4.6. Умножение десятичных дробей

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава IV: Десятичные дроби. Действия над десятичными дробями. Страницы 51–56.

Чему научишься

• Умножать одну десятичную дробь на другую столбиком.
• Считать, сколько цифр отделить запятой: складывать цифры после запятой у обоих множителей.
• Дописывать нули слева, когда цифр не хватает.
• Без вычислений говорить, станет число больше или меньше.
• Находить часть числа: 0,3 от 8,1 м, 0,25 от 3,8 кг.

Разминка

Перемножь дроби через обыкновенные, как в образце: $3{,}2 \cdot 5{,}6 = \frac{32}{10} \cdot \frac{56}{10} = \frac{1792}{100} = 17{,}92$.

• $4{,}2 \cdot 4{,}3$? $\frac{42}{10} \cdot \frac{43}{10} = \frac{1806}{100} = 18{,}06$.
• $12{,}6 \cdot 4{,}2$? $\frac{126 \cdot 42}{100} = \frac{5292}{100} = 52{,}92$.
• $0{,}8 \cdot 3{,}75$? $\frac{8 \cdot 375}{1000} = \frac{3000}{1000} = 3$.
• $0{,}35 \cdot 0{,}6$? $\frac{35 \cdot 6}{1000} = \frac{210}{1000} = 0{,}21$.
• $9{,}21 \cdot 6{,}5$? $\frac{921 \cdot 65}{1000} = \frac{59,865}{1000} = 59{,}865$.
• $3{,}48 \cdot 0{,}5$? $\frac{348 \cdot 5}{1000} = \frac{1740}{1000} = 1{,}74$.

💡 Глянь на знаменатели: десятые на десятые дают сотые, сотые на десятые — тысячные. В этом и спрятано правило урока.

Разбираемся

Умножаем на клетчатом листе

Возьми квадрат со стороной 1 дм и расчерти его на 10 × 10 клеток. Сторона клетки — 0,1 дм, а сама клетка — это одна сотая квадрата: 0,01 дм².

Теперь закрасим прямоугольник 0,7 дм на 0,3 дм. Посчитай клетки: 7 в ряду, 3 ряда — всего 21 клетка. Значит, $0{,}7 \cdot 0{,}3 = 0{,}21$ дм².

💡 Вот и разгадка: прямоугольник — лишь кусочек квадрата. Умножаешь на число меньше 1 — берёшь только часть. Поэтому $0{,}7 \cdot 0{,}3$ меньше и 0,7, и 0,3.

Откуда берётся правило

Найдём площадь прямоугольника 6,15 см на 4,3 см:

$6{,}15 \cdot 4{,}3 = \frac{615}{100} \cdot \frac{43}{10} = \frac{615 \cdot 43}{1000} = \frac{26,445}{1000} = 26{,}445$ (см²).

Числители перемножились как обычные числа: $615 \cdot 43 = 26,445$. Знаменатели дали $100 \cdot 10 = 1000$ — три нуля, а значит, три цифры после запятой. У первого множителя их было 2, у второго 1: $2 + 1 = 3$.

     6,15
   ×  4,3
   ──────
     1845
 +  2460
   ──────
   26,445

📌 Правило. 1) Перемножь, как будто запятых нет. 2) Сложи цифры после запятой у обоих множителей. 3) Столько цифр отсчитай справа в ответе. 4) Не хватает цифр — допиши нули слева.

   9,8        2,16        0,134
 × 3,2      × 1,07      ×  0,02
 ─────      ──────      ───────
   196        1512      0,00268
+ 294      + 216
 ─────      ──────
 31,36      2,3112

В третьем примере $134 \cdot 2 = 268$, а отделить нужно $3 + 2 = 5$ цифр. Дописываем слева два нуля и нуль целых: 0,00268.

⚠️ Частая ошибка. Ставят запятую под запятой, как при сложении. При умножении запятые не выравнивают. Числа пишем по правому краю, а запятую ставим только в ответе.

⚠️ Частая ошибка. $0{,}5 \cdot 0{,}7 = 3{,}5$. Нет: цифр после запятой $1 + 1 = 2$, значит, 0,35. Проверь смыслом: половина от 0,7 меньше 0,7, а 3,5 гораздо больше.

Больше или меньше?

