4.3. Изображение десятичной дроби на координатном луче. Сравнение десятичных дробей

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава IV: Десятичные дроби. Действия над десятичными дробями. Страницы 30–35.

book: ru-5-matematika-aldamuratova-2017 part: 2 lesson: "4.3" title: "Изображение десятичной дроби на координатном луче. Сравнение десятичных дробей" pages: 30-35 kind: lesson time: 40 hook: "Что больше: 0,5 или 0,38? Многие говорят «38 же больше пяти!» — и ошибаются. Сегодня ты научишься не попадаться в эту ловушку."

4.3. Изображение десятичной дроби на координатном луче. Сравнение десятичных дробей

Чему научишься

• Ставить десятичную дробь на координатный луч и читать координату точки.
• Дописывать и убирать нули в конце: $0{,}4 = 0{,}40 = 0{,}400$.
• Сравнивать десятичные дроби по разрядам: целые, десятые, сотые…
• Выстраивать дроби по возрастанию и по убыванию.

Разминка

Посмотри на клетчатый луч: от 0 до 1 ровно 10 клеток. Значит, одна клетка — это $0{,}1$.

• Точка $A$ стоит на 7-й клетке от начала. Её координата? $A(0{,}7)$.

• Точка $B$ — за единицей, посередине между 7-й и 8-й клеткой. Где она? Между $1{,}7$ и $1{,}8$, то есть $B(1{,}75)$.

• Какая координата больше? Точка $A$ левее точки $B$, поэтому $0{,}7 < 1{,}75$.

Разбираемся

Десятичная дробь на луче

Десятичные дроби живут на том же луче, что и обычные числа. Нужно только порезать единичный отрезок на 10 частей — каждая часть будет $0{,}1$. А если надо точнее, каждую десятую режем ещё на 10 — получаются сотые.

Как найти $2{,}57$:

1. Находим на луче число 2.
2. Отрезок от 2 до 3 делим на 10 частей. Отсчитываем 5 частей — это $2{,}5$.
3. Крошечный отрезок от $2{,}5$ до $2{,}6$ снова делим на 10. Отсчитываем 7 — вот и $2{,}57$.

Попробуй сам! Каждое маленькое деление здесь — одна десятая: три деления от нуля — это $0{,}3$, то есть $\frac{3}{10}$.

Нули в хвосте ничего не меняют

$0{,}4$ — это 4 десятых. $0{,}40$ — это 40 сотых. А это одно и то же: $\frac{40}{100} = \frac{4}{10}$. Как 4 монеты по 10 тиынов и 40 монет по 1 тиыну — сумма одинаковая.

Поэтому нули в конце дробной части можно дописывать и отбрасывать: $5{,}2000 = 5{,}2$. А вот нули сразу после запятой трогать нельзя: $2{,}01$ и $2{,}1$ — разные числа.

⚠️ Частая ошибка. Путают «дописать нуль в конце» и «вставить нуль после запятой». $4{,}76 = 4{,}760$, но $4{,}76 \ne 4{,}076$. Нуль можно добавлять только справа.

Кто правее, тот и больше

На луче большее число всегда лежит правее. Например, $2{,}1 > 1{,}5$: точка $2{,}1$ правее точки $1{,}5$. А равные дроби — это одна и та же точка.

Сравниваем по разрядам

Рисовать луч каждый раз долго. Есть способ быстрее — идём по разрядам слева направо, как при сравнении обычных чисел:

1. Целые части: $8{,}26 > 5{,}789$, потому что $8 > 5$. Сколько цифр после запятой — уже не важно.
2. Целые равны — смотрим десятые: $6{,}324 > 6{,}185$, ведь $3 > 1$.
3. И десятые равны — смотрим сотые: $7{,}538 < 7{,}548$, ведь $3 < 4$. И так дальше.

💡 Хитрый приём: уравняй количество знаков нулями. Сравним $0{,}971$ и $0{,}97$: пишем $0{,}970$. Сразу видно: $0{,}971 > 0{,}970$.

