4.4. Сложение и вычитание десятичных дробей — Математика 5 класс, Алдамуратова: разбор и ответы
ААқыл · разбор уроков

Разберём любой номер вместе!

4.4. Сложение и вычитание десятичных дробей

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава IV: Десятичные дроби. Действия над десятичными дробями. Страницы 37–44.

Чему научишься

  • Складывать и вычитать десятичные дроби столбиком: запятая под запятой.
  • Дописывать нули, чтобы знаков после запятой стало поровну.
  • Вычитать дробь из целого числа: $25 - 2{,}64$.
  • Считать хитро — группировать слагаемые так, чтобы выходили целые.
  • Решать задачи про литры, километры и килограммы с запятой.

Разминка

Складываем и вычитаем по разрядам, начиная с самого младшего. Запятая стоит под запятой. Проверь, совпало ли у тебя:

   2,3        13,15        24,783
 + 5,1      +  8,60      + 15,060
 -----      -------      --------
   7,4        21,75        39,843

   3,7         7,21         25,00
 - 1,2       - 1,50       -  2,64
 -----       ------       -------
   2,5         5,71         22,36
  • Зачем к 8,6 дописали нуль? Чтобы сотые встали под сотыми: $8{,}6 = 8{,}60$.
  • А зачем к 25 — запятую и два нуля? Без них не из чего вычитать 64 сотых: $25 = 25{,}00$.

Разбираемся

Почему это работает

Сложим $3{,}46$ и $5{,}271$. Допишем нуль: $3{,}460$. Теперь обе дроби — тысячные: $\frac{3460}{1000} + \frac{5271}{1000} = \frac{8731}{1000} = 8{,}731$.

Получается, мы просто сложили обычные числа 3460 и 5271, а потом вернули запятую на место. Столбик делает то же самое, только быстрее.

Столбик в четыре шага

  1. Уравниваем число знаков после запятой — дописываем нули справа.
  2. Пишем числа друг под другом: запятая под запятой, разряд под разрядом.
  3. Складываем или вычитаем, как обычные числа, справа налево.
  4. В ответе ставим запятую под запятыми.
     1 1 1            . .            .
   34,683           17,23          49,00
 +  8,564         -  8,45        - 44,72
 --------         -------        -------
   43,247            8,78           4,28

Единица сверху — это перенос в следующий разряд. Точка — значит, заняли единицу у соседа.

Пройди сам самый коварный пример — где у чисел разное количество знаков:

⚠️ Частая ошибка. Ставят числа «по правому краю», как обычные:

  9,2
+ 3,518      ← неверно: 2 десятых оказались под 8 тысячными

Ровняй по запятой! Если ответ вышел, например, $3{,}610$ — разряды поехали. Прикидка всегда выручит.

Целое число тоже носит запятую

Любое целое можно переодеть: $49 = 49{,}00$. Так из него удобно вычитать дробь.

⚠️ Частая ошибка. В $49 - 44{,}72$ забывают про дробную часть и пишут $5{,}72$ или $4{,}72$. Допиши к 49 запятую и два нуля: $49{,}00 - 44{,}72 = 4{,}28$. Проверка сложением: $44{,}72 + 4{,}28 = 49$.

Старые законы — новые числа

Все свойства сложения, которые ты знаешь, работают и с десятичными дробями. Они помогают считать в уме:

  • переместительное: $14{,}25 + 7{,}341 = 7{,}341 + 14{,}25$;
  • сочетательное: $(15{,}224 + 8{,}1) + 1{,}9 = 15{,}224 + (8{,}1 + 1{,}9) = 15{,}224 + 10 = 25{,}224$;
  • вычитание числа из суммы: $(5{,}46 + 1{,}78) - 2{,}46 = (5{,}46 - 2{,}46) + 1{,}78 = 3 + 1{,}78 = 4{,}78$;
  • вычитание суммы из числа: $4{,}25 - (1{,}89 + 0{,}25) = (4{,}25 - 0{,}25) - 1{,}89 = 4 - 1{,}89 = 2{,}11$.

💡 Главный фокус: ищи «друзей» — пары, которые вместе дают целое число. $8{,}1 + 1{,}9 = 10$, $0{,}75 + 0{,}25 = 1$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Когда ребёнок станет считать уверенно, нули можно дописывать мысленно. Но пока ошибки есть, просите писать нули явно. И приучайте к проверке: сумму проверяем вычитанием, разность — сложением.

Проверь, как понял

Проверь себя

  • Как складывают десятичные дроби? Пишут столбиком, запятая под запятой, складывают как обычные числа и ставят запятую в ответе под запятыми. Например, $42{,}538 + 7{,}160 = 49{,}698$.
  • Как сложить дроби с разным числом знаков после запятой? Дописать нули справа к той, где знаков меньше: $15{,}97 + 9{,}864 = 15{,}970 + 9{,}864 = 25{,}834$.
  • Как вычитают десятичные дроби? Так же: уравнять знаки, запятая под запятой, вычитать поразрядно справа налево. $27{,}945 - 14{,}520 = 13{,}425$; $9{,}324 - 2{,}781 = 6{,}543$.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 778

Посчитай цепочки: 1) $0{,}8 + 0{,}7 + 0{,}5 - 1{,}4 + 1{,}9 - 2$; 2) $3{,}4 - 1{,}2 + 1{,}6 - 2{,}5 + 0{,}8 - 1{,}6$; 3) $2{,}9 + 1{,}1 - 1{,}8 + 0{,}7 - 1{,}5 + 0{,}6$.

