4.12. Числовые последовательности, составленные из дробей

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава IV: Десятичные дроби. Действия над десятичными дробями. Страницы 90–91.

Чему научишься

• Находить правило, по которому записаны дроби в ряд.
• Продолжать последовательность вперёд и восстанавливать её назад.
• Находить пропущенные числа в середине.
• Понимать запись $a_n$ и находить члены по формуле.

Разбираемся

Числа, которые стоят в очереди

Последовательность — это числа, выстроенные по порядку по какому-то правилу, как ученики на линейке. Каждое число — член последовательности, и у каждого есть свой номер. Член с номером $n$ обозначают $a_n$: $a_1$ — первый, $a_2$ — второй и так далее.

Раньше в очереди стояли натуральные числа. Теперь там будут обыкновенные и десятичные дроби — но правила те же.

Правило первое: прыгаем на одно и то же

Посмотри на ряд $1;\ 1\frac{1}{2};\ 2;\ 2\frac{1}{2};\ \ldots$ Каждый раз прибавляется $\frac{1}{2}$ — как кузнечик, который прыгает ровными прыжками.

Дальше будет $3\frac{1}{2}$, потом $4$. Прыгать можно и назад — тогда каждый раз вычитаем.

Правило второе: умножаем на одно и то же

Ряд $0,03;\ 0,06;\ 0,12;\ \ldots$ растёт по-другому: каждый раз число удваивается. Следующее: $0,12 \cdot 2 = 0,24$. Так растут деньги в копилке, если каждую неделю класть туда столько же, сколько уже есть.

📌 Как найти правило: сначала вычти соседей. Разность везде одинаковая — правило «прибавляем». Если нет — раздели следующее на предыдущее. Одинаковое частное — правило «умножаем».

⚠️ Частая ошибка. Проверяют правило только по первым двум числам. В ряду $0,5;\ 1,5;\ 4,5$ разность первых двух равна 1, и рука сама пишет 5,5. Но $4,5 - 1,5 = 3$, а не 1! Здесь правило «умножаем на 3». Проверяй правило хотя бы на трёх-четырёх числах.

Как шагать назад

Чтобы найти число перед первым, делай обратное действие. Вперёд прибавляли — назад вычитаем. Вперёд умножали на 2 — назад делим на 2.

Пример: $\ldots;\ \frac{3}{11};\ \frac{4}{11};\ \frac{5}{11}$. Вперёд прибавляют $\frac{1}{11}$, значит назад: $\frac{2}{11}$, а перед ним $\frac{1}{11}$.

Последовательность по формуле

Иногда правило задают формулой, например $a_n = \frac{1}{n}$. Это как рецепт: подставь номер вместо $n$ — получишь член. $a_1 = 1$, $a_2 = \frac{1}{2}$, $a_3 = \frac{1}{3}$ и так далее.

👨‍👩‍👧 Родителю. Просите ребёнка не просто писать ответ, а называть правило словами: «каждое следующее в 2 раза больше» или «каждый раз плюс одна девятая». Если правило сказано вслух, ошибок почти не бывает.

👨‍👩‍👧 Родителю. Со смешанными числами легко споткнуться при переходе через целое: $2\frac{8}{9} + \frac{1}{9} = 3$. Если ребёнок пишет $2\frac{9}{9}$, напомните, что $\frac{9}{9} = 1$.

Проверь, как понял

Решаем упражнения

Уровень A

№ 1005

Найди правило и запиши три следующих числа: 1) $1;\ 1\frac{1}{2};\ 2;\ 2\frac{1}{2};\ \ldots$; 2) $8;\ 7\frac{3}{4};\ 7\frac{2}{4};\ 7\frac{1}{4};\ \ldots$; 3) $\frac{1}{11};\ \frac{2}{11};\ \frac{4}{11};\ \frac{8}{11};\ \ldots$; 4) $\frac{16}{17};\ \frac{8}{17};\ \frac{4}{17};\ \frac{2}{17};\ \ldots$

Как думать. В первых двух рядах шаг одинаковый — прибавляем или вычитаем. В двух последних числитель удваивается или делится пополам.

Решение.