⚠️ Частая ошибка. «$0{,}5 < 0{,}38$, ведь 5 меньше 38». Так нельзя: у дробей разное число знаков. Уравниваем: $0{,}50$ и $0{,}38$. Пятьдесят сотых больше тридцати восьми сотых, значит $0{,}5 > 0{,}38$. По смыслу: полметра (50 см) длиннее 38 см.

👨‍👩‍👧 Родителю. Хорошо работают деньги и длина. Спросите: «Что больше — 0,5 м или 0,38 м?» Переведите в сантиметры: 50 см и 38 см. Ребёнок сразу видит ответ и начинает доверять правилу «дописать нули».

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как поставить на луч дробь 0,8? Делим единичный отрезок на 10 равных частей и отсчитываем от нуля 8 таких частей.
• Как сравнить дроби на луче? Та, что правее, больше. Равные дроби — одна и та же точка.
• Как сравнивать поразрядно? Сначала целые части, при равенстве — десятые, потом сотые и т. д. Например, $4{,}253 < 4{,}653$: целые равны, а десятых $2 < 6$.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 755

Сравни устно: 1) 6,2 и 7,1; 2) 5,73 и 5,69; 3) 32,46 и 32,48; 4) 0,638 и 0,648; 5) 0,971 и 0,97; 6) 10,215 и 10,309.

Как думать. Идём слева направо и ищем первый разряд, где цифры разные. В пятой паре сначала допиши нуль.

Решение.

1. Целые: $6 < 7$.
2. Целые равны, десятые: $7 > 6$.
3. Целые и десятые равны, сотые: $6 < 8$.
4. Десятые равны, сотые: $3 < 4$.
5. Дописываем нуль: $0{,}971$ и $0{,}970$, тысячные: $1 > 0$.
6. Целые равны, десятые: $2 < 3$.

Ответ: 1) $6{,}2 < 7{,}1$; 2) $5{,}73 > 5{,}69$; 3) $32{,}46 < 32{,}48$; 4) $0{,}638 < 0{,}648$; 5) $0{,}971 > 0{,}97$; 6) $10{,}215 < 10{,}309$.

Уровень A

№ 756

Найди равные числа и запиши равенства: 1) 2,1; 2,01; 2,100; 2,001; 2) 4,76; 4,706; 4,076; 4,760; 3) 0,5; 0,52; 0,500; 0,5000; 4) 10,900; 10,901; 10,90; 10,9.

Как думать. Сотри у каждого числа нули в хвосте. Если записи совпали — числа равны.

Решение. $2{,}100 \to 2{,}1$; $4{,}760 \to 4{,}76$; $0{,}500 \to 0{,}5$, $0{,}5000 \to 0{,}5$; $10{,}900 \to 10{,}9$, $10{,}90 \to 10{,}9$. Числа $2{,}01$; $2{,}001$; $4{,}706$; $4{,}076$; $0{,}52$; $10{,}901$ пары не имеют.

Ответ: 1) $2{,}1 = 2{,}100$; 2) $4{,}76 = 4{,}760$; 3) $0{,}5 = 0{,}500 = 0{,}5000$; 4) $10{,}900 = 10{,}90 = 10{,}9$.

№ 757

Запиши координаты точек $A$, $B$, $C$, $D$ на рисунке 4.6 и сравни $A$ и $B$, $D$ и $C$, $A$ и $D$.

Как думать. На рисунке луч с числами 0, 1, 2, 3; каждый единичный отрезок разбит на 10 частей, одно деление — $0{,}1$. Точка $A$ — 6-е деление от 0, $B$ — 3-е деление после 1, $C$ — 4-е деление после 2, $D$ — 9-е деление после 2.

Решение. $A(0{,}6)$, $B(1{,}3)$, $C(2{,}4)$, $D(2{,}9)$.

• $0{,}6 < 1{,}3$ (целые $0 < 1$);
• $2{,}9 > 2{,}4$ (десятые $9 > 4$);
• $0{,}6 < 2{,}9$ (целые $0 < 2$).

