4.2. Перевод десятичной дроби в обыкновенную, обыкновенной дроби – в десятичную

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава IV: Десятичные дроби. Действия над десятичными дробями. Страницы 24–29.

Чему научишься

• Превращать любую десятичную дробь в обыкновенную: $1{,}29 = 1\frac{29}{100}$.
• Превращать обыкновенную дробь в десятичную через знаменатель 10, 100, 1000.
• С одного взгляда на знаменатель понимать, получится десятичная дробь или нет.
• Помнить «золотую семёрку»: $\frac{1}{2} = 0{,}5$, $\frac{1}{4} = 0{,}25$, $\frac{3}{4} = 0{,}75$, $\frac{1}{5} = 0{,}2$ и ещё три.

Разминка

Вспомни основное свойство дроби: числитель и знаменатель можно умножить на одно и то же число — дробь не изменится. На что умножаем?

• $\frac{1}{2} = \frac{?}{10}$ На 5: $\frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10}$.
• $\frac{1}{5} = \frac{?}{10}$ На 2: $\frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{2}{10}$.
• $\frac{3}{4} = \frac{?}{100}$ На 25: $\frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100}$.
• $\frac{9}{20} = \frac{?}{100}$ На 5: $\frac{9 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{45}{100}$.
• $\frac{7}{25} = \frac{?}{100}$ На 4: $\frac{7 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{28}{100}$.
• $\frac{1}{125} = \frac{?}{1000}$ На 8: $\frac{1 \cdot 8}{125 \cdot 8} = \frac{8}{1000}$.

💡 Как быстро найти множитель? Реши мини-уравнение. Для $\frac{3}{20}$ ищем $y$: $20 \cdot y = 100$, значит $y = 5$, и $\frac{3}{20} = \frac{15}{100}$.

Разбираемся

Из десятичной в обыкновенную — проще простого

Десятичная дробь сама подсказывает свой знаменатель. Он равен единице с таким числом нулей, сколько цифр стоит после запятой.

1. Что до запятой — целая часть.
2. Что после запятой — числитель.
3. В знаменатель — 1 и столько нулей, сколько цифр после запятой.

Смотри: $1{,}29 = 1\frac{29}{100}$ (две цифры — сотые), $0{,}401 = \frac{401}{1000}$ (три цифры — тысячные), $5{,}07 = 5\frac{7}{100}$ (нуль впереди числителя не пишем, но знаменатель всё равно 100).

Часто дробь потом ещё и сокращается: $0{,}25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$. Вот это и есть четверть.

⚠️ Частая ошибка. $0{,}07$ записывают как $\frac{7}{10}$. Считай не «какое число после запятой», а сколько цифр. В $0{,}07$ их две — значит, $\frac{7}{100}$.

Из обыкновенной в десятичную — подгоняем знаменатель

Здесь нужно, чтобы внизу оказалось 10, 100 или 1000. Тогда дробь сразу пишется с запятой. Посмотри: половинка и пять десятых — один и тот же кусок.

$\frac{7}{20} = \frac{7 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{35}{100} = 0{,}35$.

$8\frac{3}{4} = 8\frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = 8\frac{75}{100} = 8{,}75$. Целая часть просто остаётся перед запятой.

Почему треть «не влезает» в десятичную

Разложим круглые знаменатели на простые множители:

$10 = 2 \cdot 5$, $\quad 100 = 2^2 \cdot 5^2$, $\quad 1000 = 2^3 \cdot 5^3$.

Одни двойки и пятёрки — и больше ничего! Значит, если в знаменателе сидит тройка, семёрка или другой «чужак», никаким умножением его не превратить в 10, 100 или 1000.

📌 Несократимую дробь можно записать десятичной, только если её знаменатель раскладывается на одни двойки и пятёрки. Есть хоть один другой простой множитель (3, 7, 11, 13…) — нельзя.

