандос и Мади пробежали одно и то же расстояние за $\frac{4}{15}$ мин, $\frac{5}{12}$ мин и $\frac{1}{3}$ мин. Дима быстрее Мади, Жандос быстрее Димы. Кто сколько бежал?

Как думать. Быстрее тот, кто потратил меньше времени. Самый быстрый — Жандос, потом Дима, последний — Мади.

Решение.

1. Общий знаменатель 60: $\frac{4}{15} = \frac{16}{60}$, $\frac{5}{12} = \frac{25}{60}$, $\frac{1}{3} = \frac{20}{60}$.
2. По возрастанию: $\frac{4}{15} < \frac{1}{3} < \frac{5}{12}$.
3. Меньшее время — Жандос, среднее — Дима, большее — Мади.

Ответ: Жандос — $\frac{4}{15}$ мин, Дима — $\frac{1}{3}$ мин, Мади — $\frac{5}{12}$ мин.

№ 499

6 прыжков собаки по длине равны 11 прыжкам лисы. Пока собака делает 4 прыжка, лиса делает 7. Чья скорость больше? Запиши неравенством.

Как думать. Сравниваем, сколько каждая пробегает за одно и то же время. Расстояние меряем в «лисьих прыжках».

Решение.

1. Один прыжок собаки равен $\frac{11}{6}$ прыжка лисы.
2. За одно и то же время собака делает 4 прыжка: $4 \cdot \frac{11}{6} = \frac{44}{6} = 7\frac{2}{6} = 7\frac{1}{3}$ прыжка лисы.
3. Лиса за это время делает 7 своих прыжков.
4. $7\frac{1}{3} > 7$.

Ответ: скорость собаки больше: за одно и то же время собака пробегает $7\frac{1}{3}$ лисьих прыжка, а лиса — 7; $7\frac{1}{3} > 7$.

Шпаргалка

• $\frac{8}{11} > \frac{5}{11}$ — знаменатели равны.
• $\frac{6}{7} > \frac{6}{13}$ — числители равны.
• $3\frac{1}{7} > 2\frac{1}{5}$ — целая часть решает.
• Удобная мерка — половинка: $\frac{4}{9} < \frac{1}{2} < \frac{5}{8}$.

Мини-тест