4.5. Умножение десятичной дроби на натуральное число

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава IV: Десятичные дроби. Действия над десятичными дробями. Страницы 45–50.

Чему научишься

• Умножать десятичную дробь на натуральное число столбиком.
• Ставить запятую в ответе точно на место и проверять себя прикидкой.
• Считать быстрее с помощью пар вроде $2{,}5 \cdot 4 = 10$.
• Переводить километры в метры, а часы в минуты: 1,2 ч — это сколько минут?
• Находить часть числа, например 0,6 от 15 вагонов.

Разминка

Задача: 1 см³ железа весит 7,9 г. Сколько весят 4 см³? Попробуем тремя способами.

• Способ 1: просто сложить? $7{,}9 + 7{,}9 + 7{,}9 + 7{,}9 = 15{,}8 + 15{,}8 = 31{,}6$ г.
• Способ 2: через смешанное число? $7\frac{9}{10} \cdot 4 = \frac{79}{10} \cdot 4 = \frac{316}{10} = 31\frac{6}{10} = 31{,}6$ г.
• Способ 3: забыть про запятую? $79 \cdot 4 = 316$. Но 316 г — неправда: четыре кусочка по 7,9 г не тянут даже на 32 г. В 7,9 одна цифра после запятой, значит, и в ответе отделяем одну: 31,6 г.

💡 Третий способ самый быстрый. Его и будем учить, только запятую не теряем!

Разбираемся

Десятые тоже можно пересчитать

Число 0,3 — это 3 десятых. Возьмём его 4 раза: 3 десятых + 3 десятых + 3 десятых + 3 десятых = 12 десятых. А 12 десятых — это одно целое и ещё 2 десятых, то есть 1,2.

Теперь сделай четыре прыжка по 0,3 на луче сам. Куда приземлишься?

Фокус «спрячь запятую»

Возьмём $4{,}23 \cdot 5$. Число 4,23 — это 423 сотых. Умножаем: $423 \cdot 5 = 2115$ сотых. А 2115 сотых — это 21,15. Сотые — это две цифры после запятой, вот и отделяем две.

   4,23
×     5
──────
  21,15

📌 Правило. 1) Умножай, как будто запятой нет. 2) Посчитай, сколько цифр после запятой в дроби. 3) Столько же цифр отсчитай справа в ответе и поставь запятую.

Столбиком числа пишем по правому краю, а не запятая под запятой: запятая ведь только у одного множителя.

   25,85        8,9       0,009
×      7      ×   6     ×     8
───────      ─────     ───────
  180,95       53,4      0,072

Глянь на последний пример: $9 \cdot 8 = 72$, а отделить нужно три цифры. Цифр не хватает? Дописываем нули слева: 0,072.

⚠️ Частая ошибка. Пишут $0{,}009 \cdot 8 = 0{,}72$. Прикинь: 0,009 — это крошка, меньше одной сотой. Восемь крошек никак не дадут 0,72. Правильно 0,072: три цифры после запятой, как в 0,009.

Когда нули в конце лишние

$41{,}54 \cdot 15$: без запятой $4154 \cdot 15 = 62,310$. Отделяем две цифры: 623,10. Нуль в конце дробной части можно вычеркнуть: 623,1. Но только после того, как поставил запятую!

    41,54
  ×    15
  ───────
    20770
 + 4154
  ───────
   623,10 = 623,1

⚠️ Частая ошибка. $2{,}5 \cdot 4$: видят «100» и пишут 100. Отделяем одну цифру: 10,0 = 10. Прикидка: 2,5 меньше 3, а $3 \cdot 4 = 12$. Значит, около 10, а никак не 100.

Свойства умножения никуда не делись

• Переставляй множители: $2{,}81 \cdot 3 = 3 \cdot 2{,}81$.
• Группируй удобно: $(3 \cdot 2{,}5) \cdot 4 = 3 \cdot (2{,}5 \cdot 4) = 3 \cdot 10 = 30$.
• Раскрывай скобки: $(6{,}3 + 2) \cdot 5 = 6{,}3 \cdot 5 + 2 \cdot 5 = 31{,}5 + 10 = 41{,}5$.

