3.8. Сложение и вычитание обыкновенных дробей

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава III: Обыкновенные дроби и действия над ними. Страницы 169–177.

Чему научишься

• Складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями — за секунду.
• Складывать дроби с разными знаменателями: сначала «переодеть» их в одинаковые доли.
• Вычитать дробь из целого: $1 - \frac{3}{10}$, $3 - \frac{2}{5}$.
• Решать задачи «на части»: сколько осталось, сколько сделали вместе, сколько налили трубы.

Разминка

Реши в уме, потом открой ответ.

• Половина квадрата плюс ещё четверть — сколько это четвертей? $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$, и ещё $\frac{1}{4}$: всего $\frac{3}{4}$.
• Сколько будет $\frac{2}{5} + \frac{3}{10}$? $\frac{2}{5} = \frac{4}{10}$, значит $\frac{4}{10} + \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$.
• А $\frac{1}{3} + \frac{1}{6}$? $\frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
• Отрезок $AB = \frac{7}{10}$ дм, кусок $AC = \frac{3}{10}$ дм. Чему равен $CB$? $\frac{7}{10} - \frac{3}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ дм.

💡 Заметил? Везде мы сначала делали доли одинаковыми, а потом считали только числители. В этом и весь секрет урока.

Разбираемся

Восьмые — это как яблоки

Знаменатель — это «название» долей: восьмые, пятые, десятые. Числитель — сколько таких долей взяли. 3 яблока плюс 2 яблока — 5 яблок. Так же и 3 восьмых плюс 2 восьмых — 5 восьмых.

📌 Знаменатели одинаковые — числители складываем (вычитаем), знаменатель оставляем: $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$, $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}$.

Ещё три примера:

• $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5}$ — вышло больше целого, выделяем целую часть;
• $\frac{5}{8} - \frac{3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ — ответ сокращаем;
• $1 - \frac{3}{10} = \frac{10}{10} - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$ — единицу записываем как $\frac{10}{10}$.

⚠️ Частая ошибка. Складывают и знаменатели: $\frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{5}{16}$. Проверь здравым смыслом: $\frac{5}{16}$ меньше, чем $\frac{3}{8} = \frac{6}{16}$. Сумма меньше слагаемого? Так не бывает!

Третьи и четвёртые — разного размера

Как сложить $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{3}$ пиццы? Кусочки разные, считать их вместе нельзя. Надо разрезать обе пиццы на одинаковые мелкие кусочки — на 12.

Так работает любой пример с разными знаменателями:

1. Ищем наименьший общий знаменатель — НОК знаменателей.
2. Делим его на каждый знаменатель — получаем дополнительный множитель.
3. Умножаем на него числитель и знаменатель дроби.
4. Складываем или вычитаем числители.
5. Сокращаем ответ и выделяем целую часть.

Давай посмотрим: $\frac{5}{12} + \frac{7}{15}$. НОК(12, 15) = 60, множители $60 : 12 = 5$ и $60 : 15 = 4$. Получаем $\frac{25}{60} + \frac{28}{60} = \frac{53}{60}$.

А $\frac{7}{12} - \frac{2}{9}$: НОК = 36, множители 3 и 4, $\frac{21}{36} - \frac{8}{36} = \frac{13}{36}$.

💡 Если больший знаменатель делится на меньший, он и есть общий: $\frac{7}{10} - \frac{3}{5} = \frac{7}{10} - \frac{6}{10} = \frac{1}{10}$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Ошибка почти всегда одна: умножили знаменатель, а числитель забыли. Попросите ребёнка писать множитель маленькой цифрой над дробью и проговаривать: «Общий знаменатель такой-то, множитель такой-то».

Целое минус дробь

$3 - \frac{2}{5}$ можно посчитать двумя путями:

• $3 = \frac{15}{5}$, тогда $\frac{15}{5} - \frac{2}{5} = \frac{13}{5} = 2\frac{3}{5}$;
• «разменять» одну единицу: $3 = 2\frac{5}{5}$, и $2\frac{5}{5} - \frac{2}{5} = 2\frac{3}{5}$.

Второй путь быстрее — как разменять купюру, чтобы отдать сдачу.

Переставляй как удобно

Для дробей работают те же законы, что для чисел. Слагаемые можно менять местами: $\frac{2}{9} + \frac{5}{9} = \frac{5}{9} + \frac{2}{9}$. И группировать скобками: $\left(\frac{1}{11} + \frac{5}{11}\right) + \frac{3}{11} = \frac{1}{11} + \left(\frac{5}{11} + \frac{3}{11}\right)$.

Удобно сначала собрать дроби с одинаковыми знаменателями, а потом всё остальное.

⚠️ Частая ошибка. Забыли сократить: $\frac{14}{24}$ вместо $\frac{7}{12}$. Перед ответом спроси себя: делятся ли числитель и знаменатель на 2, 3, 5?

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как сложить дроби с одинаковыми знаменателями? Сложить числители, знаменатель оставить: $\frac{1}{9} + \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.
• Как их вычитают? Из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, знаменатель тот же: $\frac{5}{7} - \frac{2}{7} = \frac{3}{7}$.
• Как сложить дроби с разными знаменателями? Привести к наименьшему общему знаменателю и сложить числители: $\frac{3}{8} + \frac{5}{6} = \frac{9}{24} + \frac{20}{24} = \frac{29}{24} = 1\frac{5}{24}$.
• А вычесть? Так же, только числители вычитаем: $\frac{7}{15} - \frac{5}{18} = \frac{42}{90} - \frac{25}{90} = \frac{17}{90}$.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 500

Посчитай устно: $\frac{2}{7} + \frac{1}{7}$; $\frac{9}{14} - \frac{5}{14}$; $\frac{5}{6} - \frac{1}{6}$; $\frac{5}{9} + \frac{2}{9}$; $\frac{13}{20} + \frac{11}{20}$; $\frac{17}{32} - \frac{15}{32}$; $\frac{41}{100} - \frac{33}{100}$; $\frac{8}{99} + \frac{2}{99}$.