Ответ: $A(0{,}6)$, $B(1{,}3)$, $C(2{,}4)$, $D(2{,}9)$; $A < B$, $D > C$, $A < D$.

№ 758

Замени дробь равной, без лишних нулей: 1) 5,2000; 2) 86,0500; 3) 0,09300; 4) 0,007000.

Как думать. Стираем только нули в самом конце. Нули сразу после запятой — «держатели мест», их не трогаем.

Решение. Отбрасываем нули в конце дробной части. Нули после запятой перед значащими цифрами оставляем.

Ответ: 1) $5{,}2000 = 5{,}2$; 2) $86{,}0500 = 86{,}05$; 3) $0{,}09300 = 0{,}093$; 4) $0{,}007000 = 0{,}007$.

№ 759

Поставь

Как думать. Где число знаков разное ($0{,}4$ и $0{,}39$), сначала уравняй нулями.

Решение.

1. $2 < 3$, значит $2{,}7 < 3{,}6$. $0{,}40$ и $0{,}39$: $40 > 39$ сотых, $0{,}4 > 0{,}39$. $0{,}10$ и $0{,}99$: $0{,}1 < 0{,}99$.
2. $8 > 7$: $8{,}30 > 7{,}94$. $0{,}47$ и $0{,}50$: $0{,}47 < 0{,}5$. $5 < 6$: $5{,}21 < 6{,}0$.
3. Десятые равны, сотые $0 < 1$: $7{,}308 < 7{,}312$. Целые равны, десятые $9 > 8$: $14{,}901 > 14{,}890$. Целые $56 > 51$: $56{,}053 > 51{,}983$.

Ответ: 1)

№ 760

Где числа возрастают, а где убывают: 1) 0,1; 0,03; 0,004; 0,0005; …; 2) 0,9; 0,89; 0,789; 0,6789; …; 3) 0,5; 0,55; 0,555; 0,5555; …; 4) 0,8; 0,87; 0,878; 0,8787; …?

Как думать. Не верь глазам: «длиннее» не значит «больше». Уравняй все числа до четырёх знаков — и сравнивай.

Решение.

1. $0{,}1000 > 0{,}0300 > 0{,}0040 > 0{,}0005$ — убывают.
2. $0{,}9000 > 0{,}8900 > 0{,}7890 > 0{,}6789$ — убывают.
3. $0{,}5000 < 0{,}5500 < 0{,}5550 < 0{,}5555$ — возрастают.
4. $0{,}8000 < 0{,}8700 < 0{,}8780 < 0{,}8787$ — возрастают.

Ответ: по убыванию — 1) и 2); по возрастанию — 3) и 4).

№ 761

Запиши величины десятичными дробями и сравни: 1) 3 кг 485 г и 4 кг 80 г; 2) 8 км 610 м и 8 км 490 м; 3) 5 т 7 кг и 7 т 500 кг; 4) 6 кг 310 г и 9 кг 50 г; 5) 3 ч 40 мин и 2 ч 50 мин; 6) 26 мин 9 с и 43 мин 16 с.

Как думать. 1 г = 0,001 кг, 1 м = 0,001 км, 1 кг = 0,001 т. Граммы, метры и килограммы пишем тремя цифрами после запятой: 80 г = 0,080 кг. А вот с часами и минутами осторожно — там не 100, а 60!

Решение.

1. $3{,}485$ кг и $4{,}080$ кг: $3{,}485 < 4{,}08$.
2. $8{,}61$ км и $8{,}49$ км: $8{,}61 > 8{,}49$.
3. $5{,}007$ т и $7{,}5$ т: $5{,}007 < 7{,}5$.
4. $6{,}31$ кг и $9{,}05$ кг: $6{,}31 < 9{,}05$.
5. В часе 60 минут, а не 100. $40\text{ мин} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ ч, $50\text{ мин} = \frac{5}{6}$ ч. Знаменатели содержат тройку, поэтому точно десятичной дробью эти величины не записываются. Сравнить всё равно легко: целых часов $3 > 2$, значит $3\text{ ч } 40\text{ мин} > 2\text{ ч } 50\text{ мин}$.
6. $9\text{ с} = \frac{9}{60} = \frac{3}{20} = 0{,}15$ мин, значит $26\text{ мин } 9\text{ с} = 26{,}15$ мин. $16\text{ с} = \frac{16}{60} = \frac{4}{15}$ мин — десятичной не записывается. Сравниваем по целым минутам: $26 < 43$.

