4.9. Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000, … и на 0,1; 0,01; 0,001; …

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава IV: Десятичные дроби. Действия над десятичными дробями. Страницы 72–77.

book: ru-5-matematika-aldamuratova-2017 part: 2 lesson: "4.9" title: "Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000, … и на 0,1; 0,01; 0,001; …" pages: 72-77 kind: lesson time: 40 hook: "Хочешь умножать на 1000 быстрее калькулятора? Здесь вообще не надо считать — только подвинуть одну запятую."

4.9. Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000, … и на 0,1; 0,01; 0,001; …

Чему научишься

• Умножать и делить десятичную дробь на 10, 100, 1000 одним движением запятой.
• Умножать и делить на 0,1; 0,01; 0,001 и не путать, куда ехать.
• Понимать, почему умножить на 0,1 — это то же, что разделить на 10.
• Быстро переводить сантиметры в метры, граммы в килограммы, километры в метры.

Разминка

Посчитай по правилу умножения десятичных дробей и посмотри, куда «уезжает» запятая.

• $832,5 \cdot 0,1 = ?$ 83,25 — в 0,1 один нуль, запятая сдвинулась на 1 знак влево.
• $832,5 \cdot 0,01 = ?$ 8,325 — два нуля, сдвиг на 2 знака влево.
• $832,5 \cdot 0,001 = ?$ 0,8325 — три нуля, сдвиг на 3 знака влево.
• $196,5 : 10$, $196,5 : 100$, $196,5 : 1000$? 19,65; 1,965; 0,1965 — запятая едет влево.
• $7,951 : 0,1$, $7,951 : 0,01$, $7,951 : 0,001$? 79,51; 795,1; 7951 — а здесь вправо!

💡 Видишь закономерность? Считать ничего не нужно — достаточно перенести запятую. Осталось понять, в какую сторону.

Разбираемся

Цифры переезжают в соседний разряд

Когда умножаешь на 10, каждая цифра переходит в разряд постарше: десятые становятся единицами, сотые — десятыми. Сами цифры не меняются — меняется только место запятой.

Деление — едем обратно

Деление — обратное действие, поэтому запятая едет влево:

• $2,34 : 10 = 0,234$;
• $2,34 : 100 = 0,0234$ (цифр не хватило — дописали нули слева).

Хитрые 0,1 и 0,01

Умножить на 0,1 — значит взять одну десятую часть. Как разрезать пирог на 10 кусков и взять один! Поэтому умножение на 0,1 — то же, что деление на 10.

• Умножить на 0,1; 0,01; 0,001 — запятая влево: $3,29 \cdot 0,01 = 0,0329$.
• Разделить на 0,1; 0,01; 0,001 — запятая вправо: $7,593 : 0,01 = 759,3$; $42,63 : 0,001 = 42,630$.

На сколько знаков? Столько, сколько нулей в 0,1 (один), 0,01 (два), 0,001 (три).

📌 Умножаем на 10, 100, 1000 или делим на 0,1; 0,01; 0,001 — запятая вправо. Делим на 10, 100, 1000 или умножаем на 0,1; 0,01; 0,001 — запятая влево.

💡 Проверка здравым смыслом: число выросло (умножили на 10 или разделили на 0,1) — запятая уехала вправо. Уменьшилось — влево.

Потренируйся:

⚠️ Частая ошибка. При умножении на 0,1 двигают запятую вправо — «раз умножаем, значит больше». Но 0,1 меньше единицы, и ответ будет меньше. Спроси себя: «Число должно вырасти или уменьшиться?»

⚠️ Частая ошибка. Забывают дописать нули. $0,7 \cdot 1000$ — это не 70, а 700: $0,700 \cdot 1000 = 700$. И $5 : 100$ — не 0,5, а 0,05.

👨‍👩‍👧 Родителю. Тренируйтесь на единицах измерения: «Сколько метров в 365 см?», «Сколько килограммов в 650 г?». Пусть ребёнок сначала скажет, во сколько раз отличаются единицы (1 м = 100 см), а потом двигает запятую.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000? Перенести запятую вправо на 1, 2, 3 знака (сколько нулей после единицы). Не хватает цифр — дописать нули справа.
• Куда и на сколько переносить запятую при умножении на 0,01? Влево на 2 знака.
• Как разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000? Перенести запятую влево на 1, 2, 3 знака.
• Куда и на сколько переносить запятую при делении на 0,001? Вправо на 3 знака.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 935

Посчитай в уме: $5,21 \cdot 10$; $0,75 \cdot 100$; $13,4 : 10$; $215,6 : 100$; $19,3 \cdot 0,1$; $218,5 \cdot 0,01$; $0,56 : 0,1$; $7,31 : 0,01$.