Проверим: $\frac{3}{4}$ — $4 = 2 \cdot 2$, можно ($0{,}75$). $\frac{2}{15}$ — $15 = 3 \cdot 5$, тройка, нельзя. $\frac{7}{20}$ — $20 = 2 \cdot 2 \cdot 5$, можно ($0{,}35$). $\frac{5}{6}$ — $6 = 2 \cdot 3$, нельзя.

Как подобрать множитель? Доведи двойки и пятёрки до одинакового количества. В $25 = 5 \cdot 5$ не хватает двух двоек — умножаем на $2 \cdot 2 = 4$: $\frac{9}{25} = \frac{36}{100} = 0{,}36$.

⚠️ Частая ошибка. Смотрят на знаменатель, не сократив дробь. $\frac{3}{15}$ кажется «плохой» из-за тройки, но $\frac{3}{15} = \frac{1}{5} = 0{,}2$. Сначала сократи — потом суди.

Если дробь всё-таки не переводится (например, $\frac{1}{12}$ или $\frac{2}{13}$), весь пример решают в обыкновенных дробях.

👨‍👩‍👧 Родителю. Выучите вместе короткую табличку: $\frac{1}{2} = 0{,}5$; $\frac{1}{4} = 0{,}25$; $\frac{3}{4} = 0{,}75$; $\frac{1}{5} = 0{,}2$; $\frac{1}{10} = 0{,}1$; $\frac{1}{20} = 0{,}05$; $\frac{1}{25} = 0{,}04$. Спрашивайте вразбивку в обе стороны: «0,75 — это сколько?», «одна пятая — это какая десятичная?».

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как десятичную дробь записать обыкновенной? Целая часть остаётся, цифры после запятой — в числитель, в знаменатель 1 и столько нулей, сколько цифр после запятой. Например, $3{,}9 = 3\frac{9}{10}$, $0{,}045 = \frac{45}{1000} = \frac{9}{200}$.
• Какие несократимые дроби можно записать десятичными? Те, у которых знаменатель раскладывается только на множители 2 и 5.
• Какие знаменатели подходят? Все, что получаются из одних двоек и пятёрок: 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50, 64, 80, 100, 125, … Их бесконечно много.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 735

Какие из дробей $\frac{3}{4}$; $\frac{3}{5}$; $\frac{3}{7}$; $\frac{3}{10}$; $\frac{3}{11}$; $\frac{3}{20}$; $\frac{3}{23}$; $\frac{3}{25}$ можно записать десятичными?

Как думать. Все дроби несократимы — числитель 3 ни с чем не сокращается. Значит, смотрим только на знаменатель: нет ли в нём «чужаков», кроме 2 и 5.

Решение.

• $4 = 2 \cdot 2$ — можно ($0{,}75$);
• $5$ — можно ($0{,}6$);
• $7$ — нельзя;
• $10 = 2 \cdot 5$ — можно ($0{,}3$);
• $11$ — нельзя;
• $20 = 2^2 \cdot 5$ — можно ($0{,}15$);
• $23$ — нельзя;
• $25 = 5^2$ — можно ($0{,}12$).

Ответ: можно: $\frac{3}{4}$, $\frac{3}{5}$, $\frac{3}{10}$, $\frac{3}{20}$, $\frac{3}{25}$; нельзя: $\frac{3}{7}$, $\frac{3}{11}$, $\frac{3}{23}$.

Уровень A

№ 736

Из дробей $\frac{1}{2}$; $\frac{2}{5}$; $\frac{5}{6}$; $\frac{4}{7}$; $\frac{3}{10}$; $\frac{2}{15}$; $\frac{9}{20}$; $\frac{5}{22}$; $\frac{8}{25}$; $\frac{13}{50}$ выпиши те, что приводятся к знаменателю 10, 100, …, и запиши их десятичными.

Как думать. Сначала отсеиваем «плохие» знаменатели, потом подгоняем остальные к 10 или 100.

