5.2. Подмножество

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава V: Множества. Страницы 97–101.

Чему научишься

• Понимать, что такое подмножество, и записывать это значком $\subset$.
• Быстро проверять: часть это или нет.
• Узнавать равные множества, даже если элементы перемешаны.
• Выписывать все подмножества и не забывать пустое и само множество.
• Рисовать подмножество кругами Эйлера–Венна.

Разбираемся

Коробка внутри коробки

Представь коробку конфет: там шоколадные, карамельки и ириски. Ты вынул только шоколадные и сложил их в маленькую коробочку. Каждая конфета из коробочки есть и в большой коробке — значит, коробочка — часть большой.

В математике такую часть называют подмножеством. Давай на числах. Возьмём $L = {3, 6, 9, 12, 15, 18}$ и выберем числа, которые делятся на 6. Получится $K = {6, 12, 18}$.

📌 $K$ — подмножество $L$, если каждый элемент $K$ лежит и в $L$. Пишут $K \subset L$, читают «$K$ — подмножество $L$».

Посмотри на круги. Нажми «Только K» — там пусто! Ни одного элемента $K$ не торчит наружу из $L$. Это и есть признак подмножества.

💡 В тетради подмножество рисуют проще: маленький круг $K$ целиком внутри большого круга $L$. Числа 6, 12, 18 — в маленьком круге, а 3, 9, 15 — в большом, но снаружи маленького.

Примеры из жизни:

• лебеди — подмножество птиц;
• треугольники — подмножество многоугольников;
• делители 28 — подмножество делителей 84 (ведь $84 = 28 \cdot 3$, и всё, что делит 28, делит и 84).

А если хоть один элемент «вылез» наружу — это уже не подмножество. Пишут $D \not\subset E$.

⚠️ Частая ошибка. Путают $\in$ и $\subset$. Значок $\in$ ставят между числом и множеством: $6 \in L$. Значок $\subset$ — между двумя множествами: ${6} \subset L$. Запись $6 \subset L$ — ошибка. Проверка простая: слева одно число без фигурных скобок — значит, нужен $\in$.

Перемешали — а множество то же

Если $X \subset Y$ и одновременно $Y \subset X$, то в них одни и те же элементы. Такие множества равны: $X = Y$.

Порядок не важен! ${1, 2, 3}$ и ${3, 1, 2}$ — одно и то же множество. Как твой рюкзак: ручка, тетрадь, линейка — хоть как их сложи, рюкзак тот же.

Сколько всего подмножеств

Два «особых» подмножества есть у любого множества: пустое $\varnothing$ (не взяли ничего) и само множество (взяли всё). $F \subset F$ и $\varnothing \subset F$.

Давай выпишем все подмножества ${a, b, c}$. Удобно идти по количеству элементов:

• ни одного: $\varnothing$;
• по одному: ${a}$, ${b}$, ${c}$;
• по два: ${a, b}$, ${a, c}$, ${b, c}$;
• все три: ${a, b, c}$.

Всего 8. Есть красивое правило: у множества из $n$ элементов ровно $2^n$ подмножеств. Из 1 элемента — 2, из 2 — 4, из 3 — 8, из 4 — 16.

🌟 Почему $2^n$? Для каждого элемента есть два варианта: «беру» или «не беру». Три элемента — $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ вариантов.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите выписать все подмножества ${1, 2}$. Правильно четыре: $\varnothing$, ${1}$, ${2}$, ${1, 2}$. Чаще всего теряют пустое множество и само множество. Спросите: «А можно ничего не взять? А всё сразу?»

⚠️ Частая ошибка. Пишут и ${a, b}$, и ${b, a}$ как два разных. Это одно подмножество! Чтобы не повторяться, пиши буквы по алфавиту, а числа — по возрастанию.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какое множество называют подмножеством данного? То, каждый элемент которого лежит в данном множестве.
• Какие множества равны? Те, что состоят из одних и тех же элементов.
• Чем могут отличаться равные множества? Только порядком записи. Элементы у них одинаковые.
• Что значат записи $B \subset C$ и $B \not\subset A$? Первая: все элементы $B$ лежат в $C$. Вторая: в $B$ есть хотя бы один элемент, которого нет в $A$.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 1033

Прочитай записи: $C \subset D$; $E \not\subset F$; $a \in B$; $b \notin L$.

Решение.