💡 Запомни «волшебные пары» — они дают круглые числа: $2{,}5 \cdot 4 = 10$, $0{,}5 \cdot 2 = 1$, $1{,}25 \cdot 8 = 10$, $0{,}25 \cdot 4 = 1$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Перед каждым примером просите сделать прикидку: округлить дробь до целого и умножить в уме. $8{,}31 \cdot 14 \approx 8 \cdot 14 = 112$. Если в тетради 1163,4 или 11,634 — запятая уехала.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как умножить десятичную дробь на натуральное число? Умножить, не глядя на запятую. Потом в ответе отделить справа столько цифр, сколько их после запятой в дроби.
• Сколько цифр после запятой будет в ответе, если 0,005 умножить на натуральное число? Отделяем три цифры, как в 0,005. Нули в конце потом можно убрать: $0{,}005 \cdot 3 = 0{,}015$, а $0{,}005 \cdot 2 = 0{,}010 = 0{,}01$.
• Задание для самостоятельного изучения: $25{,}85 \cdot 7$, $8{,}9 \cdot 6$, $0{,}009 \cdot 8$? 180,95; 53,4; 0,072.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 811

Посчитай в уме: 1) $0{,}6 \cdot 7$; $0{,}9 \cdot 5$; $0{,}4 \cdot 3$; 2) $0{,}03 \cdot 9$; $0{,}04 \cdot 8$; $0{,}06 \cdot 4$; 3) $1{,}2 \cdot 4$; $1{,}6 \cdot 3$; $1{,}5 \cdot 5$; 4) $3{,}5 \cdot 10$; $4{,}42 \cdot 10$; $6{,}3 \cdot 100$.

Как думать. Умножаем «без запятой» и возвращаем её на место. При умножении на 10 и 100 запятая прыгает вправо на 1 и 2 знака.

Решение.

1. $0{,}6 \cdot 7 = 4{,}2$; $0{,}9 \cdot 5 = 4{,}5$; $0{,}4 \cdot 3 = 1{,}2$;
2. $0{,}03 \cdot 9 = 0{,}27$; $0{,}04 \cdot 8 = 0{,}32$; $0{,}06 \cdot 4 = 0{,}24$;
3. $1{,}2 \cdot 4 = 4{,}8$; $1{,}6 \cdot 3 = 4{,}8$; $1{,}5 \cdot 5 = 7{,}5$;
4. $3{,}5 \cdot 10 = 35$; $4{,}42 \cdot 10 = 44{,}2$; $6{,}3 \cdot 100 = 630$.

Ответ: 1) 4,2; 4,5; 1,2. 2) 0,27; 0,32; 0,24. 3) 4,8; 4,8; 7,5. 4) 35; 44,2; 630.

Уровень A

№ 812

Умножь: $6{,}3 \cdot 7$; $8{,}35 \cdot 3$; $9{,}6 \cdot 8$; $4{,}5 \cdot 12$; $8{,}31 \cdot 14$; $9{,}5 \cdot 11$; $9{,}03 \cdot 17$; $9{,}04 \cdot 15$; $2{,}15 \cdot 12$.

Как думать. Каждый раз три шага: умножить без запятой, посчитать цифры после запятой, отделить их в ответе.

Решение.

Так выглядит пункт 5 столбиком:

    8,31
  ×   14
  ──────
    3324
 +  831
  ──────
  116,34

Ответ: 1) 44,1; 2) 25,05; 3) 76,8; 4) 54; 5) 116,34; 6) 104,5; 7) 153,51; 8) 135,6; 9) 25,8.

№ 813

Умножь: $0{,}5 \cdot 45$; $0{,}4 \cdot 40$; $0{,}2 \cdot 9$; $0{,}8 \cdot 5$; $0{,}7 \cdot 3$; $0{,}3 \cdot 25$; $(1{,}7+2) \cdot 4$; $(5{,}3+1{,}4) \cdot 3$; $(6{,}15+3{,}5) \cdot 5$.

Как думать. Где есть скобки — сначала считаем в скобках. Остальное — «спрячь запятую».

Решение.

