4.7. Деление десятичной дроби на натуральное число

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава IV: Десятичные дроби. Действия над десятичными дробями. Страницы 57–64.

Чему научишься

• Делить десятичную дробь на натуральное число уголком.
• Ставить запятую в частном в нужный момент.
• Продолжать деление, когда цифры кончились, а остаток ещё есть.
• Не теряться, если целая часть меньше делителя: писать 0 целых.
• Превращать обыкновенную дробь в десятичную: $\frac{3}{4}$ — это сколько?

Разминка

Неизвестный множитель = произведение : известный множитель. Реши уравнения.

• $2x = 8{,}4$? $x = 8{,}4 : 2 = 4{,}2$: 8 : 2 = 4 целых, 4 : 2 = 2 десятых.
• $7x = 9{,}1$? $x = 9{,}1 : 7 = 1{,}3$. Проверка: $7 \cdot 1{,}3 = 9{,}1$.
• $6x = 30{,}6$? $x = 30{,}6 : 6 = 5{,}1$. Проверка: $6 \cdot 5{,}1 = 30{,}6$.
• $12x = 72{,}6$? $x = 72{,}6 : 12 = 6{,}05$. Проверка: $12 \cdot 6{,}05 = 72{,}6$.

💡 В последнем примере $72 : 12 = 6$, а 6 десятых на 12 не делятся. Пишем в частном 0 десятых и делим 60 сотых: $60 : 12 = 5$. Запомни этот нуль — он ещё пригодится!

Разбираемся

Делим поровну на луче

Отрезок от 0 до 2,4 надо разрезать на 3 равные части. 2,4 — это 24 десятых, а $24 : 3 = 8$ десятых. Значит, каждый кусок — 0,8.

Делим уголком — как с обычными числами

Делить десятичную дробь на натуральное число — почти то же, что делить натуральные числа уголком. Новое только одно: закончил делить целую часть — ставь в частном запятую.

Нажимай на кнопку и смотри, как делится $41{,}56 : 8$.

 41,56 | 8
-40    |------
 ---   | 5,195
   15
  - 8
  ---
    76
   -72
   ---
     40
    -40
    ---
      0

💡 Почему можно приписать нуль? Дробь не меняется от нулей справа: $41{,}56 = 41{,}560 = 41{,}5600$. Нуль можно писать сразу к остатку.

📌 Правило. 1) Дели целую часть. 2) Закончил — поставь в частном запятую. 3) Дели дальше: десятые, сотые, тысячные. 4) Остаток есть, а цифры кончились — припиши к остатку нуль.

Если целая часть меньше делителя

$2{,}34 : 5$. Целая часть 2 меньше 5 — целых в частном 0. Пишем «0,» и делим дальше: 23 десятых на 5.

 2,34 | 5
-2 0  |------
 ---  | 0,468
   34
  -30
  ---
    40
   -40
   ---
     0

Так же: $0{,}08 : 4 = 0{,}02$ и $3{,}32 : 4 = 0{,}83$.

⚠️ Частая ошибка. $0{,}08 : 4 = 0{,}2$. Пропущен нуль десятых! Десятых в 0,08 нет, значит, и в частном на месте десятых — 0. Проверь умножением: $0{,}2 \cdot 4 = 0{,}8$, а не 0,08.

⚠️ Частая ошибка. $72{,}6 : 12 = 6{,}5$. Если очередная цифра делимого меньше делителя (6 десятых на 12 не делятся), в частное обязательно пишут 0 и только потом сносят следующую цифру: 6,05. Проверка: $6{,}5 \cdot 12 = 78$ — не сходится.

Когда деление не кончается

Бывает, остаток повторяется снова и снова: $0{,}7 : 3 = 0{,}2333\ldots$ Тогда проще записать ответ обыкновенной дробью: $0{,}7 : 3 = \frac{7}{10} : 3 = \frac{7}{30}$.

Обыкновенная дробь превращается в десятичную

Дробная черта — это знак деления! Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, дели числитель на знаменатель:

• $\frac{1}{2} = 1 : 2 = 0{,}5$;
• $\frac{3}{4} = 3 : 4 = 0{,}75$;
• $5\frac{3}{5} = \frac{28}{5} = 28 : 5 = 5{,}6$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Лучший контроль — проверка умножением. Пусть ребёнок после каждого примера умножит частное на делитель, хотя бы прикидкой. И спросите: «Где ты поставил запятую и почему?» Правильный ответ: «Когда закончилась целая часть делимого».