Как думать. Знаменатели везде одинаковые — работаем только с числителями. В конце не забудь сократить.

Решение.

Ответ: 1) $\frac{3}{7}$; 2) $\frac{2}{7}$; 3) $\frac{2}{3}$; 4) $\frac{7}{9}$; 5) $1\frac{1}{5}$; 6) $\frac{1}{16}$; 7) $\frac{2}{25}$; 8) $\frac{10}{99}$.

Уровень A

№ 501

1) Круг разрезан на 12 секторов. По нему найди $\frac{1}{4} + \frac{1}{3}$. 2) Треугольник разрезан на 6 одинаковых треугольничков. По нему найди $\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$.

Как думать. Рисунок уже порезан на мелкие одинаковые доли — это и есть общий знаменатель. Просто пересчитай кусочки.

Решение.

1. Четверть — 3 синих сектора, треть — 4 красных. Вместе 7 из 12: $\frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{7}{12}$.
2. Половина треугольника — 3 треугольничка, треть — 2 (синие). Остаётся 1 красный: $\frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$.

Ответ: 1) $\frac{7}{12}$; 2) $\frac{1}{6}$.

№ 502

Вычисли: $\frac{3}{4} - \frac{1}{4}$; $\frac{5}{8} + \frac{3}{8}$; $\frac{7}{12} - \frac{5}{12}$; $\frac{8}{15} + \frac{2}{15}$; $\frac{3}{10} + \frac{1}{10}$; $\frac{17}{25} - \frac{12}{25}$; $\frac{1}{30} + \frac{7}{30}$; $\frac{28}{45} - \frac{13}{45}$.

Как думать. Тот же приём, что в № 500. Почти каждый ответ здесь сокращается — ищи общий делитель.

Решение.

1. $\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$;
2. $\frac{5}{8} + \frac{3}{8} = \frac{8}{8} = 1$;
3. $\frac{7}{12} - \frac{5}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$;
4. $\frac{8}{15} + \frac{2}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$;
5. $\frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$;
6. $\frac{17}{25} - \frac{12}{25} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$;
7. $\frac{1}{30} + \frac{7}{30} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$;
8. $\frac{28}{45} - \frac{13}{45} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$.

Ответ: 1) $\frac{1}{2}$; 2) 1; 3) $\frac{1}{6}$; 4) $\frac{2}{3}$; 5) $\frac{2}{5}$; 6) $\frac{1}{5}$; 7) $\frac{4}{15}$; 8) $\frac{1}{3}$.

№ 503

Вычисли: $\frac{5}{9} + \frac{13}{27}$; $\frac{3}{8} + \frac{5}{24}$; $\frac{5}{12} - \frac{13}{72}$; $\frac{3}{5} - \frac{1}{7}$; $\frac{5}{12} + \frac{1}{60}$; $\frac{9}{17} - \frac{19}{68}$; $\frac{9}{10} + \frac{4}{15}$; $\frac{4}{15} - \frac{11}{60}$.

Как думать. Сначала проверь: не делится ли больший знаменатель на меньший? Тогда он и есть общий. Так почти везде.

Решение.

1. 27 делится на 9: $\frac{15}{27} + \frac{13}{27} = \frac{28}{27} = 1\frac{1}{27}$;
2. 24 делится на 8: $\frac{9}{24} + \frac{5}{24} = \frac{14}{24} = \frac{7}{12}$;
3. 72 делится на 12: $\frac{30}{72} - \frac{13}{72} = \frac{17}{72}$;
4. общий знаменатель 35: $\frac{21}{35} - \frac{5}{35} = \frac{16}{35}$;
5. 60 делится на 12: $\frac{25}{60} + \frac{1}{60} = \frac{26}{60} = \frac{13}{30}$;
6. 68 делится на 17: $\frac{36}{68} - \frac{19}{68} = \frac{17}{68} = \frac{1}{4}$;
7. общий знаменатель 30: $\frac{27}{30} + \frac{8}{30} = \frac{35}{30} = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$;
8. 60 делится на 15: $\frac{16}{60} - \frac{11}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$.

Ответ: 1) $1\frac{1}{27}$; 2) $\frac{7}{12}$; 3) $\frac{17}{72}$; 4) $\frac{16}{35}$; 5) $\frac{13}{30}$; 6) $\frac{1}{4}$; 7) $1\frac{1}{6}$; 8) $\frac{1}{12}$.

№ 504

1) Путник прошёл $\frac{5}{8}$ пути. Сколько осталось? 2) Вода покрывает $\frac{7}{10}$ поверхности Земли. Какая часть приходится на сушу?

Как думать. Весь путь и вся поверхность — это одно целое, то есть 1.

Решение.

1. $1 - \frac{5}{8} = \frac{8}{8} - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$.
2. $1 - \frac{7}{10} = \frac{10}{10} - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$.

🌟 Вот почему Землю называют «голубой планетой»: суши на ней всего $\frac{3}{10}$, остальное — вода.

Ответ: 1) $\frac{3}{8}$ пути; 2) $\frac{3}{10}$ поверхности.

№ 505

Лодка проходит расстояние по озеру за 3 ч, а по течению реки — за 2 ч. Какую часть этого расстояния плот проплывёт по реке за 1 ч?

Как думать. В озере течения нет — лодка плывёт своим ходом. По течению река ей помогает. А плот сам не плывёт: его несёт только течение.