• Умножаешь на число меньше 1 (0,5; 0,7; 0,14) — результат меньше самого числа: $3{,}52 \cdot 0{,}5 < 3{,}52$.
• Умножаешь на число больше 1 (1,7; 3,2) — результат больше: $7{,}02 \cdot 1{,}7 > 7{,}02$.

Это отличная проверка. Умножил на 0,3, а ответ вырос? Ищи ошибку.

Часть от числа

Найти 0,3 от 8,1 м — значит умножить: $8{,}1 \cdot 0{,}3 = 2{,}43$ м. Это то же, что найти $\frac{3}{10}$ от числа. Десятичная дробь — просто другая запись.

👨‍👩‍👧 Родителю. Пусть ребёнок перед вычислением говорит вслух: «Тут две цифры после запятой, тут одна — в ответе будет три». Эта фраза почти полностью убирает ошибки с запятой. И прикидка: $6{,}15 \cdot 4{,}3 \approx 6 \cdot 4 = 24$, так что 26,445 похоже на правду.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как умножить десятичные дроби? Перемножить, как натуральные числа, не глядя на запятые. Потом отделить справа столько цифр, сколько их после запятой у обоих множителей вместе.
• Что делать, если в произведении меньше цифр, чем надо отделить? Дописать слева нули: $0{,}3 \cdot 0{,}1$ — получаем 3, отделяем две цифры: 0,03.
• Задание для самостоятельного изучения: $9{,}8 \cdot 3{,}2$; $2{,}16 \cdot 1{,}07$; $0{,}134 \cdot 0{,}02$? 31,36; 2,3112; 0,00268.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 841

Посчитай в уме: $1{,}3 \cdot 0{,}1$; $1{,}3 \cdot 0{,}3$; $0{,}5 \cdot 0{,}7$; $4{,}5 \cdot 0{,}2$; $3{,}2 \cdot 0{,}2$; $0{,}3 \cdot 0{,}1$; $56{,}7 \cdot 0{,}1$; $2{,}5 \cdot 0{,}5$.

Как думать. Умножить на 0,1 — это сдвинуть запятую на один знак влево. Остальное — по правилу.

Решение.

1. 0,13; 2) 0,39; 3) 0,35; 4) $4{,}5 \cdot 0{,}2 = 0{,}90 = 0{,}9$; 5) 0,64; 6) 0,03; 7) 5,67; 8) 1,25.

Ответ: 0,13; 0,39; 0,35; 0,9; 0,64; 0,03; 5,67; 1,25.

Уровень A

№ 842

Умножь: $6{,}3 \cdot 1{,}8$; $5{,}6 \cdot 2{,}5$; $0{,}8 \cdot 4{,}6$; $0{,}3 \cdot 1{,}5$; $1{,}9 \cdot 3{,}5$; $0{,}2 \cdot 8{,}5$; $2{,}5 \cdot 0{,}9$; $1{,}7 \cdot 0{,}3$.

Как думать. У каждого множителя одна цифра после запятой. Значит, в ответе две.

Решение.

Ответ: 1) 11,34; 2) 14; 3) 3,68; 4) 0,45; 5) 6,65; 6) 1,7; 7) 2,25; 8) 0,51.

№ 843

Умножь: $17{,}4 \cdot 5{,}2$; $5{,}81 \cdot 1{,}5$; $1{,}42 \cdot 0{,}3$; $2{,}6 \cdot 0{,}24$; $10{,}2 \cdot 2{,}02$; $5{,}08 \cdot 3{,}03$; $32{,}5 \cdot 0{,}6$; $46{,}2 \cdot 0{,}07$.

Как думать. Теперь у множителей разное число цифр после запятой. Складываем их — и отделяем столько же.

Решение.

Столбик для пункта 6:

     5,08
   × 3,03
   ──────
     1524
 +1524
   ──────
  15,3924

(Строку умножения на 0 десятков пропустили, поэтому второе неполное произведение сдвинуто на два знака.)

Ответ: 1) 90,48; 2) 8,715; 3) 0,426; 4) 0,624; 5) 20,604; 6) 15,3924; 7) 19,5; 8) 3,234.

№ 844

Умножь: $7{,}22 \cdot 0{,}08$; $0{,}61 \cdot 0{,}023$; $0{,}25 \cdot 1{,}32$; $0{,}91 \cdot 0{,}2$; $0{,}14 \cdot 0{,}25$; $0{,}6 \cdot 0{,}08$; $3{,}52 \cdot 0{,}7$; $16{,}03 \cdot 0{,}6$; $36{,}11 \cdot 0{,}5$.