1. $0{,}5 \cdot 45 = 22{,}5$ ($5 \cdot 45 = 225$);
2. $0{,}4 \cdot 40 = 16{,}0 = 16$;
3. $0{,}2 \cdot 9 = 1{,}8$;
4. $0{,}8 \cdot 5 = 4{,}0 = 4$;
5. $0{,}7 \cdot 3 = 2{,}1$;
6. $0{,}3 \cdot 25 = 7{,}5$;
7. $(1{,}7 + 2) \cdot 4 = 3{,}7 \cdot 4 = 14{,}8$;
8. $(5{,}3 + 1{,}4) \cdot 3 = 6{,}7 \cdot 3 = 20{,}1$;
9. $(6{,}15 + 3{,}5) \cdot 5 = 9{,}65 \cdot 5 = 48{,}25$.

Ответ: 1) 22,5; 2) 16; 3) 1,8; 4) 4; 5) 2,1; 6) 7,5; 7) 14,8; 8) 20,1; 9) 48,25.

№ 814

Найди значение: $2{,}9x$ при $x = 5$ и $x = 12$; $1{,}6x + y$ при $x = 5$, $y = 5{,}6$; $0{,}84x + 0{,}5y$ при $x = 3$, $y = 4$; $7{,}5x + 6{,}9y$ при $x = 8$, $y = 3$.

Как думать. Подставляем числа вместо букв. Сначала умножение, потом сложение.

Решение.

1. $2{,}9 \cdot 5 = 14{,}5$; $2{,}9 \cdot 12 = 34{,}8$;
2. $1{,}6 \cdot 5 + 5{,}6 = 8 + 5{,}6 = 13{,}6$;
3. $0{,}84 \cdot 3 + 0{,}5 \cdot 4 = 2{,}52 + 2 = 4{,}52$;
4. $7{,}5 \cdot 8 + 6{,}9 \cdot 3 = 60 + 20{,}7 = 80{,}7$.

Ответ: 1) 14,5 и 34,8; 2) 13,6; 3) 4,52; 4) 80,7.

№ 815

Звук летит со скоростью 332,5 м/с. Самолёт заметили, а гул услышали только через 4 с. Как далеко был самолёт?

Как думать. Звук летел к мальчику 4 секунды. Путь = скорость × время.

Решение. $332{,}5 \cdot 4 = 1330$ (м).

Ответ: 1330 м.

🌟 Поэтому гром мы слышим позже, чем видим молнию: свет прилетает почти сразу, а звук плетётся примерно 3 секунды на каждый километр.

№ 816

Машина едет 4 ч со скоростью 74,8 км/ч. Сколько она проедет?

Решение. $74{,}8 \cdot 4 = 299{,}2$ (км).

Ответ: 299,2 км.

№ 817

1) Найди периметр квадрата со стороной 5,7 см. 2) Найди периметр прямоугольника 5,6 см на 3,7 см.

Как думать. У квадрата 4 одинаковые стороны. У прямоугольника две длины и две ширины.

Решение.

1. $5{,}7 \cdot 4 = 22{,}8$ (см).
2. $P = (5{,}6 + 3{,}7) \cdot 2 = 9{,}3 \cdot 2 = 18{,}6$ (см).

Ответ: 1) 22,8 см; 2) 18,6 см.

№ 818

1 кг конфет стоит 560 тг. Сколько стоят 3 кг 500 г? А $a$ кг?

Как думать. 500 г — половина килограмма, то есть 0,5 кг. Значит, 3 кг 500 г = 3,5 кг.

Решение.

1. $560 \cdot 3{,}5 = 3{,}5 \cdot 560 = 1960$ (тг). Проверка: 3 кг стоят $560 \cdot 3 = 1680$, полкило — $560 : 2 = 280$, вместе $1680 + 280 = 1960$.
2. За $a$ кг: $560 \cdot a = 560a$ (тг).

Ответ: 1960 тг; $560a$ тг.

№ 819

Восстанови цифры вместо звёздочек в трёх примерах столбиком: 1) $5{,}\ast3 \cdot \ast4$, неполные произведения $\ast\ast5\ast$ и $\ast\ast39$, ответ $174{,}4\ast$; 2) $\ast7{,}\ast \cdot 2\ast$, неполные произведения $000$ и $13\ast0$; 3) $0{,}\ast1\ast \cdot \ast4$, неполные произведения $2864$ и $\ast1\ast$, ответ 10,024.

