5.1. Множество. Элементы множества. Изображения множеств

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава V: Множества. Страницы 92–96.

Чему научишься

• Понимать, что такое множество и его элементы, и записывать множество в фигурных скобках.
• Пользоваться знаками $\in$ и $\notin$ и записью $n(A)$ — число элементов.
• Узнавать пустое множество $\varnothing$ и отличать конечные множества от бесконечных.
• Задавать множество перечислением и описанием.
• Рисовать множество кругом Эйлера–Венна и читать такие рисунки.

Разбираемся

Что такое множество

Высыпь на стол цветные карандаши — вот тебе множество карандашей. Множество — это набор предметов, собранных вместе по общему признаку. Ученики твоего класса, чётные числа, звёзды на небе — всё это множества.

Каждый предмет, который входит в множество, называют элементом. Карандаш — элемент множества карандашей, ты — элемент множества учеников класса.

🌟 Теорию множеств придумал немецкий математик Георг Кантор (1845–1918) во второй половине XIX века. Сначала его идеи многим казались странными, а теперь на них стоит почти вся математика.

Как записать множество

Множества обозначают большими латинскими буквами: $A$, $B$, $C$… Элементы перечисляют в фигурных скобках через точку с запятой.

Пример. $P$ — множество букв слова «планета»: $P = {\text{п; л; а; н; е; т}}$.

Два правила:

1. Порядок не важен: ${\text{а; п; н; л; т; е}}$ — то же самое множество $P$.
2. Каждый элемент пишут один раз. В «планете» две буквы «а», а в множестве она одна.

Множество натуральных чисел обозначают буквой $N$: $N = {1; 2; 3; 4; \ldots}$.

⚠️ Частая ошибка. Для слова «космос» пишут ${\text{к; о; с; м; о; с}}$ и отвечают «6 элементов». Правильно: ${\text{к; о; с; м}}$ — всего 4. Иди по слову слева направо и пропускай букву, если она уже записана.

Принадлежит или нет

• $a \in B$ читают «$a$ принадлежит множеству $B$». Например, $7 \in N$.
• $c \notin A$ читают «$c$ не принадлежит множеству $A$». Например, $0 \notin N$: нуль не натуральное число.

Число элементов множества $A$ записывают $n(A)$. Для множества всех цифр $A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}$ пишут $n(A) = 10$.

Пустое, конечное, бесконечное

• Пустое множество — в нём нет ни одного элемента. Обозначают $\varnothing$. Примеры: натуральные числа меньше 1; обезьяны на Меркурии.
• Конечное — элементы можно пересчитать до конца. Цифры — конечное множество. Пустое тоже считают конечным.
• Бесконечное — элементы никогда не кончаются. Например, $N$.

Два способа задать множество

1. Перечислить элементы. $C$ — однозначные нечётные числа: $C = {1; 3; 5; 7; 9}$.
2. Описать свойство. $B$ — натуральные числа меньше 70: $B = {x \mid x \in N,\ x < 70}$. Читают: «множество таких $x$, что $x$ — натуральное и меньше 70». Перечислять 69 чисел долго, а описание помещается в одну строчку.

👨‍👩‍👧 Родителю. Поиграйте: назовите множество («животные у нас дома», «месяцы с буквой р в названии») и попросите ребёнка записать элементы в фигурных скобках и назвать $n$. Потом спросите: «Кошка принадлежит этому множеству?» — пусть ответит записью со знаком $\in$ или $\notin$.

Множества-круги

Множество удобно рисовать кругом. Элементы — точки внутри круга, всё остальное — снаружи. Такие рисунки называют кругами Эйлера–Венна в честь швейцарца Леонарда Эйлера (1707–1783) и англичанина Джона Венна (1834–1923).

Пример. $A$ — чётные цифры: $A = {0; 2; 4; 6; 8}$. Внутри круга 0, 2, 4, 6, 8. Снаружи можно поставить 7 и букву $b$. Значит, $2 \in A$, $7 \notin A$, $b \notin A$.

А если кругов два, они могут пересекаться. Возьмём ещё $B$ — цифры больше 5: $B = {6; 7; 8; 9}$. Цифры 6 и 8 попадают в оба круга сразу — они в общей части.