Решение.

1. По озеру за 1 ч лодка проходит $\frac{1}{3}$ расстояния.
2. По течению за 1 ч — $\frac{1}{2}$ расстояния.
3. Разница — это «работа» течения: $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$. Столько и проплывёт плот.

Ответ: $\frac{1}{6}$ расстояния.

№ 506

У домбры головка $\frac{1}{10}$ м, гриф $\frac{1}{2}$ м, дека $\frac{2}{5}$ м. Какой длины вся домбра?

Как думать. Складываем три дроби. 10 делится и на 2, и на 5 — значит, общий знаменатель 10.

Решение. $\frac{1}{10} + \frac{1}{2} + \frac{2}{5} = \frac{1}{10} + \frac{5}{10} + \frac{4}{10} = \frac{10}{10} = 1$ м.

Ответ: 1 м.

№ 507

Реши уравнения: 1) $x + \frac{7}{12} = \frac{3}{4}$; 2) $x - \frac{1}{6} = \frac{1}{9}$; 3) $x - \frac{3}{5} = \frac{3}{8}$; 4) $x + \frac{5}{24} = \frac{7}{12}$; 5) $y + \frac{2}{7} = \frac{1}{3}$; 6) $x - \frac{1}{6} = \frac{7}{9}$; 7) $y - \frac{3}{8} = \frac{5}{32}$; 8) $y + \frac{2}{5} = \frac{1}{2}$.

Как думать. Неизвестное слагаемое = сумма минус известное слагаемое. Неизвестное уменьшаемое = разность плюс вычитаемое.

Решение.

1. $x = \frac{3}{4} - \frac{7}{12} = \frac{9}{12} - \frac{7}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$;
2. $x = \frac{1}{9} + \frac{1}{6} = \frac{2}{18} + \frac{3}{18} = \frac{5}{18}$;
3. $x = \frac{3}{8} + \frac{3}{5} = \frac{15}{40} + \frac{24}{40} = \frac{39}{40}$;
4. $x = \frac{7}{12} - \frac{5}{24} = \frac{14}{24} - \frac{5}{24} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$;
5. $y = \frac{1}{3} - \frac{2}{7} = \frac{7}{21} - \frac{6}{21} = \frac{1}{21}$;
6. $x = \frac{7}{9} + \frac{1}{6} = \frac{14}{18} + \frac{3}{18} = \frac{17}{18}$;
7. $y = \frac{5}{32} + \frac{3}{8} = \frac{5}{32} + \frac{12}{32} = \frac{17}{32}$;
8. $y = \frac{1}{2} - \frac{2}{5} = \frac{5}{10} - \frac{4}{10} = \frac{1}{10}$.

Проверим первое: $\frac{1}{6} + \frac{7}{12} = \frac{2}{12} + \frac{7}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ ✓.

Ответ: 1) $\frac{1}{6}$; 2) $\frac{5}{18}$; 3) $\frac{39}{40}$; 4) $\frac{3}{8}$; 5) $\frac{1}{21}$; 6) $\frac{17}{18}$; 7) $\frac{17}{32}$; 8) $\frac{1}{10}$.

Уровень B

№ 508

Сначала сократи дроби, потом вычисли: $\frac{3}{12} + \frac{25}{30}$; $\frac{10}{24} - \frac{21}{54}$; $\frac{30}{54} + \frac{22}{30}$; $\frac{28}{40} - \frac{10}{75}$; $\frac{12}{27} + \frac{14}{21}$; $\frac{14}{24} - \frac{15}{40}$; $\frac{12}{18} - \frac{5}{60}$; $\frac{4}{24} + \frac{3}{36}$.

Как думать. После сокращения знаменатели становятся маленькими, и общий знаменатель находится легко.

Решение.

1. $\frac{1}{4} + \frac{5}{6} = \frac{3}{12} + \frac{10}{12} = \frac{13}{12} = 1\frac{1}{12}$;
2. $\frac{5}{12} - \frac{7}{18} = \frac{15}{36} - \frac{14}{36} = \frac{1}{36}$;
3. $\frac{5}{9} + \frac{11}{15} = \frac{25}{45} + \frac{33}{45} = \frac{58}{45} = 1\frac{13}{45}$;
4. $\frac{7}{10} - \frac{2}{15} = \frac{21}{30} - \frac{4}{30} = \frac{17}{30}$;
5. $\frac{4}{9} + \frac{2}{3} = \frac{4}{9} + \frac{6}{9} = \frac{10}{9} = 1\frac{1}{9}$;
6. $\frac{7}{12} - \frac{3}{8} = \frac{14}{24} - \frac{9}{24} = \frac{5}{24}$;
7. $\frac{2}{3} - \frac{1}{12} = \frac{8}{12} - \frac{1}{12} = \frac{7}{12}$;
8. $\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.

Ответ: 1) $1\frac{1}{12}$; 2) $\frac{1}{36}$; 3) $1\frac{13}{45}$; 4) $\frac{17}{30}$; 5) $1\frac{1}{9}$; 6) $\frac{5}{24}$; 7) $\frac{7}{12}$; 8) $\frac{1}{4}$.

№ 509

Вычисли: $\frac{1}{5} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3}$; $\frac{1}{2} + \frac{3}{5} - \frac{2}{3}$; $\frac{5}{6} + \frac{3}{8} - \frac{1}{4}$; $\frac{5}{9} + \frac{1}{6} + \frac{3}{4}$; $\frac{1}{3} + \frac{4}{9} + \frac{5}{6}$; $\frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{3}{10}$.

Как думать. Ищем один общий знаменатель сразу для всех трёх дробей. Потом считаем числители слева направо.

Решение.