1. $C \subset D$ — «$C$ — подмножество $D$».
2. $E \not\subset F$ — «$E$ — не подмножество $F$».
3. $a \in B$ — «$a$ принадлежит множеству $B$» (или «$a$ — элемент $B$»).
4. $b \notin L$ — «$b$ не принадлежит множеству $L$».

Ответ: см. чтение каждой записи выше.

Уровень A

№ 1034

Какое множество — часть другого? 1) музыканты $A$ и скрипачи $B$; 2) города страны $L$ и областные центры $K$; 3) простые числа $C$ и натуральные числа $D$.

Как думать. Ищем «часть». Каждый скрипач — музыкант, но не каждый музыкант играет на скрипке (есть ведь и домбристы!).

Решение.

1. Каждый скрипач — музыкант: $B \subset A$.
2. Каждый областной центр — город страны: $K \subset L$.
3. Каждое простое число — натуральное: $C \subset D$.

Ответ: 1) $B \subset A$; 2) $K \subset L$; 3) $C \subset D$.

№ 1035

Даны $A = {1, 3}$, $B = {3, 6, 9}$, $C = {5, 10, 15}$, $D = {14, 21}$. Какие из них — подмножества $F = {1, 3, 6, 9, 12, 15}$?

Как думать. Проверяем каждый элемент: есть ли он в $F$. Хватит одного «чужака», чтобы множество не подошло.

Решение.

1. $A$: 1 и 3 есть в $F$ — подходит.
2. $B$: 3, 6, 9 есть в $F$ — подходит.
3. $C$: числа 5 нет в $F$ — не подходит.
4. $D$: чисел 14 и 21 нет в $F$ — не подходит.

Ответ: $A \subset F$; $B \subset F$; $C \not\subset F$; $D \not\subset F$.

№ 1036

На рисунке 5.6 большой круг $A$ с разными четырёхугольниками (трапеции, параллелограмм, произвольный), внутри него круг $B$ с двумя квадратами. Какой общий признак у $A$, какой у $B$, и почему $B \subset A$?

Как думать. Посчитай стороны у каждой фигуры в большом круге. А что особенного у фигур в маленьком?

Решение.

1. У всех фигур в круге $A$ четыре стороны. $A$ — множество четырёхугольников.
2. Фигуры в круге $B$ — квадраты. $B$ — множество квадратов.
3. Любой квадрат — тоже четырёхугольник. Значит, каждый элемент $B$ лежит в $A$.

Ответ: 1) $A$ — множество четырёхугольников; 2) $B$ — множество квадратов; 3) каждый квадрат — четырёхугольник, поэтому $B \subset A$.

№ 1037

Найди равные среди множеств $A = {a, b, c}$, $B = {4, 5, 6}$, $E = {6, 5, 4}$, $C = {x, y, z}$, $D = {c, b, a}$, $F = {m, n, x}$.

Как думать. Равные множества — это одни и те же элементы. Порядок не важен.

Решение.

1. $A$ и $D$ — одни и те же буквы $a, b, c$.
2. $B$ и $E$ — одни и те же числа 4, 5, 6.
3. У $C$ и $F$ общая только буква $x$, они не равны и не равны другим.

Ответ: $A = D$; $B = E$.

№ 1038

Выпиши все подмножества $D$: 1) $D = {7}$; 2) $D = {5; 9}$; 3) $D = \left{\frac{2}{5}; \frac{1}{3}\right}$.

Как думать. Пустое множество и само множество — обязательно. Из 1 элемента — 2 подмножества, из 2 — 4.

Решение.

1. $\varnothing$, ${7}$.
2. $\varnothing$, ${5}$, ${9}$, ${5; 9}$.
3. $\varnothing$, $\left{\frac{2}{5}\right}$, $\left{\frac{1}{3}\right}$, $\left{\frac{2}{5}; \frac{1}{3}\right}$.

Ответ: 1) 2 подмножества; 2) 4 подмножества; 3) 4 подмножества (перечислены выше).

№ 1039

Реши уравнения: 1) $5(x - 0,2) = 0$; 2) $0,8(y - 7) = 8$; 3) $5x - \frac{1}{8} = 3$; 4) $4x - 1\frac{4}{5} = 5,4$; 5) $7\frac{3}{5} + 2x = 10,6$; 6) $10 + 3\frac{1}{4}x = 23$.

