4.11. Округление десятичных дробей

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава IV: Десятичные дроби. Действия над десятичными дробями. Страницы 82–88.

Чему научишься

• Понимать, что такое приближённое значение «с недостатком» и «с избытком».
• Округлять десятичную дробь до целых, десятых, сотых, тысячных.
• Знать, что делать, когда первая отброшенная цифра — 5.
• Не терять нуль на конце: $0,896 \approx 0,90$.
• Округлять ответ задачи, когда он получился «некрасивым».

Разминка

Представь луч, где отрезок от 1 до 2 разбит на 10 частей по 0,1.

• Число 1,3 ближе к 1 или к 2? До 1 — 3 деления, до 2 — 7 делений. Ближе к 1.
• А число 1,8? До 1 — 8 делений, до 2 — всего 2. Ближе к 2.

💡 Ты только что округлил дроби до целых: выбрал ближайшее целое число. Весь урок — про то, как делать это быстро и без рисунка.

Разбираемся

Зачем вообще округлять

Мама спрашивает: «Сколько стоит?» Ты не скажешь «2987 тенге», а скажешь «около 3000». Точность нужна не всегда, а простое число легче запомнить. Заменить число близким и более простым — значит округлить его.

Пишут это знаком $\approx$ — «приближённо равно»: $34,18 \approx 34,2$.

Приближение бывает двух видов:

• с недостатком — оно меньше точного числа ($13,824 \approx 13,82$);
• с избытком — оно больше точного ($34,18 \approx 34,2$).

К какому краю ближе

Округлять — всё равно что решать, к какой остановке ближе стоит автобус. Посмотри на луч: точки 1,3 и 1,8 сидят между 1 и 2. Считай шаги до краёв.

С десятыми и сотыми всё так же. Число 34,18 стоит между 34,1 и 34,2. До 34,1 от него 0,08, а до 34,2 — только 0,02. Значит, $34,18 \approx 34,2$.

А если ровно посередине?

Число 2,35 стоит точно между 2,3 и 2,4 — до обоих по 0,05. Спорить бесполезно, поэтому договорились: посередине — округляем вверх.

Правило без рисунка

Рисовать луч каждый раз долго. Вот быстрый способ.

1. Находим разряд, до которого округляем. Все цифры правее него отбрасываем.
2. Смотрим только на первую отброшенную цифру:
   • 0, 1, 2, 3, 4 — последнюю оставшуюся цифру не трогаем;
   • 5, 6, 7, 8, 9 — увеличиваем её на 1.

📌 Первая отброшенная 0–4 — «вниз», 5–9 — «вверх».

Примеры:

• $25,473$ до сотых: 25,47|3, отброшена 3 — $\approx 25,47$;
• $16,6846$ до тысячных: 16,684|6, отброшена 6 — $\approx 16,685$;
• $23,51$ до целых: 23|51, отброшена 5 — $\approx 24$;
• $7,348$ до целых: 7|348, отброшена 3 — $\approx 7$.

⚠️ Частая ошибка. Смотрят на последнюю цифру числа, а не на первую отброшенную. 2,473 до десятых — это не 2,4 «потому что в конце 3». Первая отброшенная — 7, значит $2,473 \approx 2,5$. Ставь галочку над первой отброшенной цифрой и смотри только на неё.

Почему нуль на конце нельзя выбрасывать

Бывает, что девятка «перепрыгивает» и даёт нуль:

• $15,971$ до десятых: 15,9 + 0,1 = 16,0. Пишем $15,971 \approx 16,0$;
• $0,896$ до сотых: $\approx 0,90$;
• $1,4204$ до тысячных: $\approx 1,420$.

Этот нуль — как подпись «округлено до десятых». Запись 16,0 говорит «точно до десятых», а 16 — только «до целых».

👨‍👩‍👧 Родителю. Самое трудное место — цепочка девяток: $15,971 \approx 16,0$. Попросите ребёнка проговорить: «девять десятых и ещё одна — это целая единица». Если он пишет 15,10 — вернитесь к сложению $15,9 + 0,1$.

