5.4. Задачи на множества

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава V: Множества. Страницы 107–108.

Чему научишься

• Переводить задачу «про людей» на язык множеств: где $A$, где $B$, где $A \cap B$.
• Рисовать к задаче два круга и вписывать число в каждую часть.
• Находить общую часть: $n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B)$.
• Считать, сколько человек «только в $A$» и «только в $B$».

Разбираемся

Вспомним главное

• Пересечение $A \cap B$ — общие элементы.
• Объединение $A \cup B$ — все элементы, которые есть хотя бы в одном множестве.
• Формула: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.

Олимпиада: считаем без ошибок

На олимпиаде 38 пятиклассников решили задачу по арифметике, 25 — по геометрии, а 20 из них решили обе. Сколько всего было участников?

Давай по шагам:

1. $A$ — решили арифметику, $B$ — решили геометрию. $n(A) = 38$, $n(B) = 25$, $n(A \cap B) = 20$.
2. Рисуем два круга. Первым заполняем общую часть: 20.
3. Только арифметику: $38 - 20 = 18$. Только геометрию: $25 - 20 = 5$.
4. Всего: $18 + 20 + 5 = 43$. По формуле то же: $38 + 25 - 20 = 43$.

Почему не $38 + 25 = 63$? Потому что те 20, кто решил обе задачи, сидят и в 38, и в 25. Их посчитали два раза!

⚠️ Частая ошибка. В левую часть пишут всё число 38, а в середину 20. Тогда в круге $A$ окажется $38 + 20 = 58$ человек — неправда. Правило: сначала середина, потом из каждого числа вычитаем середину.

Обратная задача: ищем середину

Бывает наоборот: известно, сколько всего человек, а середина неизвестна. Тогда та же формула «наизнанку»:

$n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B)$.

В группе 10 детей. 7 любят яблоки, 6 — груши, каждый любит хоть что-то. Сколько любят и то и другое? $7 + 6 = 13$ — это больше, чем детей! Лишние $13 - 10 = 3$ — это те, кого посчитали дважды.

💡 А если в задаче есть те, кто «ни там, ни там», — они стоят снаружи обоих кругов. Сначала вычти их из общего числа.

👨‍👩‍👧 Родителю. Не спешите с формулой. Пусть ребёнок к каждой задаче рисует два круга и пишет числа во все три части. Проверка: «своя часть + середина» должна дать число из условия. Когда круги получаются сами, формула понимается без зубрёжки.

Проверь, как понял

Решаем упражнения

№ 1069

$L$ — все ученики класса, $K$ — ученики этого класса, которые ходят в секцию лёгкой атлетики. Покажи кругами, как связаны $K$ и $L$.

Как думать. Каждый, кто ходит в секцию, — ученик этого класса. Значит, $K$ — часть $L$.

Решение. Рисуем большой круг $L$ и внутри него маленький круг $K$. Внутри $K$ — легкоатлеты, в $L$ вне $K$ — остальные ученики класса.

Ответ: $K \subset L$, круг $K$ внутри круга $L$.

№ 1070

В классе 17 мальчиков: 14 любят футбол, 9 — шахматы, каждый хотя бы одну из этих игр. Сколько любят и то и другое?

Как думать. Каждый мальчик хотя бы в одном круге, значит, 17 — это объединение. Ищем середину.

Решение.

1. $A$ — футболисты, $B$ — шахматисты. $n(A) = 14$, $n(B) = 9$, $n(A \cup B) = 17$ (каждый мальчик хотя бы в одном круге).
2. $n(A \cap B) = 14 + 9 - 17 = 6$.
3. На кругах: только футбол — $14 - 6 = 8$, обе игры — 6, только шахматы — $9 - 6 = 3$. Проверка: $8 + 6 + 3 = 17$.

Ответ: 6 мальчиков.

№ 1071

За неделю 19 человек купили телевизоры, 13 — холодильники, 8 из них купили и то и другое. Сколько купили только телевизоры? Только холодильники?

Решение.

1. В общую часть кругов пишем 8.
2. Только телевизоры: $19 - 8 = 11$.
3. Только холодильники: $13 - 8 = 5$.

Ответ: 1) 11 человек; 2) 5 человек.