1. Каждый раз $+\frac{1}{2}$: $2\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 3$; $3\frac{1}{2}$; $4$.
2. Каждый раз $-\frac{1}{4}$: $7\frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 7$; $6\frac{3}{4}$; $6\frac{2}{4}$ (то есть $6\frac{1}{2}$).
3. Числитель каждый раз умножается на 2: $\frac{16}{11}$; $\frac{32}{11}$; $\frac{64}{11}$ (то есть $1\frac{5}{11}$; $2\frac{10}{11}$; $5\frac{9}{11}$).
4. Каждый раз делим на 2: $\frac{2}{17} : 2 = \frac{1}{17}$; $\frac{1}{17} : 2 = \frac{1}{34}$; $\frac{1}{34} : 2 = \frac{1}{68}$.

Ответ: 1) $3;\ 3\frac{1}{2};\ 4$; 2) $7;\ 6\frac{3}{4};\ 6\frac{1}{2}$; 3) $1\frac{5}{11};\ 2\frac{10}{11};\ 5\frac{9}{11}$; 4) $\frac{1}{17};\ \frac{1}{34};\ \frac{1}{68}$.

№ 1006

Впиши два числа перед данными: 1) $\ldots;\ \frac{1}{8};\ \frac{1}{16};\ \frac{1}{32}$; 2) $\ldots;\ \frac{3}{11};\ \frac{4}{11};\ \frac{5}{11}$; 3) $\ldots;\ \frac{4}{29};\ \frac{8}{29};\ \frac{16}{29}$; 4) $\ldots;\ 7\frac{1}{2};\ 7;\ 6\frac{1}{2}$.

Как думать. Находим правило и делаем обратное действие.

Решение.

1. Вперёд делят на 2, назад умножаем на 2: $\frac{1}{8} \cdot 2 = \frac{1}{4}$, $\frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{2}$.
2. Вперёд $+\frac{1}{11}$, назад вычитаем: $\frac{2}{11}$, $\frac{1}{11}$.
3. Вперёд умножают на 2, назад делим: $\frac{2}{29}$, $\frac{1}{29}$.
4. Вперёд $-\frac{1}{2}$, назад прибавляем: $8$, $8\frac{1}{2}$.

Ответ: 1) $\frac{1}{2};\ \frac{1}{4};\ \frac{1}{8};\ \ldots$; 2) $\frac{1}{11};\ \frac{2}{11};\ \frac{3}{11};\ \ldots$; 3) $\frac{1}{29};\ \frac{2}{29};\ \frac{4}{29};\ \ldots$; 4) $8\frac{1}{2};\ 8;\ 7\frac{1}{2};\ \ldots$

№ 1007

Найди правило и впиши два пропущенных числа: 1) 0,4; 0,7; 1; …; 1,9; 2,2; 2,5; …; 2) 9,3; 9,1; 8,9; …; 8,3; 8,1; 7,9; …; 3) 0,03; 0,06; 0,12; …; 0,96; 1,92; 3,84; …; 4) 9,6; 4,8; 2,4; …; 0,3; 0,15; 0,075; …

Как думать. В середине пропущены два числа. Находим их по правилу и проверяем, что из второго получается следующее известное. Многоточие в конце — ряд продолжается, следующее число тоже запишем.

Решение.

1. Каждый раз $+0,3$: $1 + 0,3 = 1,3$; $1,3 + 0,3 = 1,6$; проверка: $1,6 + 0,3 = 1,9$. Дальше: $2,8$.
2. Каждый раз $-0,2$: $8,7$; $8,5$; проверка: $8,5 - 0,2 = 8,3$. Дальше: $7,7$.
3. Каждый раз $\cdot 2$: $0,24$; $0,48$; проверка: $0,48 \cdot 2 = 0,96$. Дальше: $7,68$.
4. Каждый раз $: 2$: $1,2$; $0,6$; проверка: $0,6 : 2 = 0,3$. Дальше: $0,0375$.

Ответ: 1) 1,3; 1,6 (следующий 2,8); 2) 8,7; 8,5 (следующий 7,7); 3) 0,24; 0,48 (следующий 7,68); 4) 1,2; 0,6 (следующий 0,0375).

№ 1008

Первое число $\frac{1}{4}$, каждое следующее на $\frac{1}{2}$ больше. Запиши 6 чисел.