Ответ: 1) $3{,}485\text{ кг} < 4{,}08\text{ кг}$; 2) $8{,}61\text{ км} > 8{,}49\text{ км}$; 3) $5{,}007\text{ т} < 7{,}5\text{ т}$; 4) $6{,}31\text{ кг} < 9{,}05\text{ кг}$; 5) $3\text{ ч } 40\text{ мин} > 2\text{ ч } 50\text{ мин}$; 6) $26\text{ мин } 9\text{ с} < 43\text{ мин } 16\text{ с}$.

№ 762

Перед вагоном Антона столько же вагонов, сколько после него. Сколько вагонов в поезде, если перед Антоном 7 вагонов? В каком вагоне Антон, если всего 19 вагонов?

Как думать. Вагон Антона — ровно в середине. Не забудь посчитать и сам этот вагон!

Решение.

1. Перед Антоном 7, после него тоже 7, и ещё его вагон: $7 + 1 + 7 = 15$ вагонов.
2. Без вагона Антона остаётся $19 - 1 = 18$ вагонов, по $18 : 2 = 9$ с каждой стороны. Перед ним 9 вагонов, значит, его вагон 10-й.

Ответ: 15 вагонов; Антон едет в 10-м вагоне.

Уровень B

№ 763

Из цифр 1, 3, 5, 8 и запятой составь наибольшую и наименьшую десятичные дроби.

Как думать. Каждую цифру берём один раз. Чем больше цифр до запятой и чем крупнее старшие цифры, тем больше число. Запятая обязательна, и после неё должна стоять хотя бы одна цифра.

Решение.

1. Наибольшая: три цифры до запятой по убыванию и одна после — $853{,}1$.
2. Наименьшая: одна цифра до запятой (самая маленькая — 1), остальные после неё по возрастанию — $1{,}358$.

Ответ: $853{,}1$ и $1{,}358$.

№ 764

Переведи обыкновенные дроби в десятичные и расставь числа: 1) по возрастанию: 1,4; $\frac{4}{5}$; 0,3; $\frac{1}{10}$; 0,5; $2\frac{3}{5}$; 0,2; 2) по убыванию: 0,7; $1\frac{1}{2}$; 0,4; 1,9; $1\frac{1}{5}$; $1\frac{3}{10}$.

Как думать. Когда все числа записаны с запятой, их легко выстроить в очередь, как ребят по росту.

Решение.

1. $\frac{4}{5} = 0{,}8$; $\frac{1}{10} = 0{,}1$; $2\frac{3}{5} = 2{,}6$. По возрастанию: $0{,}1 < 0{,}2 < 0{,}3 < 0{,}5 < 0{,}8 < 1{,}4 < 2{,}6$.
2. $1\frac{1}{2} = 1{,}5$; $1\frac{1}{5} = 1{,}2$; $1\frac{3}{10} = 1{,}3$. По убыванию: $1{,}9 > 1{,}5 > 1{,}3 > 1{,}2 > 0{,}7 > 0{,}4$.

Ответ: 1) 0,1; 0,2; 0,3; 0,5; 0,8; 1,4; 2,6; 2) 1,9; 1,5; 1,3; 1,2; 0,7; 0,4.

№ 765

*Замени звёздочки цифрами, чтобы двойное неравенство было верным: 1) $3{,}735 < 3{,}*61 < 3{,}45$; 2) $0{,}889 < 0{,}9 < 0{,}1$; 3) $2{,}887 < 2{,}86 < 2{,}*13$; 4) $7{,}672 < *{,}315 < {,}111$.