Решение. В знаменателях 6, 7, 15, 22 сидят 3, 7, 3, 11 — эти дроби не подходят. Остальные переводим:

1. $\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0{,}5$;
2. $\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 0{,}4$;
3. $\frac{3}{10} = 0{,}3$;
4. $\frac{9}{20} = \frac{45}{100} = 0{,}45$;
5. $\frac{8}{25} = \frac{32}{100} = 0{,}32$;
6. $\frac{13}{50} = \frac{26}{100} = 0{,}26$.

Ответ: $0{,}5$; $0{,}4$; $0{,}3$; $0{,}45$; $0{,}32$; $0{,}26$. Дроби $\frac{5}{6}$, $\frac{4}{7}$, $\frac{2}{15}$, $\frac{5}{22}$ десятичными не записываются.

№ 737

Запиши обыкновенными дробями: 0,3; 0,01; 0,21; 0,101; 0,813; 0,997; 0,7; 0,09; 0,83; 0,011; 0,013; 0,007.

Как думать. Считаем цифры после запятой: одна — знаменатель 10, две — 100, три — 1000.

Решение.

Ответ: см. таблицу.

№ 738

Приведи к новому знаменателю и запиши десятичными: 1) $\frac{1}{2}$; $\frac{2}{5}$; $\frac{7}{5}$; $\frac{4}{5}$ — к 10; 2) $\frac{1}{4}$; $\frac{3}{20}$; $\frac{8}{25}$; $\frac{7}{25}$; $\frac{1}{50}$ — к 100; 3) $\frac{6}{125}$; $\frac{3}{250}$; $\frac{7}{200}$; $\frac{9}{500}$ — к 1000.

Как думать. Дополнительный множитель = новый знаменатель : старый. Например, $1000 : 125 = 8$.

Решение.

1. $\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0{,}5$; $\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 0{,}4$; $\frac{7}{5} = \frac{14}{10} = 1{,}4$; $\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0{,}8$.
2. $\frac{1}{4} = \frac{25}{100} = 0{,}25$; $\frac{3}{20} = \frac{15}{100} = 0{,}15$; $\frac{8}{25} = \frac{32}{100} = 0{,}32$; $\frac{7}{25} = \frac{28}{100} = 0{,}28$; $\frac{1}{50} = \frac{2}{100} = 0{,}02$.
3. $\frac{6}{125} = \frac{48}{1000} = 0{,}048$ (множитель 8); $\frac{3}{250} = \frac{12}{1000} = 0{,}012$ (множитель 4); $\frac{7}{200} = \frac{35}{1000} = 0{,}035$ (множитель 5); $\frac{9}{500} = \frac{18}{1000} = 0{,}018$ (множитель 2).

Ответ: 1) 0,5; 0,4; 1,4; 0,8; 2) 0,25; 0,15; 0,32; 0,28; 0,02; 3) 0,048; 0,012; 0,035; 0,018.

№ 739

Заполни таблицу: запиши десятичными дробями $2\frac{1}{4}$; $5\frac{1}{2}$; $7\frac{3}{5}$; $9\frac{7}{20}$; $11\frac{2}{25}$; $4\frac{11}{50}$.

Как думать. Целая часть не меняется. Переводим только дробную часть.

Решение.

Ответ: 2,25; 5,5; 7,6; 9,35; 11,08; 4,22.

Уровень B

№ 740

1) Запиши правильными дробями и сократи: 0,08; 0,06; 0,032; 0,0625; 0,005; 0,0056; 0,8004. 2) Запиши смешанными числами и сократи дробную часть: 2,075; 4,004; 5,064; 17,0075; 43,008.