Как думать. Сначала реши, вырастет число или уменьшится, — и запятая сама поедет куда надо.

Решение.

1. $5,21 \cdot 10 = 52,1$; $0,75 \cdot 100 = 75$ (вправо).
2. $13,4 : 10 = 1,34$; $215,6 : 100 = 2,156$ (влево).
3. $19,3 \cdot 0,1 = 1,93$; $218,5 \cdot 0,01 = 2,185$ (влево).
4. $0,56 : 0,1 = 5,6$; $7,31 : 0,01 = 731$ (вправо).

Ответ: 1) 52,1; 75; 2) 1,34; 2,156; 3) 1,93; 2,185; 4) 5,6; 731.

Уровень A

№ 936

Умножь: $0,13 \cdot 10$; $2,15 \cdot 100$; $0,926 \cdot 1000$; $8,07 \cdot 10$; $4,06 \cdot 100$; $3,071 \cdot 1000$; $13,2 \cdot 0,1$; $24,5 \cdot 0,01$; $391,6 \cdot 0,001$.

Как думать. На 10, 100, 1000 — вправо; на 0,1, 0,01, 0,001 — влево.

Решение.

1. $0,13 \cdot 10 = 1,3$; $2,15 \cdot 100 = 215$; $0,926 \cdot 1000 = 926$.
2. $8,07 \cdot 10 = 80,7$; $4,06 \cdot 100 = 406$; $3,071 \cdot 1000 = 3071$.
3. $13,2 \cdot 0,1 = 1,32$; $24,5 \cdot 0,01 = 0,245$; $391,6 \cdot 0,001 = 0,3916$.

Ответ: 1) 1,3; 215; 926; 2) 80,7; 406; 3071; 3) 1,32; 0,245; 0,3916.

№ 937

Запиши натуральными числами: 2,3 тыс.; 14,7 тыс.; 629,5 тыс.; 1,2 млн; 38,3 млн; 0,9 млн; 8,1 млрд; 14,28 млрд; 0,349 млрд.

Как думать. Так пишут в новостях: «бюджет 14,28 млрд». «Тыс.» — умножить на 1000 (запятая вправо на 3 знака), «млн» — на 1 000 000 (на 6 знаков), «млрд» — на 1 000 000 000 (на 9 знаков).

Решение.

1. $2,3 \cdot 1000 = 2300$; $14,7 \cdot 1000 = 14,700$; $629,5 \cdot 1000 = 629,500$.
2. $1,2$ млн $= 1,200,000$; $38,3$ млн $= 38,300,000$; $0,9$ млн $= 900,000$.
3. $8,1$ млрд $= 8,100,000,000$; $14,28$ млрд $= 14,280,000,000$; $0,349$ млрд $= 349,000,000$.

Ответ: 1) 2300; 14 700; 629 500; 2) 1 200 000; 38 300 000; 900 000; 3) 8 100 000 000; 14 280 000 000; 349 000 000.

№ 938

Раздели: $2,19 : 0,1$; $64 : 0,1$; $5,83 : 0,01$; $0,375 : 0,01$; $0,62 : 0,01$; $1,398 : 0,001$; $310,42 : 100$; $19,5 : 100$; $412 : 1000$.

Как думать. На 0,1, 0,01, 0,001 делим — число растёт, запятая вправо. На 100, 1000 — уменьшается, запятая влево.

Решение.

1. $2,19 : 0,1 = 21,9$; $64 : 0,1 = 640$; $5,83 : 0,01 = 583$.
2. $0,375 : 0,01 = 37,5$; $0,62 : 0,01 = 62$; $1,398 : 0,001 = 1398$.
3. $310,42 : 100 = 3,1042$; $19,5 : 100 = 0,195$; $412 : 1000 = 0,412$.

Ответ: 1) 21,9; 640; 583; 2) 37,5; 62; 1398; 3) 3,1042; 0,195; 0,412.

№ 939

1) Увеличь числа 0,6; 2,457; 14,0316; 56,05 в 100 раз и в 1000 раз. 2) Уменьши числа 2,5; 316,7; 18,05; 0,9 в 10 раз и в 100 раз.