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как делят десятичную дробь на натуральное число? Так же, как натуральные числа. Разделили целую часть — ставим запятую и делим десятые, сотые и дальше. Остаток есть, а цифры кончились — приписываем к остатку нули.
• Что делать, если целая часть делимого меньше делителя? Написать в частном 0 целых, поставить запятую и делить дальше, начиная с десятых.
• Задание для самостоятельного изучения: $2{,}34 : 5$? 0,468. Проверка: $0{,}468 \cdot 5 = 2{,}34$.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 873

Пройди в уме четыре цепочки: 1) $3{,}7 - 1{,}5$, $\cdot 10$, $- 17{,}5$, $+ 4{,}2$, $- 1{,}8$; 2) $4{,}9 + 1{,}5$, $- 2$, $\cdot 0{,}1$, $+ 1{,}56$, $- 0{,}7$; 3) $1{,}3 + 7{,}9$, $- 4{,}2$, $+ 6{,}6$, $- 7{,}2$, $\cdot 0{,}1$; 4) $0{,}34 + 1{,}55$, $- 0{,}89$, $- 0{,}6$, $+ 2{,}7$, $\cdot 10$.

Как думать. Каждый шаг делаем с результатом предыдущего. Умножить на 10 — запятая вправо, на 0,1 — влево.

Решение.

1. $3{,}7 - 1{,}5 = 2{,}2$; $\cdot 10 = 22$; $- 17{,}5 = 4{,}5$; $+ 4{,}2 = 8{,}7$; $- 1{,}8 = 6{,}9$.
2. $4{,}9 + 1{,}5 = 6{,}4$; $- 2 = 4{,}4$; $\cdot 0{,}1 = 0{,}44$; $+ 1{,}56 = 2$; $- 0{,}7 = 1{,}3$.
3. $1{,}3 + 7{,}9 = 9{,}2$; $- 4{,}2 = 5$; $+ 6{,}6 = 11{,}6$; $- 7{,}2 = 4{,}4$; $\cdot 0{,}1 = 0{,}44$.
4. $0{,}34 + 1{,}55 = 1{,}89$; $- 0{,}89 = 1$; $- 0{,}6 = 0{,}4$; $+ 2{,}7 = 3{,}1$; $\cdot 10 = 31$.

Ответ: 1) 6,9; 2) 1,3; 3) 0,44; 4) 31.

№ 874

Раздели в уме: $12{,}6 : 3$; $4{,}8 : 2$; $3 : 2$; $3{,}2 : 4$; $6{,}4 : 8$; $7{,}2 : 9$; $6{,}4 : 2$; $8{,}1 : 9$; $4{,}2 : 7$; $2{,}4 : 8$; $4{,}2 : 6$; $5{,}4 : 9$.

Как думать. Целая часть меньше делителя? Думай в десятых: 3,2 — это 32 десятых, $32 : 4 = 8$ десятых.

Решение.

1. 4,2; 2,4; $3 : 2 = 1{,}5$;
2. 0,8; 0,8; 0,8;
3. 3,2; 0,9; 0,6;
4. 0,3; 0,7; 0,6.

Ответ: 1) 4,2; 2,4; 1,5. 2) 0,8; 0,8; 0,8. 3) 3,2; 0,9; 0,6. 4) 0,3; 0,7; 0,6.

Уровень A

№ 875

Раздели: $3{,}5 : 7$; $10{,}4 : 8$; $26{,}1 : 3$; $28{,}8 : 9$; $25{,}8 : 6$; $63 : 5$; $78{,}1 : 11$; $72{,}8 : 13$; $65{,}8 : 14$; $67{,}2 : 21$; $43{,}7 : 23$; $57{,}5 : 25$.

Как думать. Обычное деление уголком. Не забудь запятую после целой части!

Решение.

1. $3{,}5 : 7 = 0{,}5$; $10{,}4 : 8 = 1{,}3$; $26{,}1 : 3 = 8{,}7$;
2. $28{,}8 : 9 = 3{,}2$; $25{,}8 : 6 = 4{,}3$; $63 : 5 = 12{,}6$ (остаток 3 = 30 десятых, $30 : 5 = 6$);
3. $78{,}1 : 11 = 7{,}1$; $72{,}8 : 13 = 5{,}6$; $65{,}8 : 14 = 4{,}7$;
4. $67{,}2 : 21 = 3{,}2$; $43{,}7 : 23 = 1{,}9$; $57{,}5 : 25 = 2{,}3$.

Пример уголком:

 65,8 | 14
-56   |-----
 ---  | 4,7
  98
 -98
 ---
   0

Проверка: $4{,}7 \cdot 14 = 65{,}8$.

Ответ: 1) 0,5; 1,3; 8,7. 2) 3,2; 4,3; 12,6. 3) 7,1; 5,6; 4,7. 4) 3,2; 1,9; 2,3.

№ 876

Раздели: $1{,}37 : 2$; $8{,}4 : 15$; $11{,}16 : 18$; $0{,}4 : 8$; $0{,}3 : 5$; $0{,}8 : 5$; $4{,}8 : 12$; $13{,}6 : 16$; $0{,}8 : 20$; $0{,}35 : 7$; $0{,}54 : 9$; $0{,}72 : 4$.