Как думать. Сначала записываем дробь «как есть» по числу знаков после запятой, потом ищем, на что сократить. У круглых знаменателей делители — двойки и пятёрки, так что пробуем 2, 4, 8, 5, 25…

Решение. 1)

• $0{,}08 = \frac{8}{100} = \frac{2}{25}$ (сократили на 4);
• $0{,}06 = \frac{6}{100} = \frac{3}{50}$ (на 2);
• $0{,}032 = \frac{32}{1000} = \frac{4}{125}$ (на 8);
• $0{,}0625 = \frac{625}{10000} = \frac{1}{16}$ (на 625);
• $0{,}005 = \frac{5}{1000} = \frac{1}{200}$ (на 5);
• $0{,}0056 = \frac{56}{10000} = \frac{7}{1250}$ (на 8);
• $0{,}8004 = \frac{8004}{10000} = \frac{2001}{2500}$ (на 4).

• $2{,}075 = 2\frac{75}{1000} = 2\frac{3}{40}$ (на 25);
• $4{,}004 = 4\frac{4}{1000} = 4\frac{1}{250}$ (на 4);
• $5{,}064 = 5\frac{64}{1000} = 5\frac{8}{125}$ (на 8);
• $17{,}0075 = 17\frac{75}{10000} = 17\frac{3}{400}$ (на 25);
• $43{,}008 = 43\frac{8}{1000} = 43\frac{1}{125}$ (на 8).

Ответ: 1) $\frac{2}{25}$; $\frac{3}{50}$; $\frac{4}{125}$; $\frac{1}{16}$; $\frac{1}{200}$; $\frac{7}{1250}$; $\frac{2001}{2500}$; 2) $2\frac{3}{40}$; $4\frac{1}{250}$; $5\frac{8}{125}$; $17\frac{3}{400}$; $43\frac{1}{125}$.

№ 741

Запиши десятичными дробями: 1) $3\frac{1}{20}$; $2\frac{3}{50}$; $4\frac{8}{25}$; $7\frac{11}{20}$; $12\frac{4}{25}$; $9\frac{13}{50}$; 2) $2\frac{5}{8}$; $1\frac{6}{125}$; $3\frac{17}{200}$; $8\frac{9}{250}$; $7\frac{3}{500}$; $6\frac{7}{8}$.

Как думать. В первой строке все знаменатели доводятся до 100. Во второй — до 1000: $8 \cdot 125 = 1000$, $125 \cdot 8$, $200 \cdot 5$, $250 \cdot 4$, $500 \cdot 2$.

Решение.

1. $3\frac{5}{100} = 3{,}05$; $2\frac{6}{100} = 2{,}06$; $4\frac{32}{100} = 4{,}32$; $7\frac{55}{100} = 7{,}55$; $12\frac{16}{100} = 12{,}16$; $9\frac{26}{100} = 9{,}26$.
2. $2\frac{625}{1000} = 2{,}625$; $1\frac{48}{1000} = 1{,}048$; $3\frac{85}{1000} = 3{,}085$; $8\frac{36}{1000} = 8{,}036$; $7\frac{6}{1000} = 7{,}006$; $6\frac{875}{1000} = 6{,}875$.

Ответ: 1) 3,05; 2,06; 4,32; 7,55; 12,16; 9,26; 2) 2,625; 1,048; 3,085; 8,036; 7,006; 6,875.

№ 742

Сократи и запиши десятичными: $\frac{12}{15}$; $\frac{21}{35}$; $\frac{12}{30}$; $\frac{45}{50}$; $\frac{18}{90}$; $\frac{56}{80}$; $\frac{9}{12}$; $\frac{21}{60}$.

Как думать. Вот зачем сначала сокращать! У $\frac{12}{15}$ и $\frac{9}{12}$ в знаменателе тройка, но после сокращения она уходит.

Решение.