Как думать. «Увеличить в 100 раз» — умножить на 100, «уменьшить в 10 раз» — разделить на 10.

Решение.

1. В 100 раз: 60; 245,7; 1403,16; 5605. В 1000 раз: 600; 2457; 14 031,6; 56 050.
2. В 10 раз: 0,25; 31,67; 1,805; 0,09. В 100 раз: 0,025; 3,167; 0,1805; 0,009.

Ответ: 1) 60; 245,7; 1403,16; 5605 и 600; 2457; 14 031,6; 56 050; 2) 0,25; 31,67; 1,805; 0,09 и 0,025; 3,167; 0,1805; 0,009.

№ 940

Вырази: 1) в метрах 365 см, 72 дм, 83 см, 9 дм, 5 см; 2) в килограммах 1230 г, 650 г, 325 г, 96 г, 7 г; 3) в километрах 4500 м, 1800 м, 155 м, 700 м.

Как думать. 1 м = 100 см = 10 дм, 1 кг = 1000 г, 1 км = 1000 м. Переходим к более крупной единице — число уменьшается, значит, делим.

Решение.

1. $365 : 100 = 3,65$ м; $72 : 10 = 7,2$ м; $83 : 100 = 0,83$ м; $9 : 10 = 0,9$ м; $5 : 100 = 0,05$ м.
2. $1230 : 1000 = 1,23$ кг; 0,65 кг; 0,325 кг; 0,096 кг; 0,007 кг.
3. $4500 : 1000 = 4,5$ км; 1,8 км; 0,155 км; 0,7 км.

Ответ: 1) 3,65 м; 7,2 м; 0,83 м; 0,9 м; 0,05 м; 2) 1,23 кг; 0,65 кг; 0,325 кг; 0,096 кг; 0,007 кг; 3) 4,5 км; 1,8 км; 0,155 км; 0,7 км.

Уровень B

№ 941

Куда и на сколько сдвинется запятая, если дробь: 1) увеличить в 100 раз, а потом уменьшить в 1000 раз; 2) уменьшить в 100 раз, а потом увеличить в 10 000 раз; 3) увеличить в 1000 раз, а потом уменьшить в 10 раз?

Как думать. Это как шаги: два вправо и три влево — в итоге один шаг влево.

Решение.

1. Вправо на 2, потом влево на 3. Итог: влево на 1 знак (дробь уменьшилась в 10 раз).
2. Влево на 2, потом вправо на 4. Итог: вправо на 2 знака (увеличилась в 100 раз).
3. Вправо на 3, потом влево на 1. Итог: вправо на 2 знака (увеличилась в 100 раз).

Ответ: 1) влево на 1 знак; 2) вправо на 2 знака; 3) вправо на 2 знака.

№ 942

Вычисли: $315 \cdot 0,001$; $916,3 \cdot 0,0001$; $62,5 \cdot 0,001$; $0,9 \cdot 100$; $873,4 : 100$; $246,5 : 1000$; $24,05 : 1000$; $3,06 \cdot 1000$; $0,7831 \cdot 1000$.

Как думать. Внимательно с нулями: в 0,0001 их четыре — значит, на 4 знака.

Решение.

1. $315 \cdot 0,001 = 0,315$; $916,3 \cdot 0,0001 = 0,09163$; $62,5 \cdot 0,001 = 0,0625$.
2. $0,9 \cdot 100 = 90$; $873,4 : 100 = 8,734$; $246,5 : 1000 = 0,2465$.
3. $24,05 : 1000 = 0,02405$; $3,06 \cdot 1000 = 3060$; $0,7831 \cdot 1000 = 783,1$.

Ответ: 1) 0,315; 0,09163; 0,0625; 2) 90; 8,734; 0,2465; 3) 0,02405; 3060; 783,1.

№ 943

Вырази: 1) в метрах 2,316 км; 0,41 км; 3,9 км; 0,078 км; 2) в граммах 0,7 кг; 0,08 кг; 0,041 кг; 6,803 кг.

Как думать. Переходим к более мелкой единице — число растёт, умножаем на 1000.

Решение.

1. 2316 м; 410 м; 3900 м; 78 м.
2. 700 г; 80 г; 41 г; 6803 г.

Ответ: 1) 2316 м; 410 м; 3900 м; 78 м; 2) 700 г; 80 г; 41 г; 6803 г.