Как думать. Тут много «0 целых» и нулей в частном. Проверяй каждый ответ умножением.

Решение.

1. $1{,}37 : 2 = 0{,}685$ (к остатку приписываем нуль); $8{,}4 : 15 = 0{,}56$; $11{,}16 : 18 = 0{,}62$;
2. $0{,}4 : 8 = 0{,}05$; $0{,}3 : 5 = 0{,}06$; $0{,}8 : 5 = 0{,}16$;
3. $4{,}8 : 12 = 0{,}4$; $13{,}6 : 16 = 0{,}85$; $0{,}8 : 20 = 0{,}04$;
4. $0{,}35 : 7 = 0{,}05$; $0{,}54 : 9 = 0{,}06$; $0{,}72 : 4 = 0{,}18$.

 1,370 | 2
-1 2   |------
 ---   | 0,685
   17
  -16
  ---
    10
   -10
   ---
     0

Ответ: 1) 0,685; 0,56; 0,62. 2) 0,05; 0,06; 0,16. 3) 0,4; 0,85; 0,04. 4) 0,05; 0,06; 0,18.

№ 877

Вычисли: $10{,}5 : 15 + 1{,}8$; $67{,}2 : 12 - 3{,}25$; $46{,}2 : 132 \cdot 1{,}6$; $(16{,}3 + 21{,}5) : 14$; $(42{,}3 + 34{,}2) : 9 + 3{,}5$; $(47{,}52 - 7{,}2) : 6 - 0{,}81$.

Как думать. Порядок действий: скобки, потом деление и умножение, потом сложение и вычитание.

Решение.

1. $10{,}5 : 15 = 0{,}7$; $0{,}7 + 1{,}8 = 2{,}5$;
2. $67{,}2 : 12 = 5{,}6$; $5{,}6 - 3{,}25 = 2{,}35$;
3. $46{,}2 : 132 = 0{,}35$; $0{,}35 \cdot 1{,}6 = 0{,}56$;
4. $37{,}8 : 14 = 2{,}7$;
5. $76{,}5 : 9 = 8{,}5$; $8{,}5 + 3{,}5 = 12$;
6. $40{,}32 : 6 = 6{,}72$; $6{,}72 - 0{,}81 = 5{,}91$.

Ответ: 1) 2,5; 2) 2,35; 3) 0,56; 4) 2,7; 5) 12; 6) 5,91.

№ 878

Раздели числитель на знаменатель и запиши десятичной дробью: $\frac{1}{4}$, $\frac{7}{20}$, $\frac{2}{5}$, $\frac{8}{25}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{5}{8}$.

Как думать. Числитель меньше знаменателя — значит, 0 целых. Приписываем нули к остатку, пока не поделится.

Решение.

1. $1 : 4 = 0{,}25$; 2) $7 : 20 = 0{,}35$; 3) $2 : 5 = 0{,}4$; 4) $8 : 25 = 0{,}32$; 5) $3 : 8 = 0{,}375$; 6) $5 : 8 = 0{,}625$.

 3,000 | 8
-2 4   |------
 ---   | 0,375
   60
  -56
  ---
    40
   -40
   ---
     0

Ответ: 0,25; 0,35; 0,4; 0,32; 0,375; 0,625.

🌟 Посмотри: $\frac{3}{8} = 0{,}375$ и $\frac{5}{8} = 0{,}625$. А вместе $0{,}375 + 0{,}625 = 1$ — как и $\frac{3}{8} + \frac{5}{8} = 1$!

№ 879

1) Периметр равностороннего треугольника 37,14 см. Найди его сторону. 2) Света собрала 2,16 кг лекарственных трав, а Айша — в 3 раза меньше. Сколько собрала Айша?

Решение.

1. У равностороннего треугольника 3 равные стороны: $37{,}14 : 3 = 12{,}38$ (см).
2. $2{,}16 : 3 = 0{,}72$ (кг).

Ответ: 1) 12,38 см; 2) 0,72 кг.

№ 880

Объём прямоугольного параллелепипеда 302,4 см³, площадь основания 72 см². Найди высоту.

Как думать. $V = S_{осн} \cdot h$, значит, $h = V : S_{осн}$.

Решение. $302{,}4 : 72 = 4{,}2$ (см).

Ответ: 4,2 см.

№ 881

Периметр квадрата 1) 11 см; 2) 17 см; 3) 21 см. Найди сторону.

Как думать. У квадрата 4 равные стороны: сторона = периметр : 4. Тут натуральное число делится нацело не всегда — приписываем нули.

Решение.

1. $11 : 4 = 2{,}75$ (см); 2) $17 : 4 = 4{,}25$ (см); 3) $21 : 4 = 5{,}25$ (см).