Как думать. Идём по цепочке шаг за шагом, держа в голове только текущий результат. Десятые складываем, как обычные числа: 8 десятых + 7 десятых = 15 десятых = 1,5.

Решение.

  1. $0{,}8 + 0{,}7 = 1{,}5$; $+0{,}5 = 2$; $-1{,}4 = 0{,}6$; $+1{,}9 = 2{,}5$; $-2 = 0{,}5$.
  2. $3{,}4 - 1{,}2 = 2{,}2$; $+1{,}6 = 3{,}8$; $-2{,}5 = 1{,}3$; $+0{,}8 = 2{,}1$; $-1{,}6 = 0{,}5$.
  3. $2{,}9 + 1{,}1 = 4$; $-1{,}8 = 2{,}2$; $+0{,}7 = 2{,}9$; $-1{,}5 = 1{,}4$; $+0{,}6 = 2$.

Ответ: 1) 0,5; 2) 0,5; 3) 2.

Уровень A

№ 779

Сложи: 1) $0{,}07 + 13{,}23$; $9{,}02 + 4{,}28$; $18{,}36 + 7{,}14$; 2) $85{,}07 + 3{,}03$; $25{,}6 + 0{,}41$; $56 + 0{,}37$; 3) $6{,}3 + 2{,}5 + 0{,}7$; $9{,}2 + 3{,}3 + 1{,}6$; $0{,}1 + 9{,}9 + 1{,}5$.

Как думать. Если в ответе в конце вышел нуль ($13{,}30$), его можно отбросить. В третьей строке поищи «друзей», дающих целое.

Решение.

  1. $13{,}30 = 13{,}3$; $13{,}30 = 13{,}3$; $25{,}50 = 25{,}5$ (нули в конце отбрасываем).
  2. $88{,}10 = 88{,}1$; $25{,}60 + 0{,}41 = 26{,}01$; $56{,}00 + 0{,}37 = 56{,}37$.
  3. $6{,}3 + 0{,}7 = 7$, $7 + 2{,}5 = 9{,}5$; $9{,}2 + 3{,}3 = 12{,}5$, $+1{,}6 = 14{,}1$; $0{,}1 + 9{,}9 = 10$, $+1{,}5 = 11{,}5$.
   25,60       56,00
 +  0,41     +  0,37
 -------     -------
   26,01       56,37

Ответ: 1) 13,3; 13,3; 25,5; 2) 88,1; 26,01; 56,37; 3) 9,5; 14,1; 11,5.

№ 780

Вычисли удобным способом: 1) $(4 + 1{,}8) + 2{,}2$; $1{,}6 + (5 + 3{,}4)$; $(2{,}41 + 13) + 4{,}59$; 2) $0{,}3 + (1{,}7 + 2{,}5)$; $(3{,}8 + 6) + 4{,}2$; $12{,}25 + (8 + 3{,}75)$; 3) $8{,}3 + (2{,}7 + 8)$; $10{,}2 + (1{,}7 + 4{,}8)$; $(46{,}3 + 18) + 4{,}7$.

Как думать. Ищем слагаемые, которые вместе дают целое число, и складываем их первыми.

Решение.

  1. $4 + (1{,}8 + 2{,}2) = 4 + 4 = 8$; $5 + (1{,}6 + 3{,}4) = 5 + 5 = 10$; $13 + (2{,}41 + 4{,}59) = 13 + 7 = 20$.
  2. $(0{,}3 + 1{,}7) + 2{,}5 = 2 + 2{,}5 = 4{,}5$; $6 + (3{,}8 + 4{,}2) = 6 + 8 = 14$; $8 + (12{,}25 + 3{,}75) = 8 + 16 = 24$.
  3. $(8{,}3 + 2{,}7) + 8 = 11 + 8 = 19$; $(10{,}2 + 4{,}8) + 1{,}7 = 15 + 1{,}7 = 16{,}7$; $18 + (46{,}3 + 4{,}7) = 18 + 51 = 69$.

Ответ: 1) 8; 10; 20; 2) 4,5; 14; 24; 3) 19; 16,7; 69.

№ 781

Вычти: 1) $6{,}25 - 4{,}3$; 2) $15{,}9 - 4{,}75$; 3) $7{,}63 - 2{,}51$; 4) $41 - 32{,}5$; 5) $6{,}5 - 4{,}7$; 6) $18{,}3 - 5$; 7) $67{,}45 - 49{,}88$; 8) $61 - 7{,}64$; 9) $95 - 81{,}08$.

Как думать. Уравниваем знаки нулями и считаем столбиком. Если вычитаем целое ($18{,}3 - 5$), дробная часть не меняется.