• $\frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0{,}8$;
• $\frac{21}{35} = \frac{3}{5} = 0{,}6$;
• $\frac{12}{30} = \frac{2}{5} = 0{,}4$;
• $\frac{45}{50} = \frac{9}{10} = 0{,}9$;
• $\frac{18}{90} = \frac{1}{5} = 0{,}2$;
• $\frac{56}{80} = \frac{7}{10} = 0{,}7$;
• $\frac{9}{12} = \frac{3}{4} = 0{,}75$;
• $\frac{21}{60} = \frac{7}{20} = 0{,}35$.

Ответ: 0,8; 0,6; 0,4; 0,9; 0,2; 0,7; 0,75; 0,35.

№ 743

В классе 10 мальчиков и 15 девочек. Какую часть класса составляют мальчики, какую — девочки? Ответ — десятичной дробью.

Как думать. Часть = сколько мальчиков : сколько всего. Получится обыкновенная дробь — её сократим и переведём.

Решение.

1. Всего учеников: $10 + 15 = 25$.
2. Мальчики: $\frac{10}{25} = \frac{2}{5} = 0{,}4$.
3. Девочки: $\frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0{,}6$.

Проверка: $0{,}4 + 0{,}6 = 1$ — весь класс.

Ответ: мальчики — 0,4 класса, девочки — 0,6 класса.

№ 744

Как отмерить 3 кг 500 г крупы за 3 взвешивания на чашечных весах, если есть только гиря 500 г?

Как думать. Хитрость: уже отмеренную крупу можно класть на чашку вместе с гирей. Тогда каждый раз «гиря» становится тяжелее.

Решение.

1. Гиря на одной чашке, крупа на другой — отмерили 500 г.
2. На одну чашку — гиря и эти 500 г крупы (вместе 1 кг). На другую сыплем крупу до равновесия — получаем 1 кг.
3. На одну чашку — гиря, 500 г и 1 кг крупы (вместе 2 кг). На другую насыпаем 2 кг.

Ссыпаем всё отмеренное вместе: $500\text{ г} + 1\text{ кг} + 2\text{ кг} = 3\text{ кг } 500\text{ г}$.

Ответ: 500 г, затем 1 кг, затем 2 кг — вместе 3 кг 500 г.

№ 745

Запиши десятичной дробью: 1) скорость комбайна $14\frac{2}{20}$ км/ч; 2) высота вагона $3\frac{1}{2}$ м; 3) скорость ветра Эби у Жонгарских ворот $60\frac{4}{5}$ м/с.

Как думать. Целую часть оставляем, дробную подгоняем к десятым. В первом числе сначала сократи $\frac{2}{20}$.

Решение.

1. $14\frac{2}{20} = 14\frac{1}{10} = 14{,}1$ км/ч.
2. $3\frac{1}{2} = 3\frac{5}{10} = 3{,}5$ м.
3. $60\frac{4}{5} = 60\frac{8}{10} = 60{,}8$ м/с.

🌟 Ветер Эби дует через узкий проход в горах — Жонгарские ворота. 60,8 м/с — это больше 200 км/ч, быстрее машины на трассе!

Ответ: 14,1 км/ч; 3,5 м; 60,8 м/с.

№ 746

Галя посадила розы вдоль дорожки длиной 6 м через каждые $d$ см. Сколько кустов? Вычисли при $d = 20$. Варианты: A. 37; B. 31; C. 25; D. 39.

Как думать. Это задача о столбиках забора: промежутков на один меньше, чем кустов. Нарисуй дорожку в 3 промежутка — увидишь 4 куста.

Решение.

1. $6\text{ м} = 600$ см.
2. Число промежутков: $600 : d$. При $d = 20$: $600 : 20 = 30$.
3. Кустов на один больше: $30 + 1 = 31$.

В общем виде: $600 : d + 1$ кустов.

Ответ: 31 куст (B).