Как думать. Это задача-детектив. Ищем улики по последним цифрам, потом перебираем немного вариантов.

Решение.

1. Подробно — в шагах выше. Итог:

    5,13
  ×   34
  ──────
    2052
 + 1539
  ──────
  174,42

2. $\ast7{,}\ast \cdot 2\ast$, неполные произведения $000$ и $13\ast0$.
   • Первое неполное произведение из одних нулей — значит, последняя цифра множителя 0. Множитель 20.
   • Второе: $\ast7\ast \cdot 2 = 13\ast0$. Подходят только числа от 670 до 679, и произведение должно кончаться на 0: это 670 или 675.
   • Дробь 67,0 с нулём на конце так обычно не пишут, поэтому берём 67,5: $675 \cdot 2 = 1350$, ответ $67{,}5 \cdot 20 = 1350{,}0$.

     67,5
   ×   20
   ──────
      000
 + 1350
   ──────
   1350,0

(Формально подходит и $67{,}0 \cdot 20 = 1340{,}0$.)

3. $0{,}\ast1\ast \cdot \ast4$, неполные произведения $2864$ и $\ast1\ast$, ответ 10,024.
   • $\ast1\ast \cdot 4 = 2864$, значит, $\ast1\ast = 2864 : 4 = 716$.
   • Второе неполное произведение трёхзначное, с 1 в середине: $716 \cdot 1 = 716$. Цифра десятков множителя — 1, множитель 14.
   • Проверка: $716 \cdot 14 = 2864 + 7160 = 10,024$, ответ 10,024. Сходится!

    0,716
  ×    14
  ───────
     2864
 +   716
  ───────
   10,024

Ответ: 1) $5{,}13 \cdot 34 = 174{,}42$; 2) $67{,}5 \cdot 20 = 1350{,}0$; 3) $0{,}716 \cdot 14 = 10{,}024$.

Уровень B

№ 820

Вычисли: $(2{,}6+3{,}7) \cdot 5$; $(18{,}07-6{,}03) \cdot 8$; $(24{,}95+17{,}8) \cdot 9$; $(48{,}316-19{,}83) \cdot 20$; $(15{,}07-8{,}9) \cdot 30$; $(2-0{,}7) \cdot 50$.

Как думать. Сначала скобки, потом умножение. На 20, 30, 50 удобно умножать в два хода: на 2 (3, 5), а потом на 10.

Решение.

1. $6{,}3 \cdot 5 = 31{,}5$;
2. $12{,}04 \cdot 8 = 96{,}32$;
3. $42{,}75 \cdot 9 = 384{,}75$;
4. $28{,}486 \cdot 20 = 569{,}72$ ($28,486 \cdot 2 = 56,972$, затем $\cdot 10$: 569 720, отделяем три цифры: 569,720);
5. $6{,}17 \cdot 30 = 185{,}1$;
6. $1{,}3 \cdot 50 = 65$.

Ответ: 1) 31,5; 2) 96,32; 3) 384,75; 4) 569,72; 5) 185,1; 6) 65.

№ 821

Вычисли: $2{,}3 \cdot 11 + 1{,}8 \cdot 15$; $6{,}25 \cdot 16 + 18{,}9 \cdot 21$; $9{,}03 \cdot 25 - 10{,}7 \cdot 15$; $1{,}5 \cdot 10 + 2{,}08 \cdot 45$; $12{,}08 \cdot 100 - 75{,}6 \cdot 11$; $46{,}131 \cdot 10 + 91{,}05 \cdot 100$.

Как думать. Сначала оба умножения, потом сложение или вычитание.

Решение.

1. $25{,}3 + 27 = 52{,}3$;
2. $100 + 396{,}9 = 496{,}9$;
3. $225{,}75 - 160{,}5 = 65{,}25$;
4. $15 + 93{,}6 = 108{,}6$;
5. $1208 - 831{,}6 = 376{,}4$;
6. $461{,}31 + 9105 = 9566{,}31$.

Ответ: 1) 52,3; 2) 496,9; 3) 65,25; 4) 108,6; 5) 376,4; 6) 9566,31.

