4.8. Деление десятичной дроби на десятичную дробь

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава IV: Десятичные дроби. Действия над десятичными дробями. Страницы 65–71.

book: ru-5-matematika-aldamuratova-2017 part: 2 lesson: "4.8" title: "Деление десятичной дроби на десятичную дробь" pages: 64-71 kind: lesson time: 40 hook: "Как разделить 5,52 на 1,2, если делить «в столбик» на дробь никто не умеет? Секрет: заставить запятую переехать!"

4.8. Деление десятичной дроби на десятичную дробь

Чему научишься

• Делить десятичную дробь на десятичную — превращая делитель в обычное натуральное число.
• Точно знать, на сколько знаков «переезжает» запятая.
• Дописывать нули к делимому, когда ему не хватает цифр.
• Находить целое по его части: «0,4 числа равны 6 — чему равно число?»
• Быстро сокращать дроби, где сверху и снизу стоят произведения десятичных дробей.

Разминка

Реши уравнения: неизвестный множитель = произведение : известный множитель.

• $4,3x = 11,61$. Чему равен $x$? $11,61 : 4,3 = 116,1 : 43 = $ 2,7. Проверка: $4,3 \cdot 2,7 = 11,61$.
• $6,24y = 21,84$. Чему равен $y$? $21,84 : 6,24 = 2184 : 624 = $ 3,5. Проверка: $6,24 \cdot 3,5 = 21,84$.
• $0,825x = 6,435$. Чему равен $x$? $6,435 : 0,825 = 6435 : 825 = $ 7,8. Проверка: $0,825 \cdot 7,8 = 6,435$.

💡 Заметил? В первом уравнении оба числа умножили на 10, во втором — на 100, в третьем — на 1000. Ровно столько, чтобы делитель стал целым. В этом весь секрет урока.

Разбираемся

Почему частное не обижается

Раздели 6 конфет на 2 друзей — каждому по 3. А 60 конфет на 20 друзей? Тоже по 3! Если делимое и делитель умножить на одно и то же число, частное не меняется.

Это работает и с десятичными дробями. А умножить на 10, 100, 1000 — это просто сдвинуть запятую вправо.

Пешеход и его скорость

Пешеход за 1,2 ч прошёл 5,52 км. Скорость — это $5,52 : 1,2$. Делить на 1,2 неудобно, поэтому умножим оба числа на 10:

$5,52 : 1,2 = 55,2 : 12$.

А делить на 12 мы уже умеем:

 55,2 | 12
-48   |-----
 --   | 4,6
  72
 -72
  --
   0

Скорость пешехода 4,6 км/ч. Проверка: $1,2 \cdot 4,6 = 5,52$ ✓.

Сколько раз дробь помещается в дробь

Деление — это вопрос «сколько раз одно число помещается в другом». Посмотри на луч: сколько шагов по 0,4 нужно, чтобы дойти до 1,6?

Четыре шага! И правда: $1,6 : 0,4 = 16 : 4 = 4$.

Правило в три шага

📌 1) Посчитай, сколько цифр после запятой в делителе. 2) Сдвинь запятую вправо на столько же цифр и в делителе, и в делимом. 3) Дели на получившееся натуральное число.

Посмотри, как это работает на примере $7,644 : 1,56$:

⚠️ Частая ошибка. Считают знаки в делимом, а не в делителе. В $7,644 : 1,56$ сдвигают запятую на три знака: $7644 : 1560$. Частное то же, но делитель стал «круглым» и запутаться легко. Ориентир один: делитель должен стать натуральным.

Когда делимому не хватает цифр

Найдём $56,7 : 0,18$. В делителе две цифры после запятой, а в делимом одна. Не беда — допишем нуль: $56,7 = 56,70$. Теперь сдвигаем: $5670 : 18 = 315$.

 5670 | 18
-54   |-----
 --   | 315
  27
 -18
  --
   90
  -90
   --
    0

Больше или меньше делимого?

• Делим на число больше 1 — частное меньше делимого: $7,644 : 1,56 = 4,9$.
• Делим на число меньше 1 — частное больше делимого: $56,7 : 0,18 = 315$.

💡 Это отличная прикидка. Поделил на 0,18 и получил маленькое число? Где-то потерялась запятая.