Как думать. Разбираем по одной звёздочке слева направо. Звёздочки в одном неравенстве могут быть разными цифрами.

Решение.

1. $3{,}*61 > 3{,}735$: десятые должны быть не меньше 7. При 7 получаем $3{,}761 > 3{,}735$ — подходит. Вторая звёздочка: $3{,}*45 > 3{,}*61$ — десятые здесь должны быть больше, чем в среднем числе. Варианты: $3{,}761 < 3{,}845$, $3{,}761 < 3{,}945$, $3{,}861 < 3{,}945$.
2. $0{,}9*$ всегда больше $0{,}889$. Но $0{,}1$ должно быть больше $0{,}9$, значит в нём 9 десятых: $0{,}91$. Тогда $0{,}9* < 0{,}91$ — только $0{,}90$.
3. $2{,}8*6 > 2{,}887$: при 8 выходит $2{,}886$ — мало; подходит только 9: $2{,}896$. Тогда $2{,}*13 > 2{,}896$ — нужно 9 десятых: $2{,}913$.
4. ${,}315 > 7{,}672$: целая часть больше 7, то есть 8 или 9. ${,}111 > *{,}315$: целая часть ещё больше. Единственный вариант: $8{,}315$ и $9{,}111$.

Ответ: 1) например, $3{,}735 < 3{,}761 < 3{,}845$ (подходят также $3{,}761 < 3{,}945$ и $3{,}861 < 3{,}945$); 2) $0{,}889 < 0{,}90 < 0{,}91$; 3) $2{,}887 < 2{,}896 < 2{,}913$; 4) $7{,}672 < 8{,}315 < 9{,}111$.

№ 766

Найди координаты точек $A$, $B$, $C$, $D$ на рисунке 4.7 и составь 6 неравенств.

Как думать. На рисунке луч от 0 до 8; отрезки от 1 до 3 и от 4 до 6 разбиты на 10 частей. $A$ — 5-е деление после 1, $B$ — 2-е деление после 2, $C$ — 9-е деление после 4, $D$ — 5-е деление после 5.

Решение. $A(1{,}5)$, $B(2{,}2)$, $C(4{,}9)$, $D(5{,}5)$. Точки идут слева направо в порядке $A$, $B$, $C$, $D$, поэтому каждая следующая больше предыдущих.

Ответ: $1{,}5 < 2{,}2$; $1{,}5 < 4{,}9$; $1{,}5 < 5{,}5$; $2{,}2 < 4{,}9$; $2{,}2 < 5{,}5$; $4{,}9 < 5{,}5$.

№ 767

Сравни поразрядно: 1) 4,899 и 4,9; 2) 8,205 и 18,205; 3) 7,5 и 7,4; 4) 5,703 и 5,69; 5) 3,607 и 3,608; 6) 2,057 и 2,067; 7) 0,0084 и 0,084; 8) 0,3669 и 0,3619; 9) 40,3702 и 41,37.

Как думать. Ищем первый разряд слева, где цифры отличаются. Всё, что дальше, уже не важно.

Решение.

1. Целые равны, десятые $8 < 9$.
2. Целые $8 < 18$.
3. Десятые $5 > 4$.
4. Десятые $7 > 6$.
5. Тысячные $7 < 8$.
6. Сотые $5 < 6$.
7. $0{,}0084$ и $0{,}0840$: сотые $0 < 8$.
8. Тысячные $6 > 1$.
9. Целые $40 < 41$.

Ответ: 1) $4{,}899 < 4{,}9$; 2) $8{,}205 < 18{,}205$; 3) $7{,}5 > 7{,}4$; 4) $5{,}703 > 5{,}69$; 5) $3{,}607 < 3{,}608$; 6) $2{,}057 < 2{,}067$; 7) $0{,}0084 < 0{,}084$; 8) $0{,}3669 > 0{,}3619$; 9) $40{,}3702 < 41{,}37$.

№ 768

Из 9 одинаковых на вид колец одно тяжелее. Сколько взвешиваний на чашечных весах без гирь нужно, чтобы его найти?