Как думать. Здесь часто не хватает цифр. Не бойся дописывать нули слева!

Решение.

1. $722 \cdot 8 = 5776$, отделяем 4 цифры: 0,5776;
2. $61 \cdot 23 = 1403$, отделяем 5 цифр: 0,01403;
3. $25 \cdot 132 = 3300$, отделяем 4 цифры: 0,3300 = 0,33;
4. $91 \cdot 2 = 182$, отделяем 3 цифры: 0,182;
5. $14 \cdot 25 = 350$, отделяем 4 цифры: 0,0350 = 0,035;
6. $6 \cdot 8 = 48$, отделяем 3 цифры: 0,048;
7. $352 \cdot 7 = 2464$, отделяем 3 цифры: 2,464;
8. $1603 \cdot 6 = 9618$, отделяем 3 цифры: 9,618;
9. $3611 \cdot 5 = 18,055$, отделяем 3 цифры: 18,055.

Ответ: 1) 0,5776; 2) 0,01403; 3) 0,33; 4) 0,182; 5) 0,035; 6) 0,048; 7) 2,464; 8) 9,618; 9) 18,055.

№ 845

Известно, что $37 \cdot 15 = 555$. Найди $3{,}7 \cdot 1{,}5$; $0{,}37 \cdot 1{,}5$; $0{,}37 \cdot 0{,}15$.

Как думать. Цифры в ответе всегда те же — 555. Меняется только место запятой.

Решение.

1. $1 + 1 = 2$ цифры: $3{,}7 \cdot 1{,}5 = 5{,}55$;
2. $2 + 1 = 3$ цифры: $0{,}37 \cdot 1{,}5 = 0{,}555$;
3. $2 + 2 = 4$ цифры: $0{,}37 \cdot 0{,}15 = 0{,}0555$.

Ответ: 1) 5,55; 2) 0,555; 3) 0,0555.

№ 846

Сравни, не вычисляя: $3{,}52 \cdot 0{,}5$ и 3,52; $7{,}02 \cdot 1{,}7$ и 7,02; $12{,}8 \cdot 0{,}7$ и 12,8; $2{,}3 \cdot 3{,}2$ и 2,3; $7{,}25 \cdot 0{,}14$ и 7,25; $9{,}31 \cdot 1{,}14$ и 9,31.

Как думать. Умножение на число меньше 1 уменьшает, на число больше 1 — увеличивает.

Решение. Множители 0,5; 0,7; 0,14 меньше 1, а 1,7; 3,2; 1,14 больше 1.

Ответ: 1)

№ 847

Заполни таблицу квадратов и кубов чисел 0,1; 0,2; 0,3; 0,4.

Как думать. $a^2 = a \cdot a$, $a^3 = a \cdot a \cdot a$. У квадрата десятой дроби 2 цифры после запятой, у куба — 3.

Решение.

Ответ: см. таблицу.

⚠️ Частая ошибка. $0{,}3^2 = 0{,}9$. Нет: $0{,}3 \cdot 0{,}3 = 0{,}09$, две цифры после запятой. Квадрат числа меньше 1 становится ещё меньше. Вспомни клетчатый квадрат: 3 × 3 = 9 клеток из 100.

№ 848

Запиши обыкновенную дробь десятичной и вычисли: $2\frac{3}{10} \cdot 1{,}1$; $\frac{71}{100} \cdot 6{,}3$; $4\frac{1}{5} \cdot 2{,}5$; $7\frac{1}{20} \cdot 1{,}4$; $6\frac{1}{4} \cdot 3{,}3$; $\frac{11}{50} \cdot 3{,}3$; $4\frac{1}{2} \cdot 5{,}4$; $6{,}5 \cdot \frac{1}{2}$.

Как думать. Если знаменатель не 10 и не 100, сначала доводим его до 10 или 100: $\frac{1}{5} = \frac{2}{10}$, $\frac{1}{4} = \frac{25}{100}$.

Решение.