👨‍👩‍👧 Родителю. До вычисления спросите: «Ответ будет больше или меньше делимого?» А после — пусть ребёнок проверит умножением: частное · делитель = делимое. Это ловит почти все ошибки с запятой.

Хитрая дробь из произведений

Как посчитать $\frac{8,7 \cdot 5,1 \cdot 0,75}{1,7 \cdot 1,5 \cdot 2,9}$ без долгих умножений? Ищем «пары», которые хорошо делятся: $8,7 : 2,9 = 3$, $5,1 : 1,7 = 3$, $0,75 : 1,5 = 0,5$. Итог: $3 \cdot 3 \cdot 0,5 = 4,5$.

🌟 Это как разбирать носки после стирки: сначала находишь пару, потом откладываешь. Перемножать всё подряд — долго и легко ошибиться.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как разделить десятичную дробь на десятичную? Сдвинуть запятую вправо в делимом и делителе на столько цифр, сколько их после запятой в делителе, и разделить на получившееся натуральное число.
• Что делать, если в делимом знаков после запятой меньше, чем в делителе? Дописать к делимому справа нужное количество нулей, а потом сдвигать запятую.
• На сколько цифр сдвигаем запятую в $7,644 : 1,56$? На две (в делителе два знака): $764,4 : 156 = 4,9$.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 905

Посчитай в уме 12 примеров на деление.

Как думать. Сдвигаем запятую в обоих числах, пока делитель не станет целым, и делим в уме.

Решение.

Ответ: 1) 10; 2) 10; 3) 60; 4) 4; 5) 3; 6) 12; 7) 10; 8) 100; 9) 5; 10) 40; 11) 7; 12) 0,03.

Уровень A

№ 906

Раздели: 14,82 : 1,56; 11,034 : 1,8; 0,882 : 0,2; 0,355 : 0,71; 7,82 : 1,7; 8,65 : 3,46; 0,74 : 0,2; 3,5 : 0,07; 7,389 : 0,03.

Как думать. В каждом примере сначала «переселяем» запятые, потом делим.

Решение.

1. $14,82 : 1,56 = 1482 : 156 = 9,5$;
2. $11,034 : 1,8 = 110,34 : 18 = 6,13$;
3. $0,882 : 0,2 = 8,82 : 2 = 4,41$;
4. $0,355 : 0,71 = 35,5 : 71 = 0,5$;
5. $7,82 : 1,7 = 78,2 : 17 = 4,6$;
6. $8,65 : 3,46 = 865 : 346 = 2,5$;
7. $0,74 : 0,2 = 7,4 : 2 = 3,7$;
8. $3,5 : 0,07 = 350 : 7 = 50$ (к 3,5 приписали нуль);
9. $7,389 : 0,03 = 738,9 : 3 = 246,3$.

Первый пример уголком:

 1482 | 156
-1404 |-----
 ---- | 9,5
  780
 -780
  ---
    0

Ответ: 1) 9,5; 2) 6,13; 3) 4,41; 4) 0,5; 5) 4,6; 6) 2,5; 7) 3,7; 8) 50; 9) 246,3.

№ 907

Найди частное: 1,68 : 0,8; 2,08 : 0,05; 86,1 : 0,41; 1,64 : 0,41; 0,29 : 0,05; 20,3 : 1,45; 60,75 : 0,9; 0,016 : 0,08; 2,244 : 5,61.

Как думать. Где делимому не хватает цифр (как в $86,1 : 0,41$), дописываем нули.

Решение.

1. $1,68 : 0,8 = 16,8 : 8 = 2,1$;
2. $2,08 : 0,05 = 208 : 5 = 41,6$;
3. $86,1 : 0,41 = 8610 : 41 = 210$;
4. $1,64 : 0,41 = 164 : 41 = 4$;
5. $0,29 : 0,05 = 29 : 5 = 5,8$;
6. $20,3 : 1,45 = 2030 : 145 = 14$;
7. $60,75 : 0,9 = 607,5 : 9 = 67,5$;
8. $0,016 : 0,08 = 1,6 : 8 = 0,2$;
9. $2,244 : 5,61 = 224,4 : 561 = 0,4$.

Ответ: 1) 2,1; 2) 41,6; 3) 210; 4) 4; 5) 5,8; 6) 14; 7) 67,5; 8) 0,2; 9) 0,4.

№ 908

Найди величину, если 0,4 её равны 6 кг; 0,5 — 3 м; 1,4 — 7 л; 0,8 — 8 км; 0,2 — 72 кг; 0,3 — 24 км.