Как думать. Задача на смекалку. У одного взвешивания три исхода: левая чашка тяжелее, правая тяжелее, равновесие. Поэтому делим кольца не на две, а на три кучки.

Решение.

1. Делим 9 колец на три кучки по 3. Кладём две кучки на весы. Если одна перевесила, тяжёлое кольцо в ней. Если равновесие — в третьей кучке.
2. Из найденной тройки кладём по одному кольцу на чашки. Перевесило — это оно. Равновесие — тяжёлое то, что осталось.

Ответ: два взвешивания.

№ 769

Масса 1 см³ пяти металлов — 11,3 г; 19,3 г; 21,5 г; 8,9 г; 10,5 г. Серебро тяжелее меди, но легче свинца. Золото легче платины, но тяжелее свинца. Найди массу каждого.

Как думать. Собери из подсказок одну цепочку «кто легче — кто тяжелее», а потом раздай массы по порядку.

Решение.

1. Из условий: медь < серебро < свинец и свинец < золото < платина.
2. Получается цепочка: медь < серебро < свинец < золото < платина.
3. Расставляем массы по возрастанию: $8{,}9 < 10{,}5 < 11{,}3 < 19{,}3 < 21{,}5$.

Ответ: медь — 8,9 г, серебро — 10,5 г, свинец — 11,3 г, золото — 19,3 г, платина — 21,5 г.

№ 770

Туристы проехали $\frac{1}{4}$ пути на поезде, $\frac{1}{5}$ — на автобусе, остальное проплыли на катере. Какую часть пути проплыли? Запиши части десятичными дробями по убыванию.

Как думать. Весь путь — это 1. Вычтем из него то, что проехали на поезде и автобусе.

Решение.

1. $\frac{1}{4} = 0{,}25$, $\frac{1}{5} = 0{,}2$.
2. На катере: $1 - 0{,}25 - 0{,}2 = 0{,}55$ пути.
3. По убыванию: $0{,}55 > 0{,}25 > 0{,}2$.

Ответ: на катере — 0,55 пути; части по убыванию: 0,55 (катер), 0,25 (поезд), 0,2 (автобус).

№ 771

Автобус едет со скоростью $56\frac{2}{5}$ км/ч. Через 1 ч за ним выехала машина. Через 2 ч она догнала автобус и ушла вперёд на 10 км. Найди скорость машины.

Как думать. Главная ловушка — время. Машина ехала 2 часа, а автобус выехал на час раньше — он в пути уже 3 часа.

Решение.

1. $56\frac{2}{5} = 56{,}4$ км/ч.
2. Машина ехала 2 ч, автобус к этому моменту ехал $1 + 2 = 3$ ч.
3. Автобус проехал: $56{,}4 \cdot 3 = 169{,}2$ км.
4. Машина проехала на 10 км больше: $169{,}2 + 10 = 179{,}2$ км.
5. Скорость машины: $179{,}2 : 2 = 89{,}6$ км/ч.

Проверка: $89{,}6 \cdot 2 = 179{,}2$; $179{,}2 - 169{,}2 = 10$. Верно.

Ответ: 89,6 км/ч.

Уровень C

№ 772

Найди равные дроби: 1) 0,7; 0,07; 0,707; 0,700; 0,7070; 0,070; 2) 2,300; 2,03; 2,303; 2,3; 2,3030; 2,030.

Как думать. Тот же приём, что в № 756: стираем нули в хвосте и ищем одинаковые записи.

Решение. Отбрасываем нули в конце: $0{,}700 \to 0{,}7$; $0{,}070 \to 0{,}07$; $0{,}7070 \to 0{,}707$; $2{,}300 \to 2{,}3$; $2{,}030 \to 2{,}03$; $2{,}3030 \to 2{,}303$.

Ответ: 1) $0{,}7 = 0{,}700$; $0{,}07 = 0{,}070$; $0{,}707 = 0{,}7070$; 2) $2{,}300 = 2{,}3$; $2{,}03 = 2{,}030$; $2{,}303 = 2{,}3030$.