👨‍👩‍👧 Родителю. В задачах сначала считают точно, а округляют только итоговый ответ. Если округлять по дороге, ответ «уплывёт».

Проверь, как понял

Проверь себя

• Где на луче 13,824, если округлять до сотых? Между 13,82 и 13,83. До 13,82 — 0,004, до 13,83 — 0,006. Ближе 13,82: $13,824 \approx 13,82$, это с недостатком.
• До каких разрядов округляют десятичные дроби? До целых, десятых, сотых, тысячных, десятитысячных и так далее.
• Какое правило округления? Цифры правее нужного разряда отбрасываем. Первая отброшенная 0–4 — последнюю цифру не меняем; 5–9 — увеличиваем на 1.
• Что делать с последней оставленной цифрой, если за ней 8? А если 3? За ней 8 — увеличить на 1. За ней 3 — оставить.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 982

Посчитай устно четыре цепочки действий.

Решение.

1. $5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34$; $34 - 19 = 15$; $15 \cdot 8 = 120$; $120 : 6 = 20$; $20 + 47 = 67$.
2. $67 - 25 = 42$; $42 \cdot 4 = 168$; $168 - 66 = 102$; $102 : 6 = 17$; $17 \cdot 3 = 51$.
3. $51 : 10 = 5,1$; $5,1 \cdot 3 = 15,3$; $15,3 + 4,7 = 20$; $20 - 8,2 = 11,8$; $11,8 : 2 = 5,9$.
4. $5,9 + 4,3 = 10,2$; $10,2 \cdot 4 = 40,8$; $40,8 - 20,8 = 20$; $20 : 5 = 4$; $4 \cdot 10 = 40$.

Ответ: 1) 67; 2) 51; 3) 5,9; 4) 40.

№ 983

До какого разряда округлили: $27,8 \approx 28$; $16,2 \approx 16$; $4,56 \approx 4,6$; $25,246 \approx 25,2$; $1,689 \approx 1,69$; $0,342 \approx 0,34$?

Как думать. Смотри на последнюю цифру приближённого значения — до этого разряда и округлили.

Решение. 28 и 16 — целые; у 4,6 и 25,2 одна цифра после запятой; у 1,69 и 0,34 — две.

Ответ: 1) и 2) до целых; 3) и 4) до десятых; 5) и 6) до сотых.

Уровень A

№ 984

Округли: 1) 3,03; 4,58; 0,24; 2,473; 9,206; 5,791 до десятых; 2) 0,214; 3,591; 2,168; 8,7351; 4,9603; 2,8375 до сотых; 3) 6,2358; 2,5432; 3,6775; 4,2306 до тысячных.

Как думать. В каждом числе найди первую отброшенную цифру (в решении она в скобках) и реши: «вниз» или «вверх».

Решение.

1. $3,0(3) \approx 3,0$; $4,5(8) \approx 4,6$; $0,2(4) \approx 0,2$; $2,4(7)3 \approx 2,5$; $9,2(0)6 \approx 9,2$; $5,7(9)1 \approx 5,8$.
2. $0,21(4) \approx 0,21$; $3,59(1) \approx 3,59$; $2,16(8) \approx 2,17$; $8,73(5)1 \approx 8,74$; $4,96(0)3 \approx 4,96$; $2,83(7)5 \approx 2,84$.
3. $6,235(8) \approx 6,236$; $2,543(2) \approx 2,543$; $3,677(5) \approx 3,678$; $4,230(6) \approx 4,231$.

Ответ: 1) 3,0; 4,6; 0,2; 2,5; 9,2; 5,8. 2) 0,21; 3,59; 2,17; 8,74; 4,96; 2,84. 3) 6,236; 2,543; 3,678; 4,231.

№ 985

Какое равенство точнее: 1) $1,7 \approx 2$ или $1,7 \approx 1$; 2) $6,5 \approx 6$ или $6,5 \approx 7$; 3) $9,23 \approx 9,2$ или $9,23 \approx 9,3$; 4) $6,366 \approx 6,36$ или $6,366 \approx 6,37$?