Как думать. Знаем часть и какая это доля целого. Целое = значение части : доля.

Решение.

1. $6 : 0,4 = 60 : 4 = 15$ кг;
2. $3 : 0,5 = 30 : 5 = 6$ м;
3. $7 : 1,4 = 70 : 14 = 5$ л;
4. $8 : 0,8 = 80 : 8 = 10$ км;
5. $72 : 0,2 = 720 : 2 = 360$ кг;
6. $24 : 0,3 = 240 : 3 = 80$ км.

Ответ: 1) 15 кг; 2) 6 м; 3) 5 л; 4) 10 км; 5) 360 кг; 6) 80 км.

№ 909

Вычисли: $\frac{4,2 \cdot 0,5}{1,5 \cdot 0,7}$; $\frac{2,4 \cdot 0,9}{4,5 \cdot 0,8}$; $\frac{2,7 \cdot 4,3}{8,6 \cdot 0,3}$; $\frac{6,4 \cdot 0,7}{1,6 \cdot 5,6}$; $\frac{1,5 \cdot 7,2}{1,8 \cdot 7,5}$; $\frac{1,3 \cdot 6,4}{0,8 \cdot 6,5}$.

Как думать. Можно перемножить и поделить. Но проще найти «пары» — число сверху и число снизу, которые хорошо делятся.

Решение.

1. $\frac{4,2}{0,7} \cdot \frac{0,5}{1,5} = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2$;
2. числитель $2,4 \cdot 0,9 = 2,16$, знаменатель $4,5 \cdot 0,8 = 3,6$; $2,16 : 3,6 = 21,6 : 36 = 0,6$;
3. $\frac{2,7}{0,3} \cdot \frac{4,3}{8,6} = 9 \cdot 0,5 = 4,5$;
4. $\frac{6,4}{1,6} \cdot \frac{0,7}{5,6} = 4 \cdot \frac{1}{8} = 0,5$;
5. $\frac{1,5}{7,5} \cdot \frac{7,2}{1,8} = \frac{1}{5} \cdot 4 = 0,8$;
6. $\frac{6,4}{0,8} \cdot \frac{1,3}{6,5} = 8 \cdot \frac{1}{5} = 1,6$.

Ответ: 1) 2; 2) 0,6; 3) 4,5; 4) 0,5; 5) 0,8; 6) 1,6.

№ 910

1) Площадь прямоугольника 17,94 м², ширина 2,3 м. Найди длину. 2) Медный брусок объёмом 43,5 см³ весит 387,15 г. Сколько весит 1 см³ меди?

Как думать. Длина = площадь : ширина. Масса 1 см³ = вся масса : объём.

Решение.

1. $17,94 : 2,3 = 179,4 : 23 = 7,8$ м. Проверка: $7,8 \cdot 2,3 = 17,94$.
2. $387,15 : 43,5 = 3871,5 : 435 = 8,9$ г.

Ответ: 1) 7,8 м; 2) 8,9 г.

№ 911

1) По Казахстану течёт 1081,8 км реки Жайык — это примерно 0,45 её длины. Найди всю длину. 2) Деталь после обработки весит 3,36 кг — это 0,84 её массы до обработки. Сколько она весила?

Как думать. Опять знаем часть и долю. Целое = часть : доля.

Решение.

1. $1081,8 : 0,45 = 108,180 : 45 = 2404$ км.
2. $3,36 : 0,84 = 336 : 84 = 4$ кг.

Ответ: 1) около 2404 км; 2) 4 кг.

№ 912

1) На ценнике конфет: «0,8 кг — 384 тг». Сколько стоит 1 кг? 2) На муке: «1,5 кг — 105 тг». Цена 1 кг?

Как думать. Цена 1 кг = стоимость : масса.

Решение.

1. $384 : 0,8 = 3840 : 8 = 480$ тг.
2. $105 : 1,5 = 1050 : 15 = 70$ тг.

Ответ: 1) 480 тг; 2) 70 тг.

№ 913

В бак входит 60 л бензина. На 1 км машина тратит 0,15 л. На сколько километров хватит полного бака?

Как думать. Узнаём, сколько раз по 0,15 л помещается в 60 л — столько километров и проедем.

Решение. $60 : 0,15 = 6000 : 15 = 400$ км.