№ 773

Найди наибольшее и наименьшее из трёх чисел и запиши двойное неравенство: 1) 18,6; 0,186; 1,86; 2) 5,261; 52,61; 0,5261; 3) 68,3; 6,83; 0,683; 4) 81,243; 0,81243; 8,1243.

Как думать. Цифры одинаковые, «гуляет» только запятая. Значит, сравниваем целые части: у кого их больше, тот и больше.

Решение. В каждой тройке у одного числа целая часть 0, у другого — однозначная, у третьего — двузначная. Так и расставляем.

Ответ: 1) $0{,}186 < 1{,}86 < 18{,}6$; 2) $0{,}5261 < 5{,}261 < 52{,}61$; 3) $0{,}683 < 6{,}83 < 68{,}3$; 4) $0{,}81243 < 8{,}1243 < 81{,}243$.

№ 774

Поставь цифру вместо звёздочки: 1) $4{,}0 > 4{,}08$; 2) $6{,}7* < 6{,}71$; 3) $9{,}2*9 > 9{,}289$; 4) $10{,}83 < 10{,}*2$; 5) $1{,}187 > 1{,}*96$; 6) $0{,}628 < 0{,}62*$; 7) $99{,}13 > 99{,}5$; 8) $5{,}317 > 5{,}39$; 9) $45{,}8 < 45{,}0$.

Как думать. Пробуем «пограничную» цифру (ту же, что в соседнем числе) и смотрим, хватает ли её. Если нет — берём соседнюю.

Решение.

1. Нужно больше 8 сотых: 9. $4{,}09 > 4{,}08$.
2. Нужно меньше 1 сотой: 0. $6{,}70 < 6{,}71$.
3. При 8 получится $9{,}289$ — равно, не подходит. Только 9: $9{,}299 > 9{,}289$.
4. При 8 получится $10{,}82 < 10{,}83$ — мало. Только 9: $10{,}92$.
5. При 1 получится $1{,}196 > 1{,}187$ — много. Только 0: $1{,}096 < 1{,}187$.
6. Нужно больше 8 тысячных: 9. $0{,}629$.
7. При 1 получится $99{,}15 > 99{,}13$. Только 0: $99{,}05$.
8. При 1 получится $5{,}319 > 5{,}317$. Только 0: $5{,}309$.
9. При 8 получится $45{,}80 = 45{,}8$ — равно. Только 9: $45{,}90$.

Ответ: 1) 9; 2) 0; 3) 9; 4) 9; 5) 0; 6) 9; 7) 0; 8) 0; 9) 9.

№ 775

Переведи обыкновенную дробь в десятичную и сравни: 1) 1,85 и $1\frac{4}{5}$; 2) 0,2 и $\frac{3}{20}$; 3) 9,45 и $9\frac{9}{20}$; 4) $\frac{8}{25}$ и 0,25; 5) $3\frac{2}{5}$ и 3,9; 6) 7,7 и $7\frac{3}{4}$.

Как думать. Сначала обе дроби — в одну «одежду» (с запятой), потом сравниваем по разрядам.

Решение.

1. $1\frac{4}{5} = 1{,}8$; $1{,}85 > 1{,}80$.
2. $\frac{3}{20} = 0{,}15$; $0{,}20 > 0{,}15$.
3. $9\frac{9}{20} = 9{,}45$ — равны.
4. $\frac{8}{25} = 0{,}32$; $0{,}32 > 0{,}25$.
5. $3\frac{2}{5} = 3{,}4$; $3{,}4 < 3{,}9$.
6. $7\frac{3}{4} = 7{,}75$; $7{,}70 < 7{,}75$.

Ответ: 1) $1{,}85 > 1\frac{4}{5}$; 2) $0{,}2 > \frac{3}{20}$; 3) $9{,}45 = 9\frac{9}{20}$; 4) $\frac{8}{25} > 0{,}25$; 5) $3\frac{2}{5} < 3{,}9$; 6) $7{,}7 < 7\frac{3}{4}$.