Как думать. Чтобы удобно прибавлять, запиши $\frac{1}{2}$ в четвертях: $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$.

Решение. Каждый раз прибавляем $\frac{2}{4}$: $\frac{1}{4};\ \frac{3}{4};\ \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4};\ 1\frac{3}{4};\ 2\frac{1}{4};\ 2\frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4};\ \frac{3}{4};\ 1\frac{1}{4};\ 1\frac{3}{4};\ 2\frac{1}{4};\ 2\frac{3}{4}$.

Уровень B

№ 1009

Найди правило и запиши ещё два числа: 1) $2\frac{7}{9};\ 2\frac{8}{9};\ 3;\ 3\frac{1}{9};\ \ldots$; 2) $1\frac{1}{3};\ 2\frac{2}{3};\ 4;\ 5\frac{1}{3};\ \ldots$; 3) $\frac{40}{43};\ \frac{30}{43};\ \frac{20}{43};\ \frac{10}{43};\ \ldots$; 4) $9;\ 4\frac{1}{2};\ 2\frac{1}{4};\ 1\frac{1}{8};\ \ldots$

Как думать. В рядах 1–3 шаг одинаковый, в ряду 4 каждое число вдвое меньше предыдущего. В ряду 3 смотри, до чего дойдёт вычитание.

Решение.

1. Каждый раз $+\frac{1}{9}$: $3\frac{2}{9}$; $3\frac{3}{9} = 3\frac{1}{3}$.
2. Каждый раз $+1\frac{1}{3}$: $5\frac{1}{3} + 1\frac{1}{3} = 6\frac{2}{3}$; $6\frac{2}{3} + 1\frac{1}{3} = 8$.
3. Каждый раз $-\frac{10}{43}$: $\frac{10}{43} - \frac{10}{43} = 0$. Дальше вычитать нельзя: из нуля в 5 классе ничего не вычитают. Поэтому из знакомых нам чисел можно записать только один член — 0.
4. Каждый раз делим на 2: $1\frac{1}{8} : 2 = \frac{9}{8} : 2 = \frac{9}{16}$; $\frac{9}{16} : 2 = \frac{9}{32}$.

Ответ: 1) $3\frac{2}{9};\ 3\frac{1}{3}$; 2) $6\frac{2}{3};\ 8$; 3) 0 (дальше последовательность в известных нам числах не продолжается); 4) $\frac{9}{16};\ \frac{9}{32}$.

№ 1010

Найди правило и восстанови по 2 числа до и после: 1) …; 3,7; 4,9; 6,1; 7,3; …; 2) …; 0,18; 0,54; 1,62; 4,86; …; 3) …; 20,8; 10,4; 5,2; 2,6; …

Как думать. Сначала проверь разность, потом частное. Вперёд — по правилу, назад — обратным действием.

Решение.

1. Разность $4,9 - 3,7 = 1,2$, и дальше так же. Назад: $3,7 - 1,2 = 2,5$; $2,5 - 1,2 = 1,3$. Вперёд: $7,3 + 1,2 = 8,5$; $9,7$.
2. $0,54 : 0,18 = 3$, $1,62 : 0,54 = 3$ — умножаем на 3. Назад делим на 3: $0,18 : 3 = 0,06$; $0,06 : 3 = 0,02$. Вперёд: $4,86 \cdot 3 = 14,58$; $14,58 \cdot 3 = 43,74$.
3. Каждый раз делим на 2. Назад умножаем на 2: $41,6$; $83,2$. Вперёд: $2,6 : 2 = 1,3$; $1,3 : 2 = 0,65$.

Ответ: 1) 1,3; 2,5; 3,7; 4,9; 6,1; 7,3; 8,5; 9,7. 2) 0,02; 0,06; 0,18; …; 4,86; 14,58; 43,74. 3) 83,2; 41,6; 20,8; …; 2,6; 1,3; 0,65.

№ 1011

Заполни таблицу: первые пять членов последовательности $a_n = \frac{1}{n^2}$.

Как думать. $n^2$ — это номер, умноженный сам на себя. Подставляем номер и считаем знаменатель.

Решение.

Ответ: $1;\ \frac{1}{4};\ \frac{1}{9};\ \frac{1}{16};\ \frac{1}{25}$.