Ответ: на 400 км.

№ 914

Придумай задачу по выражению: $a : 2,5$; $(a + b) : 6,3$; $(2,6 - b) : 0,5$.

Как думать. Делим на десятичную дробь, когда ищем скорость (путь : время), цену (стоимость : масса), число кусков (длина : длина куска). Ответы у всех свои — вот примеры.

Решение.

1. $a : 2,5$. «Велосипедист за 2,5 ч проехал $a$ км. Какова его скорость?»
2. $(a + b) : 6,3$. «Купили $a$ кг яблок и $b$ кг груш. Все фрукты разложили в пакеты по 6,3 кг. Сколько пакетов получилось?»
3. $(2,6 - b) : 0,5$. «От ленты длиной 2,6 м отрезали $b$ м. Остаток разрезали на куски по 0,5 м. Сколько кусков получилось?»

Ответ: задачи могут быть разными; главное — чтобы действия в задаче совпадали с выражением.

№ 915

Реши уравнения: $3,5x = 5,95$; $4,2x = 1,89$; $0,8x = 1,92$; $0,125x = 1,1$; $0,6x = 2,55$; $1,08x = 2,7$.

Как думать. Неизвестный множитель = произведение : известный множитель.

Решение.

1. $x = 5,95 : 3,5 = 59,5 : 35 = 1,7$;
2. $x = 1,89 : 4,2 = 18,9 : 42 = 0,45$;
3. $x = 1,92 : 0,8 = 19,2 : 8 = 2,4$;
4. $x = 1,1 : 0,125 = 1100 : 125 = 8,8$;
5. $x = 2,55 : 0,6 = 25,5 : 6 = 4,25$;
6. $x = 2,7 : 1,08 = 270 : 108 = 2,5$.

Проверка для 4): $0,125 \cdot 8,8 = 1,1$ ✓.

Ответ: 1) 1,7; 2) 0,45; 3) 2,4; 4) 8,8; 5) 4,25; 6) 2,5.

Уровень B

№ 916

Найди число, если 0,15 его равны 75; 0,7 — 84; 0,09 — 63; 0,04 — 52; 0,12 — 60; 0,27 — 81.

Как думать. Как в № 908: число = часть : доля.

Решение.

1. $75 : 0,15 = 7500 : 15 = 500$;
2. $84 : 0,7 = 840 : 7 = 120$;
3. $63 : 0,09 = 6300 : 9 = 700$;
4. $52 : 0,04 = 5200 : 4 = 1300$;
5. $60 : 0,12 = 6000 : 12 = 500$;
6. $81 : 0,27 = 8100 : 27 = 300$.

Ответ: 1) 500; 2) 120; 3) 700; 4) 1300; 5) 500; 6) 300.

№ 917

Найди правило и допиши ещё два числа: 1) 0,1; 0,5; 2,5; 12,5; … 2) 70; 7; 0,7; 0,07; … 3) 0,2; 0,22; 0,24; 0,26; … 4) 1,2; 2,4; 4,8; 9,6; …

Как думать. Сравни соседние числа: во сколько раз или на сколько они отличаются?

Решение.

1. Каждое число в 5 раз больше предыдущего: $12,5 \cdot 5 = 62,5$; $62,5 \cdot 5 = 312,5$.
2. Каждое в 10 раз меньше: 0,007; 0,0007.
3. Каждое на 0,02 больше: 0,28; 0,30 = 0,3.
4. Каждое в 2 раза больше: 19,2; 38,4.

Ответ: 1) 62,5; 312,5; 2) 0,007; 0,0007; 3) 0,28; 0,3; 4) 19,2; 38,4.

№ 918

Найди частное: 0,42 : 0,06; 0,036 : 0,09; 1,23 : 0,41; 0,056 : 0,08; 0,975 : 1,95; 5,85 : 3,25; 4,92 : 16,4; 3,2 : 0,25; 9,9 : 4,5.

Как думать. Сдвигаем запятую по делителю, при нехватке цифр дописываем нули.

Решение.

1. $0,42 : 0,06 = 42 : 6 = 7$;
2. $0,036 : 0,09 = 3,6 : 9 = 0,4$;
3. $1,23 : 0,41 = 123 : 41 = 3$;
4. $0,056 : 0,08 = 5,6 : 8 = 0,7$;
5. $0,975 : 1,95 = 97,5 : 195 = 0,5$;
6. $5,85 : 3,25 = 585 : 325 = 1,8$;
7. $4,92 : 16,4 = 49,2 : 164 = 0,3$;
8. $3,2 : 0,25 = 320 : 25 = 12,8$;
9. $9,9 : 4,5 = 99 : 45 = 2,2$.