№ 944

Найди правило и допиши два числа: 1) 0,0003; 0,003; 0,03; 0,3; … 2) 815; 81,5; 8,15; 0,815; … 3) 9816,7; 981,67; 98,167; 9,8167; …

Как думать. Следи за запятой: куда она шагает от числа к числу?

Решение.

1. Каждое число в 10 раз больше предыдущего: 3; 30.
2. Каждое в 10 раз меньше: 0,0815; 0,00815.
3. Каждое в 10 раз меньше: 0,98167; 0,098167.

Ответ: 1) 3; 30; 2) 0,0815; 0,00815; 3) 0,98167; 0,098167.

№ 945

Со 100 га собрали 2870 ц хлопка-сырца. Сколько собрали с 10 га?

Как думать. Во сколько раз меньше поле, во столько раз меньше урожай.

Решение. 10 га в 10 раз меньше, чем 100 га. $2870 : 10 = 287$ ц.

Ответ: 287 ц.

№ 946

Из 10 т свёклы получили 1,6 т сахара. Сколько сахара получат из 100 т?

Как думать. Свёклы в 10 раз больше — и сахара в 10 раз больше.

Решение. 100 т в 10 раз больше, чем 10 т. $1,6 \cdot 10 = 16$ т.

Ответ: 16 т.

№ 947

Куб с ребром в 4 кубика сложен из 35 зелёных и 29 жёлтых кубиков. Есть ли вертикальный столбик, в котором нечётное число жёлтых кубиков? Докажи.

Как думать. Задача на смекалку. Подсказка: сложи несколько чётных чисел — может ли получиться нечётное?

Решение.

1. В кубе $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$ кубика, и $35 + 29 = 64$. Всё сходится.
2. Куб можно разбить на 16 вертикальных столбиков по 4 кубика. Каждый кубик попадает ровно в один столбик.
3. Предположим, что в каждом столбике жёлтых кубиков чётное число. Тогда сумма по всем столбикам тоже чётная.
4. Но жёлтых кубиков 29 — число нечётное. Противоречие!

Ответ: да, такой столбик обязательно есть: сумма чётных чисел не может быть равна нечётному числу 29.

№ 948

Найди значение: 1) $8,8a + \frac{3}{25}$ при $a = 0,1$; 2) $\frac{7}{20} + 165b$ при $b = 0,01$; 3) $0,002a - \frac{3}{4}$ при $a = 1000$; 4) $\frac{4}{5} - 0,003b$ при $b = 100$.

Как думать. Обыкновенные дроби переводим в десятичные, а умножения на 0,1, 0,01, 1000, 100 делаем сдвигом запятой.

Решение. $\frac{3}{25} = 0,12$; $\frac{7}{20} = 0,35$; $\frac{3}{4} = 0,75$; $\frac{4}{5} = 0,8$.

1. $8,8 \cdot 0,1 + 0,12 = 0,88 + 0,12 = 1$;
2. $0,35 + 165 \cdot 0,01 = 0,35 + 1,65 = 2$;
3. $0,002 \cdot 1000 - 0,75 = 2 - 0,75 = 1,25$;
4. $0,8 - 0,003 \cdot 100 = 0,8 - 0,3 = 0,5$.

Ответ: 1) 1; 2) 2; 3) 1,25; 4) 0,5.

№ 949

Реши уравнения: $10x = 5,8 + 3\frac{2}{5}$; $100x = 28\frac{1}{2} - 3,7$; $x : 0,01 = 0,81 + 0,09$; $x : 0,001 = 2,149 - 1,234$.

Как думать. Сначала считаем правую часть. Неизвестный множитель находим делением, неизвестное делимое — умножением.

Решение.

1. $10x = 5,8 + 3,4 = 9,2$; $x = 9,2 : 10 = 0,92$.
2. $100x = 28,5 - 3,7 = 24,8$; $x = 24,8 : 100 = 0,248$.
3. $x : 0,01 = 0,9$; $x = 0,9 \cdot 0,01 = 0,009$.
4. $x : 0,001 = 0,915$; $x = 0,915 \cdot 0,001 = 0,000915$.

Ответ: 1) 0,92; 2) 0,248; 3) 0,009; 4) 0,000915.

№ 950

По схеме дорог (рис. 4.13) узнай, сколькими способами можно добраться из A в C. Варианты: A. 18; B. 15; C. 14; D. 13.