№ 1072

10 туристов знают казахский, 8 — русский, 3 из них знают оба языка. Сколько туристов приехало? Варианты: A. 12; B. 11; C. 15; D. 17.

Решение.

1. Только казахский: $10 - 3 = 7$; оба языка: 3; только русский: $8 - 3 = 5$.
2. Всего: $7 + 3 + 5 = 15$. По формуле: $10 + 8 - 3 = 15$.

Ответ: 15 туристов, вариант C.

№ 1073

Придумай задачу по рисунку 5.19: $n(P) = 12$, $n(T) = 7$; только в $P$ — 9, в середине и только в $T$ — знаки вопроса; найди $n(P \cup T)$.

Как думать. Сначала найди середину из круга $P$: всего в нём 12, из них 9 — «только $P$».

Решение. Пример задачи: «12 учеников ходят в бассейн ($P$), 7 — на теннис ($T$). Только в бассейн ходят 9. Сколько ходят и туда и туда? Сколько — только на теннис? Сколько всего ребят занимаются спортом?»

1. В общей части: $12 - 9 = 3$.
2. Только в $T$: $7 - 3 = 4$.
3. Всего: $9 + 3 + 4 = 16$. Проверка по формуле: $12 + 7 - 3 = 16$.

Ответ: в общей части 3, только в $T$ — 4, $n(P \cup T) = 16$.

№ 1074

15 учеников ходят в кружки: 9 играют на домбре, 10 поют. Сколько и играют, и поют? Покажи на кругах.

Решение.

1. $n(\text{домбра} \cap \text{пение}) = 9 + 10 - 15 = 4$.
2. На кругах: только домбра — $9 - 4 = 5$; оба кружка — 4; только пение — $10 - 4 = 6$. Проверка: $5 + 4 + 6 = 15$.

Ответ: 4 ученика.

№ 1075

В классе 32 ученика: 17 собирают марки, 12 — значки, 8 ничего не собирают. Сколько собирают и марки, и значки?

Как думать. Те 8, кто ничего не собирает, стоят снаружи обоих кругов. Сначала уберём их.

Решение.

1. Хоть что-то собирают: $32 - 8 = 24$ ученика. Это объединение.
2. Общая часть: $17 + 12 - 24 = 5$.
3. Проверка: только марки $17 - 5 = 12$, оба — 5, только значки $12 - 5 = 7$; $12 + 5 + 7 + 8 = 32$.

Ответ: 5 учеников.

№ 1076

Придумай задачу по рисунку 5.20: $n(C) = 11$, $n(D) = 15$, в середине 5; найди «только $C$», «только $D$» и $n(C \cup D)$.

Решение. Пример задачи: «11 учеников прочитали книгу о космосе ($C$), 15 — о динозаврах ($D$), 5 прочитали обе. Сколько прочитали только одну книгу? Сколько всего читателей?»

1. Только в $C$: $11 - 5 = 6$.
2. Только в $D$: $15 - 5 = 10$.
3. Всего: $6 + 5 + 10 = 21$. По формуле: $11 + 15 - 5 = 21$.

Ответ: только в $C$ — 6, только в $D$ — 10, $n(C \cup D) = 21$.

№ 1077

Яблоко, груша и персик, взятые по два, весят 450 г, 350 г и 400 г. Найди массу каждого фрукта.

Как думать. Задача на смекалку. В трёх парах каждый фрукт встречается ровно два раза. Значит, сумма трёх чисел — это удвоенная масса всех трёх фруктов. Считаем, что пары идут так: яблоко с грушей, яблоко с персиком, груша с персиком.

Решение.

1. $450 + 350 + 400 = 1200$ г — каждый фрукт посчитан дважды.
2. Все три фрукта: $1200 : 2 = 600$ г.
3. Персик: $600 - 450 = 150$ г (без яблока и груши).
4. Груша: $600 - 350 = 250$ г (без яблока и персика).
5. Яблоко: $600 - 400 = 200$ г (без груши и персика).

Проверка: $200 + 250 = 450$, $200 + 150 = 350$, $250 + 150 = 400$. Верно.

Ответ: яблоко 200 г, груша 250 г, персик 150 г.

Шпаргалка

• Нарисуй два круга, впиши числа во все части.
• Проверка: «своя часть + середина» = число из условия.
• Если сумма двух чисел больше, чем людей всего, — разница и есть середина.

Мини-тест