1. $2\frac{3}{10} = 2{,}3$; $2{,}3 \cdot 1{,}1 = 2{,}53$;
2. $\frac{71}{100} = 0{,}71$; $0{,}71 \cdot 6{,}3 = 4{,}473$;
3. $4\frac{1}{5} = 4{,}2$; $4{,}2 \cdot 2{,}5 = 10{,}5$;
4. $7\frac{1}{20} = 7{,}05$; $7{,}05 \cdot 1{,}4 = 9{,}87$;
5. $6\frac{1}{4} = 6{,}25$; $6{,}25 \cdot 3{,}3 = 20{,}625$;
6. $\frac{11}{50} = \frac{22}{100} = 0{,}22$; $0{,}22 \cdot 3{,}3 = 0{,}726$;
7. $4\frac{1}{2} = 4{,}5$; $4{,}5 \cdot 5{,}4 = 24{,}3$;
8. $\frac{1}{2} = 0{,}5$; $6{,}5 \cdot 0{,}5 = 3{,}25$.

Ответ: 1) 2,53; 2) 4,473; 3) 10,5; 4) 9,87; 5) 20,625; 6) 0,726; 7) 24,3; 8) 3,25.

№ 849

Найди: 0,5 от 7 кг; 0,7 от 3 т; 0,3 от 8,1 м; 0,8 от 5,75 кг; 0,6 от 31 дм; 0,2 от 450 г.

Как думать. Чтобы найти дробь от числа, умножаем число на эту дробь.

Решение.

1. $7 \cdot 0{,}5 = 3{,}5$ кг; 2) $3 \cdot 0{,}7 = 2{,}1$ т; 3) $8{,}1 \cdot 0{,}3 = 2{,}43$ м; 4) $5{,}75 \cdot 0{,}8 = 4{,}6$ кг; 5) $31 \cdot 0{,}6 = 18{,}6$ дм; 6) $450 \cdot 0{,}2 = 90$ г.

Ответ: 3,5 кг; 2,1 т; 2,43 м; 4,6 кг; 18,6 дм; 90 г.

№ 850

Хоккейные ворота: ширина 1,8 м, высота 1,2 м. Найди их площадь.

Как думать. Ворота — прямоугольник. Площадь = ширина × высота.

Решение. $S = 1{,}8 \cdot 1{,}2 = 2{,}16$ (м²).

Ответ: 2,16 м².

№ 851

Масло — это 0,25 массы сметаны. Сколько масла в 3,8 кг сметаны?

Решение. $3{,}8 \cdot 0{,}25 = 0{,}95$ (кг).

Ответ: 0,95 кг.

№ 852

Фермерское хозяйство — 70,5 га. На $\frac{3}{5}$ площади пшеница, на остальной — овощи. Сколько гектаров под овощами?

Как думать. Сначала узнаём, какая часть поля под овощами. Потом умножаем.

Решение.

1. Под овощами $1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5} = 0{,}4$ всей площади.
2. $70{,}5 \cdot 0{,}4 = 28{,}2$ (га).

Проверка: под пшеницей $70{,}5 \cdot 0{,}6 = 42{,}3$ га; $42{,}3 + 28{,}2 = 70{,}5$.

Ответ: 28,2 га.

№ 853

Алибек задумал число, разделил его на 2,5, отнял 18,25 и получил 13,95. Какое число он задумал? Варианты: A. 78,5; B. 82,7; C. 80,5; D. 85,3.

Как думать. Идём с конца и делаем обратные действия: вместо вычитания — сложение, вместо деления — умножение.

Решение.

1. До вычитания было $13{,}95 + 18{,}25 = 32{,}2$.
2. До деления было $32{,}2 \cdot 2{,}5 = 80{,}5$.

Проверка: $80{,}5 : 2{,}5 = 32{,}2$; $32{,}2 - 18{,}25 = 13{,}95$.

Ответ: C. 80,5.

№ 854

Первый оператор за час набирает 0,3 текста, второй — 0,5. Успеют ли они вдвоём набрать весь текст за 1,25 ч?

Как думать. Весь текст — это 1. Узнаём, сколько они делают вместе за час, и умножаем на время.

Решение.

1. Вместе за час: $0{,}3 + 0{,}5 = 0{,}8$ текста.
2. За 1,25 ч: $0{,}8 \cdot 1{,}25 = 1$ — это весь текст.

Ответ: да, успеют: за 1,25 ч они наберут ровно весь текст.

Уровень B

№ 855

Упрости и найди значение: 1) $15{,}2x + 8{,}3 + 4{,}6x + 7{,}5$ при $x = 0{,}5$; 2) $19{,}8y - 12{,}6y + 4{,}37 + 3{,}1y$ при $y = 2{,}1$; 3) $(6{,}5x - 2{,}7x) + (13{,}4x - 5{,}2x)$ при $x = 0{,}7$.