№ 822

Посчитай с хитростью: 1) $8{,}3 \cdot 7 + 4{,}5 \cdot 7 + 1{,}7 \cdot 7 + 5{,}5 \cdot 7$; 2) $0{,}85 \cdot 4 + 0{,}73 \cdot 5 + 0{,}15 \cdot 4 + 0{,}27 \cdot 5$; 3) $5{,}25 \cdot 2 + 6{,}31 \cdot 3 + 2 \cdot 0{,}75 + 3 \cdot 0{,}69$.

Как думать. Ищем одинаковый множитель и выносим его за скобки. А в скобках собираем пары, которые дают круглое число.

Решение.

1. $7 \cdot (8{,}3 + 1{,}7 + 4{,}5 + 5{,}5) = 7 \cdot (10 + 10) = 7 \cdot 20 = 140$;
2. $4 \cdot (0{,}85 + 0{,}15) + 5 \cdot (0{,}73 + 0{,}27) = 4 \cdot 1 + 5 \cdot 1 = 9$;
3. $2 \cdot (5{,}25 + 0{,}75) + 3 \cdot (6{,}31 + 0{,}69) = 2 \cdot 6 + 3 \cdot 7 = 12 + 21 = 33$.

Ответ: 1) 140; 2) 9; 3) 33.

№ 823

Вырази: в метрах — 4,25 км; 0,82 км; 0,021 км; 1,8 км; в граммах — 16,3 кг; 6,25 кг; 0,64 кг; 0,003 кг; в минутах — 0,5 ч; 1,2 ч; 2,1 ч; 4,6 ч; в секундах — 3,2 мин; 4,5 мин; 0,7 мин; 9,25 мин.

Как думать. 1 км = 1000 м, 1 кг = 1000 г, 1 ч = 60 мин, 1 мин = 60 с. Умножаем на 1000 или на 60. Образец: $1{,}4$ ч $= 1{,}4 \cdot 60 = 84$ мин.

Решение.

1. $4{,}25 \cdot 1000 = 4250$ м; $0{,}82 \cdot 1000 = 820$ м; $0{,}021 \cdot 1000 = 21$ м; $1{,}8 \cdot 1000 = 1800$ м;
2. 16 300 г; 6250 г; 640 г; 3 г;
3. $0{,}5 \cdot 60 = 30$ мин; $1{,}2 \cdot 60 = 72$ мин; $2{,}1 \cdot 60 = 126$ мин; $4{,}6 \cdot 60 = 276$ мин;
4. $3{,}2 \cdot 60 = 192$ с; $4{,}5 \cdot 60 = 270$ с; $0{,}7 \cdot 60 = 42$ с; $9{,}25 \cdot 60 = 555$ с.

Ответ: 1) 4250 м, 820 м, 21 м, 1800 м; 2) 16 300 г, 6250 г, 640 г, 3 г; 3) 30, 72, 126, 276 мин; 4) 192, 270, 42, 555 с.

⚠️ Частая ошибка. 1,2 ч читают как «1 ч 2 мин» или «1 ч 20 мин». А 0,2 ч — это две десятых часа: $0{,}2 \cdot 60 = 12$ мин. Значит, 1,2 ч = 1 ч 12 мин = 72 мин.

№ 824

В поезде 15 вагонов, 0,6 из них купейные, остальные плацкартные. Сколько плацкартных? Варианты: A. 10; B. 5; C. 6; D. 4.

Как думать. «0,6 от 15» — это $15 \cdot 0{,}6$. Остальные вагоны — плацкартные.

Решение.

1. Купейных: $15 \cdot 0{,}6 = 9$ вагонов.
2. Плацкартных: $15 - 9 = 6$ вагонов.

Ответ: C. 6 вагонов.

№ 825

У мальчика было 480 тг. Сначала он потратил 0,25 этой суммы, потом 0,5 остатка. Сколько он потратил всего?

Как думать. Осторожно: вторая трата считается не от 480, а от того, что осталось.

Решение.

1. Сначала потратил: $480 \cdot 0{,}25 = 120$ (тг).
2. Остаток: $480 - 120 = 360$ (тг).
3. Потом потратил: $360 \cdot 0{,}5 = 180$ (тг).
4. Всего: $120 + 180 = 300$ (тг).

Ответ: 300 тг.

№ 826

В стране 18 больших городов, и каждые два соединены авиалинией. Сколько всего авиалиний?