Решение. Несколько примеров столбиком:

   15,90       67,45       61,00       95,00
 -  4,75     - 49,88     -  7,64     - 81,08
 -------     -------     -------     -------
   11,15       17,57       53,36       13,92
  1. $6{,}25 - 4{,}30 = 1{,}95$; 3) $7{,}63 - 2{,}51 = 5{,}12$; 4) $41{,}0 - 32{,}5 = 8{,}5$; 5) $6{,}5 - 4{,}7 = 1{,}8$; 6) $18{,}3 - 5 = 13{,}3$ (вычитаем только из целой части).

Ответ: 1) 1,95; 2) 11,15; 3) 5,12; 4) 8,5; 5) 1,8; 6) 13,3; 7) 17,57; 8) 53,36; 9) 13,92.

№ 782

Дополни числа: а) 0,3; 0,6; 0,9; 0,35; 0,44 — до 1; ә) 2,7; 3,6; 4,5; 5,9; 9,7 — до 10; б) 35,2; 15,7; 76,9; 95,15; 99,99 — до 100.

Как думать. «Дополнить до 1» — значит найти, сколько не хватает до единицы: $1 - 0{,}3$. Как сдача с купюры!

Решение.

  • а) $1 - 0{,}3 = 0{,}7$; $1 - 0{,}6 = 0{,}4$; $1 - 0{,}9 = 0{,}1$; $1 - 0{,}35 = 0{,}65$; $1 - 0{,}44 = 0{,}56$.
  • ә) $10 - 2{,}7 = 7{,}3$; $10 - 3{,}6 = 6{,}4$; $10 - 4{,}5 = 5{,}5$; $10 - 5{,}9 = 4{,}1$; $10 - 9{,}7 = 0{,}3$.
  • б) $100 - 35{,}2 = 64{,}8$; $100 - 15{,}7 = 84{,}3$; $100 - 76{,}9 = 23{,}1$; $100 - 95{,}15 = 4{,}85$; $100 - 99{,}99 = 0{,}01$.

Ответ: а) 0,7; 0,4; 0,1; 0,65; 0,56; ә) 7,3; 6,4; 5,5; 4,1; 0,3; б) 64,8; 84,3; 23,1; 4,85; 0,01.

№ 783

Измерь стороны треугольника и четырёхугольника на рисунке 4.8, вырази их в сантиметрах и найди периметры.

Как думать. Это практическое задание. Длины на рисунке не подписаны — их нужно измерить линейкой прямо в книге.

Решение.

  1. Прикладываем линейку к каждой стороне, нуль — точно к вершине.
  2. Записываем длину в сантиметрах десятичной дробью: 4 см 7 мм = 4,7 см (1 мм = 0,1 см).
  3. Периметр треугольника — сумма трёх сторон, четырёхугольника — сумма четырёх.

Пример записи: если стороны треугольника 4,7 см, 3,2 см и 5,5 см, то $P = 4{,}7 + 3{,}2 + 5{,}5 = 13{,}4$ см. Твои числа будут зависеть от измерения.

Ответ: периметр = сумма измеренных длин сторон (в сантиметрах).

№ 784

Запиши суммой разрядных слагаемых: 1) 12,75; 2) 1,618; 3) 0,412; 4) 25,803.

Как думать. Каждая цифра — свой «кирпичик»: десятки, единицы, десятые, сотые, тысячные. Нулевые разряды пропускаем.

Решение.

  1. $12{,}75 = 10 + 2 + 0{,}7 + 0{,}05$.
  2. $1{,}618 = 1 + 0{,}6 + 0{,}01 + 0{,}008$.
  3. $0{,}412 = 0{,}4 + 0{,}01 + 0{,}002$.
  4. $25{,}803 = 20 + 5 + 0{,}8 + 0{,}003$ (сотых нет — слагаемое пропускаем).

Ответ: см. решение.

№ 785

1) Представь суммой двух десятичных дробей: а) 2; б) 5; в) 7; г) 9. 2) Представь разностью натурального числа и десятичной дроби: а) 1,7; б) 3,85; в) 14,03; г) 6,25.

Как думать. Ответов много — придумай свой! Берём любую дробь и дополняем её до нужного числа.

Решение.

  1. а) $2 = 1{,}3 + 0{,}7$; б) $5 = 2{,}5 + 2{,}5$; в) $7 = 3{,}6 + 3{,}4$; г) $9 = 4{,}25 + 4{,}75$.
  2. Берём ближайшее большее натуральное число: а) $1{,}7 = 2 - 0{,}3$; б) $3{,}85 = 4 - 0{,}15$; в) $14{,}03 = 15 - 0{,}97$; г) $6{,}25 = 7 - 0{,}75$.

Ответ: например, как в решении (возможны другие верные варианты).

№ 786

Упрости: 1) $0{,}3x + 1{,}6x - 0{,}5x$; 2) $9{,}25y - 2{,}3y + 7{,}05y$; 3) $3{,}46x + 9{,}17x - 2{,}63x$; 4) $4{,}82y - 1{,}9y + 3{,}08y$.