Как думать. Смешанные числа удобно превратить в десятичные ($1\frac{4}{5} = 1,8$) или в неправильные дроби ($3\frac{1}{4} = \frac{13}{4}$). Дальше — как обычно: находим неизвестное слагаемое или множитель.

Решение.

1. Произведение равно нулю, а $5 \ne 0$, значит $x - 0,2 = 0$, $x = 0,2$.
2. $y - 7 = 8 : 0,8 = 10$, $y = 17$.
3. $5x = 3 + \frac{1}{8} = \frac{25}{8}$, $x = \frac{25}{8} : 5 = \frac{5}{8}$.
4. $1\frac{4}{5} = 1,8$. $4x = 5,4 + 1,8 = 7,2$, $x = 1,8$.
5. $7\frac{3}{5} = 7,6$. $2x = 10,6 - 7,6 = 3$, $x = 1,5$.
6. $3\frac{1}{4}x = 23 - 10 = 13$. $x = 13 : \frac{13}{4} = 13 \cdot \frac{4}{13} = 4$.

Проверка для 6): $10 + 3\frac{1}{4} \cdot 4 = 10 + 13 = 23$. Верно.

Ответ: 1) 0,2; 2) 17; 3) $\frac{5}{8}$; 4) 1,8; 5) 1,5; 6) 4.

Уровень B

№ 1040

Запиши значками: 1) $A$ — прямоугольники, $B$ — квадраты; 2) $C$ — точки круга с центром $O$, $D$ — точки окружности с тем же центром.

Как думать. Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Окружность — край круга, её точки тоже принадлежат кругу.

Решение.

1. Каждый квадрат — прямоугольник: $B \subset A$.
2. Каждая точка окружности лежит в круге (на его краю): $D \subset C$.

Ответ: 1) $B \subset A$; 2) $D \subset C$.

№ 1041

На рисунке 5.7 большой круг $A$, внутри него круг $B$ с числами 1, 2, 3, 5, 6; в $A$ снаружи $B$ — 15, 10, 30. Запиши $A$ и $B$, найди признак $A$, запиши соотношение.

Как думать. В $A$ входят все числа большого круга — и те, что в маленьком круге, тоже.

Решение.

1. $A = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}$; $B = {1, 2, 3, 5, 6}$.
2. Все эти числа делят 30 без остатка, и других делителей у 30 нет. $A$ — множество делителей числа 30.
3. Круг $B$ лежит внутри $A$: $B \subset A$.

Ответ: 1) $A = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}$, $B = {1, 2, 3, 5, 6}$; 2) делители числа 30; 3) $B \subset A$.

№ 1042

Из $A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}$ собери множество $B$ делителей числа 6 и запиши соотношение $A$ и $B$.

Решение. Делители 6: 1, 2, 3, 6. Все они есть в $A$. $B = {1, 2, 3, 6}$.

Ответ: $B = {1, 2, 3, 6}$; $B \subset A$.

№ 1043

Все подмножества множества $D$: $\varnothing$, ${6}$, ${7}$, ${8}$, ${6; 7}$, ${6; 8}$, ${7; 8}$, ${6; 7; 8}$. Найди само $D$.

Как думать. Само множество — его самое большое подмножество.

Решение. Самое большое подмножество в списке — ${6; 7; 8}$. Проверка: у множества из 3 элементов $2^3 = 8$ подмножеств, в списке их как раз 8.

Ответ: $D = {6; 7; 8}$.

№ 1044

Выпиши все подмножества множества $A = {x, y, z}$.

Как думать. Иди «этажами»: сначала без элементов, потом по одному, по два и все три.

Решение.

• без элементов: $\varnothing$;
• по одному: ${x}$, ${y}$, ${z}$;
• по два: ${x, y}$, ${x, z}$, ${y, z}$;
• все три: ${x, y, z}$.

Ответ: 8 подмножеств: $\varnothing$, ${x}$, ${y}$, ${z}$, ${x, y}$, ${x, z}$, ${y, z}$, ${x, y, z}$.

Уровень C

№ 1045

$F$ — множество делителей числа 25. Запиши $F$ и его подмножества.

Решение.

1. $25 = 1 \cdot 25 = 5 \cdot 5$. Делители: 1, 5, 25. $F = {1, 5, 25}$.
2. В $F$ три элемента, значит подмножеств $2^3 = 8$: $\varnothing$, ${1}$, ${5}$, ${25}$, ${1, 5}$, ${1, 25}$, ${5, 25}$, ${1, 5, 25}$.