👨‍👩‍👧 Родителю. Проверьте, что ребёнок, выписывая элементы множества $A$, берёт и точки из общей части, а не только из «своей» половины круга.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Сколько элементов в множестве букв слова «квадрат»? $A = {\text{к; в; а; д; р; т}}$, «а» пишем один раз, $n(A) = 6$. При этом $\text{д} \in A$, а $\text{с} \notin A$.
• Приведи примеры множеств. Дни недели, ученики класса, делители числа 10, натуральные числа.
• Как называют предметы, из которых состоит множество? Элементами множества.
• Какое множество называют пустым? То, в котором нет ни одного элемента. Обозначение $\varnothing$.
• Что означают записи $x \in A$ и $x \notin B$? $x$ — элемент множества $A$; $x$ не входит в множество $B$.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 1015

Посчитай устно: 1) $20,2 : 0,2$; $40,4 : 0,2$; $60,6 : 0,2$; 2) $30,3 : 0,3$; $60,6 : 0,3$; $90,9 : 0,3$; 3) $12,12 : 0,12$; $36,36 : 0,12$; $48,48 : 0,12$; 4) $15,15 : 0,15$; $45,45 : 0,15$; $75,75 : 0,15$.

Как думать. Переносим запятую в делимом и делителе одинаково: $20,2 : 0,2 = 202 : 2$. Заметь хитрость: каждый ответ — число вида «101 · что-то».

Решение.

1. $202 : 2 = 101$; $404 : 2 = 202$; $606 : 2 = 303$.
2. $303 : 3 = 101$; $606 : 3 = 202$; $909 : 3 = 303$.
3. $1212 : 12 = 101$; $3636 : 12 = 303$; $4848 : 12 = 404$.
4. $1515 : 15 = 101$; $4545 : 15 = 303$; $7575 : 15 = 505$.

Ответ: 1) 101; 202; 303. 2) 101; 202; 303. 3) 101; 303; 404. 4) 101; 303; 505.

№ 1016

Прочитай: 1) $72 \in N$; 2) $3,7 \notin N$; 3) $\frac{3}{5} \notin N$; 4) $9 \in N$.

Как думать. $\in$ — «принадлежит», $\notin$ — «не принадлежит», $N$ — натуральные числа.

Решение.

1. «72 принадлежит множеству натуральных чисел» (72 — натуральное число);
2. «3,7 не принадлежит множеству натуральных чисел»;
3. «три пятых не принадлежит множеству натуральных чисел»;
4. «9 принадлежит множеству натуральных чисел».

Ответ: прочитано выше.

Уровень A

№ 1017

Как называют множество: 1) работников, которые учат школьников; 2) людей, которые пишут музыку на стихи; 3) работников, которые лечат людей; 4) ребят, которые учатся в школе?

Как думать. Ищи одно слово, которое называет сразу всех.

Ответ: 1) учителя (педагоги); 2) композиторы; 3) врачи (медики); 4) школьники (ученики).

№ 1018

Запиши перечислением и найди число элементов: 1) $A$ — буквы слова «математика»; 2) $B$ — буквы слова «космос»; 3) $C$ — буквы слова «транспортир».

Как думать. Повторяющиеся буквы пишем один раз.

Решение.

1. м-а-т-е-м-а-т-и-к-а: новые буквы м, а, т, е, и, к. $A = {\text{м; а; т; е; и; к}}$.
2. к-о-с-м-о-с: новые буквы к, о, с, м. $B = {\text{к; о; с; м}}$.
3. т-р-а-н-с-п-о-р-т-и-р: новые буквы т, р, а, н, с, п, о, и. $C = {\text{т; р; а; н; с; п; о; и}}$.

Ответ: 1) $n(A) = 6$; 2) $n(B) = 4$; 3) $n(C) = 8$.

№ 1019

Какие множества пустые: 1) $E$ — рыбы на Венере; 2) $D$ — рыжие ученики школы; 3) $K$ — воробьи, которые продолжают клевать зерно после того, как кошка схватила одного из них? Запиши с обозначением.

Как думать. Пункт 3 — задача-шутка на смекалку. Представь, что сделают остальные воробьи.

Решение.

1. На Венере нет воды и жизни, рыб там нет: $E = \varnothing$.
2. Рыжие ученики в школе обычно есть, так что это множество, как правило, не пустое: $D \ne \varnothing$.
3. Кошка схватила воробья — остальные испугались и улетели. Клевать некому: $K = \varnothing$.

Ответ: пустые множества $E = \varnothing$ и $K = \varnothing$.

№ 1020

На рисунке круг $A$ — двузначные простые числа до 20. Внутри круга 11, 19, 13, 17, снаружи — 25 и 12. 1) Запиши $A$ перечислением. 2) Найди число элементов. 3) Какие числа не принадлежат $A$?

Как думать. Простое число делится только на 1 и на себя. Проверь каждое число и посмотри, меньше ли оно 20.

Решение. 11, 13, 17, 19 — простые двузначные числа меньше 20. Число 12 делится на 2, а 25 больше 20 и делится на 5.

Ответ: 1) $A = {11; 13; 17; 19}$; 2) $n(A) = 4$; 3) $12 \notin A$, $25 \notin A$.