Ответ: 1) 7; 2) 0,4; 3) 3; 4) 0,7; 5) 0,5; 6) 1,8; 7) 0,3; 8) 12,8; 9) 2,2.

№ 919

Выполни действия: $(12,33 + 7,3) : 6,5$; $(6 - 2,43) : 4\frac{1}{4}$; $9,75 : \left(4\frac{1}{2} - 2,55\right)$; $15,96 : \left(\frac{9}{25} + 2,04\right)$; $\left(4\frac{1}{5} - 3,93\right) : 4,5$; $1 : (0,54 + 1,96)$.

Как думать. Обыкновенные дроби сначала переводим в десятичные: $4\frac{1}{4} = 4,25$; $4\frac{1}{2} = 4,5$; $\frac{9}{25} = 0,36$; $4\frac{1}{5} = 4,2$. Потом — скобки, потом деление.

Решение.

1. $12,33 + 7,3 = 19,63$; $19,63 : 6,5 = 196,3 : 65 = 3,02$;
2. $6 - 2,43 = 3,57$; $3,57 : 4,25 = 357 : 425 = 0,84$;
3. $4,5 - 2,55 = 1,95$; $9,75 : 1,95 = 975 : 195 = 5$;
4. $0,36 + 2,04 = 2,4$; $15,96 : 2,4 = 159,6 : 24 = 6,65$;
5. $4,2 - 3,93 = 0,27$; $0,27 : 4,5 = 2,7 : 45 = 0,06$;
6. $0,54 + 1,96 = 2,5$; $1 : 2,5 = 10 : 25 = 0,4$.

Ответ: 1) 3,02; 2) 0,84; 3) 5; 4) 6,65; 5) 0,06; 6) 0,4.

№ 920

Не умножая, сравни: 1) $12,25 \cdot 122,6$ и $1,225 \cdot 1226$; 2) $12,26 \cdot 1,227$ и $122,6 \cdot 12,27$; 3) $122,7 \cdot 1,228$ и $1,227 \cdot 12,28$; 4) $1,228 \cdot 122,9$ и $1,228 \cdot 1229$.

Как думать. Если один множитель стал в 10 раз больше, а другой — в 10 раз меньше, произведение не изменится. Смотри, во сколько раз изменился каждый множитель.

Решение.

1. $12,25 = 1,225 \cdot 10$, а $122,6 = 1226 : 10$. Один множитель больше в 10 раз, другой меньше в 10 раз — произведения равны.
2. Во втором произведении оба множителя в 10 раз больше: $122,6 = 12,26 \cdot 10$, $12,27 = 1,227 \cdot 10$. Второе в 100 раз больше, значит, первое меньше.
3. $122,7 = 1,227 \cdot 100$, а $12,28 = 1,228 \cdot 10$. Первое произведение в 10 раз больше второго.
4. Первые множители одинаковы, а $122,9 < 1229$, значит, первое произведение меньше.

Ответ: 1) $=$; 2)

№ 921

1) Слива при сушке теряет 0,7 массы. Сколько свежей сливы нужно для 4,8 кг сушёной? Варианты: A. 25 кг; B. 18 кг; C. 16 кг; D. 19 кг. 2) Завод выполнил 0,8 заказа, осталось выпустить 48 тракторов. Сколько тракторов в заказе?

Как думать. Сначала найди, какая доля соответствует известному числу: не то, что ушло, а то, что осталось.

Решение.

1. Сушёная слива — это $1 - 0,7 = 0,3$ массы свежей. Свежей сливы: $4,8 : 0,3 = 48 : 3 = 16$ кг. Это вариант C.
2. Осталось $1 - 0,8 = 0,2$ заказа, это 48 тракторов. Весь заказ: $48 : 0,2 = 480 : 2 = 240$ тракторов.

Ответ: 1) C. 16 кг; 2) 240 тракторов.

⚠️ Частая ошибка. Делят 4,8 на 0,7. Но 0,7 — это то, что испарилось, а 4,8 кг — то, что осталось. Делить нужно на оставшуюся долю 0,3.

