5.3. Пересечение множеств. Объединение множеств

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава V: Множества. Страницы 102–106.

Чему научишься

• Находить общие элементы двух множеств — пересечение $A \cap B$.
• Собирать все элементы вместе — объединение $A \cup B$.
• Показывать то и другое на кругах Эйлера–Венна.
• Считать элементы объединения: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.
• Понимать, когда пересечение пустое.

Разбираемся

Пересечение: «и там, и там»

Давай найдём делители чисел 12 и 16.

• $F$ — делители 12: $F = {1, 2, 3, 4, 6, 12}$.
• $N$ — делители 16: $N = {1, 2, 4, 8, 16}$.

Числа 1, 2, 4 живут в обоих множествах. Из них получается новое множество — пересечение: $F \cap N = {1, 2, 4}$, в нём 3 элемента, $n(F \cap N) = 3$.

📌 Пересечение $A \cap B$ — это элементы, которые есть и в $A$, и в $B$ одновременно. На рисунке — общая часть кругов.

С фигурами то же самое. Положи треугольник на круг: пересечение — та часть, которую закрывают оба сразу.

А бывает, что общих элементов нет вовсе. Нечётные цифры $E = {1, 3, 5, 7, 9}$ и чётные $F = {0, 2, 4, 6, 8}$ не делят ни одной цифры. Тогда $E \cap F = \varnothing$, а круги рисуют отдельно, не касаясь.

Объединение: «сложи всё в одну корзину»

Цифры числа 715 326: $A = {1, 2, 3, 5, 6, 7}$. Цифры числа 827 905: $B = {0, 2, 5, 7, 8, 9}$.

Выпишем всё из $A$, потом допишем из $B$ то, чего ещё нет: 0, 8, 9. Получилось объединение: $A \cup B = {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9}$.

📌 Объединение $A \cup B$ — элементы, которые есть хотя бы в одном множестве: в $A$, в $B$ или в обоих.

⚠️ Частая ошибка. Общие элементы пишут дважды: ${1, 2, 3, 5, 6, 7, 0, 2, 5, 7, 8, 9}$. Нельзя! В множестве каждый элемент — один раз. Цифры 2, 5, 7 есть в обоих, но в объединении их по одной.

💡 Как не перепутать значки? $\cup$ похож на чашу — в неё ссыпают всё (объединение). $\cap$ — перевёрнутая чаша, под ней помещается меньше (пересечение).

Сколько элементов в объединении

В примере $n(A) = 6$ и $n(B) = 6$, а в объединении не 12, а 9. Куда делись три? Общие 2, 5, 7 при сложении $6 + 6$ посчитаны дважды. Лишние копии убираем:

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 6 + 6 - 3 = 9$.

Если общих элементов нет, вычитать нечего. Например, $N = {a, b, c, d}$, $P = {n, x, y}$: $n(N \cup P) = 4 + 3 = 7$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Сыграйте в «семейные круги». Кто дома любит чай? А кто кофе? Кто любит и то и другое — это пересечение. Кого угостить, если есть и чай, и кофе, — это объединение. Пусть ребёнок нарисует два круга и впишет имена.

Если один круг внутри другого

Если $B \subset A$, то общее — это всё $B$, а вместе получается всё $A$: $A \cap B = B$, $A \cup B = A$.

Например, $A = {1, 2, 3, 4}$, $B = {2, 3}$: $A \cap B = {2, 3}$, $A \cup B = {1, 2, 3, 4}$.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Что такое пересечение двух множеств? Множество из тех и только тех элементов, которые есть сразу в обоих.
• Что такое объединение двух множеств? Множество из тех и только тех элементов, которые есть хотя бы в одном из двух.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 1051

Какая фигура — пересечение: 1) двух прямых; 2) двух квадратов, которые вместе дают прямоугольник? Какие бывают случаи?

Как думать. Представь, как фигуры могут лежать, и посмотри на общую часть.

Решение.