Уровень C

№ 747

Не вычисляя, найди равные выражения: 1) $\frac{3}{4} - 0{,}2$; 2) $0{,}5 - \frac{4}{25}$; 3) $0{,}4 - \frac{3}{20}$; 4) $0{,}45 - \frac{17}{50}$; 5) $\frac{1}{2} - 0{,}16$; 6) $0{,}75 - \frac{1}{5}$; 7) $\frac{9}{20} - 0{,}34$; 8) $\frac{2}{5} - 0{,}15$.

Как думать. Переведи все обыкновенные дроби в десятичные — и пары сами «узнают» друг друга.

Решение. $\frac{3}{4} = 0{,}75$; $\frac{1}{5} = 0{,}2$; $\frac{4}{25} = 0{,}16$; $\frac{1}{2} = 0{,}5$; $\frac{3}{20} = 0{,}15$; $\frac{2}{5} = 0{,}4$; $\frac{17}{50} = 0{,}34$; $\frac{9}{20} = 0{,}45$.

• 1. и 6): оба равны $0{,}75 - 0{,}2$;
• 2. и 5): оба равны $0{,}5 - 0{,}16$;
• 3. и 8): оба равны $0{,}4 - 0{,}15$;
• 4. и 7): оба равны $0{,}45 - 0{,}34$.

Ответ: $\frac{3}{4} - 0{,}2 = 0{,}75 - \frac{1}{5}$; $0{,}5 - \frac{4}{25} = \frac{1}{2} - 0{,}16$; $0{,}4 - \frac{3}{20} = \frac{2}{5} - 0{,}15$; $0{,}45 - \frac{17}{50} = \frac{9}{20} - 0{,}34$.

№ 748

Допиши, чтобы равенство было верным: 1) $7{,}045 = 7\frac{45}{\square}$; 2) $4{,}\square = 4\frac{31}{10000}$; 3) $0{,}0027 = \frac{\square}{10000}$.

Как думать. Число нулей в знаменателе = число цифр после запятой. Это правило работает в обе стороны.

Решение.

1. После запятой три цифры — знаменатель 1000.
2. Знаменатель 10 000 — после запятой должно быть четыре цифры. Числитель 31 дописываем нулями слева: 0031.
3. $0{,}0027$ — это 27 десятитысячных.

Ответ: 1) $7\frac{45}{1000}$; 2) $4{,}0031$; 3) $\frac{27}{10000}$.

№ 749

Если можно, запиши десятичной дробью: 1) $1\frac{5}{6}$; 2) $\frac{9}{20}$; 3) $2\frac{3}{8}$; 4) $\frac{4}{15}$; 5) $\frac{2}{125}$; 6) $3\frac{4}{5}$; 7) $5\frac{8}{21}$; 8) $\frac{9}{25}$.

Как думать. Все дробные части несократимы. Проверяем знаменатель на «чужаков» и только потом переводим.

Решение.

1. $6 = 2 \cdot 3$ — нельзя.
2. $\frac{9}{20} = \frac{45}{100} = 0{,}45$.
3. $2\frac{3}{8} = 2\frac{375}{1000} = 2{,}375$.
4. $15 = 3 \cdot 5$ — нельзя.
5. $\frac{2}{125} = \frac{16}{1000} = 0{,}016$.
6. $3\frac{4}{5} = 3\frac{8}{10} = 3{,}8$.
7. $21 = 3 \cdot 7$ — нельзя.
8. $\frac{9}{25} = \frac{36}{100} = 0{,}36$.

Ответ: 2) 0,45; 3) 2,375; 5) 0,016; 6) 3,8; 8) 0,36; числа 1), 4), 7) десятичной дробью не записываются.

№ 750

Разложи знаменатели на простые множители и реши, можно ли записать дробь десятичной: 1) $\frac{17}{600}$; 2) $\frac{14}{125}$; 3) $\frac{17}{200}$; 4) $\frac{51}{105}$; 5) $\frac{31}{500}$; 6) $\frac{11}{150}$.

Как думать. Сначала проверь, не сокращается ли дробь. Только потом смотри на множители знаменателя — иначе можно ошибиться, как в пункте 4.