№ 922

Поезд проехал 0,32 всего пути, и до середины осталось 72 км. Какое расстояние между городами?

Как думать. Середина пути — это 0,5. Найди, какая доля пути лежит между поездом и серединой.

Решение.

1. Середина пути — это 0,5 всего пути.
2. До середины осталось $0,5 - 0,32 = 0,18$ пути, это 72 км.
3. Весь путь: $72 : 0,18 = 7200 : 18 = 400$ км.

Ответ: 400 км.

№ 923

Всадник встретил велосипедиста, и они разъехались в разные стороны. Через $\frac{3}{4}$ ч между ними было 20,85 км. Скорость велосипедиста 12,6 км/ч. Найди скорость всадника.

Как думать. Когда двое едут в противоположные стороны, расстояние между ними растёт со скоростью, равной сумме их скоростей.

Решение.

1. $\frac{3}{4}$ ч $= 0,75$ ч.
2. Скорость удаления: $20,85 : 0,75 = 2085 : 75 = 27,8$ км/ч.
3. Скорость всадника: $27,8 - 12,6 = 15,2$ км/ч.

Ответ: 15,2 км/ч.

№ 924

Как поставить 12 стульев вдоль стен квадратной комнаты, чтобы у каждой стены было по 4 стула?

Как думать. Задача на смекалку. Стул в углу стоит сразу у двух стен!

Решение. Ставим по одному стулу в каждый из 4 углов (на картинке — «У»). Затем у каждой стены — ещё по 2 стула посередине: $4 + 4 \cdot 2 = 12$ стульев. У каждой стены: 2 угловых + 2 средних = 4 стула.

Ответ: по одному стулу в каждом углу и по два стула посередине каждой стены.

№ 925

Поезд длиной 490 м едет со скоростью 20 м/с. За сколько секунд он проедет мимо 8 телеграфных столбов, которые стоят через каждые 50 м?

Как думать. Между 8 столбами — 7 промежутков (поставь 8 палочек и посчитай щели между ними). Поезд проехал все столбы, когда его хвост миновал последний. За это время голова проходит путь от первого столба до последнего плюс длину поезда.

Решение.

1. От первого до последнего столба: $7 \cdot 50 = 350$ м.
2. Путь головы поезда: $350 + 490 = 840$ м.
3. Время: $840 : 20 = 42$ с.

Ответ: за 42 секунды.

№ 926

Пшеницей засеяли $\frac{4}{5}$ всей площади. Собрали 1158 ц, по 19,3 ц с 1 га. Какая площадь у всего хозяйства?

Как думать. Сначала узнаём, сколько гектаров под пшеницей, а потом — целое по его части $\frac{4}{5}$.

Решение.

1. Площадь под пшеницей: $1158 : 19,3 = 11,580 : 193 = 60$ га.
2. 60 га — это $\frac{4}{5}$ площади. $\frac{1}{5}$ площади: $60 : 4 = 15$ га.
3. Вся площадь: $15 \cdot 5 = 75$ га.

Ответ: 75 га.

Уровень C

№ 927

Найди значение (сначала числитель и знаменатель, потом деление): $\frac{0,7}{2,2 + 1,3}$; $\frac{1,6}{10 - 3,6}$; $\frac{2,8 + 1,7}{3,5 - 2,6}$; $\frac{17,5 - 5,9}{4,7 - 1,8}$; $\frac{18,3 - 7,5}{1 - 0,64}$; $\frac{14,2 - 4,7}{0,16 + 0,03}$.

Как думать. Дробная черта — это деление. Сначала считаем верх и низ, потом делим.

Решение.

1. $\frac{0,7}{3,5} = \frac{7}{35} = 0,2$;
2. $\frac{1,6}{6,4} = \frac{16}{64} = \frac{1}{4} = 0,25$;
3. $\frac{4,5}{0,9} = \frac{45}{9} = 5$;
4. $\frac{11,6}{2,9} = \frac{116}{29} = 4$;
5. $\frac{10,8}{0,36} = \frac{1080}{36} = 30$;
6. $\frac{9,5}{0,19} = \frac{950}{19} = 50$.

Ответ: 1) 0,2; 2) 0,25; 3) 5; 4) 4; 5) 30; 6) 50.