Как думать. Из каждого города летят самолёты в 17 других. Но линия Алматы — Астана и линия Астана — Алматы — одна и та же. В подсчёте «$18 \cdot 17$» каждая линия посчитана дважды.

Решение. $18 \cdot 17 : 2 = 306 : 2 = 153$.

Ответ: 153 авиалинии.

№ 827

Один ткацкий станок за 1 ч делает 3,45 м ткани. Ткачиха работает сразу на 2 станках. Сколько ткани будет за 7 ч?

Решение.

1. Два станка за 1 ч: $3{,}45 \cdot 2 = 6{,}9$ (м).
2. За 7 ч: $6{,}9 \cdot 7 = 48{,}3$ (м).

Ответ: 48,3 м.

№ 828

1) Самолёт летел 1,5 ч со скоростью 900 км/ч и 0,4 ч со скоростью 850 км/ч. Сколько он пролетел? 2) На диван нужно 3,25 м ткани, на стул 0,75 м. Сколько ткани на 2 дивана и 12 стульев?

Решение.

1. $900 \cdot 1{,}5 = 1350$ (км); $850 \cdot 0{,}4 = 340$ (км); $1350 + 340 = 1690$ (км).
2. $3{,}25 \cdot 2 = 6{,}5$ (м); $0{,}75 \cdot 12 = 9$ (м); $6{,}5 + 9 = 15{,}5$ (м).

Ответ: 1) 1690 км; 2) 15,5 м.

№ 829

Моторная лодка плыла 2 ч по течению и 3 ч против. Её собственная скорость 19,5 км/ч, скорость течения 2,8 км/ч. Сколько она проплыла?

Как думать. По течению река подталкивает — скорости складываем. Против течения мешает — вычитаем.

Решение.

1. Скорость по течению: $19{,}5 + 2{,}8 = 22{,}3$ (км/ч).
2. Скорость против течения: $19{,}5 - 2{,}8 = 16{,}7$ (км/ч).
3. По течению: $22{,}3 \cdot 2 = 44{,}6$ (км).
4. Против течения: $16{,}7 \cdot 3 = 50{,}1$ (км).
5. Всего: $44{,}6 + 50{,}1 = 94{,}7$ (км).

Ответ: 94,7 км.

№ 830

Реши шесть уравнений: К. $\frac{m}{1{,}8 + 2{,}05} = 9$; А. $\frac{k}{8 - 6{,}09} = 6$; Ь. $\frac{x}{78{,}09 + 21{,}91} = 0{,}736$; Л. $\frac{n}{5} = 63 - 56{,}08$; И. $\frac{z}{19{,}63 + 0{,}37} = 8{,}376$; Ш. $\frac{y}{98{,}35 - 83{,}17} = 7$. Расставь буквы под корнями 11,46; 34,6; 73,6; 34,65; 11,46; 106,26; 167,52 — получится имя учёного.

Как думать. Неизвестное делимое = делитель × частное. Сначала упрощаем то, что в знаменателе или справа.

Решение.

• К: $m = (1{,}8 + 2{,}05) \cdot 9 = 3{,}85 \cdot 9 = 34{,}65$;
• А: $k = (8 - 6{,}09) \cdot 6 = 1{,}91 \cdot 6 = 11{,}46$;
• Ь: $x = (78{,}09 + 21{,}91) \cdot 0{,}736 = 100 \cdot 0{,}736 = 73{,}6$;
• Л: $n = 5 \cdot (63 - 56{,}08) = 5 \cdot 6{,}92 = 34{,}6$;
• И: $z = (19{,}63 + 0{,}37) \cdot 8{,}376 = 20 \cdot 8{,}376 = 167{,}52$;
• Ш: $y = (98{,}35 - 83{,}17) \cdot 7 = 15{,}18 \cdot 7 = 106{,}26$.

Ответ: АЛЬ-КАШИ.

🌟 Джамшид аль-Каши жил в XV веке в Самарканде и работал в обсерватории Улугбека. Он подробно описал десятичные дроби — задолго до того, как ими начали пользоваться в Европе.