Как думать. Собираем вместе слагаемые с буквой, отдельно — просто числа. Потом подставляем.

Решение.

1. $15{,}2x + 4{,}6x + 8{,}3 + 7{,}5 = 19{,}8x + 15{,}8$; при $x = 0{,}5$: $9{,}9 + 15{,}8 = 25{,}7$.
2. $19{,}8y - 12{,}6y + 3{,}1y + 4{,}37 = 10{,}3y + 4{,}37$; при $y = 2{,}1$: $21{,}63 + 4{,}37 = 26$.
3. $3{,}8x + 8{,}2x = 12x$; при $x = 0{,}7$: $12 \cdot 0{,}7 = 8{,}4$.

Ответ: 1) $19{,}8x + 15{,}8 = 25{,}7$; 2) $10{,}3y + 4{,}37 = 26$; 3) $12x = 8{,}4$.

№ 856

Вычисли, вынося общий множитель: $18{,}3 \cdot 0{,}5 - 5{,}81 \cdot 0{,}5$; $2{,}07 \cdot 0{,}7 + 2{,}07 \cdot 7{,}2$; $38{,}6 \cdot 1{,}8 + 1{,}8 \cdot 2{,}7$; $10{,}27 \cdot 5{,}1 + 8{,}3 \cdot 5{,}1$; $2{,}3 \cdot 9{,}5 - 7{,}2 \cdot 2{,}3$; $0{,}4 \cdot 5{,}1 + 6{,}9 \cdot 0{,}4$.

Как думать. Одинаковый множитель выносим за скобки. Так одно умножение вместо двух.

Решение.

1. $0{,}5 \cdot (18{,}3 - 5{,}81) = 0{,}5 \cdot 12{,}49 = 6{,}245$;
2. $2{,}07 \cdot (0{,}7 + 7{,}2) = 2{,}07 \cdot 7{,}9 = 16{,}353$;
3. $1{,}8 \cdot (38{,}6 + 2{,}7) = 1{,}8 \cdot 41{,}3 = 74{,}34$;
4. $5{,}1 \cdot (10{,}27 + 8{,}3) = 5{,}1 \cdot 18{,}57 = 94{,}707$;
5. $2{,}3 \cdot (9{,}5 - 7{,}2) = 2{,}3 \cdot 2{,}3 = 5{,}29$;
6. $0{,}4 \cdot (5{,}1 + 6{,}9) = 0{,}4 \cdot 12 = 4{,}8$.

Ответ: 1) 6,245; 2) 16,353; 3) 74,34; 4) 94,707; 5) 5,29; 6) 4,8.

№ 857

Вычисли в десятичных дробях: 1) $32{,}6 \cdot 5\frac{1}{4} + 1\frac{1}{5} \cdot 8{,}5$; 2) $1\frac{3}{4} \cdot 32{,}8 - 1{,}12 \cdot 3{,}5$; 3) $147 - 13\frac{3}{5} \cdot 4{,}8 + 3\frac{1}{2} \cdot 6{,}8$; 4) $0{,}2 \cdot \left(5\frac{1}{4} + 6{,}1\right) + 0{,}01 \cdot 3$.

Как думать. Сначала все обыкновенные дроби превращаем в десятичные. Потом — по порядку действий.

Решение.

1. $5\frac{1}{4} = 5{,}25$, $1\frac{1}{5} = 1{,}2$. $32{,}6 \cdot 5{,}25 = 171{,}15$; $1{,}2 \cdot 8{,}5 = 10{,}2$; $171{,}15 + 10{,}2 = 181{,}35$.
2. $1\frac{3}{4} = 1{,}75$. $1{,}75 \cdot 32{,}8 = 57{,}4$; $1{,}12 \cdot 3{,}5 = 3{,}92$; $57{,}4 - 3{,}92 = 53{,}48$.
3. $13\frac{3}{5} = 13{,}6$, $3\frac{1}{2} = 3{,}5$. $13{,}6 \cdot 4{,}8 = 65{,}28$; $3{,}5 \cdot 6{,}8 = 23{,}8$; $147 - 65{,}28 + 23{,}8 = 81{,}72 + 23{,}8 = 105{,}52$.
4. $5\frac{1}{4} = 5{,}25$. $0{,}2 \cdot (5{,}25 + 6{,}1) = 0{,}2 \cdot 11{,}35 = 2{,}27$; $0{,}01 \cdot 3 = 0{,}03$; $2{,}27 + 0{,}03 = 2{,}3$.