№ 928

Вычисли удобным способом: $\frac{1,3 \cdot 0,45 \cdot 7,2}{1,5 \cdot 1,2 \cdot 0,65}$; $\frac{1,7 \cdot 4,5 \cdot 6,9 \cdot 1,1}{0,23 \cdot 6,8 \cdot 0,9 \cdot 5,5}$; $\frac{0,25 \cdot 3,6 \cdot 0,76}{0,45 \cdot 0,19 \cdot 0,5}$; $\frac{0,25 \cdot 18,6 \cdot 4,2 \cdot 5,7}{1,9 \cdot 1,26 \cdot 3,1 \cdot 0,5}$.

Как думать. Перемножать долго. Подбираем «пары» сверху и снизу, которые хорошо делятся, — как носки после стирки.

Решение.

1. $\frac{1,3}{0,65} = 2$; $\frac{0,45}{1,5} = 0,3$; $\frac{7,2}{1,2} = 6$. Итог: $2 \cdot 0,3 \cdot 6 = 3,6$.
2. $\frac{1,7}{6,8} = 0,25$; $\frac{4,5}{0,9} = 5$; $\frac{6,9}{0,23} = 30$; $\frac{1,1}{5,5} = 0,2$. Итог: $0,25 \cdot 5 \cdot 30 \cdot 0,2 = 7,5$.
3. $\frac{0,25}{0,5} = 0,5$; $\frac{3,6}{0,45} = 8$; $\frac{0,76}{0,19} = 4$. Итог: $0,5 \cdot 8 \cdot 4 = 16$.
4. $\frac{18,6}{3,1} = 6$; $\frac{5,7}{1,9} = 3$; $\frac{4,2}{1,26} = \frac{420}{126} = \frac{10}{3}$; $\frac{0,25}{0,5} = 0,5$. Итог: $6 \cdot 3 \cdot \frac{10}{3} \cdot 0,5 = 30$.

Ответ: 1) 3,6; 2) 7,5; 3) 16; 4) 30.

№ 929

В первый день продали $\frac{1}{4}$ всех овощей, во второй — 0,4 остатка, в третий — всё остальное. В третий день продали на 570 кг больше, чем во второй. Сколько тонн овощей продали за три дня?

Как думать. Пусть все овощи — это 1. Выразим продажи каждого дня долями, найдём, какая доля равна 570 кг, и восстановим целое.

Решение.

1. После первого дня осталось $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0,75$ всех овощей.
2. Во второй день: $0,4 \cdot 0,75 = 0,3$ всех овощей.
3. В третий день: $0,75 - 0,3 = 0,45$ всех овощей.
4. Разница: $0,45 - 0,3 = 0,15$ — это 570 кг.
5. Все овощи: $570 : 0,15 = 57,000 : 15 = 3800$ кг $= 3,8$ т.

Ответ: 3,8 т.

№ 930

Первый оператор набрал $\frac{7}{20}$ учебника, второй — 0,6 остатка, третий — остальное. Третий набрал на 120 страниц меньше, чем первый и второй вместе. Сколько страниц в учебнике?

Как думать. Тот же приём, что в № 929: весь учебник — 1, каждому оператору — его доля.

Решение.

1. Первый: $\frac{7}{20} = 0,35$ учебника. Осталось $1 - 0,35 = 0,65$.
2. Второй: $0,6 \cdot 0,65 = 0,39$ учебника.
3. Третий: $0,65 - 0,39 = 0,26$ учебника.
4. Первый и второй вместе: $0,35 + 0,39 = 0,74$. Разница с третьим: $0,74 - 0,26 = 0,48$ — это 120 страниц.
5. Весь учебник: $120 : 0,48 = 12,000 : 48 = 250$ страниц.

Ответ: 250 страниц.

№ 931

На первом участке 5 га винограда и 3 га клубники — собрали 55,5 ц. На втором 3 га винограда и 5 га клубники — 54,1 ц. Сколько центнеров винограда и клубники собирают с 1 га?

Как думать. Сложим оба участка — узнаем, сколько дают «гектар винограда + гектар клубники». Сравним участки — узнаем, на сколько виноград урожайнее.

Решение.