Ответ: 1) 2,75 см; 2) 4,25 см; 3) 5,25 см.

№ 882

1) В двух бидонах 8,9 л масла, в первом на 2,5 л больше. Сколько во втором? 2) За два дня турист прошёл 27,4 км, во второй день на 2,3 км меньше, чем в первый. Сколько он прошёл в первый день?

Как думать. Уберём разницу — и получатся две равные части.

Решение.

1. $(8{,}9 - 2{,}5) : 2 = 6{,}4 : 2 = 3{,}2$ (л) во втором. Проверка: в первом $3{,}2 + 2{,}5 = 5{,}7$ л, $5{,}7 + 3{,}2 = 8{,}9$.
2. Добавим 2,3 км ко второму дню, тогда оба дня станут как первый: $(27{,}4 + 2{,}3) : 2 = 29{,}7 : 2 = 14{,}85$ (км). Проверка: второй день $14{,}85 - 2{,}3 = 12{,}55$; $14{,}85 + 12{,}55 = 27{,}4$.

Ответ: 1) 3,2 л; 2) 14,85 км.

№ 883

В корзине 3,15 кг хурмы, груш и яблок. Груш в 2 раза больше, чем хурмы, а яблок в 2 раза больше, чем груш. Сколько каждого фрукта? Реши уравнением.

Как думать. Хурмы меньше всего — её и берём за $x$.

Решение.

1. Пусть хурмы $x$ кг. Груш $2x$ кг, яблок $2 \cdot 2x = 4x$ кг.
2. Уравнение: $x + 2x + 4x = 3{,}15$; $7x = 3{,}15$; $x = 0{,}45$.
3. Груш $2 \cdot 0{,}45 = 0{,}9$ кг, яблок $4 \cdot 0{,}45 = 1{,}8$ кг.

Проверка: $0{,}45 + 0{,}9 + 1{,}8 = 3{,}15$.

Ответ: хурмы 0,45 кг, груш 0,9 кг, яблок 1,8 кг.

Уровень B

№ 884

Вычисли: $(4{,}23 - 2{,}34) : 21$; $(7{,}13 + 9{,}25) : 13$; $(50 - 8{,}6) : 92$; $(28{,}88 + 35{,}8) : 28$; $(65{,}97 - 0{,}45) : 52$; $(1{,}85 + 3{,}25) : 34$; $(4{,}04 + 5{,}16) : 46$; $(0{,}8 + 0{,}55) : 15$.

Как думать. Сначала скобки, потом деление. Если целая часть меньше делителя — в частном 0 целых.

Решение.

1. $(4{,}23 - 2{,}34) : 21 = 1{,}89 : 21 = 0{,}09$;
2. $(7{,}13 + 9{,}25) : 13 = 16{,}38 : 13 = 1{,}26$;
3. $(50 - 8{,}6) : 92 = 41{,}4 : 92 = 0{,}45$;
4. $(28{,}88 + 35{,}8) : 28 = 64{,}68 : 28 = 2{,}31$;
5. $(65{,}97 - 0{,}45) : 52 = 65{,}52 : 52 = 1{,}26$;
6. $(1{,}85 + 3{,}25) : 34 = 5{,}1 : 34 = 0{,}15$;
7. $(4{,}04 + 5{,}16) : 46 = 9{,}2 : 46 = 0{,}2$;
8. $(0{,}8 + 0{,}55) : 15 = 1{,}35 : 15 = 0{,}09$.

 41,4 | 92
-0    |------
 ---  | 0,45
 41 4
-36 8
 ----
   460
  -460
  ----
     0

Ответ: 1) 0,09; 2) 1,26; 3) 0,45; 4) 2,31; 5) 1,26; 6) 0,15; 7) 0,2; 8) 0,09.

№ 885

Найди закономерность и допиши два следующих числа: 1) 5,76; 2,88; 1,44; 0,72; … 2) 0,008; 0,16; 0,32; 0,64; … 3) 8,75; 1,75; 0,35; 0,07; … 4) 0,9; 2,7; 8,1; 24,3; …

Как думать. Подели соседние числа друг на друга: во сколько раз меняется каждое следующее?

Решение.

1. $5{,}76;\ 2{,}88;\ 1{,}44;\ 0{,}72$ — каждое следующее в 2 раза меньше. Дальше 0,36; 0,18.
2. $0{,}16;\ 0{,}32;\ 0{,}64$ — каждое следующее в 2 раза больше. Дальше 1,28; 2,56. Первое число, скорее всего, 0,08 (тогда $0{,}08 \cdot 2 = 0{,}16$).
3. $8{,}75;\ 1{,}75;\ 0{,}35;\ 0{,}07$ — каждое следующее в 5 раз меньше. Дальше $0{,}07 : 5 = $ 0,014; $0{,}014 : 5 = $ 0,0028.
4. $0{,}9;\ 2{,}7;\ 8{,}1;\ 24{,}3$ — каждое следующее в 3 раза больше. Дальше 72,9; 218,7.