1. общий знаменатель 45: $\frac{9}{45} + \frac{5}{45} + \frac{15}{45} = \frac{29}{45}$;
2. 30: $\frac{15}{30} + \frac{18}{30} - \frac{20}{30} = \frac{13}{30}$;
3. 24: $\frac{20}{24} + \frac{9}{24} - \frac{6}{24} = \frac{23}{24}$;
4. 36: $\frac{20}{36} + \frac{6}{36} + \frac{27}{36} = \frac{53}{36} = 1\frac{17}{36}$;
5. 18: $\frac{6}{18} + \frac{8}{18} + \frac{15}{18} = \frac{29}{18} = 1\frac{11}{18}$;
6. 20: $\frac{5}{20} + \frac{4}{20} - \frac{6}{20} = \frac{3}{20}$.

Ответ: 1) $\frac{29}{45}$; 2) $\frac{13}{30}$; 3) $\frac{23}{24}$; 4) $1\frac{17}{36}$; 5) $1\frac{11}{18}$; 6) $\frac{3}{20}$.

№ 510

Вычисли (сначала скобки): $\left(\frac{7}{15} - \frac{1}{6}\right) + \frac{2}{5}$; $\left(\frac{3}{8} - \frac{1}{9}\right) + \frac{25}{36}$; $\left(\frac{8}{9} - \frac{5}{6}\right) + \frac{2}{3}$; $\left(\frac{7}{8} - \frac{13}{20}\right) + \frac{9}{10}$; $\left(\frac{7}{18} - \frac{1}{12}\right) + \frac{5}{6}$; $\left(\frac{3}{4} - \frac{8}{15}\right) + \frac{17}{20}$.

Как думать. Два действия подряд. Каждое — обычное сложение или вычитание дробей.

Решение.

1. $\frac{14}{30} - \frac{5}{30} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$; $\frac{3}{10} + \frac{4}{10} = \frac{7}{10}$;
2. $\frac{27}{72} - \frac{8}{72} = \frac{19}{72}$; $\frac{19}{72} + \frac{50}{72} = \frac{69}{72} = \frac{23}{24}$;
3. $\frac{16}{18} - \frac{15}{18} = \frac{1}{18}$; $\frac{1}{18} + \frac{12}{18} = \frac{13}{18}$;
4. $\frac{35}{40} - \frac{26}{40} = \frac{9}{40}$; $\frac{9}{40} + \frac{36}{40} = \frac{45}{40} = \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8}$;
5. $\frac{14}{36} - \frac{3}{36} = \frac{11}{36}$; $\frac{11}{36} + \frac{30}{36} = \frac{41}{36} = 1\frac{5}{36}$;
6. $\frac{45}{60} - \frac{32}{60} = \frac{13}{60}$; $\frac{13}{60} + \frac{51}{60} = \frac{64}{60} = \frac{16}{15} = 1\frac{1}{15}$.

Ответ: 1) $\frac{7}{10}$; 2) $\frac{23}{24}$; 3) $\frac{13}{18}$; 4) $1\frac{1}{8}$; 5) $1\frac{5}{36}$; 6) $1\frac{1}{15}$.

№ 511

Заполни звёздочки (знаменатели взаимно простые): 1) $\frac{1}{3} + \frac{1}{} = \frac{* + }{15}$; 2) $\frac{1}{} + \frac{1}{9} = \frac{* + }{45}$; 3) $\frac{1}{7} + \frac{1}{} = \frac{* + }{28}$; 4) $\frac{1}{} + \frac{1}{8} = \frac{* + }{24}$; 5) $\frac{1}{3} + \frac{1}{} = \frac{* + }{6}$; 6) $\frac{1}{} + \frac{1}{7} = \frac{* + }{42}$.

Как думать. У взаимно простых знаменателей общий знаменатель — их произведение. Значит, пропущенный знаменатель = общий : известный. А в числителе суммы $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{n + m}{m \cdot n}$ стоят сами знаменатели «крест-накрест».

Решение.

1. $15 : 3 = 5$: $\frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{5 + 3}{15} = \frac{8}{15}$;
2. $45 : 9 = 5$: $\frac{1}{5} + \frac{1}{9} = \frac{9 + 5}{45} = \frac{14}{45}$;
3. $28 : 7 = 4$: $\frac{1}{7} + \frac{1}{4} = \frac{4 + 7}{28} = \frac{11}{28}$;
4. $24 : 8 = 3$: $\frac{1}{3} + \frac{1}{8} = \frac{8 + 3}{24} = \frac{11}{24}$;
5. $6 : 3 = 2$: $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2 + 3}{6} = \frac{5}{6}$;
6. $42 : 7 = 6$: $\frac{1}{6} + \frac{1}{7} = \frac{7 + 6}{42} = \frac{13}{42}$.

Ответ: 1) $\frac{8}{15}$; 2) $\frac{14}{45}$; 3) $\frac{11}{28}$; 4) $\frac{11}{24}$; 5) $\frac{5}{6}$; 6) $\frac{13}{42}$.

№ 512

На луче от точки $\frac{7}{10}$ стрелка «$-x$» ведёт влево к точке $\frac{1}{5}$, а стрелка «$+\frac{4}{5}$» — вправо к точке $y$. Найди $x$ и $y$.

Как думать. Если от $\frac{7}{10}$ отняли $x$ и попали в $\frac{1}{5}$, то $x$ — расстояние между этими точками. А $y$ — это $\frac{7}{10}$ плюс $\frac{4}{5}$.

Решение.

1. $x = \frac{7}{10} - \frac{1}{5} = \frac{7}{10} - \frac{2}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
2. $y = \frac{7}{10} + \frac{4}{5} = \frac{7}{10} + \frac{8}{10} = \frac{15}{10} = 1\frac{1}{2}$.