Уровень C

№ 1012

Впиши два пропущенных числа: 1) 0,5; 1,5; 4,5; …; 121,5; 364,5; …; 2) 0,6; 1,2; 2,4; 4,8; …; 38,4; 76,8; 153,6; …; 3) 0,07; 0,21; 0,63; …; 17,01; 51,03; 153,09.

Как думать. Разности соседей разные — значит, правило «умножаем». Множитель находим делением.

Решение.

1. $1,5 : 0,5 = 3$. Умножаем на 3: $4,5 \cdot 3 = 13,5$; $13,5 \cdot 3 = 40,5$; проверка: $40,5 \cdot 3 = 121,5$. Дальше: $364,5 \cdot 3 = 1093,5$.
2. Умножаем на 2: $4,8 \cdot 2 = 9,6$; $9,6 \cdot 2 = 19,2$; проверка: $19,2 \cdot 2 = 38,4$. Дальше: $307,2$.
3. $0,21 : 0,07 = 3$. Умножаем на 3: $0,63 \cdot 3 = 1,89$; $1,89 \cdot 3 = 5,67$; проверка: $5,67 \cdot 3 = 17,01$.

Ответ: 1) 13,5; 40,5 (следующий 1093,5); 2) 9,6; 19,2 (следующий 307,2); 3) 1,89; 5,67.

№ 1013

Запиши формулу $n$-го члена: 1) $2;\ 3\frac{1}{2};\ 5;\ 6\frac{1}{2};\ \ldots$, $a_n = ?$; 2) $\frac{1}{3};\ \frac{2}{3};\ 1;\ 1\frac{1}{3};\ 1\frac{2}{3};\ \ldots$, $c_n = ?$; 3) $5;\ 0,5;\ 0,05;\ 0,005;\ \ldots$, $a_n = ?$

Как думать. Задача повышенной трудности. Выпиши члены рядом с их номерами и ищи, как из номера получить член.

Решение.

1. Каждый раз прибавляется $1\frac{1}{2}$. Член с номером $n$ получается, если к первому прибавить $1\frac{1}{2}$ ровно $(n - 1)$ раз: $a_n = 2 + 1\frac{1}{2} \cdot (n - 1)$. Упростим: $a_n = 1\frac{1}{2}n + \frac{1}{2} = \frac{3n + 1}{2}$. Проверка: $a_1 = \frac{4}{2} = 2$, $a_2 = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$, $a_3 = \frac{10}{2} = 5$. Верно.
2. Запишем все члены в третях: $\frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{3},\ \frac{4}{3},\ \frac{5}{3}$. Числитель равен номеру: $c_n = \frac{n}{3}$.
3. Каждый раз делим на 10. Первый член 5, второй $5 : 10$, третий $5 : 100$, … Член с номером $n$ — это 5, делённое на 10 ровно $(n - 1)$ раз: $a_n = \frac{5}{10^{n-1}}$. Проверка: $a_1 = \frac{5}{10^0} = \frac{5}{1} = 5$, $a_3 = \frac{5}{100} = 0,05$. Верно.

Ответ: 1) $a_n = \frac{3n + 1}{2}$ (или $a_n = 2 + 1\frac{1}{2}(n - 1)$); 2) $c_n = \frac{n}{3}$; 3) $a_n = \frac{5}{10^{n-1}}$.

№ 1014

Первое число $\frac{3}{4}$, каждое следующее в 2 раза больше. Запиши пять чисел.

Как думать. Каждый раз умножаем на 2. Не забудь, что $\frac{6}{4} = 1\frac{1}{2}$.

Решение. $\frac{3}{4} \cdot 2 = \frac{6}{4} = 1\frac{1}{2}$; $1\frac{1}{2} \cdot 2 = 3$; $3 \cdot 2 = 6$; $6 \cdot 2 = 12$.

Ответ: $\frac{3}{4};\ 1\frac{1}{2};\ 3;\ 6;\ 12$.

Шпаргалка

• Сначала ищем разность соседей, потом частное.
• Правило проверяем на нескольких числах, а не на двух.
• Назад идём обратным действием: $+$ меняем на $-$, $\cdot$ на $:$.
• При переходе через целое: $2\frac{8}{9} + \frac{1}{9} = 3$.

Мини-тест