Ответ: 1) 0,36; 0,18. 2) 1,28; 2,56. 3) 0,014; 0,0028. 4) 72,9; 218,7.

№ 886

Запиши частное десятичной дробью: $20 : 25$; $24 : 75$; $72 : 20$; $35 : 14$; $60 : 75$; $72 : 45$; $70 : 175$; $129 : 15$.

Как думать. Делитель больше делимого — в частном 0 целых. Иначе делим, а остаток раздробляем в десятые.

Решение.

1. $20 : 25 = 0{,}8$; 2) $24 : 75 = 0{,}32$; 3) $72 : 20 = 3{,}6$; 4) $35 : 14 = 2{,}5$; 5) $60 : 75 = 0{,}8$; 6) $72 : 45 = 1{,}6$; 7) $70 : 175 = 0{,}4$; 8) $129 : 15 = 8{,}6$.

Ответ: 0,8; 0,32; 3,6; 2,5; 0,8; 1,6; 0,4; 8,6.

№ 887

Вычисли, переведя обыкновенные дроби в десятичные: 1) $\left(4{,}3 + 3\frac{1}{2}\right) : 3$; 2) $\left(3\frac{9}{20} + 2{,}75\right) : 2$; 3) $\left(33{,}74 - 5\frac{1}{25}\right) : 7$; 4) $\left(37\frac{1}{5} - 6{,}8\right) : 8$; 5) $\left(14{,}7 + 23\frac{4}{5}\right) : 11$; 6) $\left(61{,}68 - 4\frac{2}{25}\right) : 12$.

Как думать. Знаменатели 2, 5, 20, 25 легко довести до 10 или 100. Например, $\frac{9}{20} = \frac{45}{100}$.

Решение.

1. $3\frac{1}{2} = 3{,}5$; $(4{,}3 + 3{,}5) : 3 = 7{,}8 : 3 = 2{,}6$;
2. $3\frac{9}{20} = 3{,}45$; $(3{,}45 + 2{,}75) : 2 = 6{,}2 : 2 = 3{,}1$;
3. $5\frac{1}{25} = 5{,}04$; $(33{,}74 - 5{,}04) : 7 = 28{,}7 : 7 = 4{,}1$;
4. $37\frac{1}{5} = 37{,}2$; $(37{,}2 - 6{,}8) : 8 = 30{,}4 : 8 = 3{,}8$;
5. $23\frac{4}{5} = 23{,}8$; $(14{,}7 + 23{,}8) : 11 = 38{,}5 : 11 = 3{,}5$;
6. $4\frac{2}{25} = 4{,}08$; $(61{,}68 - 4{,}08) : 12 = 57{,}6 : 12 = 4{,}8$.

Ответ: 1) 2,6; 2) 3,1; 3) 4,1; 4) 3,8; 5) 3,5; 6) 4,8.

№ 888

Если в десятичной дроби перенести запятую на три знака вправо, она увеличится на 799,2. Найди эту дробь.

Как думать. Запятая на три знака вправо — это умножение на 1000. Новое число — это 1000 таких дробей, старое — одна. Разница — 999 дробей.

Решение.

1. $1000x - x = 999x = 799{,}2$.
2. $x = 799{,}2 : 999 = 0{,}8$.

Проверка: $0{,}8 \to 800$; $800 - 0{,}8 = 799{,}2$.

Ответ: 0,8.

№ 889

В первом мешке 46,3 кг сахара, во втором 38,5 кг. Сколько надо переложить из первого во второй, чтобы стало поровну?

Как думать. Найдём разницу. Но перекладывать нужно не всю, а только половину.

Решение.

1. Разница: $46{,}3 - 38{,}5 = 7{,}8$ (кг).
2. Перекладываем половину разницы: $7{,}8 : 2 = 3{,}9$ (кг).

Проверка: $46{,}3 - 3{,}9 = 42{,}4$ и $38{,}5 + 3{,}9 = 42{,}4$.

Ответ: 3,9 кг.

⚠️ Частая ошибка. Отвечают «7,8 кг». Но если переложить всю разницу, второй мешок станет тяжелее первого! Один мешок теряет ровно столько, сколько другой получает, поэтому берём половину.

№ 890

5 маленьких и 2 большие коробки конфет весят 1,65 кг. Большая коробка в 3 раза тяжелее маленькой. Сколько весит маленькая?

Как думать. Заменим каждую большую коробку тремя маленькими — тогда останутся одни маленькие.

Решение.