№ 776

Единичный отрезок 5 см. Отметь $A(0{,}2)$ и $C(1{,}9)$. 1) Построй $AB$: точка $B$ правее $A$ на 0,9. 2) Построй $CD$: точка $D$ левее $C$ на 0,6. Найди координаты $B$ и $D$.

Как думать. Если единичный отрезок 5 см, то $0{,}1$ единицы — это 5 мм. «Правее на 0,9» — значит прибавить, «левее на 0,6» — вычесть.

Решение.

1. $A(0{,}2)$ — на расстоянии 1 см от начала; $C(1{,}9)$ — на расстоянии 9,5 см.
2. $B$: $0{,}2 + 0{,}9 = 1{,}1$. Откладываем от $A$ вправо 4,5 см, точка $B$ окажется в 5,5 см от начала.
3. $D$: $1{,}9 - 0{,}6 = 1{,}3$. Откладываем от $C$ влево 3 см, точка $D$ окажется в 6,5 см от начала.

Ответ: $B(1{,}1)$; $D(1{,}3)$.

№ 777

Запиши десятичные дроби обыкновенными и вычисли: 1) $\left(6\frac{1}{8} - 1{,}75\right) : \left(9 - 2{,}2 \cdot \left(5\frac{6}{11} - 3{,}5\right)\right) \cdot 1\frac{2}{7}$; 2) $\left(3\frac{5}{6} - 1\frac{2}{15}\right) \cdot \frac{5}{9} + \left(\left(\frac{1}{20} + 0{,}24\right) \cdot 8\frac{1}{3} - 1\frac{1}{6}\right) \cdot 2$.

Как думать. Десятичные дроби здесь мешают: рядом стоят $\frac{6}{11}$ и $\frac{1}{3}$, которые с запятой не запишешь. Поэтому всё переводим в обыкновенные и идём по порядку действий — сначала самые внутренние скобки.

Решение.

1. $1{,}75 = 1\frac{3}{4}$; $2{,}2 = 2\frac{1}{5}$; $3{,}5 = 3\frac{1}{2}$.

1. $6\frac{1}{8} - 1\frac{6}{8} = 4\frac{3}{8} = \frac{35}{8}$.
2. $5\frac{6}{11} - 3\frac{1}{2} = 5\frac{12}{22} - 3\frac{11}{22} = 2\frac{1}{22} = \frac{45}{22}$.
3. $\frac{11}{5} \cdot \frac{45}{22} = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2}$.
4. $9 - 4\frac{1}{2} = 4\frac{1}{2} = \frac{9}{2}$.
5. $\frac{35}{8} : \frac{9}{2} = \frac{35}{8} \cdot \frac{2}{9} = \frac{35}{36}$.
6. $\frac{35}{36} \cdot \frac{9}{7} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$.

2. $0{,}24 = \frac{6}{25}$.

1. $3\frac{25}{30} - 1\frac{4}{30} = 2\frac{21}{30} = 2\frac{7}{10} = \frac{27}{10}$.
2. $\frac{27}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{3}{2}$.
3. $\frac{1}{20} + \frac{6}{25} = \frac{5}{100} + \frac{24}{100} = \frac{29}{100}$.
4. $\frac{29}{100} \cdot \frac{25}{3} = \frac{29}{12}$.
5. $\frac{29}{12} - \frac{7}{6} = \frac{29}{12} - \frac{14}{12} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$.
6. $\frac{5}{4} \cdot 2 = \frac{5}{2}$.
7. $\frac{3}{2} + \frac{5}{2} = 4$.

Ответ: 1) $1\frac{1}{4}$; 2) 4.

Шпаргалка

• Нули в конце дробной части можно дописывать и отбрасывать: $0{,}4 = 0{,}40$.
• На луче большая дробь правее, равные дроби — одна точка.
• Сравниваем поразрядно: целые → десятые → сотые → тысячные.
• Если целые части разные, больше та дробь, у которой целая часть больше, сколько бы цифр ни было после запятой.
• Чтобы не ошибиться, уравниваем число знаков нулями.

Мини-тест