1. Вместе: 8 га винограда и 8 га клубники дали $55,5 + 54,1 = 109,6$ ц. Значит, 1 га винограда + 1 га клубники дают $109,6 : 8 = 13,7$ ц.
2. На первом участке на 2 га винограда больше и на 2 га клубники меньше, чем на втором. Разница урожая $55,5 - 54,1 = 1,4$ ц. Значит, 1 га винограда даёт на $1,4 : 2 = 0,7$ ц больше, чем 1 га клубники.
3. Клубника: $(13,7 - 0,7) : 2 = 6,5$ ц; виноград: $6,5 + 0,7 = 7,2$ ц.

Проверка: $5 \cdot 7,2 + 3 \cdot 6,5 = 36 + 19,5 = 55,5$ ✓.

Ответ: винограда — 7,2 ц с 1 га, клубники — 6,5 ц с 1 га.

№ 932

Книгу прочитали за 3 дня. В 1-й день — 0,2 книги и ещё 5 страниц, во 2-й — 0,4 остатка и ещё 7 страниц, в 3-й — 0,8 нового остатка и последние 10 страниц. Сколько страниц в книге?

Как думать. С начала решать трудно — неизвестно, от чего брать доли. А с конца всё ясно: последний день мы знаем почти целиком.

Решение.

1. Третий день: 10 страниц — это $1 - 0,8 = 0,2$ остатка. Остаток перед третьим днём: $10 : 0,2 = 50$ страниц.
2. Второй день: $0,6$ остатка $= 50 + 7 = 57$ страниц. Остаток перед вторым днём: $57 : 0,6 = 95$ страниц.
3. Первый день: $0,8$ книги $= 95 + 5 = 100$ страниц. Вся книга: $100 : 0,8 = 125$ страниц.

Проверка: 1-й день $25 + 5 = 30$, осталось 95; 2-й день $38 + 7 = 45$, осталось 50; 3-й день $40 + 10 = 50$. Верно!

Ответ: 125 страниц.

№ 933

Машина ехала 3 часа. За 1-й час — 0,4 всего пути без 6 км, за 2-й — 0,6 остатка без 10 км, за 3-й — последние 70 км. Найди весь путь и путь за первый час.

Как думать. Снова идём с конца. «Без 6 км» значит «на 6 км меньше».

Решение.

1. Пусть после первого часа осталось $R$ км. За второй час проехали $0,6R - 10$, значит, осталось $0,4R + 10 = 70$. Отсюда $0,4R = 60$, $R = 150$ км.
2. После первого часа осталось $0,6$ пути $+ 6$ км $= 150$ км. Значит, $0,6$ пути $= 144$ км, весь путь $144 : 0,6 = 240$ км.
3. За первый час: $0,4 \cdot 240 - 6 = 96 - 6 = 90$ км.

Проверка: второй час $0,6 \cdot 150 - 10 = 80$ км; $90 + 80 + 70 = 240$ ✓.

Ответ: расстояние 240 км; за первый час — 90 км.

№ 934

Вычисли с умом: 1) $\dfrac{\left(30\frac{4}{5} + 27,4\right) \cdot 0,9}{\left(31,64 - 12\frac{6}{25}\right) \cdot 1,2}$; 2) $\dfrac{(3 : 2,5 + 4,3) \cdot 0,35}{\left(6,35 - 15,4 \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot 1,1}$.

Как думать. Переводим обыкновенные дроби в десятичные, считаем скобки, а потом снова ищем «пары» сверху и снизу.

Решение.

1. $30\frac{4}{5} = 30,8$; $30,8 + 27,4 = 58,2$. $12\frac{6}{25} = 12,24$; $31,64 - 12,24 = 19,4$. Дробь: $\frac{58,2}{19,4} \cdot \frac{0,9}{1,2} = 3 \cdot 0,75 = 2,25$.
2. Числитель: $3 : 2,5 = 1,2$; $1,2 + 4,3 = 5,5$. Знаменатель: $15,4 \cdot \frac{1}{4} = 3,85$; $6,35 - 3,85 = 2,5$. Дробь: $\frac{5,5}{1,1} \cdot \frac{0,35}{2,5} = 5 \cdot 0,14 = 0,7$.

Ответ: 1) 2,25; 2) 0,7.

Шпаргалка

• Делитель должен стать натуральным — ради этого и сдвигаем запятую.
• Запятую сдвигаем в делимом и делителе одинаково.
• Не хватает знаков в делимом — дописываем нули.
• Делим на число меньше 1 — ответ растёт; на число больше 1 — уменьшается.
• Число по его доле: значение части : доля.

Мини-тест