Ответ: 1) 181,35; 2) 53,48; 3) 105,52; 4) 2,3.

№ 858

Товар стоил 720 тг. Какой станет цена, если она 1) снизится на 0,25 первоначальной; 2) вырастет на 0,08 первоначальной?

Решение.

1. $720 \cdot 0{,}25 = 180$ (тг); $720 - 180 = 540$ (тг).
2. $720 \cdot 0{,}08 = 57{,}6$ (тг); $720 + 57{,}6 = 777{,}6$ (тг).

Ответ: 1) 540 тг; 2) 777,6 тг.

Практическая работа

№ 859

В 1 м³ воздуха 0,21 м³ кислорода. Измерь свою комнату и найди, сколько в ней кислорода.

Как думать. Бери рулетку и измерь длину, ширину и высоту в метрах (до сантиметра, например 4,35 м). Объём = длина × ширина × высота. Кислород = объём × 0,21.

Решение (пример). Пусть комната 5 м × 4 м × 2,7 м.

1. Объём: $5 \cdot 4 \cdot 2{,}7 = 54$ (м³).
2. Кислород: $54 \cdot 0{,}21 = 11{,}34$ (м³).

Ответ: у каждого свой; для комнаты 5 × 4 × 2,7 м — 11,34 м³ кислорода.

№ 860

Банк каждый год добавляет к вкладу 0,05 от его суммы. Вклад — 940 тыс. тг. Сколько будет на счёте через год?

Решение.

1. Доход: $940,000 \cdot 0{,}05 = 47,000$ (тг).
2. На счёте: $940,000 + 47,000 = 987,000$ (тг).

Ответ: 987 000 тг.

№ 861

Есть вёдра на 7 л и на 4 л. Как набрать из реки ровно 5 л?

Как думать. Задача на смекалку! Переливаем воду между вёдрами, пока в большом не останется 5 л.

Решение.

Ответ: в 7-литровом ведре 5 л (способ — в таблице).

№ 862

Собственная скорость катера 20,4 км/ч, течение 3,2 км/ч. Катер шёл по течению 2,5 ч, и до пристани осталось 16,3 км. Сколько он уже проплыл?

Как думать. По течению скорости складываем. Путь = скорость × время.

Решение.

1. Скорость по течению: $20{,}4 + 3{,}2 = 23{,}6$ (км/ч).
2. Проплыл: $23{,}6 \cdot 2{,}5 = 59$ (км).
3. Весь путь до пристани: $59 + 16{,}3 = 75{,}3$ (км).

Ответ: проплыл 59 км; весь путь до пристани 75,3 км.

№ 863

Сосуд на 2,5 л заполнен молоком на 0,8. Из него отлили $\frac{3}{4}$ молока. Сколько осталось?

Как думать. Сначала узнаём, сколько молока было. Потом — сколько отлили.

Решение.

1. Молока было: $2{,}5 \cdot 0{,}8 = 2$ (л).
2. Отлили: $2 \cdot \frac{3}{4} = 1{,}5$ (л).
3. Осталось: $2 - 1{,}5 = 0{,}5$ (л).

Ответ: 0,5 л.

№ 864

Реши уравнения: 1) $\frac{x}{6{,}2} = 5{,}25$; 2) $\frac{x + 0{,}7}{2{,}6} = 4\frac{1}{2}$; 3) $\frac{y + 0{,}792}{2{,}16} = 8\frac{7}{10}$; 4) $\frac{x + 0{,}4}{2{,}4} = 3\frac{1}{4}$; 5) $\frac{x - 1{,}65}{10{,}25} = 13{,}4$; 6) $\frac{x - 0{,}55}{6{,}25} = \frac{3}{5}$.

Как думать. Делимое = делитель × частное. Сначала находим весь числитель, потом само неизвестное.

Решение.

1. $x = 6{,}2 \cdot 5{,}25 = 32{,}55$;
2. $x + 0{,}7 = 2{,}6 \cdot 4{,}5 = 11{,}7$; $x = 11{,}7 - 0{,}7 = 11$;
3. $y + 0{,}792 = 2{,}16 \cdot 8{,}7 = 18{,}792$; $y = 18$;
4. $x + 0{,}4 = 2{,}4 \cdot 3{,}25 = 7{,}8$; $x = 7{,}4$;
5. $x - 1{,}65 = 10{,}25 \cdot 13{,}4 = 137{,}35$; $x = 139$;
6. $x - 0{,}55 = 6{,}25 \cdot 0{,}6 = 3{,}75$; $x = 4{,}3$.