1. Две прямые:
   • пересекаются — общая точка;
   • параллельны — общих точек нет, пересечение — пустое множество;
   • совпадают — пересечение — сама прямая.
2. Два одинаковых квадрата приложили друг к другу, и вышел прямоугольник. Их общая часть — общая сторона, то есть отрезок. Если квадраты частично наложить друг на друга, их общая часть будет прямоугольником.

Ответ: 1) точка, пустое множество или прямая; 2) отрезок (общая сторона), а при наложении — прямоугольник.

Уровень A

№ 1052

Перерисуй три пары фигур (рис. 5.15), синим закрась пересечение, красным — объединение. Пары: 1) треугольники $A$ и $B$ с общим основанием, частично наложены; 2) треугольники $C$ и $D$ с общей стороной, без наложения; 3) треугольники $E$ и $F$ касаются одной вершиной.

Как думать. Пересечение — то, что закрыто обеими фигурами. Объединение — всё, что закрыто хотя бы одной.

Решение.

1. $A$ и $B$: синим закрашиваем маленький треугольник у основания, где фигуры накладываются. Красным — всю фигуру, которую покрывают оба треугольника вместе.
2. $C$ и $D$: общая часть — только общая сторона. Синим проводим этот отрезок. Красным закрашиваем оба треугольника.
3. $E$ и $F$: общая часть — одна точка (вершина). Синим отмечаем эту точку. Красным закрашиваем оба треугольника.

Ответ: пересечение: 1) треугольник; 2) отрезок; 3) точка. Объединение во всех случаях — вся фигура из двух треугольников.

№ 1053

$E$ — цифры числа 24 264, $F$ — цифры числа 45 695. Найди $E \cap F$ и $E \cup F$.

Как думать. Сначала выпиши цифры без повторов — в множестве каждая цифра один раз.

Решение.

1. Цифры 24 264 — 2, 4, 6 (повторы не пишем): $E = {2, 4, 6}$.
2. Цифры 45 695 — 4, 5, 6, 9: $F = {4, 5, 6, 9}$.
3. Общие: 4 и 6. $E \cap F = {4, 6}$.
4. Все вместе: $E \cup F = {2, 4, 5, 6, 9}$.

Ответ: 1) $E \cap F = {4, 6}$; 2) $E \cup F = {2, 4, 5, 6, 9}$.

№ 1054

На рисунке 5.16: только в $A$ — 4, 20; в общей части — 1, 5, 2, 10; только в $B$ — 25, 50. Запиши $A$, $B$, $A \cap B$, $A \cup B$.

Как думать. В $A$ входят числа из «своей» части круга и из общей части.

Решение.

• а) $A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}$. Это делители 20.
• б) $B = {1, 2, 5, 10, 25, 50}$. Это делители 50.
• в) $A \cap B = {1, 2, 5, 10}$.
• г) $A \cup B = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50}$.

Ответ: а) ${1, 2, 4, 5, 10, 20}$; б) ${1, 2, 5, 10, 25, 50}$; в) ${1, 2, 5, 10}$; г) ${1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50}$.

№ 1055

Начерти отрезки $EF$ и $KL$ так, чтобы их пересечением была: 1) точка; 2) отрезок; 3) пустое множество.

Как думать. Пересечение отрезков — их общие точки. Подумай, сколько общих точек может быть: одна, много или ни одной.

Решение.

1. Точка: начерти отрезки крест-накрест, как букву «Х». Общая точка — место пересечения. (Ещё вариант: отрезки с общим концом, как буква «Г».)
2. Отрезок: начерти оба отрезка на одной прямой так, чтобы они частично накладывались. Например, на линейке $EF$ от 0 до 5 см, $KL$ от 3 до 8 см. Общая часть — отрезок от 3 до 5 см.
3. Пустое множество: начерти отрезки отдельно, не касаясь друг друга, например параллельно.

Ответ: 1) отрезки пересекаются крест-накрест; 2) лежат на одной прямой и частично накладываются; 3) не имеют общих точек.