Уровень B

№ 1021

Как называют множество: 1) чисел, которыми считают предметы; 2) точек плоскости, одинаково удалённых от точки $O$; 3) фигур из двух лучей, выходящих из одной точки?

Как думать. Вспомни названия из прошлых тем: числа, циркуль, транспортир.

Ответ: 1) натуральные числа $N$; 2) окружность с центром $O$; 3) углы.

№ 1022

Запиши перечислением: 1) $A$ — двузначные числа, которые оканчиваются нулём; 2) $B$ — правильные дроби со знаменателем 6; 3) $C$ — неправильные дроби с числителем 7.

Как думать. Правильная дробь — числитель меньше знаменателя. Неправильная — числитель больше знаменателя или равен ему.

Решение.

1. $A = {10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90}$.
2. Числители от 1 до 5: $B = \left{\frac{1}{6}; \frac{2}{6}; \frac{3}{6}; \frac{4}{6}; \frac{5}{6}\right}$.
3. Знаменатели от 1 до 7: $C = \left{\frac{7}{1}; \frac{7}{2}; \frac{7}{3}; \frac{7}{4}; \frac{7}{5}; \frac{7}{6}; \frac{7}{7}\right}$.

Ответ: см. решение; $n(A) = 9$, $n(B) = 5$, $n(C) = 7$.

№ 1023

Конечное или бесконечное множество: 1) точки на отрезке; 2) точки на прямой; 3) делители числа 12; 4) кратные числа 12?

Как думать. Отрезок короткий, но точек на нём бесконечно много: между любыми двумя точками всегда найдётся ещё одна.

Решение. Точки отрезка и прямой не пересчитать. Делители 12 — это ${1; 2; 3; 4; 6; 12}$, их 6. Кратные 12 — это 12, 24, 36, … без конца.

Ответ: 1) бесконечное; 2) бесконечное; 3) конечное (${1; 2; 3; 4; 6; 12}$); 4) бесконечное (12, 24, 36, … без конца).

⚠️ Частая ошибка. Путают делители и кратные. Делители числа 12 не больше 12, их мало. Кратные 12 — это 12, 24, 36, … и они никогда не кончаются.

№ 1024

Известно: $1 \in A$; $2 \notin A$; $3 \in A$; $4 \notin A$; $5 \in A$; $15 \in A$. Нарисуй круг Эйлера–Венна и опиши элементы множества $A$.

Как думать. Знак $\in$ — точку ставим внутрь круга, знак $\notin$ — снаружи. Потом смотрим, что общего у чисел внутри.

Решение.

1. Рисуем круг и подписываем $A$. Внутри ставим 1, 3, 5, 15.
2. Снаружи ставим 2 и 4.
3. Числа 1, 3, 5, 15 — это все делители числа 15. Все они нечётные, а 2 и 4 — чётные.

Ответ: внутри круга 1, 3, 5, 15; снаружи 2, 4. $A$ может быть множеством делителей числа 15: $A = {1; 3; 5; 15}$. Можно также сказать, что элементы $A$ — нечётные числа.

№ 1025

$B$ — множество делителей числа 36. Запиши $B$ перечислением и найди число элементов.

Как думать. Ищем делители парами: $1 \cdot 36$, $2 \cdot 18$, $3 \cdot 12$, $4 \cdot 9$, $6 \cdot 6$.

Решение. $B = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}$. Число 6 из пары $6 \cdot 6$ пишем один раз.

Ответ: $B = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}$, $n(B) = 9$.

№ 1026

$A$ — множество двузначных чисел, кратных 11. Запиши перечислением и найди число элементов.

Как думать. Умножаем 11 на 1, 2, 3… пока число двузначное.

Решение. $11 \cdot 1 = 11$, …, $11 \cdot 9 = 99$; $11 \cdot 10 = 110$ — уже трёхзначное.

Ответ: $A = {11; 22; 33; 44; 55; 66; 77; 88; 99}$, $n(A) = 9$.

№ 1027

Из четырёх кусков проволоки по 42 см, не разрезая, сложили каркас куба. Найди объём куба. Варианты: A. 2876 см³; B. 2872 см³; C. 2744 см³; D. 2978 см³.

Как думать. Вся проволока ушла на 12 одинаковых рёбер. Найдём одно ребро, а потом объём.

Решение.

1. Вся проволока: $42 \cdot 4 = 168$ (см).
2. У куба 12 одинаковых рёбер: $168 : 12 = 14$ (см) — ребро. (Каждый кусок сгибают на 3 ребра: $3 \cdot 14 = 42$.)
3. Объём: $14 \cdot 14 \cdot 14 = 2744$ (см³).

Ответ: C. 2744 см³.