Как думать. На рисунке: из A в B — 2 дороги, из B в C — 3, из A в D — 4, из D в C — 2. Прямой дороги из A в C нет. Каждую дорогу первого участка можно соединить с каждой дорогой второго — поэтому способы перемножаем.

Решение.

1. Через B: $2 \cdot 3 = 6$ способов.
2. Через D: $4 \cdot 2 = 8$ способов.
3. Всего: $6 + 8 = 14$.

Ответ: 14 способов, вариант C.

Уровень C

№ 951

Вычисли: $4,7 : 100 \cdot 1000$; $0,96 \cdot 100 : 10$; $2,6 : 10 \cdot 100$; $5,218 : 0,01 \cdot 0,001$; $0,29 \cdot 0,01 : 0,0001$; $0,3 : 0,001 \cdot 0,1$.

Как думать. Действуем по порядку слева направо — или сразу считаем, куда в итоге уедет запятая (как в № 941).

Решение.

1. $4,7 : 100 = 0,047$; $0,047 \cdot 1000 = 47$;
2. $0,96 \cdot 100 = 96$; $96 : 10 = 9,6$;
3. $2,6 : 10 = 0,26$; $0,26 \cdot 100 = 26$;
4. $5,218 : 0,01 = 521,8$; $521,8 \cdot 0,001 = 0,5218$;
5. $0,29 \cdot 0,01 = 0,0029$; $0,0029 : 0,0001 = 29$;
6. $0,3 : 0,001 = 300$; $300 \cdot 0,1 = 30$.

Ответ: 1) 47; 2) 9,6; 3) 26; 4) 0,5218; 5) 29; 6) 30.

№ 952

10 л бензина весят 7 кг, а 100 л керосина — 80 кг. На сколько 1 л керосина тяжелее 1 л бензина?

Как думать. Сначала узнаём, сколько весит один литр каждого, потом сравниваем.

Решение.

1. 1 л бензина: $7 : 10 = 0,7$ кг.
2. 1 л керосина: $80 : 100 = 0,8$ кг.
3. Разница: $0,8 - 0,7 = 0,1$ кг.

Ответ: на 0,1 кг.

№ 953

10 см³ сосны весят 4 г. Сколько весит сосновый кубик с ребром 10 см?

Как думать. Найди объём куба и узнай, во сколько раз он больше 10 см³.

Решение.

1. Объём куба: $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$ см³.
2. 1000 см³ в 100 раз больше, чем 10 см³. Масса: $4 \cdot 100 = 400$ г.

Ответ: 400 г.

№ 954

Если в дроби перенести запятую вправо на два знака, она увеличится на 940,5. Найди дробь.

Как думать. Перенос запятой на два знака вправо — это увеличение в 100 раз. Новое число — 100 таких дробей, старое — одна. Разница — 99 дробей.

Решение.

1. $100x - x = 99x = 940,5$.
2. $x = 940,5 : 99 = 9,5$.

Проверка: $950 - 9,5 = 940,5$.

Ответ: 9,5.

№ 955

Реши уравнения: $\frac{1,7 + 0,1x}{3} = 2$; $\frac{15,8 - 0,01x}{4} = 3$; $\frac{16,3 - 100x}{2} = 5$; $\frac{100x + 4,6}{5} = 3$.

Как думать. Дробная черта — это деление. Неизвестное делимое = частное $\cdot$ делитель. Дальше решаем простое уравнение, «распутывая» его с конца.

Решение.

1. $1,7 + 0,1x = 6$; $0,1x = 4,3$; $x = 4,3 : 0,1 = 43$.
2. $15,8 - 0,01x = 12$; $0,01x = 3,8$; $x = 3,8 : 0,01 = 380$.
3. $16,3 - 100x = 10$; $100x = 6,3$; $x = 0,063$.
4. $100x + 4,6 = 15$; $100x = 10,4$; $x = 0,104$.

Ответ: 1) 43; 2) 380; 3) 0,063; 4) 0,104.

Шпаргалка

• Умножить на 10, 100, 1000 — вправо: $9,186 \cdot 1000 = 9186$.
• Разделить на 10, 100, 1000 — влево: $617,2 : 1000 = 0,6172$.
• Умножить на 0,1; 0,01; 0,001 — влево: $7,3 \cdot 0,1 = 0,73$.
• Разделить на 0,1; 0,01; 0,001 — вправо: $0,753 : 0,01 = 75,3$.
• Сомневаешься — спроси себя: число должно вырасти или уменьшиться?

Мини-тест