1. Одна большая = 3 маленькие, две большие = 6 маленьких.
2. Всего $5 + 6 = 11$ маленьких коробок весят 1,65 кг.
3. $1{,}65 : 11 = 0{,}15$ (кг) = 150 г.

Ответ: 150 г.

№ 891

На трёх машинах привезли 15 т угля. На первой и второй поровну, на третьей на 1,5 т больше, чем на первой. Сколько угля на третьей? Варианты: A. 4,9 т; B. 6 т; C. 3,8 т; D. 5,2 т.

Как думать. Уберём лишние 1,5 т с третьей машины — и на всех трёх станет поровну.

Решение.

1. Пусть на первой $x$ т, тогда на второй $x$ т, на третьей $x + 1{,}5$ т.
2. $3x + 1{,}5 = 15$; $3x = 13{,}5$; $x = 4{,}5$.
3. На третьей: $4{,}5 + 1{,}5 = 6$ (т).

Ответ: B. 6 т.

№ 892

Вдоль дороги на равных расстояниях посадили 37 деревьев, между крайними 198 м. Какое расстояние между 9-м и 15-м деревьями?

Как думать. Хитрость: промежутков между деревьями на один меньше, чем деревьев. Посчитай на пальцах: между 2 пальцами — 1 промежуток.

Решение.

1. Промежутков: $37 - 1 = 36$.
2. Один промежуток: $198 : 36 = 5{,}5$ (м).
3. Между 9-м и 15-м деревьями $15 - 9 = 6$ промежутков: $5{,}5 \cdot 6 = 33$ (м).

Ответ: 33 м.

№ 893

Как отмерить 5 мин с помощью 11-минутных и 8-минутных песочных часов?

Как думать. Задача на смекалку! Ищем момент, когда в одних часах остаётся ровно 5 минут песка.

Решение.

1. Переворачиваем оба часа одновременно.
2. Через 8 мин 8-минутные часы закончились — сразу переворачиваем их снова.
3. Ещё через 3 мин (всего прошло 11 мин) закончились 11-минутные. В 8-минутных за это время пересыпалось 3 мин песка, осталось $8 - 3 = 5$ мин.
4. С этого момента до конца 8-минутных часов проходит ровно 5 мин.

Ответ: отсчитываем время от окончания 11-минутных часов до окончания перевёрнутых 8-минутных (см. решение).

№ 894

Периметр треугольника $ABC$ 19,3 см, $AC = 7,9$ см. Сторона $AB$ в 2 раза короче $BC$ (рис. 4.11: $AC$ — основание внизу, $B$ сверху, $AB$ — короткая сторона, $BC$ — длинная). Найди $BC$.

Как думать. Отнимем известную сторону — останутся две. Короткая — 1 часть, длинная — 2 части.

Решение.

1. $AB + BC = 19{,}3 - 7{,}9 = 11{,}4$ (см).
2. Пусть $AB = x$, тогда $BC = 2x$; $3x = 11{,}4$; $x = 3{,}8$.
3. $BC = 2 \cdot 3{,}8 = 7{,}6$ (см).

Ответ: 7,6 см.

№ 895

Найди значения: 1) $\left(2\frac{7}{20} + 5{,}77\right) : a$ при $a = 14$; 2) $\left(52\frac{4}{5} - 7{,}3\right) : b$ при $b = 26$; 3) $2{,}1 : a + 17\frac{2}{5} \cdot 0{,}8$ при $a = 35$; 4) $0{,}78 \cdot 18 - 44\frac{4}{25} : b$ при $b = 48$.

Как думать. Переводим смешанные числа в десятичные, подставляем букву и считаем по порядку.

Решение.

1. $2\frac{7}{20} = 2{,}35$; $(2{,}35 + 5{,}77) : 14 = 8{,}12 : 14 = 0{,}58$;
2. $52\frac{4}{5} = 52{,}8$; $(52{,}8 - 7{,}3) : 26 = 45{,}5 : 26 = 1{,}75$;
3. $17\frac{2}{5} = 17{,}4$; $2{,}1 : 35 + 17{,}4 \cdot 0{,}8 = 0{,}06 + 13{,}92 = 13{,}98$;
4. $44\frac{4}{25} = 44{,}16$; $0{,}78 \cdot 18 - 44{,}16 : 48 = 14{,}04 - 0{,}92 = 13{,}12$.

Ответ: 1) 0,58; 2) 1,75; 3) 13,98; 4) 13,12.

Уровень C

№ 896

Посчитай с хитростью: 1) $30 \cdot 2{,}9 - 2{,}9 \cdot 28 + 28 \cdot 2{,}7 - 2{,}7 \cdot 26 + 26 \cdot 2{,}5 - 2{,}5 \cdot 24 + 24 \cdot 2{,}3 - 2{,}3 \cdot 22$; 2) $4 \cdot 39 - 39 \cdot 3{,}8 + 3{,}8 \cdot 37 - 37 \cdot 3{,}6 + 3{,}6 \cdot 35 - 35 \cdot 3{,}4 + 3{,}4 \cdot 33 - 33 \cdot 3{,}2$.