Как думать. Буква — как «яблоко»: 0,3 яблока + 1,6 яблока − 0,5 яблока. Выносим букву за скобки и считаем числа.

Решение.

  1. $(0{,}3 + 1{,}6 - 0{,}5)x = 1{,}4x$.
  2. $(9{,}25 - 2{,}3 + 7{,}05)y = (9{,}25 + 7{,}05 - 2{,}3)y = (16{,}3 - 2{,}3)y = 14y$.
  3. $(3{,}46 + 9{,}17 - 2{,}63)x = (12{,}63 - 2{,}63)x = 10x$.
  4. $(4{,}82 + 3{,}08 - 1{,}9)y = (7{,}9 - 1{,}9)y = 6y$.

Ответ: 1) $1{,}4x$; 2) $14y$; 3) $10x$; 4) $6y$.

№ 787

Длина реки Иле в Казахстане — 814,75 км, за его пределами — 624,25 км. Какова общая длина? Варианты: A. 1439 км; B. 1446 км; C. 1200 км; D. 1500 км.

Как думать. Общая длина = часть в Казахстане + часть за границей. Сотые 75 и 25 дают целое — ответ выйдет круглым.

Решение.

   814,75
 + 624,25
 --------
  1439,00

🌟 Река Иле начинается в Китае и впадает в озеро Балхаш. Большая её часть течёт по Казахстану.

Ответ: 1439 км (A).

№ 788

Сторона треугольника 6,3 см. Она на 2,8 см меньше второй стороны и на 0,9 см больше третьей. Найди периметр.

Как думать. «Первая на 2,8 меньше второй» — значит, вторая на 2,8 больше первой. Не перепутай!

Решение.

  1. Вторая сторона больше: $6{,}3 + 2{,}8 = 9{,}1$ см.
  2. Третья сторона меньше: $6{,}3 - 0{,}9 = 5{,}4$ см.
  3. Периметр: $6{,}3 + 9{,}1 + 5{,}4 = 20{,}8$ см.

Ответ: 20,8 см.

№ 789

Между пунктами 30,4 км. Навстречу друг другу одновременно выехали велосипедисты со скоростями 11,5 км/ч и 13,2 км/ч. Какое расстояние будет между ними через час? Составь выражение.

Как думать. Едут навстречу — значит, расстояние за каждый час сокращается на сумму скоростей.

Решение. За час они вместе проедут $11{,}5 + 13{,}2 = 24{,}7$ км. Выражение: $30{,}4 - (11{,}5 + 13{,}2) = 30{,}4 - 24{,}7 = 5{,}7$ км.

Ответ: 5,7 км.

№ 790

Найди закономерность и запиши три следующих числа: 1) 5,12; 5,22; 5,32; 5,42; …; 2) 7,84; 7,82; 7,8; 7,78; ….

Как думать. Вычти из второго числа первое — получишь «шаг» цепочки. Во второй строке $7{,}8 = 7{,}80$, не пугайся.

Решение.

  1. Каждое число больше предыдущего на 0,1: 5,52; 5,62; 5,72.
  2. Каждое число меньше предыдущего на 0,02: 7,76; 7,74; 7,72.

Ответ: 1) 5,52; 5,62; 5,72; 2) 7,76; 7,74; 7,72.

№ 791

Восстанови цифры вместо звёздочек: 1) $,2** - 2,8 = 1{,}447$; 2) $6,7 - ,0 = 26{,}865$; 3) $45,6* - 48,5 = 27,28$.

Как думать. Уменьшаемое = разность + вычитаемое. Восстанавливаем сложением, разряд за разрядом справа налево — как детектив по следам.

Решение.

  1. Уменьшаемое $= 1{,}447 + 2{,}!!8!$.
  • Сотые: $4 + 8 = 12$ (плюс, может быть, перенос) — в уменьшаемом сотых 2 или 3, перенос 1 в десятые.
  • Десятые: $4 + * + 1$ должно оканчиваться на 2 (в уменьшаемом 2 десятых). Значит, $* = 7$: $4 + 7 + 1 = 12$, перенос 1.
  • Единицы: $1 + 2 + 1 = 4$.
  • Тысячные вычитаемого — любая цифра. Задача имеет несколько решений. Например, при нуле: $1{,}447 + 2{,}780 = 4{,}227$.
   4,227
 - 2,780
 -------
   1,447

Другие варианты: $4{,}232 - 2{,}785 = 1{,}447$, $4{,}236 - 2{,}789 = 1{,}447$ и т. д.