На рисунке $y$ стоит между 1 и 2 — всё сходится.

Ответ: $x = \frac{1}{2}$, $y = 1\frac{1}{2}$.

№ 513

Посчитай удобно, переставляя слагаемые: 1) $\left(\frac{5}{21} + \frac{2}{15}\right) + \frac{2}{21}$; 2) $\left(\frac{2}{35} + \frac{3}{28}\right) + \frac{1}{28}$; 3) $\left(\frac{7}{30} + \frac{8}{45}\right) + \left(\frac{2}{45} + \frac{1}{30}\right)$; 4) $\left(\frac{5}{24} + \frac{11}{60}\right) + \left(\frac{13}{60} + \frac{1}{24}\right)$.

Как думать. Собери вместе дроби с одинаковыми знаменателями. Они складываются сразу и часто красиво сокращаются.

Решение.

1. $\left(\frac{5}{21} + \frac{2}{21}\right) + \frac{2}{15} = \frac{7}{21} + \frac{2}{15} = \frac{1}{3} + \frac{2}{15} = \frac{5}{15} + \frac{2}{15} = \frac{7}{15}$;
2. $\frac{2}{35} + \left(\frac{3}{28} + \frac{1}{28}\right) = \frac{2}{35} + \frac{4}{28} = \frac{2}{35} + \frac{1}{7} = \frac{2}{35} + \frac{5}{35} = \frac{7}{35} = \frac{1}{5}$;
3. $\left(\frac{7}{30} + \frac{1}{30}\right) + \left(\frac{8}{45} + \frac{2}{45}\right) = \frac{8}{30} + \frac{10}{45} = \frac{4}{15} + \frac{2}{9} = \frac{12}{45} + \frac{10}{45} = \frac{22}{45}$;
4. $\left(\frac{5}{24} + \frac{1}{24}\right) + \left(\frac{11}{60} + \frac{13}{60}\right) = \frac{6}{24} + \frac{24}{60} = \frac{1}{4} + \frac{2}{5} = \frac{5}{20} + \frac{8}{20} = \frac{13}{20}$.

Ответ: 1) $\frac{7}{15}$; 2) $\frac{1}{5}$; 3) $\frac{22}{45}$; 4) $\frac{13}{20}$.

№ 514

Из бидона отлили $\frac{1}{2}$ молока в кувшин, $\frac{1}{3}$ — в банку и $\frac{1}{6}$ — в пиалу. Осталось ли что-нибудь в бидоне?

Как думать. Сложим всё, что отлили, и сравним с целым бидоном.

Решение. $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$. Отлили ровно весь бидон.

Ответ: нет, молока в бидоне не осталось.

№ 515

Из приехавших туристов $\frac{4}{5}$ знают английский, $\frac{1}{3}$ — немецкий. Какая часть знает оба языка?

Как думать. Считаем, что каждый турист знает хотя бы один из двух языков. Если сложить доли, тех, кто знает оба, мы посчитаем дважды. Поэтому сумма выйдет больше целого.

Решение.

1. $\frac{4}{5} + \frac{1}{3} = \frac{12}{15} + \frac{5}{15} = \frac{17}{15}$.
2. Это больше всех туристов ($\frac{15}{15}$) на $\frac{17}{15} - \frac{15}{15} = \frac{2}{15}$.
3. Эти лишние $\frac{2}{15}$ — те, кого посчитали два раза.

Ответ: $\frac{2}{15}$ туристов знают оба языка.

№ 516

Сканер за первый час обработал $\frac{2}{5}$ книги, за второй — $\frac{1}{3}$, за третий — остальное. Какую часть отсканировали за третий час?

Решение.

1. За два часа: $\frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{11}{15}$.
2. За третий час: $1 - \frac{11}{15} = \frac{4}{15}$.

Ответ: $\frac{4}{15}$ произведения.

№ 517

Марат поймал двух рыб. Одна весит $\frac{9}{10}$ кг, другая на $\frac{1}{5}$ кг меньше. Сколько весят обе?

Решение.

1. Вторая рыба: $\frac{9}{10} - \frac{1}{5} = \frac{9}{10} - \frac{2}{10} = \frac{7}{10}$ кг.
2. Обе: $\frac{9}{10} + \frac{7}{10} = \frac{16}{10} = 1\frac{6}{10} = 1\frac{3}{5}$ кг.

Ответ: $1\frac{3}{5}$ кг.

№ 518

Первая труба наполняет бассейн за 6 ч, вторая — за 8 ч, а через третью полный бассейн вытекает за 4 ч. Какая часть бассейна наполнится за 1 ч, если открыты все три?

Как думать. За 1 ч каждая труба делает свою долю работы. Третья не наливает, а выливает — её долю отнимаем.

Решение. $\frac{1}{6} + \frac{1}{8} - \frac{1}{4} = \frac{4}{24} + \frac{3}{24} - \frac{6}{24} = \frac{1}{24}$.

Ответ: $\frac{1}{24}$ объёма бассейна.

👨‍👩‍👧 Родителю. Все задачи «на работу» (трубы, мастер и ученик) держатся на одной мысли: если всё делается за $n$ часов, то за 1 час — $\frac{1}{n}$ работы. Пусть ребёнок пишет это первой строкой решения.

№ 519

Нарисуй одним росчерком фигуру из четырёх пересекающихся окружностей: центральной и трёх вокруг неё.

Как думать. Фигуру можно обвести, не отрывая карандаша, если в каждой точке пересечения сходится чётное число линий. Сколько раз в точку вошёл, столько раз из неё и вышел.