Уровень C

№ 831

Посчитай с хитростью: 1) $(0{,}9 \cdot 5 + 5 \cdot 0{,}6) - (0{,}7 \cdot 2 + 3 \cdot 0{,}7)$; 2) $(13 \cdot 2{,}5 - 2{,}5 \cdot 9) + (8 \cdot 5{,}6 - 3{,}1 \cdot 8)$; 3) $(3{,}61 \cdot 7 + 7 \cdot 0{,}13) - (2{,}26 \cdot 4 + 3 \cdot 2{,}26)$.

Как думать. В каждой скобке спрятан общий множитель. Выносим его — и считать становится легко.

Решение.

1. $5 \cdot (0{,}9 + 0{,}6) - 0{,}7 \cdot (2 + 3) = 5 \cdot 1{,}5 - 0{,}7 \cdot 5 = 7{,}5 - 3{,}5 = 4$;
2. $2{,}5 \cdot (13 - 9) + 8 \cdot (5{,}6 - 3{,}1) = 2{,}5 \cdot 4 + 8 \cdot 2{,}5 = 10 + 20 = 30$;
3. $7 \cdot (3{,}61 + 0{,}13) - 2{,}26 \cdot (4 + 3) = 7 \cdot 3{,}74 - 7 \cdot 2{,}26 = 7 \cdot (3{,}74 - 2{,}26) = 7 \cdot 1{,}48 = 10{,}36$.

Ответ: 1) 4; 2) 30; 3) 10,36.

№ 832

Раскрой скобки: $(5{,}1 + 3{,}25x) \cdot 6$; $(1{,}03y - 9{,}17) \cdot 12$; $(29{,}66 - 8{,}9x) \cdot 10$; $(0{,}5m - 6{,}19) \cdot 14$; $(2{,}3 + 1{,}8m) \cdot 71$; $(0{,}08k - 0{,}03) \cdot 85$.

Как думать. Число за скобкой умножаем на каждое слагаемое внутри. Ни одно не пропускаем!

Решение.

1. $(5{,}1 + 3{,}25x) \cdot 6 = 30{,}6 + 19{,}5x$;
2. $(1{,}03y - 9{,}17) \cdot 12 = 12{,}36y - 110{,}04$;
3. $(29{,}66 - 8{,}9x) \cdot 10 = 296{,}6 - 89x$;
4. $(0{,}5m - 6{,}19) \cdot 14 = 7m - 86{,}66$;
5. $(2{,}3 + 1{,}8m) \cdot 71 = 163{,}3 + 127{,}8m$;
6. $(0{,}08k - 0{,}03) \cdot 85 = 6{,}8k - 2{,}55$.

Ответ: 1) $30{,}6 + 19{,}5x$; 2) $12{,}36y - 110{,}04$; 3) $296{,}6 - 89x$; 4) $7m - 86{,}66$; 5) $163{,}3 + 127{,}8m$; 6) $6{,}8k - 2{,}55$.

№ 833

Земля мчится вокруг Солнца со скоростью 29,8 км/с. Какой путь мы пролетаем вместе с ней за 2 мин и за 2 ч?

Как думать. Скорость дана в секундах — значит, и время переводим в секунды.

Решение.

1. 2 мин = 120 с; $29{,}8 \cdot 120 = 3576$ (км).
2. 2 ч = $2 \cdot 3600 = 7200$ с; $29{,}8 \cdot 7200 = 214,560$ (км).

Ответ: 1) 3576 км; 2) 214 560 км.

🌟 Пока ты решаешь эту задачу пару минут, ты вместе с Землёй пролетаешь больше, чем от Алматы до Астаны и обратно!

№ 834

Товар стоил 840 тг. Какой станет цена, если она 1) снизится на 0,25 первоначальной; 2) вырастет на 0,08 первоначальной?

Как думать. Сначала находим, на сколько тенге изменилась цена. Потом вычитаем или прибавляем.

Решение.

1. $840 \cdot 0{,}25 = 210$ (тг); $840 - 210 = 630$ (тг).
2. $840 \cdot 0{,}08 = 67{,}2$ (тг); $840 + 67{,}2 = 907{,}2$ (тг).

Ответ: 1) 630 тг; 2) 907,2 тг.

№ 835

Бассейн наполняют сразу две трубы в течение 3,15 ч. Первая даёт 40 л в минуту, вторая — в 1,25 раза больше. Каков объём бассейна?