Ответ: 1) 32,55; 2) 11; 3) 18; 4) 7,4; 5) 139; 6) 4,3.

Уровень C

№ 865

Вычисли: 1) $(24 - 15{,}7) \cdot 6{,}4 + 0{,}08 \cdot 11$; 2) $(5{,}69 - 2{,}85) \cdot 1{,}5 + 7{,}8 \cdot 5{,}4 - 23{,}88$; 3) $(98{,}6 \cdot 0{,}1 + 14 \cdot 0{,}15) \cdot 3{,}5 - 36{,}86$; 4) $(103{,}92 - 5{,}6 \cdot 4{,}2) \cdot 0{,}75 - 2{,}8 \cdot (10 - 8{,}25)$.

Как думать. Порядок: скобки, потом умножение, потом сложение и вычитание. Ответы получаются красивыми — это хорошая самопроверка.

Решение.

1. $(24 - 15{,}7) \cdot 6{,}4 + 0{,}08 \cdot 11 = 8{,}3 \cdot 6{,}4 + 0{,}88 = 53{,}12 + 0{,}88 = 54$;
2. $(5{,}69 - 2{,}85) \cdot 1{,}5 + 7{,}8 \cdot 5{,}4 - 23{,}88 = 2{,}84 \cdot 1{,}5 + 42{,}12 - 23{,}88 = 4{,}26 + 42{,}12 - 23{,}88 = 22{,}5$;
3. $(98{,}6 \cdot 0{,}1 + 14 \cdot 0{,}15) \cdot 3{,}5 - 36{,}86 = (9{,}86 + 2{,}1) \cdot 3{,}5 - 36{,}86 = 11{,}96 \cdot 3{,}5 - 36{,}86 = 41{,}86 - 36{,}86 = 5$;
4. $(103{,}92 - 5{,}6 \cdot 4{,}2) \cdot 0{,}75 - 2{,}8 \cdot (10 - 8{,}25) = (103{,}92 - 23{,}52) \cdot 0{,}75 - 2{,}8 \cdot 1{,}75 = 80{,}4 \cdot 0{,}75 - 4{,}9 = 60{,}3 - 4{,}9 = 55{,}4$.

Ответ: 1) 54; 2) 22,5; 3) 5; 4) 55,4.

№ 866

Подбери буквы, чтобы равенства стали верными: 1) $a \cdot (2{,}3 + 1{,}6) = 4{,}2 \cdot 2{,}3 + b$; 2) $c \cdot (7{,}2 - 3{,}9) = 0{,}5 \cdot 7{,}2 - d$.

Как думать. Раскроем скобки слева: $a \cdot 2{,}3 + a \cdot 1{,}6$. И сравним с правой частью — всё станет видно.

Решение.

1. $a \cdot 2{,}3 + a \cdot 1{,}6 = 4{,}2 \cdot 2{,}3 + b$, значит $a = 4{,}2$, $b = 4{,}2 \cdot 1{,}6 = 6{,}72$.
2. $c \cdot 7{,}2 - c \cdot 3{,}9 = 0{,}5 \cdot 7{,}2 - d$, значит $c = 0{,}5$, $d = 0{,}5 \cdot 3{,}9 = 1{,}95$.

Ответ: 1) $a = 4{,}2$, $b = 6{,}72$; 2) $c = 0{,}5$, $d = 1{,}95$.

№ 867

Мукомольный завод в первый день дал $50\frac{1}{2}$ т муки, во второй — 0,9 от первого дня, в третий — в 1,2 раза больше, чем во второй. Сколько всего за три дня?

Решение.

1. Первый день: $50\frac{1}{2} = 50{,}5$ (т).
2. Второй день: $50{,}5 \cdot 0{,}9 = 45{,}45$ (т).
3. Третий день: $45{,}45 \cdot 1{,}2 = 54{,}54$ (т).
4. Всего: $50{,}5 + 45{,}45 + 54{,}54 = 150{,}49$ (т).

Ответ: 150,49 т.