  1. Уменьшаемое $= 26{,}865 + {,}0$.
  • Тысячные: $5 + 0 = 5$.
  • Сотые: $6 + * = 7$ (больше 17 быть не может) — значит $* = 1$.
  • Десятые: $8 + 0 = 8$.
  • Единицы: $6 + $ должно оканчиваться на 6 — значит $ = 0$.
  • Десятки: 2.
   26,875
 -  0,01
 --------
   26,865
  1. Уменьшаемое $= 27*,28 + *48,*5$.
  • Сотые: $8 + 5 = 13$ — в уменьшаемом 3, перенос 1.
  • Десятые: $2 + * + 1 = 6$ — значит $* = 3$.
  • Единицы: $* + 8$ должно оканчиваться на 5 — значит $* = 7$ ($7 + 8 = 15$), перенос 1.
  • Десятки: $7 + 4 + 1 = 12$ — в уменьшаемом 2, перенос 1.
  • Сотни: $2 + * + 1 = 4$ — значит $* = 1$.
   425,63
 - 148,35
 --------
   277,28

Ответ: 1) например, $4{,}227 - 2{,}780 = 1{,}447$ (тысячные вычитаемого можно взять любыми); 2) $26{,}875 - 0{,}01 = 26{,}865$; 3) $425{,}63 - 148{,}35 = 277{,}28$.

Уровень B

№ 792

Вычисли рационально: 1) $12{,}918 - (4{,}918 + 3{,}4)$; 2) $(6{,}403 + 8{,}715) - 2{,}403$; 3) $(13{,}245 + 9{,}88) - 6{,}88$; 4) $11{,}703 - (5{,}4 + 2{,}703)$.

Как думать. Ищем числа с одинаковыми «хвостами» после запятой — их разность получится целой.

Решение.

  1. $(12{,}918 - 4{,}918) - 3{,}4 = 8 - 3{,}4 = 4{,}6$.
  2. $(6{,}403 - 2{,}403) + 8{,}715 = 4 + 8{,}715 = 12{,}715$.
  3. $13{,}245 + (9{,}88 - 6{,}88) = 13{,}245 + 3 = 16{,}245$.
  4. $(11{,}703 - 2{,}703) - 5{,}4 = 9 - 5{,}4 = 3{,}6$.

Ответ: 1) 4,6; 2) 12,715; 3) 16,245; 4) 3,6.

№ 793

Переведи обыкновенные дроби в десятичные и вычисли: 1) $5\frac{17}{20} - 3{,}52 + \frac{4}{5}$; 2) $6\frac{4}{25} + 2{,}81 - 1\frac{3}{4}$; 3) $9\frac{7}{10} + 5{,}92 - 3\frac{9}{20}$; 4) $41{,}7 - 8\frac{3}{5} + 2\frac{1}{4}$; 5) $36{,}63 + 9\frac{3}{4} - 6\frac{9}{10}$; 6) $58{,}75 - 21\frac{9}{10} + 4\frac{8}{25}$.

Как думать. Вспоминаем урок 4.2: подгоняем знаменатели к 10 или 100. Потом считаем по порядку слева направо.

Решение.

  1. $5{,}85 - 3{,}52 + 0{,}8 = 2{,}33 + 0{,}8 = 3{,}13$.
  2. $6{,}16 + 2{,}81 - 1{,}75 = 8{,}97 - 1{,}75 = 7{,}22$.
  3. $9{,}7 + 5{,}92 - 3{,}45 = 15{,}62 - 3{,}45 = 12{,}17$.
  4. $41{,}7 - 8{,}6 + 2{,}25 = 33{,}1 + 2{,}25 = 35{,}35$.
  5. $36{,}63 + 9{,}75 - 6{,}9 = 46{,}38 - 6{,}9 = 39{,}48$.
  6. $58{,}75 - 21{,}9 + 4{,}32 = 36{,}85 + 4{,}32 = 41{,}17$.

Ответ: 1) 3,13; 2) 7,22; 3) 12,17; 4) 35,35; 5) 39,48; 6) 41,17.

№ 794

Упрости: 1) $0{,}3x + 0{,}8y + 1{,}5x + 1{,}2y$; 2) $4{,}2x + 5{,}3y - 2{,}6y - 1{,}8x$; 3) $1{,}5a + 9{,}7b + 5{,}8a - 1{,}3b$; 4) $12{,}75a + 1{,}85b - 9{,}55a + 3{,}5b$.

Как думать. «Иксы» складываем с «иксами», «игреки» — с «игреками». Как яблоки с яблоками и груши с грушами.

Решение.

  1. $(0{,}3 + 1{,}5)x + (0{,}8 + 1{,}2)y = 1{,}8x + 2y$.
  2. $(4{,}2 - 1{,}8)x + (5{,}3 - 2{,}6)y = 2{,}4x + 2{,}7y$.
  3. $(1{,}5 + 5{,}8)a + (9{,}7 - 1{,}3)b = 7{,}3a + 8{,}4b$.
  4. $(12{,}75 - 9{,}55)a + (1{,}85 + 3{,}5)b = 3{,}2a + 5{,}35b$.

Ответ: 1) $1{,}8x + 2y$; 2) $2{,}4x + 2{,}7y$; 3) $7{,}3a + 8{,}4b$; 4) $3{,}2a + 5{,}35b$.

№ 795

Самолёт летел 2,7 ч до города $B$, стоял там 48 мин, потом летел ещё 2,6 ч. Сколько всего часов занял путь?

Как думать. Нельзя складывать часы с минутами! Сначала переведи 48 мин в часы.

Решение.