Как думать. Точнее то приближение, которое ближе к числу. Посчитай оба расстояния.

Решение.

1. $2 - 1,7 = 0,3$; $1,7 - 1 = 0,7$. Ближе 2.
2. $6,5 - 6 = 0,5$; $7 - 6,5 = 0,5$. Поровну! По договорённости (отброшена 5) пишут $6,5 \approx 7$.
3. $9,23 - 9,2 = 0,03$; $9,3 - 9,23 = 0,07$. Ближе 9,2.
4. $6,366 - 6,36 = 0,006$; $6,37 - 6,366 = 0,004$. Ближе 6,37.

Ответ: 1) $1,7 \approx 2$; 2) оба одинаково точны, по правилу пишут $6,5 \approx 7$; 3) $9,23 \approx 9,2$; 4) $6,366 \approx 6,37$.

№ 986

Округли до целых: 2,675; 5,19; 37,4109; 0,806; 145,732; 5,6071; 200,8685; 101,4902.

Как думать. При округлении до целых смотрим только на цифру десятых — первую после запятой.

Решение.

Ответ: 3; 5; 37; 1; 146; 6; 201; 101.

№ 987

Заполни таблицу: округли 35,9627; 48,4531; 91,8249 до десятых, сотых и тысячных.

Как думать. Для каждого столбца — своя первая отброшенная цифра. Будь внимателен к девяткам.

Решение.

У 35,9627 до десятых отброшена 6: девять десятых плюс одна десятая — целая единица, выходит 36,0. Нуль оставляем.

Ответ: см. таблицу.

№ 988

Радиус Земли 6371 км, у Марса радиус — 0,53 земного. Найди радиус Марса с точностью до десятых.

Как думать. «0,53 радиуса» — значит, умножаем радиус Земли на 0,53. Округляем только в конце.

Решение.

1. $6371 \cdot 0,53 = 3376,63$ (км).
2. До десятых: отброшена 3, поэтому $3376,63 \approx 3376,6$.

Ответ: $\approx 3376,6$ км.

№ 989

Метр ткани стоит 600 тг, отрез — 255 тг. Сколько сантиметров в отрезе? Округли до целых.

Как думать. Во сколько раз отрез дешевле метра, во столько раз он и короче. Делим цену отреза на цену метра.

Решение.

1. Длина отреза: $255 : 600 = 0,425$ (м).
2. $0,425$ м $= 42,5$ см.
3. До целых: отброшена 5 — увеличиваем: $42,5 \approx 43$.

Ответ: $\approx 43$ см.

№ 990

1) Сколько примерно минут в 372 с: A. 5; B. 6; C. 4; D. 7? 2) Сколько примерно часов в 390 мин: A. 8; B. 9; C. 7; D. 5?

Как думать. В минуте 60 секунд, в часе 60 минут. Делим на 60 и округляем до целых.

Решение.

1. $372 : 60 = 6,2$ (мин). $6,2 \approx 6$.
2. $390 : 60 = 6,5$ (ч). Отброшена 5, поэтому $6,5 \approx 7$.

Ответ: 1) B (6 мин); 2) C (7 ч).

Уровень B

№ 991

Округли: 1) 7,3605; 0,9421; 3,1502; 12,0374; 9,5601 до десятых; 2) 0,2831; 4,0376; 19,6201; 3,4057; 6,4817 до сотых; 3) 0,67509; 4,23265; 8,98605; 29,48075 до тысячных.

Как думать. То же правило, только чисел больше. В скобках — первая отброшенная цифра.

Решение.

1. $7,3(6)05 \approx 7,4$; $0,9(4)21 \approx 0,9$; $3,1(5)02 \approx 3,2$; $12,0(3)74 \approx 12,0$; $9,5(6)01 \approx 9,6$.
2. $0,28(3)1 \approx 0,28$; $4,03(7)6 \approx 4,04$; $19,62(0)1 \approx 19,62$; $3,40(5)7 \approx 3,41$; $6,48(1)7 \approx 6,48$.
3. $0,675(0)9 \approx 0,675$; $4,232(6)5 \approx 4,233$; $8,986(0)5 \approx 8,986$; $29,480(7)5 \approx 29,481$.