Ответ: $F = {1, 5, 25}$; подмножества перечислены выше (8 штук).

№ 1046

$A = {3, 6, 9}$, $E = {6, 9}$, $F = {4, 8}$. Поставь нужный знак: 1) $E$ □ $A$; 2) $F$ □ $A$; 3) 6 □ $A$; 4) 9 □ $F$.

Как думать. Между двумя множествами — $\subset$ или $\not\subset$. Между числом и множеством — $\in$ или $\notin$.

Решение.

1. 6 и 9 есть в $A$: $E \subset A$.
2. 4 и 8 нет в $A$: $F \not\subset A$.
3. 6 есть в $A$: $6 \in A$.
4. 9 нет в $F$: $9 \notin F$.

Ответ: 1) $E \subset A$; 2) $F \not\subset A$; 3) $6 \in A$; 4) $9 \notin F$.

№ 1047

$B$ — двузначные числа с одинаковыми цифрами, $D$ — двузначные делители числа 66. Запиши множества и соотношение между ними.

Решение.

1. $B = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}$.
2. Делители 66: 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66. Двузначные из них: $D = {11, 22, 33, 66}$.
3. Все элементы $D$ есть в $B$.

Ответ: $B = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}$, $D = {11, 22, 33, 66}$; $D \subset B$.

№ 1048

Три вложенных круга (рис. 5.8): большой $A$, в нём $B$, в нём $C$. $C$ — остатки при делении натуральных чисел на 4, $B$ — на 6, $A$ — на 9. Расставь числа и запиши соотношения.

Как думать. Остаток всегда меньше делителя. И он может быть нулём — когда число делится нацело.

Решение.

1. $C = {0, 1, 2, 3}$.
2. $B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}$.
3. $A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}$.
4. На рисунке: в самый маленький круг $C$ пишем 0, 1, 2, 3; в круг $B$ снаружи $C$ — 4 и 5; в круг $A$ снаружи $B$ — 6, 7, 8.

Ответ: $C \subset B$, $B \subset A$, $C \subset A$.

№ 1049

$A$ — числа вида $5n$, $B$ — $3n$, $C$ — $6n$, $D$ — $15n$ ($n$ — натуральное). Какие множества — подмножества других?

Как думать. $A$ — все числа, кратные 5; $B$ — кратные 3; $C$ — кратные 6; $D$ — кратные 15. Если число кратно 6, оно кратно и 3, ведь $6 = 3 \cdot 2$.

Решение.

1. $6n = 3 \cdot (2n)$ — любое число из $C$ кратно 3: $C \subset B$.
2. $15n = 5 \cdot (3n)$ — любое число из $D$ кратно 5: $D \subset A$.
3. $15n = 3 \cdot (5n)$ — любое число из $D$ кратно 3: $D \subset B$.
4. Остальные пары не подходят. Например, $10 \in A$, но $10 \notin B$; $6 \in C$, но $6 \notin D$.

Ответ: $C \subset B$; $D \subset A$; $D \subset B$.

№ 1050

3 прыжка собаки по длине равны 5 прыжкам зайца. Пока собака делает 4 прыжка, заяц делает 6. Догонит ли собака зайца?

Как думать. Задача на смекалку. Прыжки разные — сравнивать их напрямую нельзя. Измерим всё в одинаковых маленьких «шагах».

Решение.

1. Пусть прыжок зайца — 3 шага. Тогда 5 прыжков зайца — 15 шагов, и 3 прыжка собаки — тоже 15 шагов. Прыжок собаки — 5 шагов.
2. За одно время собака делает 4 прыжка: $4 \cdot 5 = 20$ шагов.
3. Заяц за это время делает 6 прыжков: $6 \cdot 3 = 18$ шагов.
4. $20 > 18$: собака каждый раз приближается к зайцу на 2 шага.

Ответ: догонит.

Шпаргалка

• $B \subset A$: на рисунке круг $B$ целиком внутри круга $A$.
• $6 \in A$, но ${6} \subset A$.
• ${1, 2, 3} = {3, 2, 1}$.
• $\varnothing \subset F$ и $F \subset F$ — для любого $F$.
• У множества из $n$ элементов $2^n$ подмножеств.

Мини-тест