Решение. Точки пересечения: $A$, $B$, $C$ на центральной окружности и её центр $O$. В каждой встречаются три окружности, то есть 6 линий — чётное число. Значит, обвести можно. Например так:

1. Ставим карандаш в $A$ и обводим всю правую верхнюю окружность — возвращаемся в $A$.
2. Из $A$ обводим всю левую верхнюю окружность — снова в $A$.
3. Идём по центральной окружности от $A$ к $B$.
4. Из $B$ обводим всю нижнюю окружность — возвращаемся в $B$.
5. По центральной окружности идём от $B$ через $C$ обратно в $A$.

Ответ: да, можно; маршрут — выше. Карандаш начинает и заканчивает в одной точке.

№ 520

Подставь пропущенные цифры так, чтобы всё делилось нацело, и найди частное: 1) $(21,0□5 + 43,12□ + 103,□25) : 15$; 2) $(270,13□ + 94□,125 + 1□2,165) : 45$.

Как думать. Подбираем цифры так, чтобы каждое слагаемое делилось на делитель. На 15 делится то, что делится на 3 и на 5. На 45 — то, что делится на 9 и на 5.

Решение.

1. Делитель 15.

• $21,0□5$ оканчивается на 5. Сумма цифр $2 + 1 + 0 + 5 = 8$, нужна кратная 3: подходит 1 (сумма 9). Число 21 015.
• $43,12□$: последняя цифра 0 или 5. Сумма $4 + 3 + 1 + 2 = 10$, с цифрой 5 будет 15 — делится на 3. Число 43 125.
• $103,□25$: сумма $1 + 0 + 3 + 2 + 5 = 11$, подходит 1 (сумма 12). Число 103 125.
• Сумма: $21,015 + 43,125 + 103,125 = 167,265$; $167,265 : 15 = 11,151$.

(В первом и третьем числах подошли бы и 4 или 7 — берём наименьшую, 1.)

2. Делитель 45.

• $270,13□$: последняя цифра 0 или 5; сумма $2 + 7 + 0 + 1 + 3 = 13$, с цифрой 5 будет 18 — делится на 9. Число 270 135.
• $94□,125$: сумма $9 + 4 + 1 + 2 + 5 = 21$, до 27 не хватает 6. Число 946 125.
• $1□2,165$: сумма $1 + 2 + 1 + 6 + 5 = 15$, до 18 не хватает 3. Число 132 165.
• Сумма: $270,135 + 946,125 + 132,165 = 1,348,425$; $1,348,425 : 45 = 29,965$.

Ответ: 1) 11 151; 2) 29 965.

Уровень C

№ 521

Восстанови дроби (знаменатели взаимно простые): 1) $\frac{2}{} + \frac{}{4} = \frac{ + 5}{20}$; 2) $\frac{4}{} + \frac{}{3} = \frac{* + 14}{21}$; 3) $\frac{}{11} + \frac{1}{} = \frac{6 + }{22}$; 4) $\frac{2}{} + \frac{}{8} = \frac{ + 15}{40}$; 5) $\frac{3}{} + \frac{}{5} = \frac{* + 28}{35}$; 6) $\frac{}{9} + \frac{1}{} = \frac{10 + }{45}$.

Как думать. Общий знаменатель — произведение знаменателей. Отсюда находим пропущенный знаменатель. Потом по числителю суммы — пропущенный числитель.

Решение.

1. $20 : 4 = 5$, $\frac{2}{5} = \frac{8}{20}$. $\frac{}{4} = \frac{5}{20}$, значит $ = 1$. $\frac{2}{5} + \frac{1}{4} = \frac{8 + 5}{20} = \frac{13}{20}$.
2. $21 : 3 = 7$, $\frac{4}{7} = \frac{12}{21}$. $\frac{}{3} = \frac{14}{21}$, $ = 2$. $\frac{4}{7} + \frac{2}{3} = \frac{12 + 14}{21} = \frac{26}{21} = 1\frac{5}{21}$.
3. $22 : 11 = 2$, $\frac{}{11} = \frac{6}{22}$, $ = 3$; $\frac{1}{2} = \frac{11}{22}$. $\frac{3}{11} + \frac{1}{2} = \frac{6 + 11}{22} = \frac{17}{22}$.
4. $40 : 8 = 5$, $\frac{2}{5} = \frac{16}{40}$. $\frac{}{8} = \frac{15}{40}$, $ = 3$. $\frac{2}{5} + \frac{3}{8} = \frac{16 + 15}{40} = \frac{31}{40}$.
5. $35 : 5 = 7$, $\frac{3}{7} = \frac{15}{35}$. $\frac{}{5} = \frac{28}{35}$, $ = 4$. $\frac{3}{7} + \frac{4}{5} = \frac{15 + 28}{35} = \frac{43}{35} = 1\frac{8}{35}$.
6. $45 : 9 = 5$, $\frac{}{9} = \frac{10}{45}$, $ = 2$; $\frac{1}{5} = \frac{9}{45}$. $\frac{2}{9} + \frac{1}{5} = \frac{10 + 9}{45} = \frac{19}{45}$.

Ответ: 1) $\frac{2}{5} + \frac{1}{4} = \frac{13}{20}$; 2) $\frac{4}{7} + \frac{2}{3} = 1\frac{5}{21}$; 3) $\frac{3}{11} + \frac{1}{2} = \frac{17}{22}$; 4) $\frac{2}{5} + \frac{3}{8} = \frac{31}{40}$; 5) $\frac{3}{7} + \frac{4}{5} = 1\frac{8}{35}$; 6) $\frac{2}{9} + \frac{1}{5} = \frac{19}{45}$.

№ 522

Сложи дроби с буквами: $\frac{9}{c} + \frac{5}{c}$; $\frac{a}{c} + \frac{4}{c}$; $\frac{a}{c} + \frac{b}{3c}$; $\frac{1}{c} + \frac{3}{2c}$; $\frac{d}{ac} + \frac{c}{ad}$; $\frac{2a}{3c} + \frac{a}{6c}$.