Ответ: 1) 7,4; 0,9; 3,2; 12,0; 9,6. 2) 0,28; 4,04; 19,62; 3,41; 6,48. 3) 0,675; 4,233; 8,986; 29,481.

№ 992

Первый казахский космонавт Тохтар Аубакиров стартовал с Байконура 2 октября 1991 года на «Союзе ТМ-13» и вернулся 10 октября. Он изучал пылевые бури над высохшим Аралом площадью 40 000 км². Какие данные точные, а какие приближённые? До какого разряда округлили?

Как думать. Дату полёта и номер корабля «примерно» не бывает — они точные. А площадь огромного пересохшего моря никто не мерил до квадратного километра — круглое число выдаёт округление.

Решение. Точные: 2 октября 1991 года, 10 октября, «Союз ТМ-13». Приближённое: 40 000 км² — после четвёрки одни нули, значит, округлили до десятков тысяч.

Ответ: точные — даты 2 октября 1991 года и 10 октября, номер корабля «Союз ТМ-13». Приближённое — площадь 40 000 км², она округлена до десятков тысяч.

№ 993

Округли до целых: 1) 7835 м ≈ … км; 2) 316 см ≈ … м; 3) 4235 м ≈ … км; 4) 5416 г ≈ … кг; 5) 857 кг ≈ … ц; 6) 14 257 кг ≈ … т.

Как думать. Сначала переводим в нужные единицы десятичной дробью, потом округляем. Помни: 1 км = 1000 м, 1 м = 100 см, 1 кг = 1000 г, 1 ц = 100 кг, 1 т = 1000 кг.

Решение.

1. $7835$ м $= 7,835$ км $\approx 8$ км;
2. $316$ см $= 3,16$ м $\approx 3$ м;
3. $4235$ м $= 4,235$ км $\approx 4$ км;
4. $5416$ г $= 5,416$ кг $\approx 5$ кг;
5. $857$ кг $= 8,57$ ц $\approx 9$ ц;
6. $14,257$ кг $= 14,257$ т $\approx 14$ т.

Ответ: 8 км; 3 м; 4 км; 5 кг; 9 ц; 14 т.

№ 994

В школе 1500 учеников, и в любой день года у кого-то день рождения. Докажи, что есть день, когда именинников не меньше 5.

Как думать. Задача на смекалку. Хитрый приём: предположим обратное и посмотрим, что сломается.

Решение.

1. В году самое большее 366 дней.
2. Допустим, в каждый день именинников не больше 4.
3. Тогда всего учеников не больше $366 \cdot 4 = 1464$.
4. Но их 1500, а $1500 > 1464$. Не сходится!
5. Значит, хотя бы в один день именинников не меньше 5.

Ответ: доказано: $4 \cdot 366 = 1464 < 1500$, поэтому хотя бы в один день день рождения не меньше чем у 5 учеников.

№ 995

Периметр квадрата 22,48 дм. Найди площадь с точностью до десятых.

Как думать. У квадрата 4 равные стороны: периметр делим на 4 — получаем сторону. Площадь — сторона, умноженная на себя.

Решение.

1. Сторона: $22,48 : 4 = 5,62$ (дм).
2. Площадь: $5,62 \cdot 5,62 = 31,5844$ (дм²).
3. До десятых: отброшена 8, поэтому $31,5844 \approx 31,6$.

Ответ: $\approx 31,6$ дм².

№ 996

Звёздочка — первая отброшенная цифра. Что можно поставить вместо неё: 1) $2,4 \approx 2,5$; 2) $9,35* \approx 9,35$; 3) $14,67* \approx 14,68$; 4) $28,73* \approx 28,73$; 5) $44,98* \approx 44,98$; 6) $53,435* \approx 53,436$?*

Как думать. Последняя цифра выросла на 1 — значит, отбросили 5–9. Не изменилась — отбросили 0–4.

Решение.