№ 868

Два всадника выехали из одного места в одну сторону. Скорость первого 12,8 км/ч, второго — в 1,3 раза больше. Какое расстояние будет между ними через 1,5 ч?

Как думать. Они едут в одну сторону, поэтому каждый час второй уходит вперёд на разницу скоростей.

Решение.

1. Скорость второго: $12{,}8 \cdot 1{,}3 = 16{,}64$ (км/ч).
2. Скорость удаления: $16{,}64 - 12{,}8 = 3{,}84$ (км/ч).
3. Через 1,5 ч: $3{,}84 \cdot 1{,}5 = 5{,}76$ (км).

Ответ: 5,76 км, то есть 5 км 760 м.

№ 869

Маслозавод получил в первый день 28 т семян подсолнечника, во второй — в 1,3 раза больше. Масла вышло 0,35 массы семян. Сколько тонн масла?

Решение.

1. Второй день: $28 \cdot 1{,}3 = 36{,}4$ (т).
2. Всего семян: $28 + 36{,}4 = 64{,}4$ (т).
3. Масла: $64{,}4 \cdot 0{,}35 = 22{,}54$ (т).

Ответ: 22,54 т.

№ 870

Надо почистить от снега дорогу шириной 4 м от дома до ворот (рис. 4.10). Снег лежит слоем 30 см, 1 м³ снега весит 125 кг. Сколько снега убрать? Варианты: A. 3645 кг; B. 2950 кг; C. 4200 кг; D. 3270 кг.

На рисунке дорога похожа на букву «Г»: вертикальная полоса шириной 4 м, её левый край 20,5 м. Сверху вправо отходит полоса шириной 4 м, её верхний край 7,8 м.

Как думать. В углу полосы накладываются. Если посчитать $20{,}5 \cdot 4 + 7{,}8 \cdot 4$, квадрат 4 × 4 м попадёт в счёт два раза.

Решение.

1. Вертикальная полоса: $20{,}5 \cdot 4 = 82$ (м²).
2. Горизонтальная полоса без угла: $(7{,}8 - 4) \cdot 4 = 3{,}8 \cdot 4 = 15{,}2$ (м²).
3. Площадь дороги: $82 + 15{,}2 = 97{,}2$ (м²).
4. Объём снега: 30 см = 0,3 м; $97{,}2 \cdot 0{,}3 = 29{,}16$ (м³).
5. Масса: $29{,}16 \cdot 125 = 3645$ (кг).

Ответ: A. 3645 кг.

№ 871

Усен и Майра — брат и сестра, в семье есть и другие дети. У Усена сестёр столько же, сколько братьев, а у Майры сестёр вдвое меньше, чем братьев. Сколько детей в семье?

Как думать. Задача на смекалку! Подвох в том, что Усен не считает себя среди братьев, а Майра — себя среди сестёр.

Решение.

1. Пусть в семье $b$ мальчиков и $g$ девочек. У Усена братьев $b - 1$, сестёр $g$. Значит, $g = b - 1$: девочек на одну меньше.
2. У Майры братьев $b$, сестёр $g - 1$, и $b = 2 \cdot (g - 1)$.
3. Подбираем: $b = 4$, $g = 3$. Проверка: у Усена 3 брата и 3 сестры; у Майры 4 брата и 2 сестры, $2 \cdot 2 = 4$. Верно.

Ответ: 7 детей (4 мальчика и 3 девочки).

№ 872

Цену сначала снизили на 0,2 первоначальной, потом подняли на 0,2 новой цены. Стала она выше или ниже прежней? На сколько?

Как думать. Кажется, что цена вернулась. Но повышение считают от уже сниженной цены, а она меньше. Значит, вернули меньше, чем сняли. Удобно взять цену 100 тг.

Решение.

1. Пусть цена 100 тг. После снижения: $100 - 100 \cdot 0{,}2 = 80$ (тг).
2. После повышения: $80 + 80 \cdot 0{,}2 = 80 + 16 = 96$ (тг).
3. $100 - 96 = 4$ тг — это 0,04 от 100.

Ответ: цена понизилась на 0,04 первоначальной цены.

Шпаргалка

• Две десятичные дроби перемножаем, как натуральные числа.
• Цифры после запятой у множителей складываем.
• Запятые при умножении не выравниваем — пишем по правому краю.
• Умножение на число меньше 1 уменьшает, больше 1 — увеличивает.
• Клетка в квадрате 10 × 10 — это 0,01 всего квадрата.

Мини-тест