Как думать. Правила те же, что для чисел. Общий знаменатель ищем так же: для $c$ и $3c$ это $3c$.

Решение.

1. $\frac{9}{c} + \frac{5}{c} = \frac{14}{c}$;
2. $\frac{a}{c} + \frac{4}{c} = \frac{a + 4}{c}$;
3. множитель 3 к первой дроби: $\frac{3a}{3c} + \frac{b}{3c} = \frac{3a + b}{3c}$;
4. множитель 2 к первой дроби: $\frac{2}{2c} + \frac{3}{2c} = \frac{5}{2c}$;
5. общий знаменатель $acd$; к первой дроби множитель $d$, ко второй $c$: $\frac{d \cdot d}{acd} + \frac{c \cdot c}{acd} = \frac{d \cdot d + c \cdot c}{acd}$;
6. множитель 2 к первой дроби: $\frac{4a}{6c} + \frac{a}{6c} = \frac{5a}{6c}$.

Ответ: 1) $\frac{14}{c}$; 2) $\frac{a + 4}{c}$; 3) $\frac{3a + b}{3c}$; 4) $\frac{5}{2c}$; 5) $\frac{d \cdot d + c \cdot c}{acd}$; 6) $\frac{5a}{6c}$.

№ 523

Реши уравнения и проверь: 1) $\frac{1}{3x} + \frac{1}{x} = \frac{4}{15}$; 2) $\frac{1}{x} - \frac{1}{7x} = \frac{2}{7}$; 3) $\frac{1}{4x} + \frac{1}{x} = \frac{5}{16}$; 4) $\frac{1}{x} - \frac{1}{9x} = \frac{2}{9}$; 5) $\frac{1}{8x} + \frac{1}{x} = \frac{3}{8}$; 6) $\frac{1}{x} - \frac{1}{5x} = \frac{2}{15}$.

Как думать. Задача повышенной трудности. Собираем левую часть в одну дробь. Потом делаем числители справа и слева одинаковыми — тогда равны и знаменатели.

Решение.

1. $\frac{1}{3x} + \frac{3}{3x} = \frac{4}{3x} = \frac{4}{15}$, значит $3x = 15$, $x = 5$. Проверка: $\frac{1}{15} + \frac{3}{15} = \frac{4}{15}$ ✓.
2. $\frac{7}{7x} - \frac{1}{7x} = \frac{6}{7x}$; $\frac{2}{7} = \frac{6}{21}$, значит $7x = 21$, $x = 3$. Проверка: $\frac{7}{21} - \frac{1}{21} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$ ✓.
3. $\frac{1}{4x} + \frac{4}{4x} = \frac{5}{4x} = \frac{5}{16}$, $4x = 16$, $x = 4$. Проверка: $\frac{1}{16} + \frac{4}{16} = \frac{5}{16}$ ✓.
4. $\frac{9}{9x} - \frac{1}{9x} = \frac{8}{9x}$; $\frac{2}{9} = \frac{8}{36}$, $9x = 36$, $x = 4$. Проверка: $\frac{9}{36} - \frac{1}{36} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$ ✓.
5. $\frac{1}{8x} + \frac{8}{8x} = \frac{9}{8x}$; $\frac{3}{8} = \frac{9}{24}$, $8x = 24$, $x = 3$. Проверка: $\frac{1}{24} + \frac{8}{24} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$ ✓.
6. $\frac{5}{5x} - \frac{1}{5x} = \frac{4}{5x}$; $\frac{2}{15} = \frac{4}{30}$, $5x = 30$, $x = 6$. Проверка: $\frac{5}{30} - \frac{1}{30} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}$ ✓.

Ответ: 1) 5; 2) 3; 3) 4; 4) 4; 5) 3; 6) 6.

№ 524

В кувшине 6 л молока. Есть ещё два пустых сосуда: на $3\frac{1}{2}$ л и на $2\frac{1}{2}$ л. Как оставить в кувшине ровно 4 л?

Как думать. Переливаем и после каждого шага записываем, сколько где молока. Удобно вести таблицу.

Решение.

Проверка: в каждой строке всего 6 л.

Ответ: за 7 переливаний, как в таблице; в кувшине остаётся 4 л.

№ 525

Докажи, что разности равны 0: 1) $\frac{4444 \cdot 4444}{1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1} - \frac{5555 \cdot 5555}{1 + 2 + \ldots + 5 + \ldots + 2 + 1}$; 2) $\frac{22222 \cdot 22222}{1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1} - \frac{33333 \cdot 33333}{1 + 2 + \ldots + 6 + \ldots + 2 + 1}$.

Как думать. Есть красивый фокус: $1 + 2 + \ldots + n + \ldots + 2 + 1 = n \cdot n$. Проверь сам: $1 + 2 + 1 = 4 = 2 \cdot 2$, $1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9 = 3 \cdot 3$.

Решение.

1. В знаменателях $4 \cdot 4 = 16$ и $5 \cdot 5 = 25$. $4444 = 4 \cdot 1111$, поэтому $\frac{4444 \cdot 4444}{16} = \frac{4 \cdot 4 \cdot 1111 \cdot 1111}{16} = 1111 \cdot 1111$. $5555 = 5 \cdot 1111$, поэтому $\frac{5555 \cdot 5555}{25} = \frac{5 \cdot 5 \cdot 1111 \cdot 1111}{25} = 1111 \cdot 1111$. Уменьшаемое равно вычитаемому — разность 0.
2. В знаменателях 16 и $6 \cdot 6 = 36$. $22222 = 2 \cdot 11111$: $\frac{22222 \cdot 22222}{16} = \frac{4 \cdot 11111 \cdot 11111}{16} = \frac{11111 \cdot 11111}{4}$. $33333 = 3 \cdot 11111$: $\frac{33333 \cdot 33333}{36} = \frac{9 \cdot 11111 \cdot 11111}{36} = \frac{11111 \cdot 11111}{4}$. Дроби равны — разность 0.