Как думать. Трубы считают литры в минуту, а время дано в часах. Сначала переводим часы в минуты.

Решение.

1. Вторая труба: $40 \cdot 1{,}25 = 50$ (л/мин).
2. Вместе: $40 + 50 = 90$ (л/мин).
3. Время: $3{,}15 \cdot 60 = 189$ (мин).
4. Объём: $90 \cdot 189 = 17,010$ (л).

Ответ: 17 010 л.

№ 836

Бачок без крышки — куб с ребром 60 см. На 1 дм² уходит 2,2 г краски. Сколько краски нужно на весь бачок?

Как думать. Без крышки у куба только 5 граней. Краска дана на дм², поэтому 60 см переводим в 6 дм.

Решение.

1. Площадь одной грани: $6 \cdot 6 = 36$ (дм²).
2. Площадь 5 граней: $36 \cdot 5 = 180$ (дм²).
3. Краска: $2{,}2 \cdot 180 = 396$ (г).

Ответ: 396 г.

№ 837

Завод собрал 725 станков: 0,6 — токарные, 0,7 остатка — фрезерные, остальные шлифовальные. Сколько шлифовальных?

Как думать. Как в № 825: вторая доля берётся от остатка, а не от всех станков.

Решение.

1. Токарных: $725 \cdot 0{,}6 = 435$.
2. Осталось: $725 - 435 = 290$.
3. Фрезерных: $290 \cdot 0{,}7 = 203$.
4. Шлифовальных: $290 - 203 = 87$.

Ответ: 87 шлифовальных станков.

№ 838

Между городами 490 км. Легковая машина выехала со скоростью 90 км/ч, а через 1 ч 30 мин навстречу ей выехала грузовая со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 1 ч 45 мин после выезда грузовой? Варианты: A. 70 км; B. 75 км; C. 80 км; D. 87 км.

Как думать. Сначала легковая едет одна, потом обе навстречу друг другу. 30 мин — половина часа, 45 мин — три четверти часа.

Решение.

1. 1 ч 30 мин = 1,5 ч; 1 ч 45 мин = 1,75 ч.
2. Легковая до выезда грузовой проехала $90 \cdot 1{,}5 = 135$ (км).
3. Между машинами осталось $490 - 135 = 355$ (км).
4. Скорость сближения $90 + 70 = 160$ (км/ч). За 1,75 ч они сблизились на $160 \cdot 1{,}75 = 280$ (км).
5. Между ними $355 - 280 = 75$ (км).

Ответ: B. 75 км.

№ 839

Ученик делает работу за 6 ч, мастер — за $\frac{2}{3}$ этого времени. Сначала 2 ч работал ученик, потом оба вместе. Сколько времени они работали вместе?

Как думать. Всю работу считаем за 1. Находим, какую часть каждый делает за час.

Решение.

1. Время мастера: $6 \cdot \frac{2}{3} = 4$ (ч).
2. За час ученик делает $\frac{1}{6}$ работы, мастер $\frac{1}{4}$, вместе $\frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$.
3. За 2 ч ученик сделал $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ работы, осталось $\frac{2}{3}$.
4. Вместе: $\frac{2}{3} : \frac{5}{12} = \frac{2}{3} \cdot \frac{12}{5} = \frac{8}{5} = 1{,}6$ (ч).

Ответ: 1,6 ч (1 ч 36 мин).

№ 840

Узнай скорость света. Свет от Солнца до Земли летит 8,3 мин. Найди это расстояние.

Как думать. Скорость света около 300 000 км/с (точнее 299 792 км/с — проверь по источнику). Минуты переводим в секунды.

Решение.

1. $8{,}3 \cdot 60 = 498$ (с).
2. $300,000 \cdot 498 = 149,400,000$ (км).

Ответ: около 149 400 000 км.

Шпаргалка

• Умножаем «без запятой», потом отделяем столько цифр, сколько их было в дроби.
• Столбиком пишем по правому краю.
• Делай прикидку: $8{,}31 \cdot 14 \approx 8 \cdot 14 = 112$.
• 1,2 ч — это 72 мин, а не 1 ч 20 мин.
• «0,6 от 15» — это $15 \cdot 0{,}6$.

Мини-тест