Как думать. Выглядит страшно, но разбей на пары с общим множителем: $30 \cdot 2{,}9 - 2{,}9 \cdot 28 = 2{,}9 \cdot (30 - 28)$.

Решение.

1. $2{,}9 \cdot 2 + 2{,}7 \cdot 2 + 2{,}5 \cdot 2 + 2{,}3 \cdot 2 = 2 \cdot (2{,}9 + 2{,}7 + 2{,}5 + 2{,}3) = 2 \cdot 10{,}4 = 20{,}8$;
2. $39 \cdot (4 - 3{,}8) + 37 \cdot (3{,}8 - 3{,}6) + 35 \cdot (3{,}6 - 3{,}4) + 33 \cdot (3{,}4 - 3{,}2) = 0{,}2 \cdot (39 + 37 + 35 + 33) = 0{,}2 \cdot 144 = 28{,}8$.

Ответ: 1) 20,8; 2) 28,8.

№ 897

Для компота купили сухофрукты: 7 частей яблок, 3 части урюка и 2 части изюма. Яблок на 0,6 кг больше, чем урюка и изюма вместе. Сколько всего сухофруктов?

Как думать. Найдём, сколько весит одна часть. Тогда всё остальное — просто умножение.

Решение.

1. Урюк и изюм: $3 + 2 = 5$ частей. Яблоки больше на $7 - 5 = 2$ части.
2. 2 части = 0,6 кг, одна часть $0{,}6 : 2 = 0{,}3$ (кг).
3. Всего частей $7 + 3 + 2 = 12$; масса $0{,}3 \cdot 12 = 3{,}6$ (кг).

Ответ: 3,6 кг.

№ 898

Периметр квадрата со стороной 9,65 см равен периметру прямоугольника шириной 8,7 см. Найди длину прямоугольника.

Решение.

1. Периметр квадрата: $9{,}65 \cdot 4 = 38{,}6$ (см).
2. Длина + ширина прямоугольника: $38{,}6 : 2 = 19{,}3$ (см).
3. Длина: $19{,}3 - 8{,}7 = 10{,}6$ (см).

Ответ: 10,6 см.

№ 899

Скорость катера по течению 25,8 км/ч, против течения 21,2 км/ч. Найди скорость течения и собственную скорость катера.

Как думать. По течению = собственная + течение; против = собственная − течение. Разница между ними — это две скорости течения.

Решение.

1. Скорость течения: $(25{,}8 - 21{,}2) : 2 = 4{,}6 : 2 = 2{,}3$ (км/ч).
2. Собственная скорость: $25{,}8 - 2{,}3 = 23{,}5$ (км/ч). Проверка: $23{,}5 - 2{,}3 = 21{,}2$.

Ответ: 1) 2,3 км/ч; 2) 23,5 км/ч.

№ 900

2 упаковки конфет и 2 упаковки орехов весят 1,1 кг; 5 упаковок конфет и 3 упаковки орехов — 2,15 кг. Сколько граммов весит а) упаковка конфет; б) упаковка орехов?

Как думать. Из первого набора узнаём «пару» — 1 конфеты + 1 орехи. Потом сравниваем наборы так, чтобы орехов было поровну.

Решение.

1. 1 упаковка конфет + 1 упаковка орехов: $1{,}1 : 2 = 0{,}55$ (кг).
2. Тогда 3 конфет + 3 орехов $= 0{,}55 \cdot 3 = 1{,}65$ (кг).
3. Сравним с 5 конфет + 3 орехов = 2,15 кг: лишние 2 упаковки конфет весят $2{,}15 - 1{,}65 = 0{,}5$ (кг).
4. Упаковка конфет: $0{,}5 : 2 = 0{,}25$ кг = 250 г; упаковка орехов: $0{,}55 - 0{,}25 = 0{,}3$ кг = 300 г.

Ответ: а) 250 г; б) 300 г.

№ 901

Дети собрали тысячелистник, зверобой и мяту: без мяты — 10,2 кг, без тысячелистника — 11,4 кг, без зверобоя — 13 кг. Сколько собрали каждой травы?

Как думать. Сложим все три числа. Каждая трава попадёт в сумму ровно два раза!

Решение.

1. $10{,}2 + 11{,}4 + 13 = 34{,}6$ (кг) — это все травы дважды.
2. Всего трав: $34{,}6 : 2 = 17{,}3$ (кг).
3. Мята: $17{,}3 - 10{,}2 = 7{,}1$ (кг); тысячелистник: $17{,}3 - 11{,}4 = 5{,}9$ (кг); зверобой: $17{,}3 - 13 = 4{,}3$ (кг).