Ответ: в обоих случаях уменьшаемое равно вычитаемому, поэтому разность равна 0.

№ 526

Мастер делает заказ за 5 ч, ученик — за 7 ч. Мастер работал 2 ч, ученик — 3 ч. Какая часть заказа осталась?

Как думать. Задача «на работу»: за 1 ч мастер делает $\frac{1}{5}$ заказа, ученик — $\frac{1}{7}$.

Решение.

1. Мастер за 2 ч: $\frac{2}{5}$ заказа.
2. Ученик за 3 ч: $\frac{3}{7}$ заказа.
3. Вместе: $\frac{2}{5} + \frac{3}{7} = \frac{14}{35} + \frac{15}{35} = \frac{29}{35}$.
4. Осталось: $1 - \frac{29}{35} = \frac{6}{35}$.

Ответ: $\frac{6}{35}$ заказа.

№ 527

На контрольной $\frac{1}{6}$ класса получили «5», $\frac{1}{3}$ — «4». Это 15 учеников. Сколько всего писали работу?

Как думать. Узнаем, какую часть класса составляют эти 15 человек.

Решение.

1. $\frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ класса.
2. Половина — 15 учеников, значит весь класс $15 \cdot 2 = 30$.

Ответ: 30 учеников.

№ 528

В рассказе глаголы — $\frac{2}{15}$ всех слов, а существительных на $\frac{1}{6}$ (всех слов) больше. Существительных 36. Сколько всего слов и сколько глаголов?

Как думать. Сначала узнаём, какую долю всех слов составляют существительные. Потом по доле и числу находим целое.

Решение. Существительные — $\frac{3}{10}$ слов, это 36. Всего $36 : 3 \cdot 10 = 120$ слов, глаголов $120 : 15 \cdot 2 = 16$.

Ответ: всего 120 слов, глаголов 16.

№ 529

Отец идёт на 240 м впереди Ербола со скоростью 70 м/мин. Ербол бежит следом со скоростью 130 м/мин. Собака носится между ними со скоростью 160 м/мин, пока Ербол не догонит отца. Сколько метров пробежала собака?

Как думать. Задача на смекалку. Пробеги собаки туда-сюда считать не нужно. Достаточно узнать, сколько времени она бегала.

Решение.

1. Ербол догоняет отца со скоростью $130 - 70 = 60$ м/мин.
2. Догонит за $240 : 60 = 4$ мин.
3. Собака все 4 минуты бегала: $160 \cdot 4 = 640$ м.

Ответ: 640 м.

№ 530

Брусок $7 \times 6 \times 4$ дм пробит насквозь прямоугольным отверстием. На передней грани от отверстия до каждого края по 2 дм. Найди объём фигуры.

Как думать. Из объёма целого бруска вычтем объём «дырки». Дырка — тоже прямоугольный параллелепипед.

Решение.

1. Целый брусок: $7 \cdot 6 \cdot 4 = 168$ дм³.
2. Отверстие: ширина $7 - 2 - 2 = 3$ дм, высота $6 - 2 - 2 = 2$ дм, глубина 4 дм. Объём $3 \cdot 2 \cdot 4 = 24$ дм³.
3. Фигура: $168 - 24 = 144$ дм³.

Ответ: 144 дм³.

№ 531

Найди $a$ с помощью основного свойства дроби: 1) $\frac{18}{a + 23} = \frac{3}{5}$; 2) $\frac{4}{7} = \frac{8 + 2a}{21}$; 3) $\frac{5}{12} = \frac{30}{44 + 7a}$; 4) $\frac{1}{9} = \frac{5a - 14}{54}$; 5) $\frac{3}{8} = \frac{21}{4(a + 8)}$; 6) $\frac{14}{45} = \frac{7(a - 5)}{90}$.

Как думать. Смотрим, во сколько раз известный член одной дроби больше такого же члена другой. Во столько же раз отличается и второй член. Например, $\frac{8}{15} = \frac{24}{4a + 9}$: $24 : 8 = 3$, значит $4a + 9 = 45$, $a = 9$.

Решение.

1. $18 : 3 = 6$, значит $a + 23 = 5 \cdot 6 = 30$, $a = 7$;
2. $21 : 7 = 3$, значит $8 + 2a = 4 \cdot 3 = 12$, $2a = 4$, $a = 2$;
3. $30 : 5 = 6$, значит $44 + 7a = 12 \cdot 6 = 72$, $7a = 28$, $a = 4$;
4. $54 : 9 = 6$, значит $5a - 14 = 1 \cdot 6 = 6$, $5a = 20$, $a = 4$;
5. $21 : 3 = 7$, значит $4(a + 8) = 8 \cdot 7 = 56$, $a + 8 = 14$, $a = 6$;
6. $90 : 45 = 2$, значит $7(a - 5) = 14 \cdot 2 = 28$, $a - 5 = 4$, $a = 9$.

Ответ: 1) 7; 2) 2; 3) 4; 4) 4; 5) 6; 6) 9.

Шпаргалка

• Знаменатель — «название» долей, его не складывают.
• Разные доли сначала делаем одинаковыми, потом считаем числители.
• Множитель пишем над дробью и умножаем на него и числитель, и знаменатель.
• Сумма не может быть меньше слагаемого — так легко поймать ошибку.

Мини-тест