  1. $48\text{ мин} = \frac{48}{60} = \frac{4}{5} = 0{,}8$ ч.
  2. $2{,}7 + 0{,}8 + 2{,}6 = 6{,}1$ ч.

Ответ: 6,1 ч.

№ 796

Пакет выдерживает не больше 4,7 кг. Можно ли положить в него: 1) 0,75 кг конфет, 2,5 кг яблок и 1,8 кг колбасы; 2) 0,67 кг мармелада, 2,13 кг груш и 1,5 кг колбасы?

Как думать. Складываем покупки и сравниваем с 4,7 кг. Больше — пакет порвётся.

Решение.

  1. $0{,}75 + 2{,}5 + 1{,}8 = 5{,}05$ кг. $5{,}05 > 4{,}7$ — нельзя.
  2. $0{,}67 + 2{,}13 + 1{,}5 = 2{,}8 + 1{,}5 = 4{,}3$ кг. $4{,}3 < 4{,}7$ — можно.

Ответ: 1) нельзя (5,05 кг); 2) можно (4,3 кг).

№ 797

Между $A$ и $B$ 8,5 км. Из $A$ к $B$ вышел пешеход (4,7 км/ч), одновременно из $B$ в ту же сторону выехал велосипедист (10,4 км/ч). Какое расстояние между ними через час? Составь выражение.

Как думать. Оба движутся в одну сторону, велосипедист впереди и едет быстрее. Значит, каждый час расстояние растёт на разность скоростей.

Решение. $8{,}5 + (10{,}4 - 4{,}7) = 8{,}5 + 5{,}7 = 14{,}2$ км.

Другой способ: $8{,}5 + 10{,}4 - 4{,}7 = 18{,}9 - 4{,}7 = 14{,}2$ км.

Ответ: 14,2 км.

№ 798

Лиса бежит на 6,7 м/с медленнее зайца, беркут летит на 19,4 м/с быстрее зайца. Скорость лисы 10 м/с. Найди скорость беркута.

Как думать. Сначала найдём зайца — он «мостик» между лисой и беркутом.

Решение.

  1. Заяц: $10 + 6{,}7 = 16{,}7$ м/с.
  2. Беркут: $16{,}7 + 19{,}4 = 36{,}1$ м/с.

🌟 Беркут — символ Казахстана, он есть на государственном флаге. Охота с беркутом — древняя казахская традиция.

Ответ: 36,1 м/с.

№ 799

В первом кувшине 5,4 л молока. Из него перелили 1,2 л во второй, и во втором стало на 2,8 л больше, чем в первом. Сколько было во втором? Варианты: A. 5,8 л; B. 8 л; C. 7,5 л; D. 10 л.

Как думать. Идём по истории переливания: сначала узнаём, что стало, а потом «отматываем назад».

Решение.

  1. В первом осталось: $5{,}4 - 1{,}2 = 4{,}2$ л.
  2. Во втором стало: $4{,}2 + 2{,}8 = 7$ л.
  3. Было во втором до переливания: $7 - 1{,}2 = 5{,}8$ л.

Ответ: 5,8 л (A).

№ 800

Вырази слагаемые в часах десятичными дробями и сложи: 1 ч 30 мин + 45 мин + 3 ч 12 мин + 15 мин; 2 ч 15 мин + 30 мин + 1 ч 45 мин + 12 мин.

Как думать. Помни: 30 мин = 0,5 ч, 15 мин = 0,25 ч, 45 мин = 0,75 ч, 12 мин = 0,2 ч. А потом ищи «друзей», дающих целое.

Решение. $30\text{ мин} = 0{,}5$ ч; $45\text{ мин} = 0{,}75$ ч; $12\text{ мин} = 0{,}2$ ч; $15\text{ мин} = 0{,}25$ ч.

  1. $1{,}5 + 0{,}75 + 3{,}2 + 0{,}25 = (0{,}75 + 0{,}25) + 1{,}5 + 3{,}2 = 1 + 4{,}7 = 5{,}7$ ч.
  2. $2{,}25 + 0{,}5 + 1{,}75 + 0{,}2 = (2{,}25 + 1{,}75) + 0{,}5 + 0{,}2 = 4 + 0{,}7 = 4{,}7$ ч.

Ответ: 1) 5,7 ч; 2) 4,7 ч.

Уровень C

№ 801

Вычисли, пользуясь переместительным и сочетательным свойствами: 1) $2{,}3 + 4{,}5 + 0{,}6 + 0{,}5 + 1{,}7 + 0{,}4$; 2) $8{,}01 + 9{,}08 + 5{,}13 + 1{,}99 + 0{,}87 + 4{,}92$; 3) $6{,}091 + 7{,}083 + 3{,}127 + 0{,}373 + 2{,}117 + 0{,}209$.

Как думать. Числа нарочно перемешаны. Найди пары с «хвостами», которые вместе дают круглое: 0,3 и 0,7, 0,01 и 0,99…

Решение.