№ 1056

Реши уравнения: 1) $2x + 9,8 = 13,6$; 2) $10,36 - 3x = 5,86$; 3) $4,2x - 6 = 3,66$; 4) $19,5 - 0,3x = 15,9$; 5) $(7 - 0,2x) \cdot 1,4 = 7,56$; 6) $(6,1x - 13,2) : 1,7 = 3$.

Как думать. В уравнениях со скобкой сначала находим всю скобку целиком, а потом — $x$ внутри неё.

Решение.

1. $2x = 13,6 - 9,8 = 3,8$, $x = 1,9$.
2. $3x = 10,36 - 5,86 = 4,5$, $x = 1,5$.
3. $4,2x = 3,66 + 6 = 9,66$, $x = 9,66 : 4,2 = 2,3$.
4. $0,3x = 19,5 - 15,9 = 3,6$, $x = 12$.
5. $7 - 0,2x = 7,56 : 1,4 = 5,4$; $0,2x = 7 - 5,4 = 1,6$; $x = 8$.
6. $6,1x - 13,2 = 3 \cdot 1,7 = 5,1$; $6,1x = 18,3$; $x = 3$.

Проверка для 5): $(7 - 1,6) \cdot 1,4 = 5,4 \cdot 1,4 = 7,56$. Верно.

Ответ: 1) 1,9; 2) 1,5; 3) 2,3; 4) 12; 5) 8; 6) 3.

Уровень B

№ 1057

Из букв слов «Марс» ($A$) и «Уран» ($B$) запиши: 1) $A$ и $B$; 2) $A \cap B$; 3) $A \cup B$.

Решение.

1. $A = {м, а, р, с}$, $B = {у, р, а, н}$.
2. Общие буквы — «а» и «р»: $A \cap B = {а, р}$, $n(A \cap B) = 2$.
3. $A \cup B = {м, а, р, с, у, н}$, $n(A \cup B) = 4 + 4 - 2 = 6$.

Ответ: 1) $A = {м, а, р, с}$, $B = {у, р, а, н}$; 2) ${а, р}$; 3) ${м, а, р, с, у, н}$.

№ 1058

Начерти два треугольника так, чтобы их пересечением был: 1) четырёхугольник; 2) пятиугольник.

Как думать. Общая часть появляется, когда один треугольник «отрезает» углы у другого. Каждый отрезанный уголок добавляет одну сторону.

Решение.

1. Четырёхугольник. Начерти большой треугольник. Второй положи так, чтобы он закрывал весь первый, кроме одного угла: одна его сторона пересекает две стороны первого рядом с вершиной. Общая часть — треугольник без уголка, то есть четырёхугольник.
2. Пятиугольник. Второй треугольник кладём так, чтобы две его стороны отрезали у первого два угла, а третья сторона проходила мимо. Тогда у первого треугольника осталось $3 + 2 = 5$ сторон — пятиугольник.

Подсказка для проверки: если наложить два треугольника «звездой» (каждый отрезает у другого все три угла), получится шестиугольник. Сдвинь один треугольник чуть в сторону — один угол перестанет отрезаться, и выйдет пятиугольник.

Ответ: см. построение; пересечение — 1) треугольник с отрезанным углом; 2) треугольник с двумя отрезанными углами.

№ 1059

$X$ — делители 56, $Y$ — делители 32. Найди $X \cap Y$. Что значит наибольшее число в пересечении?

Решение.

1. $X = {1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56}$.
2. $Y = {1, 2, 4, 8, 16, 32}$.
3. $X \cap Y = {1, 2, 4, 8}$.
4. Пересечение — это общие делители 56 и 32. Наибольший из них, 8, — наибольший общий делитель: НОД(56; 32) = 8.

Ответ: $X \cap Y = {1, 2, 4, 8}$; число 8 — НОД чисел 56 и 32.

💡 Вот где прячется НОД: это самое большое число в пересечении множеств делителей!

№ 1060

В $C$ 5 элементов, в $D$ 7, в $C \cap D$ 3. Сколько элементов в $C \cup D$? Покажи на кругах.