1. 4 стала 5 — «вверх»: $* = 5, 6, 7, 8$ или $9$;
2. не изменилось: $* = 0, 1, 2, 3$ или $4$;
3. 7 стала 8: $* = 5, 6, 7, 8, 9$;
4. не изменилось: $* = 0, 1, 2, 3, 4$;
5. не изменилось: $* = 0, 1, 2, 3, 4$;
6. 5 стала 6: $* = 5, 6, 7, 8, 9$.

Ответ: например, 1) 7; 2) 2; 3) 5; 4) 1; 5) 3; 6) 9 (подходит любая цифра из указанных выше).

№ 997

Реши уравнения: 1) $\dfrac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{4}x - \frac{1}{3}} - \dfrac{3}{8} = \dfrac{1}{40}$; 2) $\dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}x - \frac{1}{2}} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{2}$.

Как думать. Как матрёшка: снимаем слои снаружи внутрь. Сначала находим всю большую дробь, потом её знаменатель, и только потом $x$.

Решение.

1)

1. Уменьшаемое: $\frac{1}{40} + \frac{3}{8} = \frac{1}{40} + \frac{15}{40} = \frac{16}{40} = \frac{2}{5}$.
2. Делитель: $\frac{1}{4}x - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} : \frac{2}{5} = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{12}$.
3. $\frac{1}{4}x = \frac{5}{12} + \frac{4}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$.
4. $x = \frac{3}{4} : \frac{1}{4} = 3$.

2)

1. Слагаемое: $\frac{1}{2} - \frac{2}{5} = \frac{5}{10} - \frac{4}{10} = \frac{1}{10}$.
2. Делитель: $\frac{3}{4}x - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} : \frac{1}{10} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.
3. $\frac{3}{4}x = \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = 3$.
4. $x = 3 : \frac{3}{4} = 4$.

Ответ: 1) $x = 3$; 2) $x = 4$.

Уровень C

№ 998

Число 7,48126 зажато между парами: 1) 7,4 и 7,5; 2) 7,48 и 7,49; 3) 7,481 и 7,482; 4) 7,4812 и 7,4813. Какое число из пары взять за приближение? Образец: $6,24 < 6,2473 < 6,25$, $6,2473 \approx 6,25$.

Как думать. Из двух соседей выбираем того, кто ближе. Помогает правило округления.

Решение.

1. До десятых, отброшена 8: $7,48126 \approx 7,5$.
2. До сотых, отброшена 1: $7,48126 \approx 7,48$.
3. До тысячных, отброшена 2: $7,48126 \approx 7,481$.
4. До десятитысячных, отброшена 6: $7,48126 \approx 7,4813$.

Ответ: 1) 7,5; 2) 7,48; 3) 7,481; 4) 7,4813.

№ 999

Запиши $\frac{2}{3}$, $\frac{6}{7}$, $\frac{2}{13}$, $\frac{5}{19}$ десятичными дробями с точностью до тысячных.

Как думать. Делим числитель на знаменатель уголком. Хватит четырёх знаков после запятой: четвёртый подскажет, куда округлять.

Решение.

• $2 : 3 = 0,6666\ldots \approx 0,667$;
• $6 : 7 = 0,8571\ldots \approx 0,857$;
• $2 : 13 = 0,1538\ldots \approx 0,154$;
• $5 : 19 = 0,2631\ldots \approx 0,263$.

Ответ:

№ 1000

Сумма длин всех рёбер куба 51,6 см. Найди площадь поверхности, округлив до целых.

Как думать. Сначала найди одно ребро, потом одну грань, потом все шесть граней.

Решение.

1. Ребро: $51,6 : 12 = 4,3$ (см).
2. Одна грань: $4,3 \cdot 4,3 = 18,49$ (см²).
3. Шесть граней: $18,49 \cdot 6 = 110,94$ (см²).
4. До целых: $110,94 \approx 111$.

Ответ: $\approx 111$ см².

№ 1001

Земля вращается вокруг оси со скоростью 0,46 км/с, а вокруг Солнца летит в 65,22 раза быстрее. Найди эту скорость с точностью до целых.