Решение.

1. $600 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2$. Числитель 17 на 3 не делится — тройка остаётся. Нельзя.
2. $125 = 5^3$. Можно: $\frac{14}{125} = \frac{14 \cdot 8}{1000} = \frac{112}{1000} = 0{,}112$.
3. $200 = 2^3 \cdot 5^2$. Можно: $\frac{17}{200} = \frac{85}{1000} = 0{,}085$.
4. $105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$, $51 = 3 \cdot 17$. Сокращаем на 3: $\frac{17}{35}$, $35 = 5 \cdot 7$. Семёрка осталась — нельзя.
5. $500 = 2^2 \cdot 5^3$. Можно: $\frac{31}{500} = \frac{62}{1000} = 0{,}062$.
6. $150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$, 11 на 3 не делится. Нельзя.

Ответ: 2) 0,112; 3) 0,085; 5) 0,062; дроби 1), 4), 6) десятичными не записываются.

№ 751

Подбери показатели степени вместо звёздочек, чтобы дробь записывалась десятичной, и запиши её: 1) $\frac{7}{2^2 \cdot 5^}$; 2) $\frac{13}{2^* \cdot 5^2}$; 3) $\frac{21}{2^3 \cdot 5^}$; 4) $\frac{57}{2^ \cdot 5^}$.

Как думать. Удобнее всего взять показатели одинаковыми — тогда знаменатель сразу станет 10, 100 или 1000. (Вообще-то подойдёт любой натуральный показатель: в знаменателе всё равно одни двойки и пятёрки. Но с равными запись получается мгновенно.)

Решение.

1. $\frac{7}{2^2 \cdot 5^2} = \frac{7}{100} = 0{,}07$.
2. $\frac{13}{2^2 \cdot 5^2} = \frac{13}{100} = 0{,}13$.
3. $\frac{21}{2^3 \cdot 5^3} = \frac{21}{1000} = 0{,}021$.
4. Подходит любая пара равных показателей: $\frac{57}{2 \cdot 5} = 5{,}7$; $\frac{57}{2^2 \cdot 5^2} = 0{,}57$; $\frac{57}{2^3 \cdot 5^3} = 0{,}057$.

Ответ: 1) $5^2$, 0,07; 2) $2^2$, 0,13; 3) $5^3$, 0,021; 4) например, $2^2 \cdot 5^2$, 0,57 (или 5,7; 0,057).

№ 752

Вырази в часах (сначала обыкновенной, потом десятичной дробью): 1) 6 мин; 12 мин; 15 мин; 30 мин; 45 мин; 2) 1 ч 6 мин; 7 ч 15 мин; 2 ч 18 мин; 4 ч 45 мин.

Как думать. В часе 60 минут, поэтому 1 мин — это $\frac{1}{60}$ часа. Пишем минуты над 60 и сокращаем.

Решение. 1)

• $6\text{ мин} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10} = 0{,}1$ ч;
• $12\text{ мин} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5} = 0{,}2$ ч;
• $15\text{ мин} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4} = 0{,}25$ ч;
• $30\text{ мин} = \frac{30}{60} = \frac{1}{2} = 0{,}5$ ч;
• $45\text{ мин} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4} = 0{,}75$ ч.

• $1\text{ ч } 6\text{ мин} = 1\frac{1}{10} = 1{,}1$ ч;
• $7\text{ ч } 15\text{ мин} = 7\frac{1}{4} = 7{,}25$ ч;
• $2\text{ ч } 18\text{ мин} = 2\frac{18}{60} = 2\frac{3}{10} = 2{,}3$ ч;
• $4\text{ ч } 45\text{ мин} = 4\frac{3}{4} = 4{,}75$ ч.

⚠️ Частая ошибка. «1 ч 6 мин = 1,6 ч» — нет! 6 минут — это десятая часть часа, то есть 1,1 ч. Минуты и десятые доли часа — разные вещи.