Решение.

1. $n(C \cup D) = n(C) + n(D) - n(C \cap D) = 5 + 7 - 3 = 9$.
2. На кругах: в общей части — 3 элемента; только в $C$ — $5 - 3 = 2$; только в $D$ — $7 - 3 = 4$. Проверка: $2 + 3 + 4 = 9$.

Ответ: $n(C \cup D) = 9$.

№ 1061

В одном селе 435 телефонов, в другом — 271. Можно ли провести провода так, чтобы каждый из 435 телефонов был соединён с каждым из 271?

Как думать. Задача на смекалку, и всё зависит от того, как понимать условие. Обычно её понимают так: можно ли 435 телефонов соединить, чтобы каждый был соединён ровно с 271 другим. Посчитаем провода.

Решение.

1. У каждого из 435 телефонов должно быть 271 провод. Всего «концов» проводов: $435 \cdot 271 = 117,885$.
2. Каждый провод имеет два конца, то есть соединяет два телефона. Значит, проводов должно быть $117,885 : 2$.
3. Число 117 885 нечётное (произведение двух нечётных чисел), на 2 нацело не делится. Половину провода провести нельзя.

Ответ: нельзя: число проводов $\frac{435 \cdot 271}{2}$ не целое.

Замечание. Если понимать условие буквально — соединить каждый телефон первого села с каждым телефоном второго, — то это возможно: понадобится $435 \cdot 271 = 117,885$ проводов.

№ 1062

Собственная скорость теплохода в 9 раз больше скорости течения. По течению он проходит 45 км за 1 ч 15 мин. Найди скорость против течения (реши уравнением).

Как думать. По течению река помогает: скорость = своя + течение. Против течения мешает: своя − течение.

Решение.

1. Пусть скорость течения $x$ км/ч, тогда собственная скорость $9x$ км/ч.
2. Скорость по течению: $9x + x = 10x$ км/ч.
3. 1 ч 15 мин = $1\frac{1}{4}$ ч = 1,25 ч. Уравнение: $10x \cdot 1,25 = 45$, $12,5x = 45$, $x = 3,6$.
4. Собственная скорость $9 \cdot 3,6 = 32,4$ км/ч.
5. Против течения: $32,4 - 3,6 = 28,8$ км/ч.

Ответ: 28,8 км/ч.

Уровень C

№ 1063

1) Как называется объединение множеств простых чисел, составных чисел и единицы? 2) $K$ — простые числа, $L$ — составные. Найди $K \cap L$.

Как думать. Вспомни главу II: какие вообще бывают натуральные числа?

Решение.

1. Любое натуральное число — либо единица, либо простое, либо составное. Вместе они дают все натуральные числа — множество $N$.
2. Число не может быть одновременно простым и составным. Общих элементов нет.

Ответ: 1) множество натуральных чисел $N$; 2) $K \cap L = \varnothing$.

№ 1064

В $N$ и $P$ вместе 5 разных элементов ($n(N \cup P) = 5$). Нарисуй круги так, чтобы в множествах было: а) по 4 элемента; б) 3 и 4; в) 4 и 5.

Как думать. Число общих элементов: $n(N \cap P) = n(N) + n(P) - 5$. Всё, что «не помещается» в 5, и есть общая часть.

Решение. Возьмём элементы 1, 2, 3, 4, 5.

• а) $4 + 4 - 5 = 3$ общих. $N = {1, 2, 3, 4}$, $P = {2, 3, 4, 5}$. На рисунке: только в $N$ — 1; в общей части — 2, 3, 4; только в $P$ — 5.
• б) $3 + 4 - 5 = 2$ общих. $N = {1, 2, 3}$, $P = {2, 3, 4, 5}$. Только в $N$ — 1; в общей части — 2, 3; только в $P$ — 4, 5.
• в) $4 + 5 - 5 = 4$ общих. $N = {1, 2, 3, 4}$, $P = {1, 2, 3, 4, 5}$. Все элементы $N$ лежат в $P$: круг $N$ рисуем внутри круга $P$, элемент 5 — в $P$ вне $N$. Здесь $N \subset P$ и $N \cap P = N$.