Как думать. «В 65,22 раза быстрее» — значит, умножаем.

Решение.

1. $0,46 \cdot 65,22 = 30,0012$ (км/с).
2. До целых: $30,0012 \approx 30$.

Ответ: $\approx 30$ км/с.

🌟 30 км в секунду — это больше 100 000 км в час! Мы все сейчас мчимся вокруг Солнца быстрее любой ракеты и даже не замечаем этого.

№ 1002

Эскалатор длиной 150 м едет вверх со скоростью 32 м/мин, а человек идёт по нему вверх со скоростью 8 м/мин. За сколько минут он поднимется? Округли до целых.

Как думать. Человек идёт туда же, куда едет лента, поэтому скорости складываются.

Решение.

1. Общая скорость: $32 + 8 = 40$ (м/мин).
2. Время: $150 : 40 = 3,75$ (мин).
3. До целых: $3,75 \approx 4$.

Ответ: $\approx 4$ мин.

№ 1003

Вычисли: 1) $\dfrac{\left(4\frac{5}{12} - 3\frac{7}{18}\right) : 9,25 + \frac{5}{6}}{\left(0,4 + \frac{1}{8} + 0,75\right) \cdot \frac{2}{3}}$; 2) $\dfrac{3\frac{7}{15} \cdot 0,25 + \frac{5}{6} - 1\frac{2}{5}}{5,4 : \left(\frac{3}{20} + 0,75\right)}$.

Как думать. Числитель и знаменатель считаем отдельно, потом делим одно на другое. Дроби вроде $\frac{5}{12}$ и $\frac{5}{6}$ в конечные десятичные не переводятся — их оставляем обыкновенными.

Решение.

1)

1. $4\frac{5}{12} - 3\frac{7}{18} = 4\frac{15}{36} - 3\frac{14}{36} = 1\frac{1}{36} = \frac{37}{36}$.
2. $9,25 = \frac{37}{4}$, поэтому $\frac{37}{36} : \frac{37}{4} = \frac{37}{36} \cdot \frac{4}{37} = \frac{1}{9}$.
3. Числитель: $\frac{1}{9} + \frac{5}{6} = \frac{2}{18} + \frac{15}{18} = \frac{17}{18}$.
4. Знаменатель: $0,4 + 0,125 + 0,75 = 1,275$; $1,275 \cdot \frac{2}{3} = 0,85 = \frac{17}{20}$.
5. $\frac{17}{18} : \frac{17}{20} = \frac{20}{18} = \frac{10}{9} = 1\frac{1}{9}$.

2)

1. $3\frac{7}{15} \cdot 0,25 = \frac{52}{15} \cdot \frac{1}{4} = \frac{13}{15}$.
2. Числитель: $\frac{13}{15} + \frac{5}{6} - 1\frac{2}{5} = \frac{26}{30} + \frac{25}{30} - \frac{42}{30} = \frac{9}{30} = 0,3$.
3. Знаменатель: $0,15 + 0,75 = 0,9$; $5,4 : 0,9 = 6$.
4. $0,3 : 6 = 0,05$.

Ответ: 1) $1\frac{1}{9}$; 2) 0,05.

№ 1004

Найди в интернете расстояние от Земли до Луны. Свет летит со скоростью 300 000 км/с. Сколько секунд он идёт от Луны до Земли? Округли до десятых.

Как думать. Время = расстояние : скорость.

Решение. Среднее расстояние от Земли до Луны около 384 400 км (проверь по источнику; оно меняется примерно от 363 000 до 405 000 км).

1. $384,400 : 300,000 = 1,2813\ldots$ (с).
2. До десятых: отброшена 8, значит $\approx 1,3$ с.

Ответ: $\approx 1,3$ с.

Шпаргалка

• Округлить — заменить число близким и более простым.
• Цифры правее нужного разряда отбрасываем.
• Смотрим только на первую отброшенную цифру.
• Ровно посередине — округляем вверх: $2,35 \approx 2,4$.
• В задачах сначала считаем точно, округляем только ответ.

Мини-тест