Уровень C

№ 1028

Как называют множество: 1) натуральных чисел, у которых ровно два делителя — 1 и само число; 2) натуральных чисел, которые делятся на 2 без остатка; 3) обыкновенных дробей с числителем 1; 4) чисел в десятичной записи с разрядами меньше единицы?

Как думать. Всё это знакомые названия из прошлых глав.

Ответ: 1) простые числа; 2) чётные числа; 3) доли (дроби вида $\frac{1}{n}$: половина, треть, четверть…); 4) десятичные дроби.

№ 1029

Составь множества $A$, $B$, $C$ двузначных чисел, в записи которых только цифры: 1) 2 и 6; 2) 0, 1 и 7; 3) 3, 5 и 9.

Как думать. Цифры могут повторяться (например, 22). Начинать число с нуля нельзя. Перебираем первую цифру и к ней — все возможные вторые.

Решение.

1. Первая 2: 22, 26. Первая 6: 62, 66. $A = {22; 26; 62; 66}$.
2. Первая 1: 10, 11, 17. Первая 7: 70, 71, 77. С нуля начинать нельзя. $B = {10; 11; 17; 70; 71; 77}$.
3. Первая 3: 33, 35, 39. Первая 5: 53, 55, 59. Первая 9: 93, 95, 99. $C = {33; 35; 39; 53; 55; 59; 93; 95; 99}$.

Ответ: $A = {22; 26; 62; 66}$; $B = {10; 11; 17; 70; 71; 77}$; $C = {33; 35; 39; 53; 55; 59; 93; 95; 99}$.

№ 1030

На рисунке два пересекающихся круга $A$ и $B$: только в $A$ — 15; в общей части — 1, 3, 5; только в $B$ — 9 и 7. Запиши $A$ и $B$, их число элементов и элементы, которые не принадлежат каждому из них.

Как думать. Общая часть кругов принадлежит обоим множествам сразу.

Решение.

1. $A$ — всё внутри левого круга: 15 и общая часть 1, 3, 5. $A = {1; 3; 5; 15}$.
2. $B$ — всё внутри правого круга: общая часть 1, 3, 5 и точки 7, 9. $B = {1; 3; 5; 7; 9}$.
3. Множеству $A$ не принадлежат 7 и 9; множеству $B$ не принадлежит 15.

Ответ: 1) $A = {1; 3; 5; 15}$, $B = {1; 3; 5; 7; 9}$; 2) $n(A) = 4$, $n(B) = 5$; 3) $7 \notin A$, $9 \notin A$; $15 \notin B$.

№ 1031

Запиши перечислением $A = {x \mid x \in N,\ x$ — делитель числа $12}$.

Как думать. Читаем: «натуральные $x$, которые делят 12». Ищем делители парами.

Решение. Пары делителей: $1 \cdot 12$, $2 \cdot 6$, $3 \cdot 4$.

Ответ: $A = {1; 2; 3; 4; 6; 12}$.

№ 1032

Переведи десятичные дроби в обыкновенные и вычисли: $\left(6\frac{1}{8} - 1,75\right) : \left(9 - 2,2 \cdot \left(5\frac{6}{11} - 3,5\right)\right) \cdot 1\frac{2}{7}$.

Как думать. Сначала все скобки, начиная с самой внутренней. Десятичные дроби сразу превращаем в обыкновенные.

Решение.

1. $1,75 = 1\frac{3}{4}$; $6\frac{1}{8} - 1\frac{6}{8} = 4\frac{3}{8} = \frac{35}{8}$.
2. $3,5 = 3\frac{1}{2}$; $5\frac{6}{11} - 3\frac{1}{2} = 5\frac{12}{22} - 3\frac{11}{22} = 2\frac{1}{22} = \frac{45}{22}$.
3. $2,2 = \frac{11}{5}$; $\frac{11}{5} \cdot \frac{45}{22} = \frac{9}{2}$.
4. $9 - \frac{9}{2} = \frac{9}{2}$.
5. $\frac{35}{8} : \frac{9}{2} = \frac{35}{8} \cdot \frac{2}{9} = \frac{35}{36}$.
6. $\frac{35}{36} \cdot 1\frac{2}{7} = \frac{35}{36} \cdot \frac{9}{7} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$.

Ответ: $1\frac{1}{4}$.

Шпаргалка

• Запись: $A = {1; 3; 5}$; порядок не важен, повторов нет.
• Множества бывают конечные и бесконечные; пустое — конечное.
• Задать множество можно перечислением или свойством: ${x \mid x \in N,\ x < 70}$.
• Круг Эйлера–Венна: элементы внутри, остальное снаружи.
• Общая часть двух кругов принадлежит обоим множествам.

Мини-тест