  1. $(2{,}3 + 1{,}7) + (4{,}5 + 0{,}5) + (0{,}6 + 0{,}4) = 4 + 5 + 1 = 10$.
  2. $(8{,}01 + 1{,}99) + (9{,}08 + 4{,}92) + (5{,}13 + 0{,}87) = 10 + 14 + 6 = 30$.
  3. $(6{,}091 + 0{,}209) + (7{,}083 + 2{,}117) + (3{,}127 + 0{,}373) = 6{,}3 + 9{,}2 + 3{,}5 = 19$.

Ответ: 1) 10; 2) 30; 3) 19.

№ 802

Найди сумму: 1) $(9 - 0{,}9) + (8 - 0{,}8) + (7 - 0{,}7) + (6 - 0{,}6) + (5 - 0{,}5) + (4 - 0{,}4)$; 2) $(5{,}12 - 4{,}21) + (6{,}23 - 4{,}32) + (7{,}34 - 4{,}43) + (6{,}45 - 2{,}54) + (5{,}56 - 0{,}65)$.

Как думать. В первом примере удобно отдельно собрать все уменьшаемые и все вычитаемые. Во втором посчитай скобки — заметишь повторяющийся «хвост» 0,91.

Решение.

  1. Сложим отдельно уменьшаемые и вычитаемые: $(9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4) - (0{,}9 + 0{,}8 + 0{,}7 + 0{,}6 + 0{,}5 + 0{,}4) = 39 - 3{,}9 = 35{,}1$.
  2. Каждая скобка: $0{,}91$; $1{,}91$; $2{,}91$; $3{,}91$; $4{,}91$. Сумма: $0{,}91 + 1{,}91 + 2{,}91 + 3{,}91 + 4{,}91 = (0 + 1 + 2 + 3 + 4) + 5 \cdot 0{,}91 = 10 + 4{,}55 = 14{,}55$.

Ответ: 1) 35,1; 2) 14,55.

№ 803

На луче (единичный отрезок 1 см) отмечена $C(8{,}2)$. Справа от $C$ — точка $B$, слева — точка $A$; $CB = 2{,}8$, $AC = 6{,}2$. Найди $AB$.

Как думать. Вправо — прибавляем, влево — вычитаем. А отрезок $AB$ складывается из двух кусочков: $AC$ и $CB$.

Решение.

  1. $B$: $8{,}2 + 2{,}8 = 11$, то есть $B(11)$.
  2. $A$: $8{,}2 - 6{,}2 = 2$, то есть $A(2)$.
  3. $AB = AC + CB = 6{,}2 + 2{,}8 = 9$ (или $11 - 2 = 9$).

Ответ: $AB = 9$ (9 см).

№ 804

Первый мастер делает задание за 4 ч, второй — за 5 ч, третий за час делает на 0,1 задания больше второго. Какая часть задания останется, если все трое поработают 1 ч?

Как думать. Всё задание — это 1. Кто делает его за 4 часа, за один час делает $\frac{1}{4}$.

Решение.

  1. За час первый делает $\frac{1}{4} = 0{,}25$ задания, второй — $\frac{1}{5} = 0{,}2$.
  2. Третий: $0{,}2 + 0{,}1 = 0{,}3$.
  3. Вместе за час: $0{,}25 + 0{,}2 + 0{,}3 = 0{,}75$.
  4. Останется: $1 - 0{,}75 = 0{,}25$ задания.

Ответ: 0,25 задания.

№ 805

Картофель, капуста и лук занимают 7 га, картофель и капуста — 5,2 га. Лук занимает на 0,35 га меньше капусты. Какова площадь под картофелем?

Как думать. Распутываем по цепочке: лук → капуста → картофель.

Решение.

  1. Лук: $7 - 5{,}2 = 1{,}8$ га.
  2. Капуста: $1{,}8 + 0{,}35 = 2{,}15$ га.
  3. Картофель: $5{,}2 - 2{,}15 = 3{,}05$ га.

Ответ: 3,05 га.

№ 806

За круглым столом Алихан, Самат, Жандос и Асхат: лётчик, художник, экономист, инженер. Асхат сидит справа от инженера и напротив экономиста. Асхат не художник. Жандос сидит справа от лётчика и напротив Самата. Кто кем работает?

Как думать. Логическая задача. Нарисуй квадратный стол с четырьмя местами: у каждого два соседа и один человек напротив. Начни с Асхата — про него больше всего подсказок.

Решение.

  1. Асхат не инженер (он сидит рядом с инженером), не экономист (сидит напротив экономиста) и не художник. Значит, Асхат — лётчик.
  2. Жандос сидит рядом с лётчиком, то есть рядом с Асхатом. Напротив Жандоса — Самат. Значит, Жандос и Самат — оба соседи Асхата, а напротив Асхата сидит Алихан. Он экономист.
  3. Инженер сидит рядом с Асхатом, причём Асхат справа от инженера. А Жандос справа от Асхата. Значит, идём по кругу: инженер → Асхат → Жандос. Инженер и Жандос — разные люди по разные стороны от Асхата. Остаётся: Самат — инженер.
  4. Жандос — художник.

Ответ: Асхат — лётчик, Алихан — экономист, Самат — инженер, Жандос — художник.