Ответ: в пересечении а) 3 элемента; б) 2 элемента; в) 4 элемента ($N \subset P$).

№ 1065

$F$ — первые шесть чисел, кратных 4; $K$ — первые пять чисел, кратных 6. Найди $F \cap K$. Что значит наименьшее число пересечения?

Решение.

1. $F = {4, 8, 12, 16, 20, 24}$.
2. $K = {6, 12, 18, 24, 30}$.
3. $F \cap K = {12; 24}$.
4. Это общие кратные 4 и 6. Наименьшее, 12, — наименьшее общее кратное: НОК(4; 6) = 12.

Ответ: $F \cap K = {12; 24}$; 12 — НОК(4; 6).

№ 1066

$A$ — натуральные решения $6 < x < 12$, $B$ — натуральные решения $8 < y < 15$. Найди $A \cap B$, $A \cup B$ и число элементов в каждом.

Решение.

1. $A = {7, 8, 9, 10, 11}$ (числа 6 и 12 не входят: неравенства строгие).
2. $B = {9, 10, 11, 12, 13, 14}$.
3. $A \cap B = {9, 10, 11}$ — 3 элемента.
4. $A \cup B = {7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}$ — 8 элементов. Проверка: $5 + 6 - 3 = 8$.

Ответ: 1) ${9, 10, 11}$, 3 элемента; 2) ${7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}$, 8 элементов.

№ 1067

Три пересекающихся круга (рис. 5.17): $x$ — только в $A$; $y$ — только в $B$; $c$ — в $A$ и $B$, но не в $C$; $a$, $b$ — во всех трёх; $d$ — в $B$ и $C$, но не в $A$. Запиши $A$, $B$, $C$, $A \cap B$, $B \cup C$.

Как думать. Элемент принадлежит множеству, если он лежит где угодно внутри его круга — даже там, где проходит другой круг.

Решение.

1. $A = {a, b, c, x}$; $B = {a, b, c, d, y}$; $C = {a, b, d}$.
2. $A \cap B = {a, b, c}$.
3. $B \cup C = {a, b, c, d, y}$. Все элементы $C$ уже есть в $B$, поэтому $B \cup C = B$.

Ответ: 1) $A = {a, b, c, x}$, $B = {a, b, c, d, y}$, $C = {a, b, d}$; 2) ${a, b, c}$; 3) ${a, b, c, d, y}$.

№ 1068

Вычисли: $\left(\frac{7,5}{0,6} - 2,5\right) : \left(\frac{\left(68 : 2\frac{5}{6} - 42 \cdot 0,1\right) : 1,1}{\frac{2}{3} \cdot 0,375 + 2,68 : 0,8}\right)$.

Как думать. Большой пример — это несколько маленьких. Считай по кусочкам и записывай промежуточные ответы.

Решение.

1. $7,5 : 0,6 = 12,5$; $12,5 - 2,5 = 10$.
2. $68 : 2\frac{5}{6} = 68 : \frac{17}{6} = \frac{68 \cdot 6}{17} = 24$.
3. $42 \cdot 0,1 = 4,2$; $24 - 4,2 = 19,8$; $19,8 : 1,1 = 18$.
4. $\frac{2}{3} \cdot 0,375 = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{8} = \frac{1}{4} = 0,25$; $2,68 : 0,8 = 3,35$; $0,25 + 3,35 = 3,6$.
5. Дробь во второй скобке: $18 : 3,6 = 5$.
6. $10 : 5 = 2$.

Ответ: 2.

Шпаргалка

• Пересечение — общая часть кругов.
• Объединение — всё, что закрыто кругами; каждый элемент пишем один раз.
• НОД — самое большое число в пересечении делителей, НОК — самое маленькое в пересечении кратных.
• $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.

Мини-тест