Ответ: 1) 0,1; 0,2; 0,25; 0,5; 0,75 ч; 2) 1,1; 7,25; 2,3; 4,75 ч.

№ 753

Переведи десятичные дроби в обыкновенные и вычисли выражения Е, С, Н, В, И, Т. Расставь буквы под ответами $3\frac{1}{12}$; $5\frac{2}{3}$; $4\frac{7}{36}$; $6\frac{3}{20}$; 5; $6\frac{3}{7}$ — и прочитай фамилию математика.

Как думать. Здесь всё наоборот: десятичные переводим в обыкновенные. Почему? В примерах есть $\frac{1}{9}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{5}{6}$ — их десятичными не запишешь.

Решение.

• Е. $1\frac{1}{9} + 2\frac{3}{4} + \frac{1}{3} = 1\frac{4}{36} + 2\frac{27}{36} + \frac{12}{36} = 3\frac{43}{36} = 4\frac{7}{36}$.
• С. $8\frac{1}{2} + \frac{5}{6} - 6\frac{1}{4} = 8\frac{6}{12} + \frac{10}{12} - 6\frac{3}{12} = 2\frac{13}{12} = 3\frac{1}{12}$.
• Н. $3\frac{1}{2} + 5\frac{1}{7} - 2\frac{3}{14} = 3\frac{7}{14} + 5\frac{2}{14} - 2\frac{3}{14} = 6\frac{6}{14} = 6\frac{3}{7}$.
• В. $2\frac{1}{4} + 11\frac{1}{15} - 7\frac{1}{6} = 2\frac{15}{60} + 11\frac{4}{60} - 7\frac{10}{60} = 6\frac{9}{60} = 6\frac{3}{20}$.
• И. $7\frac{3}{5} - 4\frac{2}{3} + 2\frac{1}{15} = 7\frac{9}{15} - 4\frac{10}{15} + 2\frac{1}{15} = 2\frac{14}{15} + 2\frac{1}{15} = 5$.
• Т. $6\frac{4}{5} - 2\frac{1}{3} + 1\frac{1}{5}$. Хитрость: сначала $6\frac{4}{5} + 1\frac{1}{5} = 8$, потом $8 - 2\frac{1}{3} = 5\frac{2}{3}$.

Ответ: СТЕВИН. Симон Стевин — нидерландский учёный, о нём рассказано в «Исторических сведениях» после § 4.3.

№ 754

Учеников в трёх пятых классах вместе на 64 больше, чем в 5 «А», на 61 больше, чем в 5 «Б», и на 59 больше, чем в 5 «В». Сколько всего учеников? Варианты: A. 89; B. 96; C. 94; D. 92.

Как думать. Если от всех учеников отнять один класс, останутся два других. Сложим три таких «остатка» — и посмотрим, сколько раз посчитан каждый класс.

Решение.

1. Всего — $S$. Тогда 5 «А» $= S - 64$, 5 «Б» $= S - 61$, 5 «В» $= S - 59$.
2. Три класса вместе дают всех: $(S - 64) + (S - 61) + (S - 59) = S$.
3. $3S - 184 = S$, значит $2S = 184$, $S = 92$.

Проверка: классы $28$, $31$, $33$; $28 + 31 + 33 = 92$. Верно.

Ответ: 92 ученика (D).

Шпаргалка

• Десятичная → обыкновенная: цифры после запятой — в числитель, в знаменатель 1 и столько нулей, сколько цифр после запятой: $5{,}07 = 5\frac{7}{100}$.
• Обыкновенная → десятичная: подгоняем знаменатель к 10, 100, 1000: $\frac{7}{20} = \frac{35}{100} = 0{,}35$.
• Несократимая дробь станет десятичной, только если знаменатель — из одних двоек и пятёрок.
• Перед проверкой знаменателя дробь обязательно сокращаем.

Мини-тест