№ 807

В три ящика положили яблоки. В первый добавили 3,6 кг — стало 9,5 кг. Из второго переложили в третий 2,5 кг, а из третьего продали 1,75 кг — и во всех ящиках стало поровну. Сколько было в каждом сначала?

Как думать. Знаем конец истории — идём от него назад. Каждое действие «отменяем» обратным: добавили — вычитаем, забрали — прибавляем.

Решение.

  1. В первом было: $9{,}5 - 3{,}6 = 5{,}9$ кг. В конце во всех ящиках по 9,5 кг.
  2. Второй: из него убрали 2,5 кг и осталось 9,5 кг. Было $9{,}5 + 2{,}5 = 12$ кг.
  3. Третий: в него добавили 2,5 кг и забрали 1,75 кг, осталось 9,5 кг. Было $9{,}5 + 1{,}75 - 2{,}5 = 8{,}75$ кг.

Проверка: $8{,}75 + 2{,}5 - 1{,}75 = 9{,}5$. Верно.

Ответ: 5,9 кг; 12 кг; 8,75 кг.

№ 808

Лиса поймала бы мышь за 4 прыжка, но мышь побежала. Один прыжок лисы равен 12 шагам мыши. Пока лиса делает прыжок, мышь делает 4 шага. Сколько прыжков нужно лисе?

Как думать. Задача на смекалку. Меряем всё в шагах мыши и смотрим, на сколько лиса догоняет за один прыжок.

Решение.

  1. Расстояние до мыши: $4 \cdot 12 = 48$ шагов мыши.
  2. За один прыжок лиса проходит 12 шагов, мышь убегает на 4. Расстояние сокращается на $12 - 4 = 8$ шагов.
  3. Число прыжков: $48 : 8 = 6$.

Ответ: 6 прыжков.

№ 809

Дополни до прямоугольника параллелограмм $ABCD$ и многоугольник $ABCDEFKL$ (рис. 4.9) и найди их площади в см².

Как думать. Фигуры нарисованы по клеткам. Тетрадная клетка — 5 мм, поэтому её площадь $0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25$ см², а 4 клетки — это 1 см². Дорисовываем фигуру до прямоугольника и вычитаем лишние прямоугольные треугольники. Каждый такой треугольник — половина прямоугольника.

Решение.

  1. Параллелограмм $ABCD$: стороны $AD$ и $BC$ по 8 клеток, вершина $B$ сдвинута от $A$ на 4 клетки вправо и 6 вверх. Дополняем до прямоугольника $12 \times 6$ клеток: $72$ клетки. Лишние — два треугольника с катетами 4 и 6, каждый $4 \cdot 6 : 2 = 12$ клеток. Площадь: $72 - 24 = 48$ клеток $= 48 : 4 = 12$ см².
  2. Восьмиугольник вписан в прямоугольник $12 \times 8$ клеток: $96$ клеток. По углам — четыре треугольника с катетами 4 и 2, каждый $4 \cdot 2 : 2 = 4$ клетки. Площадь: $96 - 16 = 80$ клеток $= 80 : 4 = 20$ см².

Ответ: $S_{ABCD} = 12$ см²; $S_{ABCDEFKL} = 20$ см².

№ 810

Реши уравнения: 1) $\frac{3{,}557 + x}{2} = 4$; 2) $\frac{x - 0{,}731}{3} = 5$; 3) $\frac{12{,}392 + x}{5} = 2{,}365 + 2{,}635$; 4) $\frac{125{,}95 - x}{2{,}65 + 4{,}35} = 6$.

Как думать. Черта дроби — это деление. Неизвестное делимое = частное · делитель. Сначала посчитай всё, что можно посчитать (правую часть, знаменатель).

Решение.

  1. $3{,}557 + x = 4 \cdot 2 = 8$; $x = 8 - 3{,}557 = 4{,}443$.
  2. $x - 0{,}731 = 5 \cdot 3 = 15$; $x = 15 + 0{,}731 = 15{,}731$.
  3. Правая часть: $2{,}365 + 2{,}635 = 5$. $12{,}392 + x = 5 \cdot 5 = 25$; $x = 25 - 12{,}392 = 12{,}608$.
  4. Знаменатель: $2{,}65 + 4{,}35 = 7$. $125{,}95 - x = 6 \cdot 7 = 42$; $x = 125{,}95 - 42 = 83{,}95$.

Проверка 1): $(3{,}557 + 4{,}443) : 2 = 8 : 2 = 4$. Верно.

Ответ: 1) $x = 4{,}443$; 2) $x = 15{,}731$; 3) $x = 12{,}608$; 4) $x = 83{,}95$.

Шпаргалка

  • Уравниваем число знаков после запятой, дописывая нули справа.
  • Запятая под запятой, разряд под разрядом.
  • Складываем и вычитаем, как обычные числа, справа налево.
  • Целое число пишем с запятой и нулями: $25 = 25{,}00$.
  • Свойства сложения работают как раньше: группируем слагаемые, дающие целое.

Мини-тест

← Исторические сведения · 4.5. Умножение десятичной дроби на натуральное число →