Ответ: мята 7,1 кг, тысячелистник 5,9 кг, зверобой 4,3 кг.

№ 902

Вычисли: 1) $\dfrac{\left(6{,}9 + 2\frac{11}{20}\right) \cdot 2\frac{3}{5} - 3{,}5 \cdot 2{,}7}{8\frac{1}{9} - \left(2\frac{1}{12} - 1\frac{1}{18}\right) : 9\frac{1}{4}}$; 2) $\dfrac{7 : 25 + \frac{1}{3} : \frac{5}{24} - \frac{22}{25}}{\left(4{,}5 + \frac{2}{5}\right) : \frac{7}{20}}$.

Как думать. «Этажи» считаем отдельно: сначала числитель, потом знаменатель. Где дроби легко становятся десятичными — переводим. Где нет (девятые, двенадцатые) — считаем в обыкновенных.

Решение.

1. Числитель: $2\frac{11}{20} = 2{,}55$, $2\frac{3}{5} = 2{,}6$.

   • $6{,}9 + 2{,}55 = 9{,}45$; $9{,}45 \cdot 2{,}6 = 24{,}57$;
   • $3{,}5 \cdot 2{,}7 = 9{,}45$; $24{,}57 - 9{,}45 = 15{,}12$.

   Знаменатель:

   • $2\frac{1}{12} - 1\frac{1}{18} = 1 + \frac{3}{36} - \frac{2}{36} = 1\frac{1}{36} = \frac{37}{36}$;
   • $\frac{37}{36} : 9\frac{1}{4} = \frac{37}{36} \cdot \frac{4}{37} = \frac{1}{9}$;
   • $8\frac{1}{9} - \frac{1}{9} = 8$.

   Значение: $15{,}12 : 8 = 1{,}89$.

2. Числитель:

   • $7 : 25 = 0{,}28$;
   • $\frac{1}{3} : \frac{5}{24} = \frac{1}{3} \cdot \frac{24}{5} = \frac{8}{5} = 1{,}6$;
   • $\frac{22}{25} = 0{,}88$; $0{,}28 + 1{,}6 - 0{,}88 = 1$.

   Знаменатель: $4{,}5 + 0{,}4 = 4{,}9$; $4{,}9 : \frac{7}{20} = \frac{49}{10} \cdot \frac{20}{7} = 14$.

   Значение: $\frac{1}{14}$.

Ответ: 1) 1,89; 2) $\frac{1}{14}$.

№ 903

Можно ли обвести одним росчерком три фигуры (рис. 4.12): 1) ромб с вертикальной диагональю; 2) квадрат с ромбом внутри (вершины ромба — в серединах сторон) и двумя отрезками между серединами противоположных сторон; 3) три попарно пересекающиеся окружности?

Как думать. Задача на смекалку! Считаем, сколько линий сходится в каждой точке. Если «нечётных» точек нет или их ровно две — обвести можно (при двух начинаем в одной нечётной, кончаем в другой). Если больше двух — нельзя.

Решение.

1. Ромб с вертикальной диагональю. В верхней и нижней вершинах сходятся 3 линии (две стороны и диагональ), в боковых — по 2. Нечётных точек две — можно: начинаем в верхней вершине, заканчиваем в нижней.
2. В каждой середине стороны квадрата сходятся 5 линий (две половинки стороны квадрата, две стороны ромба, отрезок). Таких нечётных точек четыре — нельзя.
3. Точек пересечения окружностей шесть, в каждой сходятся 4 линии. Нечётных точек нет — можно, и росчерк закончится там же, где начался.

Ответ: 1) можно; 2) нельзя; 3) можно.

🌟 Эту загадку в XVIII веке решил математик Леонард Эйлер, когда думал, можно ли обойти семь мостов города Кёнигсберга, пройдя по каждому ровно один раз.

№ 904

Меркурий за 1 мин 23 с проходит по орбите 3967,4 км. Найди его скорость в км/с и сверь со справочником.

Как думать. Скорость в км/с — значит, время переводим в секунды.

Решение.

1. 1 мин 23 с = $60 + 23 = 83$ с.
2. $3967{,}4 : 83 = 47{,}8$ (км/с).

Справочное значение средней орбитальной скорости Меркурия — около 47,4 км/с (проверь по источнику). Найденный ответ близок к нему.

Ответ: 47,8 км/с.

Шпаргалка

• Делим десятичную дробь на натуральное число, как натуральные числа.
• Закончили делить целую часть — сразу ставим запятую.
• Нули в частном не теряем: $0{,}08 : 4 = 0{,}02$.
• Остаток есть, а цифры кончились — приписываем нуль.
• Проверяем умножением: частное × делитель = делимое.

Мини-тест